第十七章勾股定理0101思維導圖0202知識速記知識點01勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段知識點02勾股定理證明（1）鄒元治證法（內弦圖）：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.（2）趙爽弦圖（外弦圖）：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.（3）總統證法：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.知識點03勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如）.（2）驗證與是否具有相等關系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當時，此三角形為鈍角三角形；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.知識點04勾股數像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數.勾股數滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數知識點05勾股定理的應用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論.知識點06平面展開圖-最短路徑問題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短確定最短路線，構造直角三角形，利用勾股定理求解0303題型歸納題型一已知直角三角形的兩邊，求第三邊長例題：（23-24八年級上·福建泉州·期末）一直角三角形的兩直角邊長分別為5和12，則斜邊的長是．鞏固訓練1.（23-24八年級下·吉林松原·期中）如圖，原來從A村到B村，需要沿路（）繞過兩地間的一片湖，在A、B間建好橋后，就可直接從A村到B村．若，那么建好橋后從A村到B村比原來減少的路程為．2.（23-24八年級下·河南新鄉·期中）在直角中，，，則的長為3.（23-24七年級下·安徽馬鞍山·期中）若一個直角三角形的兩邊長為9和12，則這個三角形的斜邊長為．題型二以直角三角形三邊為邊長的圖形面積例題：（23-24八年級下·湖南湘西·期中）如圖所示，如果正方形A的面積為625，正方形B的面積為400，則正方形C的邊長為．鞏固訓練1.（23-24七年級下·黑龍江大慶·期中）如圖，正方形的邊長分別為直角三角形的三邊長，若正方形的邊長分別為4和8，則正方形的面積為．2.（23-24八年級下·黑龍江大慶·期中）如圖，在中，，分別以、、為直徑作半圓，圖中陰影部分圖形稱為“希波克拉底月牙”．當，時，則陰影部分的面積為．3.（2024·四川成都·二模）如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面積依次為5、13、30，則正方形的面積為．題型三利用等面積法求直接斜邊上的高問題例題：（23-24八年級下·湖北武漢·期中）在如圖的網格中，小正方形的邊長均為1，A、B、C三點均在正方形格點上，則點A到直線BC的距離是．鞏固訓練1.（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，的頂點在邊長為的正方形網格的格點上，于點．則的長為．2.（23-24八年級下·浙江金華·階段練習）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，求邊上的高長＝．3.（23-24七年級上·山東泰安·期末）如圖所示，的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網格的格點上，于點D，則BD的長為．

題型四勾股數的判斷例題：（23-24八年級下·廣東湛江·階段練習）下列四組數中，是勾股數的是（

）A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3鞏固訓練1.（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中．下列各組數中，是“勾股數”的是（

）A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，42.（23-24八年級下·廣西來賓·期中）下列各組數是勾股數的是（

）A． B． C． D．3.（23-24八年級下·江西新余·期中）下列各組數中，為勾股數的是（

）A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，，題型五判斷能否構成直角三角形例題：（23-24八年級下·安徽淮北·期中）在中，，，的對邊分別是a，b，c．下列條件不能說明是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，鞏固訓練1.（23-24八年級上·四川成都·期中）滿足下列條件的，其中是直角三角形的為（）A． B．C． D．2.（23-24八年級下·云南昭通·期中）下列條件中，不能判斷為直角三角形的是（）A．，， B．C． D．3.（23-24八年級下·內蒙古呼和浩特·期中）中，、、的對邊分別為、、，下列條件中，不能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．題型六在網格中判斷直角三角形例題：（23-24八年級下·云南昭通·期中）如圖，在每個小正方形邊長都為1的網格圖中，頂點都在格點上，下列結論不正確的是（

）A． B．的面積為5C． D．點到的距離為鞏固訓練1.（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，在四個均由十六個小正方形組成的正方形網格中，各有一個三角形，那么這四個三角形中，不是直角三角形的是（

）A． B． C． D．2.（23-24八年級下·遼寧鞍山·期中）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1．

