PAGEPAGE6第2節空間幾何體的表面積與體積課時作業基礎對點練(時間：30分鐘)1．(2024臨沂模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()(A)6 (B)8(C)10 (D)12D解析：該幾何體是一個長方體在左邊挖去一個三棱柱再拼接到右邊而得到的，它的體積為V＝2×2×3＝12.2．(2024黃岡中學月考)某空間組合體的三視圖如圖所示，則該組合體的體積為()(A)48 (B)56(C)64 (D)72C解析：該組合體由兩個棱柱組成，上面的棱柱體積為2×4×5＝40，下面的棱柱體積為4×6×1＝24，故組合體的體積為64.故選C.3．已知等腰直角三角形的直角邊長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體體積為()(A)eq\f(2\r(2)π,3) (B)eq\f(4\r(2),3)π(C)2eq\r(2)π (D)4eq\r(2)πB解析：由條件知該直角三角形的斜邊長為2eq\r(2)，斜邊上的高為eq\r(2)，故圍成的幾何體的體積為2×eq\f(1,3)×π×(eq\r(2))2×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2)π,3)，故選B.4．三棱錐A－BCD的全部頂點都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BC＝BD＝2，AB＝2CD＝4eq\r(3)，則球O的體積為()(A)64π (B)eq\f(128,3)π(C)eq\f(64,3)π (D)eq\f(256,3)πD解析：∵BC＝BD＝2，CD＝2eq\r(3)，∴cos∠CBD＝eq\f(22＋22－（2\r(3)）2,2×2×2)＝－eq\f(1,2)，∴∠CBD＝eq\f(2π,3)，因此△BCD的外接圓半徑為eq\f(1,2)·eq\f(CD,sin∠CBD)＝2，設外接球O的半徑為R，則R2＝22＋(eq\f(AB,2))2＝4＋12＝16，R＝4，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(256,3)π.故選D.5．圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝()(A)1 (B)2(C)4 (D)8B解析：由三視圖可知，此組合體的前半部分是一個底面半徑為r，高為2r的半圓柱(水平放置)，后半部分是一個半徑為r的半球，其中半圓柱的一個底面與半球的半個圓面重合，所以此幾何體的表面積為2r×2r＋eq\f(1,2)πr2＋eq\f(1,2)πr2＋πr×2r＋2πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2，故選B.6．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()(A)eq\f(1,3)＋2π (B)eq\f(13π,6)(C)eq\f(7π,3) (D)eq\f(5π,2)B解析：由三視圖知，該幾何體為一個圓柱與一個半圓錐的組合體，其中圓柱的底面半徑為1，高為2，半圓錐的底面半徑為1，高為1，所以該幾何體的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×12×1＋π×12×2＝eq\f(13π,6)，故選B.7．若三棱錐P－ABC的最長的棱PA＝2，且各面均為直角三角形，則此三棱錐的外接球的體積是________．解析：如圖，依據題意，可把該三棱錐補成長方體，則該三棱錐的外接球即該長方體的外接球，易得外接球的半徑R＝eq\f(1,2)PA＝1，所以該三棱錐的外接球的體積V＝eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4,3)π.答案：eq\f(4,3)π8．四棱錐P－ABCD的底面是邊長為4eq\r(2)的正方形，側棱長都等于4eq\r(5)，則經過該棱錐五個頂點的球面面積為________．解析：如圖，連接BD，作PH⊥BD，交BD于點H，由題意，得該四棱錐的外接球的球心在四棱錐的高線上，設為點O，連接BO，設外接球半徑為R.在Rt△PBH中，PB＝4eq\r(5)，BH＝4，則PH＝eq\r(（4\r(5)）2－42)＝8；在Rt△OBH中，R2－(8－R)2＝16，解得R＝5，則其外接球的球面面積為S＝4πR2＝100π.答案：100π9．一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為________．解析：設等邊三角形的邊長為2a則V圓錐＝eq\f(1,3)·πa2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3；又R2＝a2＋(eq\r(3)a－R)2，所以R＝eq\f(2\r(3),3)a，故V球＝eq\f(4π,3)·(eq\f(2\r(3),3)a)3＝eq\f(32\r(3)π,27)a3，則其體積比為eq\f(9,32).答案：eq\f(9,32).10．如圖，已知幾何體的三視圖(單位：cm)．(1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個幾何體的表面積及體積．