2024-2025學年第二學期三月月考高二數學本試卷共150分；考試時間120分鐘注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名?班級?考號等信息．2．請將答案正確填寫在答題卡上．一?單選題（每小題5分，共40分）1.每天從甲地到乙地的飛機有5班，高鐵有10趟，動車有6趟，公共汽車有12班.某人某天從甲地前往乙地，則其出行方案共有（）A.22種 B.33種 C.300種 D.3600種【答案】B【解析】【分析】利用分類加法計數原理計算即得.【詳解】從甲地到乙地不同的方案數為.故選：B.2.一個三層書架，分別放置語文類讀物7本，政治類讀物8本，英語類讀物9本，每本圖書各不相同，從每層各取出1本，則不同的取法共有（）A.504種 B.304種 C.24種 D.12種【答案】A【解析】【分析】由分步乘法計數原理求解即可.【詳解】根據分步乘法計數原理，不同的取法共有種.故選：A.3.的展開式中，含的項的系數是（）A. B.5 C.15 D.35【答案】C【解析】【分析】根據二項式定理求解.【詳解】由二項式定理：，令，得，所以項的系數為；故選：C.4.“基礎學科拔尖學生培養試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應“錢學森之問”而推出的一項人才培養計劃，旨在培養中國自己的學術大師．已知浙江大學、復旦大學、武漢大學、中山大學均有開設數學學科拔尖學生培養基地，某班級有5位同學從中任選一所學校作為奮斗目標，則每所學校至少有一位同學選擇的不同方法數共有（）A.120種 B.180種 C.240種 D.300種【答案】C【解析】【分析】按照分組分配的方法，列式求解.【詳解】將5位同學分為2，1，1，1的分組，再分配到4所學校，共有種方法.故選：C5.設隨機變量的概率分布列為：X1234Pm則（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據對立事件的概率公式求解即可.【詳解】依題意，，即事件的對立事件是的事件，所以.故選：C6.某地病毒暴發，全省支援，需要從我市某醫院某科室的4名男醫生（含一名主任醫師）?5名女醫生（含一名主任醫師）中分別選派3名男醫生和2名女醫生，則在有主任醫師被選派的條件下，兩名主任醫師都被選派的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出有一名主任醫生被選派以及兩名主任醫師都被選派概率，根據條件概率的計算公式即可求得答案.【詳解】記“選派3名男醫生和2名女醫生，有主任醫生被選派”為事件A，則，記“選派3名男醫生和2名女醫生，兩名主任醫師都被選派”為事件B,則，故選：D7.的展開式中含項的系數為（）A.20 B.-20 C.30 D.-30【答案】C【解析】【分析】利用二項展開式結合多項式乘法可求項的系數.【詳解】，又的二項展開式的通項公式為，故的二項展開式中、的系數為0，的系數為，故展開式中含項的系數為，故選：C.8.“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數在三角形數表中的一種幾何排列規律，如圖所示，則下列關于“楊輝三角”的結論錯誤的是（）A.第6行的第7個數、第7行的第7個數及第8行的第7個數之和等于第9行的第8個數B.第2023行中第1012個數和第1013個數相等C.記“楊輝三角”第行的第個數為，則D.第34行中第15個數與第16個數之比為【答案】D【解析】【分析】根據二項式定理和二項式系數的性質判斷各選項的對錯.【詳解】第6行的第7個數為1，第7行的第7個數為7，第8行的第7個數為28，它們之和等于36，第9行的第8個數是，A正確；第行是二項式的展開式的系數，故第行中第個數為，第個數為，又，B正確；“楊輝三角”第行是二項式的展開式的系數，所以，，C正確；第34行是二項式的展開式的系數，所以第15個數與第16個數之比為，D不正確.故選：D.二?多選題（每小題6分，共18分）9.（多選）下列隨機變量中屬于離散型隨機變量的是（）A.高速公路上某收費站在半小時內經過的車輛數XB.測量一個年級所有學生的體重，在范圍內的體重記為XC.測量全校所有同學的身高，在范圍內的人數記為XD.某電子元件的壽命X【答案】AC【解析】【分析】根據離散型隨機事件的定義判斷即可.【詳解】半小時內經過的車輛數可以一一列舉出來，是離散型隨機變量，選項A正確；體重無法一一列舉，選項B不正確；人數可以列舉，選項C正確；某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，選項D不正確．故選:AC．10.設離散型隨機變量的分布列如下表：123450.10.20.3若離散型隨機變量，且，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先由可得，再由概率和為1得，從而可求出的值，再利用期望和方差公式求，即可，從而可得答案【詳解】由得，又由得，從而得，，故A選項錯誤，B選項正確；，故C選項正確；因為，所以，故D選項錯誤，故選：BC．11.泊松分布是一種離散型概率分布，常用于描述單位時間（或空間）內隨機事件發生的次數，其概率分布列為，其中為自然對數的底數，是泊松分布的均值.當二項分布的很大而很小時，泊松分布可作為二項分布的近似，且取二項分布的期望.假設每個大腸桿菌基因組含有10000個核苷酸對，采用紫外線照射大腸桿菌時，每個核苷酸對產生嘧啶二體的概率均為0.0005，設大腸桿菌的基因組產生的嘧啶二體個數為表示經該種紫外線照射后產生個嘧啶二體的概率.