(1)求的周長；(2)若點為直線上任意一點，則線段的最小值為________．3.（23-24八年級下·廣東珠?！て谥校┤鐖D，四邊形的四個頂點都在網格上，且每個小正方形的邊長都為1．

(1)求四邊形的面積；(2)判斷線段和的位置關系，并說明理由．題型七利用勾股定理的逆定理求解例題：（23-24八年級下·江西吉安·階段練習）在四邊形中，已知，，，．(1)連接，試判斷的形狀，并說明理由；(2)求的度數．鞏固訓練1.（23-24八年級下·云南昭通·期中）如圖，在中，，垂足為．

(1)求的長；(2)判斷的形狀，并說明理由．2.（23-24八年級下·重慶長壽·期中）如圖，在四邊形中，已知，，，，．(1)求線段的長；(2)求證：是直角三角形．3.（23-24八年級下·湖北黃石·期中）如圖，四邊形中，，為對角線，于E，．(1)確定的度數；(2)求線段的長．題型八勾股定理逆定理的實際應用例題：（23-24八年級下·廣東湛江·階段練習）如圖，在一條東西走向河流的一側有一村莊，河邊原有兩個取水點，，由于某種原因，由到的路現在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點（，，）在同一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．問是否為從村莊到河邊最近的路？請說明理由．

鞏固訓練1.（23-24八年級下·陜西西安·期中）如圖，陽光中學有一塊四邊形的空地，為了綠化環境，學校計劃在空地上種植草皮．經測量，若每平方米草皮需要100元，種植這塊草皮需要投入多少資金?（其他費用不計）2.（23-24八年級下·廣東廣州·期中）如圖，在筆直的公路旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的?？空続的距離為，與公路上另一?？空綛的距離為，?？空続，B之間的距離為，為方便運輸貨物現要從公路上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且．(1)求證：；(2)求修建的公路的長．3.（23-24八年級下·河北衡水·階段練習）如圖，某社區有一塊四邊形空地，，，．從點A修了一條垂直的小路（垂足為E），E恰好是的中點，且．(1)求邊的長；(2)連接，判斷的形狀；(3)求這塊空地的面積．題型九應用勾股定理解決汽車是否超速與受影響問題例題：（23-24八年級下·廣東廣州·期中）某段公路限速是．“流動測速小組”的小王在距離此公路的A處觀察，發現有一輛可疑汽車在公路上疾駛，他趕緊拿出紅外測距儀，可疑汽車從處行駛后到達處，測得，若．求出速度并判斷可疑汽車是否超速？鞏固訓練1.（23-24八年級下·廣西玉林·期中）某路段限速標志規定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過，如圖，一輛小汽車在該筆直路段上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面的車速檢測儀的正前方的點處，后小汽車行駛到點處，測得此時小汽車與車速檢測儀間的距離為，．(1)求的長．(2)這輛小汽車超速了嗎？并說明理由．2.（2024·湖南永州·模擬預測）如圖某貨船以海里的速度將一批重要的物資由處運往正西方向的處，經的航行到達，到達后必須立即卸貨．此時，接到氣象部門的通知，一臺風中心、以海里的速度由處向北偏西方向移動，距臺風中心海里以內的圓形區域會受到影響．（）問：(1)處是否會受到臺風的影響？請說明理由．(2)如果處受到臺風影響，那么求出影響的時間．3.（23-24八年級下·云南昭通·期中）6號臺風“煙花”風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線上的兩點A、B的距離分別為，，又，經測量，距離臺風中心及以內的地區會受到影響．(1)海港C受臺風影響嗎?為什么?(2)若臺風中心的移動速度為20千米/時，則臺風影響該海港持續的時間有多長?題型十應用勾股定理解決選扯距離相離問題例題：（23-24八年級下·廣東珠?！て谥校┤鐖D，在筆直的鐵路上A、B兩點相距，C，D為兩村莊，于A，于B．現要在上建一個中轉站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求的長．鞏固訓練1.（23-24八年級下·湖北荊州·階段練習）如圖，直線l為一條公路，A，D兩處各有一個村莊，于點B，于點C，千米，千米，千米．現需要在上建立一個物資調運站E，使得E到A，D兩個村莊距離相等，請求出E到C的距離．2.（23-24八年級下·重慶開州·階段練習）如圖，開州大道上兩點相距為兩商場，于于．已知．現在要在公路上建一個土特產產品收購站，使得兩商場到站的距離相等，

