PAGEPAGE1第1講隨機事務的概率1．把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發給甲、乙、丙、丁四個人，每人分得1張，事務“甲分得紅牌”與事務“乙分得紅牌”是()A．對立事務 B.不行能事務C．互斥事務但不是對立事務 D．以上答案都不對解析：選C.由互斥事務和對立事務的概念可推斷，應選C.2．設事務A，B，已知P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(A∪B)＝eq\f(8,15)，則A，B之間的關系肯定為()A．兩個隨意事務 B.互斥事務C．非互斥事務 D．對立事務解析：選B.因為P(A)＋P(B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＝eq\f(8,15)＝P(A∪B)，所以A，B之間的關系肯定為互斥事務．故選B.3．某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產狀況下，出現乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽檢一件是正品(甲級)的概率為()A．0.95 B.0.97C．0.92 D．0.08解析：選C.記抽檢的產品是甲級品為事務A，是乙級品為事務B，是丙級品為事務C，這三個事務彼此互斥，因而所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.4．從3個紅球、2個白球中隨機取出2個球，則取出的2個球不全是紅球的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(7,10) D．eq\f(3,5)解析：選C.“取出的2個球全是紅球”記為事務A，則P(A)＝eq\f(3,10).因為“取出的2個球不全是紅球”為事務A的對立事務，所以其概率為P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).5．已知100件產品中有5件次品，從這100件產品中隨意取出3件，設E表示事務“3件產品全不是次品”，F表示事務“3件產品全是次品”，G表示事務“3件產品中至少有1件是次品”，則下列結論正確的是()A．F與G互斥 B.E與G互斥但不對立C．E，F，G隨意兩個事務均互斥 D．E與G對立解析：選D.由題意得事務E與事務F不行能同時發生，是互斥事務；事務E與事務G不行能同時發生，是互斥事務；當事務F發生時，事務G肯定發生，所以事務F與事務G不是互斥事務，故A、C錯．事務E與事務G中必有一個發生，所以事務E與事務G對立，所以B錯誤，D正確．6．從一籃子雞蛋中任取1個，假如其重量小于30克的概率為0.3，重量在[30，40]克的概率為0.5，那么重量大于40克的概率為________．解析：由互斥事務概率加法公式知，重量大于40克的概率為1－0.3－0.5＝0.2.答案：0.27．某城市2024年的空氣質量狀況如下表所示：污染指數T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數T≤50時，空氣質量為優；50＜T≤100時，空氣質量為良；100＜T≤150時，空氣質量為稍微污染，則該城市2024年空氣質量達到良或優的概率為________．解析：由題意可知2024年空氣質量達到良或優的概率為P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)8．口袋內裝有一些除顏色不同之外其他均相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若紅球有21個，則黑球有________個．解析：摸到黑球的概率為1－0.42－0.28＝0.3.設黑球有n個，則eq\f(0.42,21)＝eq\f(0.3,n)，故n＝15.答案：159．某商店試銷某種商品20天，獲得如下數據：日銷售量(件)0123頻數1595試銷結束后(假設該商品的日銷售量的分布規律不變)，設某天起先營業時有該商品3件，當天營業結束后檢查存貨，若發覺存貨少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率．求當天商店不進貨的概率．解：P(當天商店不進貨)＝P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為1件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).故當天不進貨的概率為eq\f(3,10).10．某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的狀況，整理成如下統計表，其中“√”表示購買，“”表示未購買．商品顧客人數甲乙丙丁100√√√217√√200√√√300√√85√98√(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率；(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；(3)假如顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？解：(1)從統計表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為eq\f(200,1000)＝0.2.(2)從統計表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)與(1)同理，可得：顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為eq\f(200,1000)＝0.2，顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為eq\f(100,1000)＝0.1，所以，假如顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大．1．從某校高二年級的全部學生中，隨機抽取20人，測得他們的身高(單位：cm)分別為：162，153，148，154，165，168，172，171，173，150，151，152，160，165，164，179，149，158，159，175.依據樣本頻率分布估計總體分布的原理，在該校高二年級的全部學生中任抽一人，估計該生的身高在155.5～170.5cm之間的概率約為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．eq\f(1,3)解析：選A.從已知數據可以看出，在隨機抽取的這20位學生中，身高在155.5～170.5cm之間的學生有8人，頻率為eq\f(2,5)，故可估計在該校高二年級的全部學生中任抽一人，其身高在155.5～170.5cm之間的概率約為eq\f(2,5).2．已知某臺紡紗機在1小時內發生0次、1次、2次斷頭的概率分別是0.8、0.12、0.05，則這臺紡紗機在1小時內斷頭不超過兩次的概率和斷頭超過兩次的概率分別為________，________．解析：斷頭不超過兩次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，斷頭超過兩次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.答案：0.970.033．一篇關于“鍵盤俠”的時評引發了大家對“鍵盤俠”的熱議(“鍵盤俠”一詞描述了部分網民在現實生活中膽小怕事、自私自利，卻習慣在網絡上大放厥詞的一種現象)．某地新聞欄目對該地區群眾對“鍵盤俠”的認可程度進行調查：在隨機抽取的50人中，有14人持認可看法，其余持反對看法，若該地區有9600人，則可估計該地區對“鍵盤俠”持反對看法的有________人．解析：在隨機抽取的50人中，持反對看法的頻率為1－eq\f(14,50)＝eq\f(18,25)，所以可估計該地區對“鍵盤俠”持反對看法的有9600×eq\f(18,25)＝6912(人)．答案：69124．現有10個數，它們能構成一個以1為首項，－3為公比的等比數列，若從這10個數中隨機抽取一個數，則它小于8的概率是________．解析：由題意得an＝(－3)n－1，易知前10項中奇數項為正，偶數項為負，所以小于8的項為第一項和偶數項，共6項，即6個數，所以P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)5．如圖，從A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調查，調查結果如下：所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數612181212選擇L2的人數0416164(1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率；(3)現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑．解：(1)由已知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用頻率估計相應的概率為44÷100＝0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調查結果得頻率為所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(3)設A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，因為P(A1)＞P(A2)，所以甲應選擇L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，因為P(B1)＜P(B2)，所以乙應選擇L2.6．某保險公司利用簡潔隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣調查，樣本車輛中每輛車的賠付結果統計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．解：(1)設A表示事務“賠付金額為3000元”，B表示事務“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