已知近似服從泊松分布，當產生的嘧啶二體個數不小于1時，大腸桿菌就會死亡，則下列說法正確的有（）A.B.C.大腸桿菌經該種紫外線照射后，存活的概率為D.經該種紫外線照射后產生10個嘧啶二體的概率最大【答案】AC【解析】【分析】對于A：利用二項分布的期望公式即可求得；對于B：利用對立事件的概率即可求得結果；對于C：將代入公式即可；對于D：利用作差法即可求出概率最大值時的k值【詳解】對于A，因為，所以此時泊松分布滿足二項分布的近似的條件，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，當時，，當時，；當時，；故當或5時取最大值，D錯誤.故選:AC.三?填空題（每小題5分，共15分）12.若，則正整數的值是___________.【答案】5或7【解析】【分析】根據組合數的性質可得或，進而可求出結果.【詳解】因為，所以或，解得7或5，故答案為：7或5.13.展開式中含項的系數為______．【答案】－60【解析】【分析】根據二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】，設該二項式的通項公式為，因為的次數為，所以令，二項式的通項公式為，令，所以項的系數為，故答案為：14.若隨機變量X服從二項分布，則使取得最大值時，______．【答案】3或4【解析】【分析】先求得的表達式，利用列不等式組的方法來求得使取得最大值時的值.【詳解】依題意，依題意，，，，所以、不是的最大項，當時，由，整理得，即，整理得，，所以當為3或4時，取得最大值.故答案為：3或4四?解答題（共77分）15.計算（1）；（2）.【答案】（1）（2）148【解析】【分析】（1）借助排列數的定義計算即可得；（2）借助組合數的定義計算即可得.【小問1詳解】；【小問2詳解】.16.已知二項式的展開式中共有10項．（1）求展開式的第5項的二項式系數；（2）求展開式中含的項．【答案】（1）126（2）【解析】【分析】（1）根據項數可求得，根據二項式系數與項數之間關系列出等式，解出即可；（2）由（1）中的，求出通項，使的冪次為4，求出含的項即可.【小問1詳解】解：因為二項式的展開式中共有10項，所以，所以第5項的二項式系數為；【小問2詳解】由（1）知，記含的項為第項，所以，取，解得，所以，故展開式中含的項為.17.一個闖關游戲共三關，游戲規則：闖過第一關才能進入第二關，闖過第二關才能進入第三關，闖過三關或闖關失敗則游戲結束且各關闖關是否成功是相互獨立的．小明玩這個游戲，他能過一、二、三關的概率分別是，和.（1）求小明闖到第三關的概率.（2）記游戲結束時小明闖關成功次數為隨機變量，求的分布列及數學期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）依題意當小明第一、二關闖關成功時能夠闖到第三關，根據相互獨立事件的概率公式計算可得；（2）依題意的可能取值為、、、，求出所對應的概率，即可得到分布列與數學期望.【小問1詳解】依題意小明闖到第三關即第一、二關均闖關成功，故概率；【小問2詳解】依題意的可能取值為、、、，則，，，，所以的分布列為：所以.18.從某批產品中，有放回地抽取產品兩次，每次隨機抽取1件，假設事件A：“取出的2件產品中至多有1件是二等品”，其概率P(A)=0.96.(1)求從該批產品中任取1件是二等品的概率p.(2)若該批產品共100件，從中無放回抽取2件產品，ξ表示取出的2件產品中二等品的件數.求ξ的分布列.【答案】（1）0.2.（2）見解析【解析】【詳解】試題分析：（1）分析題意可知事件A可分為兩種情況：“取出的2件產品中無二等品”，“取出的2件產品中恰有1件二等品”，然后列式求解即可（2）無放回抽取可得此問題為超幾何分布，先寫出ξ的可能取值為0,1,2,然后對應寫出概率列出分布列即可試題解析：解：(1)記A0表示事件“取出的2件產品中無二等品”，A1表示事件“取出的2件產品中恰有1件二等品”，則A0，A1互斥，且A=A0∪A1，故P(A)=P(A0∪A1)=P(A0)+P(A1)=(1-p)2+p(1-p)=1-p2,即0.96=1-p2.解得p1=0.2p2=-0.2(舍去).故從該批產品中任取1件是二等品的概率為0.2.(2)ξ的可能取值為0,1,2,該批產品共100件，由(1)知其二等品有100×0.2=20(件)，故，，.所以ξ的分布列為ξ012P點睛：熟練超幾何分布，根據題意寫出對應概率為解本題關鍵19.甲、乙兩人為了提升籃球的競技水平，進行投籃比賽.已知甲和乙每次進球的概率分別是和，且每人每次進球與否互不影響.制定比賽規則如下：一輪比賽，甲、乙雙方需各投籃3次.一輪比賽結束后，當一方的進球數比另一方的進球數至少多2個時，則該方獲勝并得1分，另一方不得分.其他情況，雙方均不得分.（1）若，（i）假設甲、乙兩人各投籃一次，求至少有一人進球的概率；（ii）求在一輪比賽結束后，乙獲得1分的概率.（2）若，問至少進行多少輪比賽后，乙累計得分的期望值達到3分？【答案】（1）（i）；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）根據條件，利用相互獨立事件和對立事件的概率公式，即可求出結果；（ii）記事件：甲進球個，乙進球個或個，事件：甲進球個，乙進球個，分別求出事件和事件的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可求出結果；（2）根據條件求出一輪比賽結束后，乙獲得1分的概率，設輪比賽后，乙累計得分為，則，再根據條件，即可求出結果.【小問1詳解】（i）因為甲和乙每次進球的概率分別是和，所以甲、乙兩人各投籃一次，至少有一人進球的概率為.（ii）由題知甲進球個，乙進球個或個