(1)求站應建在離點多少處？(2)若某人從商場以的速度勻速步行到收購站，需要多少小時？3.（23-24七年級上·山東淄博·期中）為推進鄉村振興，把家鄉建設成為生態宜居、交通便利的美麗家園，某地大力修建嶄新的公路如圖所示，現從A地分別向C、D、B三地修了三條筆直的公路和，C地、D地、B地在同一筆直公路上，公路和公路互相垂直，又從D地修了一條筆直的公路與公路在H處連接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．(1)求公路的長度；(2)若修公路每千米的費用是200萬元，請求出修建公路的總費用．

第十七章勾股定理0101思維導圖0202知識速記知識點01勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段知識點02勾股定理證明（1）鄒元治證法（內弦圖）：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.（2）趙爽弦圖（外弦圖）：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.（3）總統證法：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.知識點03勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如）.（2）驗證與是否具有相等關系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當時，此三角形為鈍角三角形；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.知識點04勾股數像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數.勾股數滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數知識點05勾股定理的應用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論.知識點06平面展開圖-最短路徑問題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短確定最短路線，構造直角三角形，利用勾股定理求解0303題型歸納題型一已知直角三角形的兩邊，求第三邊長例題：（23-24八年級上·福建泉州·期末）一直角三角形的兩直角邊長分別為5和12，則斜邊的長是．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理，根據直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方進行求解即可．【詳解】解：∵一直角三角形的兩直角邊長分別為5和12，∴該直角三角形的斜邊長為，故答案為：．鞏固訓練1.（23-24八年級下·吉林松原·期中）如圖，原來從A村到B村，需要沿路（）繞過兩地間的一片湖，在A、B間建好橋后，就可直接從A村到B村．若，那么建好橋后從A村到B村比原來減少的路程為．【答案】4【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟記勾股定理是解題的關鍵．根據勾股定理求出的長，再和以前的距離作比較即可得出答案．【詳解】解：由勾股定理得，∴建好橋后從A村到B村比原來減少的路程為，故答案為．2.（23-24八年級下·河南新鄉·期中）在直角中，，，則的長為【答案】10或【分析】本題考查了勾股定理．分是直角邊或是斜邊兩種情況討論，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：當是直角邊時，則，當是斜邊時，則，故答案為：10或．3.（23-24七年級下·安徽馬鞍山·期中）若一個直角三角形的兩邊長為9和12，則這個三角形的斜邊長為．【答案】12或15【分析】本題考查了勾股定理．注意12可能是直角邊，也可能是斜邊，所以得分兩種情況討論．【詳解】解：當9和12都是直角邊時，斜邊；當9是直角邊，12是斜邊時，斜邊為12．故答案為：12或15．題型二以直角三角形三邊為邊長的圖形面積例題：（23-24八年級下·湖南湘西·期中）如圖所示，如果正方形A的面積為625，正方形B的面積為400，則正方形C的邊長為．【答案】15【分析】設A的邊長為a，B的邊長為b，C的邊長為c，根據題意，得，，，計算即可．本題考查了勾股定理，正確理解定理是解題的關鍵．【詳解】解：設A的邊長為a，B的邊長為b，C的邊長為c，根據題意，得，，，．解得．故答案為：15．鞏固訓練1.（23-24七年級下·黑龍江大慶·期中）如圖，正方形的邊長分別為直角三角形的三邊長，若正方形的邊長分別為4和8，則正方形的面積為．【答案】48【分析】本題考查勾股定理的應用．由正方形的邊長分別為4和8可得中間的直角三角形的一直角邊和斜邊分別是4和8，再用勾股定理可求另一直角邊，即可得出答案．【詳解】解：如圖，∵正方形的邊長分別為4和8，∴∵是直角三角形，∴∴正方形的面積．故答案為：48．2.（23-24八年級下·黑龍江大慶·期中）如圖，在中，，分別以、、為直徑作半圓，圖中陰影部分圖形稱為“希波克拉底月牙”．當，時，則陰影部分的面積為．【答案】30【分析】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關鍵．首先根據勾股定理求出，然后根據陰影部分面積等于以為直徑的2個半圓的面積加上減去為半徑的半圓面積即，然后代數求解即可．【詳解】解：在中，，，．故答案為：30．3.（2024·四川成都·二模）如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面積依次為5、13、30，則正方形的面積為．【答案】12【分析】本題主要考查了正方形和勾股定理，解題關鍵是勾股定理的正確應用．由所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根據勾股定理得，由正方形、、的面積依次為、、，得，故正方形的面積為12．【詳解】解：由所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根據勾股定理得，由正方形、、的面積依次為、、，得，故正方形的面積為12．故答案為：12．題型三利用等面積法求直接斜邊上的高問題例題：（23-24八年級下·湖北武漢·期中）在如圖的網格中，小正方形的邊長均為1，A、B、C三點均在正方形格點上，則點A到直線BC的距離是．【答案】2【分析】本題考查了網格圖的問題，解題關鍵是正確應用勾股定理．用割補法求出的面積，用勾股定理求出的長，然后利用面積法求解即可．【詳解】解：面積，由勾股定理得，設點A到直線的距離是d，得，解得．故答案為：2．鞏固訓練1.（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，的頂點在邊長為的正方形網格的格點上，于點．則的長為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理與網格問題，利用勾股定理求出的長，利用網格求出的面積，再根據面積法即可求出的長，利用割補法求出的面積是解題的關鍵．【詳解】解：由勾股定理可得，，由網格可得，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．2.（23-24八年級下·浙江金華·階段練習）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，求邊上的高長＝．【答案】【分析】本題主要考查三角形面積公式，運用分割法求出的面積，運用勾股定理求出的長，再運用等積法即可求出邊上的高【詳解】解：；由勾股定理得，所以，邊上的高長，故答案為：．3.（23-24七年級上·山東泰安·期末）如圖所示，的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網格的格點上，于點D，則BD的長為．