解：(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示．(2)這個幾何體可看成是由正方體AC1及直三棱柱B1C1Q—A1D1P由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的表面積S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝22＋4eq\r(2)(cm2)．所求幾何體的體積V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．實力提升練(時間：15分鐘)11．如圖，一直立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P動身，繞圓錐爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為4eq\r(3)，則這個圓錐的體積為()(A)eq\f(\r(15)π,3) (B)eq\f(32\r(35)π,27)(C)eq\f(128\r(2)π,81) (D)eq\f(8\r(3)π,3)C解析：作出該圓錐的側面綻開圖，如圖中陰影部分所示，該小蟲爬行的最短路程為PP′，∵OP＝OP′＝4，PP′＝4eq\r(3)，由余弦定理可得cos∠P′OP＝eq\f(OP2＋OP′2－PP′2,2OP·OP′)＝－eq\f(1,2)，∴∠P′OP＝eq\f(2π,3).設底面圓的半徑為r，圓錐的高為h，則有2πr＝eq\f(2π,3)×4，∴r＝eq\f(4,3)，h＝eq\r(l2－r2)＝eq\f(8\r(2),3)，∴圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(128\r(2)π,81).故選C.12．(2024長春三模)已知邊長為2的等邊三角形ABC，D為BC的中點，以AD為折痕，將△ABC折起，使∠BDC＝90°，則過A，B，C，D四點的球的表面積為()(A)3π (B)4π(C)5π (D)6πC解析：折后的圖形可放出一個長方體中，其體對角線長為eq\r(1＋1＋3)＝eq\r(5)，故其外接球的半徑為eq\f(\r(5),2)，其表面積為5π.故選：C.13．(改編題)如圖，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA＝AB＝BC＝1，則三棱錐P－ABC的外接球的體積為________．解析：將此三棱錐補成一個正方體如圖，可知三棱錐P－ABC的外接球是正方體的外接球．由PA＝AB＝BC＝1，可知補得的正方體棱長為1，則此正方體的外接球直徑為eq\r(3)，所以外接球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),2)π.答案：eq\f(\r(3),2)π14．(原創題)如圖為棱長等于2的正方體，P，Q分別為棱B1C1，A1B上的點，且A1Q＝m，C1P＝n(m，n∈[0，2])，則三棱錐D1－QCP的體積VD1－QCP解析：由正方體的結構特征，可得截面A1BCD1是一個矩形，其中CD1＝2eq\r(2)，BC＝2.在矩形A1BCD1中，S△QCD1＝eq\f(1,2)×CD1×BC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2＝2eq\r(2).又B1C1∥平面A1BCD1，故直線B1C1上的全部點到平面A1BCD1而點B1到平面A1BCD1的距離h＝eq\f(1,2)AB1＝eq\r(2)，所以點P到平面A1BCD1的距離也是eq\r(2).所以VP－QCD1＝eq\f(1,3)×S△QCD1×h＝eq\f(4,3)，即三棱錐D1－QCP的體積VD1－QCP＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)15．(2024六安一中)三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝eq\r(15)，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，則該三棱錐的外接球表面積為________．解析：在△ABC中，cosB＝eq\f(15＋15－36,2×\r(15)×\r(15))＝eq\f(－6,30)＝eq\f(1,5)，B為鈍角，sinB＝eq\r(1－\f(1,25))＝eq\f(2\r(6),5)，△ABC的外接圓半徑R＝eq\f(b,2sinB)＝eq\f(6,\f(4\r(6),5))＝eq\f(5\r(6),4)，eq\f(PC,2)＝1，該三棱錐的外接球的半徑為OC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(6),4)))\s\up12(2)＋1)＝eq\f(\r(166),4)，球的表面積4π×eq\f(166,16)＝eq\f(166,4)π＝eq\f(83,2)π.答案：eq\f(83,2)π16．(2024合肥二模)已知四棱錐P－ABCD的側棱長都相等，且底面是邊長為3eq\r(2)的正方形，它的五個頂點都在直徑為10的球面上，則四棱錐P－ABCD的體積為________．解析：由題意