【答案】3【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．根據題意求出的面積，根據勾股定理求出，根據三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：由圖形可知，，邊上的高為3，的面積，由勾股定理得，，則，解得，，故答案為：3題型四勾股數的判斷例題：（23-24八年級下·廣東湛江·階段練習）下列四組數中，是勾股數的是（

）A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3【答案】A【分析】本題考查了勾股數．解題的關鍵是理解勾股數的定義：有a，b，c三個正整數，滿足，稱為勾股數．想要判定是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證兩條較短邊的平方和是否等于最長邊的平方．【詳解】解：A．，能構成勾股數，故該選項正確；B．，不能構成勾股數，故該選項錯誤；C．，不能構成勾股數，故該選項錯誤；D．，不能構成勾股數，故該選項錯誤．故選A．鞏固訓練1.（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中．下列各組數中，是“勾股數”的是（

）A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4【答案】B【分析】本題主要考查了勾股數，關鍵是掌握勾股數的定義：若三個正整數、、滿足，則稱、、為勾股數．根據“勾股數”的定義，逐項判斷，即可求解．【詳解】解：A、，不是“勾股數”，不符合題意；B、，是“勾股數”，符合題意；C、，不是“勾股數”，不符合題意；D、，不是“勾股數”，不符合題意；故選：B．2.（23-24八年級下·廣西來賓·期中）下列各組數是勾股數的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查勾股數，根據勾股數是滿足的三個正整數逐項判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴不是勾股數，不符合題意；B、∵，∴不是勾股數，不符合題意；C、∵都不是整數，∴不是勾股數，不符合題意；D、∵，∴是勾股數，符合題意；故選：D．3.（23-24八年級下·江西新余·期中）下列各組數中，為勾股數的是（

）A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，，【答案】A【分析】本題考查了勾股數的定義，勾股數就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數，根據勾股數的定義逐項判斷即可．【詳解】解：A、，9，40，41是勾股數，故此選項符合題意；B、，5，6，7不是勾股數，故此選項不符合題意；C、，不是正整數，，，不是勾股數，故此選項不符合題意；D、，，不是正整數，，，不是勾股數，故此選項不符合題意；故選：A．題型五判斷能否構成直角三角形例題：（23-24八年級下·安徽淮北·期中）在中，，，的對邊分別是a，b，c．下列條件不能說明是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，【答案】D【分析】本題考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正確理解勾股定理的逆定理是解題的關鍵．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．【詳解】A、，，，，，是直角三角形，故此選項正確，不符合題意；B、設，則，，，是直角三角形，故此選項正確，不符合題意；C、，，，是直角三角形，故此選項正確，不符合題意；D、，，，，不是直角三角形，故此選項錯誤，符合題意．故選D．鞏固訓練1.（23-24八年級上·四川成都·期中）滿足下列條件的，其中是直角三角形的為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的內角和定理，能理解勾股定理的逆定理的內容是解此題的關鍵．根據三角形的內角和定理和勾股定理的逆定理逐個判斷即可．【詳解】解：A、，，∴最大角為，不是直角三角形，故該選項不符合題意；B、設分別為，，，是直角三角形，故本選項符合題意；C、，∴不符合三角形三邊關系，故本選項不符合題意；D、，，不是直角三角形，故該選項不符合題意；故選：B．2.（23-24八年級下·云南昭通·期中）下列條件中，不能判斷為直角三角形的是（）A．，， B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查勾股定理和三角形內角和定理，掌握判定直角三角形的方法是解題的關鍵，A、根據勾股定理的逆定理進行判定即可，B、根據比值并結合勾股定理的逆定理即可判斷出三角形的形狀，C、根據三角形的內角和為度，即可計算出的值，D、根據角的比值求出各角的度數，便可判斷出三角形的形狀．【詳解】A、當，，，，故是直角三角形；B、當時，設，，，則，故是直角三角形，C、當時，∵，∴，則，故是直角三角形，D、當時，∵，則最大角為，故不是直角三角形，故選：D．3.（23-24八年級下·內蒙古呼和浩特·期中）中，、、的對邊分別為、、，下列條件中，不能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形內角和定理和勾股定理的逆定理，根據三角形內角和定理即可判斷A、C；如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形，據此可判斷B、D．【詳解】解：A、∵，，∴，，，∴不是直角三角形，符合題意；B、∵，∴，∴，∴是直角三角形，不符合題意；C、∵，且，∴，∴是直角三角形，不符合題意；D、∵，∴設，，，且，∴是直角三角形，不符合題意；故選：A．題型六在網格中判斷直角三角形例題：（23-24八年級下·云南昭通·期中）如圖，在每個小正方形邊長都為1的網格圖中，頂點都在格點上，下列結論不正確的是（

）A． B．的面積為5C． D．點到的距離為【答案】D【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，利用網格圖計算三角形的面積，點到直線的距離．熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．利用勾股定理求出長可判定A，利用網格圖計算三角形的面積可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面積公式求出邊的高，即可利用點到直線的距離判定D．【詳解】解：A．∵，∴，本選項結論正確，不符合題意；B．，本選項結論正確，不符合題意；C．，，，，，本選項結論正確，不符合題意；D．點A到的距離，本選項結論錯誤，符合題意；故答案為：D鞏固訓練1.（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，在四個均由十六個小正方形組成的正方形網格中，各有一個三角形，那么這四個三角形中，不是直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關鍵．根據勾股定理及其逆定理對各選項進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、如圖：，，，不是直角三角形，故本選項符合題意；B、如圖：，，，是直角三角形，故本選項不符合題意；C、如圖：，，，是直角三角形，故本選項不符合題意；D、如圖：，，，是直角三角形，故本選項不符合題意．故選：A．2.（23-24八年級下·遼寧鞍山·期中）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1．

(1)求的周長；(2)若點為直線上任意一點，則線段的最小值為________．【答案】(1)(2)2【分析】此題考查了勾股定理與網格、勾股定理逆定理等知識，準確掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．（1）利用勾股定理求出各邊的長，求和即可得到的周長；（2）過作，證明是直角三角形，為斜邊，利用等積法即可求出答案．【詳解】（1）解：，，，的周長；（2）過作，

∵，∴是直角三角形，為斜邊，的面積，即，解得，即線段的最小值為．3.（23-24八年級下·廣東珠?！て谥校┤鐖D，四邊形的四個頂點都在網格上，且每個小正方形的邊長都為1．

(1)求四邊形的面積；(2)判斷線段和的位置關系，并說明理由．【答案】(1)17.5(2)，理由見解析【分析】本題考查了四邊形的面積，三角形的面積，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．（1）根據四邊形的面積等于長方形的面積減去四個直角三角形的面積和一個小長方形的面積計算即可；（2）根據勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】（1）解：四邊形的面積為：；（2）解：，理由：如圖，連接，

，，，，是直角三角形且，即．題型七利用勾股定理的逆定理求解例題：（23-24八年級下·江西吉安·階段練習）在四邊形中，已知，，，．(1)連接，試判斷的形狀，并說明理由；(2)求的度數．【答案】(1)為等邊三角形，理由見解析.(2)．【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質，直角三角形的判定和性質．（1）連接，根據，，得出是等邊三角形即可；（2）根據勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形，從而求得．【詳解】（1）解：是等邊三角形．，，是等邊三角形；（2）解：是等邊三角形，，，在中，，，，，．鞏固訓練1.（23-24八年級下·云南昭通·期中）如圖，在中，，垂足為．

(1)求的長；(2)判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)20(2)是直角三角形，理由見解析【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正確理解定理是關鍵．（1）在直角中利用勾股定理即可求解．（2）利用勾股定理的逆定理即可判斷．【詳解】（1）解：，是直角三角形，．．（2）是直角三角形，理由如下：，是直角三角形，．，．，是直角三角形，是直角．2.（23-24八年級下·重慶長壽·期中）如圖，在四邊形中，已知，，，，．(1)求線段的長；(2)求證：是直角三角形．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理：（1）先根據含30度角的直角三角形的性質得出，再根據勾股定理得出答案即可；（2）得出，即，即可得出結論．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴；（2）證明：∵，，，∴，即，∴，∴是直角三角形．3.（23-24八年級下·湖北黃石·期中）如圖，四邊形中，，為對角線，于E，．(1)確定的度數；(2)求線段的長．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由勾股定理求出的長，再利用勾股定理的逆定理即可作出判斷；（2）利用等面積法即可求解．本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握等積法是關鍵．【詳解】（1）證明：在直角中，，，，．，，，是直角三角形，且．（2）解：，．題型八勾股定理逆定理的實際應用例題：（23-24八年級下·廣東湛江·階段練習）如圖，在一條東西走向河流的一側有一村莊，河邊原有兩個取水點，，由于某種原因，由到的路現在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點（，，）在同一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．問是否為從村莊到河邊最近的路？請說明理由．

【答案】是，理由見解析【分析】此題考查勾股定理的逆定理的應用、垂線段最短，熟練掌握勾股逆定理是解決本題的關鍵．根據勾股定理的逆定理驗證為直角三角形，進而得到，再根據點到直線的距離垂線段最短即可解答；【詳解】解：是，理由如下：在中，∵，即，∴為直角三角形，且，∴，由點到直線的距離垂線段最短可知，是從村莊到河邊的最近路；鞏固訓練1.（23-24八年級下·陜西西安·期中）如圖，陽光中學有一塊四邊形的空地，為了綠化環境，學校計劃在空地上種植草皮．經測量，若每平方米草皮需要100元，種植這塊草皮需要投入多少資金?（其他費用不計）【答案】11400元【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理及逆定理是解本題的關鍵．連接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判斷得到，最后利用即可解答．【詳解】解：解：如圖，連接，在中，，在中，，，而，即，為直角三角形，，，所以需費用(元)．2.（23-24八年級下·廣東廣州·期中）如圖，在筆直的公路旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的?？空続的距離為，與公路上另一停靠站B的距離為，?？空続，B之間的距離為，為方便運輸貨物現要從公路上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且．(1)求證：；(2)求修建的公路的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應用，以及三角形的面積公式等知識，熟練掌握這兩個定理是解題關鍵．（1）根據勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形，進而得解；（2）利用的面積公式可得，，從而求出的長．【詳解】（1）解：證明：∵，，，，∴，∴．（2）∵，∴，∴．答：修建的公路的長是．3.（23-24八年級下·河北衡水·階段練習）如圖，某社區有一塊四邊形空地，，，．從點A修了一條垂直的小路（垂足為E），E恰好是的中點，且．(1)求邊的長；(2)連接，判斷的形狀；(3)求這塊空地的面積．【答案】(1)(2)是直角三角形(3)這塊空地的面積為【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積計算，掌握勾股定理和三角形面積公式是解題關鍵．（1）利用勾股定理以及線段中點的性質即可．（2）通過計算三條邊的長度，根據勾股定理的逆定理來判斷三角形的形狀．（3）把四邊形的面積分割成兩個三角形的面積來計算．【詳解】（1）解：，．在中，，，．是的中點，．（2）解：，是的中點，．，，，，是直角三角形．（3）解：由（2）可知，是直角三角形，，，由（1）可知，，這塊空地得面積為：．題型九應用勾股定理解決汽車是否超速與受影響問題例題：（23-24八年級下·廣東廣州·期中）某段公路限速是．“流動測速小組”的小王在距離此公路的A處觀察，發現有一輛可疑汽車在公路上疾駛，他趕緊拿出紅外測距儀，可疑汽車從處行駛后到達處，測得，若．求出速度并判斷可疑汽車是否超速？【答案】，超速了【分析】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是掌握直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方．先根據勾股定理求出，再根據速度公式求出速度，即可解答．【詳解】解：∵，，，∴根據勾股定理可得：，∴該汽車的速度為，∵，∴可疑汽車超速了．鞏固訓練1.（23-24八年級下·廣西玉林·期中）某路段限速標志規定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過，如圖，一輛小汽車在該筆直路段上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面的車速檢測儀的正前方的點處，后小汽車行駛到點處，測得此時小汽車與車速檢測儀間的距離為，．(1)求的長．(2)這輛小汽車超速了嗎？并說明理由．【答案】(1)(2)這輛小汽車不超速，理由見解析【分析】本題考查了勾股定理的應用，由勾股定理求出的長是解題的關鍵．（1）由勾股定理求出的長即可；（2）求出這輛小汽車的速度，即可解決問題．【詳解】（1）解：根據題意得：，，，，答：的長為；（2）解：這輛小汽車不超速，理由如下：該小汽車的速度為，這輛小汽車不超速．2.（2024·湖南永州·模擬預測）如圖某貨船以海里的速度將一批重要的物資由處運往正西方向的處，經的航行到達，到達后必須立即卸貨．此時，接到氣象部門的通知，一臺風中心、以海里的速度由處向北偏西方向移動，距臺風中心海里以內的圓形區域會受到影響．（）問：(1)處是否會受到臺風的影響？請說明理由．(2)如果處受到臺風影響，那么求出影響的時間．【答案】(1)會受臺風影響，理由見解析(2)小時【分析】本題主要考查含30度直角三角形的性質及勾股定理解三角形，解題的關鍵是理解題意，靈活運用相關知識．（1）處是否會受到臺風影響，其實就是到的垂直距離是否超過海里，如果超過則不會影響，反之受影響，過點作交于點，求出即可求解；（2））結合題意可得在點右側相同的距離內點也受影響，即可求出時間；將實際問題轉化為數學問題，構造出與實際問題有關的直角三角形是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖1，過點作交于點，在中，，，海里，海里，，會受臺風影響；（2）如圖2，如圖，海里，在中，海里，同時在點右側相同的距離內點也受影響，小時，影響的時間為小時．3.（23-24八年級下·云