2024-2025學年輔仁高級中學3月月考高二數學試卷（導函數、排列組合、二項式定理）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第Ⅰ卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）．1.如果函數在處的導數為1，那么（）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用導數的定義求解.【詳解】因為，所以，所以．故選：A．2.函數的圖象在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導，代入得切線斜率，利用點斜式，寫出切線方程.【詳解】依題意，，因為，所以，所以切線方程為，即，故選：D.3.曲線在點處切線的斜率為，則的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助導數的幾何意義計算即可得.【詳解】，令，則，故，當時，，即的坐標為.故選：B.4.已知的展開式中第2項，第3項，第4項的二項式系數成等差數列，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】寫出二項式系數再利用等差中項建立方程，求解即得.【詳解】已知的展開式中第2項，第3項，第4項的二項式系數為，依題意成等差數列，故，得到：，化簡得，即：，解得：或（舍去）故選：C5.某醫院安排1名醫生和7名護士某周一至周五去“定點幫扶”醫院開展幫扶工作，每天安排2人，其中醫生需要去三天，每名護士需要去一天，則不同的安排方法種數為（）A6300 B.12600 C.25200 D.50400【答案】B【解析】【分析】先將7名護士分組，每組人數分別為，再安排醫生并進行全排列即可.【詳解】題意將7名護士分成5個小組，每組人數分別為，共有種安排方法，則醫生被安排到只有1名護士的組別，故不同的安排方法共有（種），故選：B．6.若函數有個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對，，三種情況分類討論，即可得到的取值范圍.【詳解】設，則對有，對有.所以在上遞增，在上遞減，這表明，且等號成立當且僅當.①當時，對有，故至多有一個零點，不滿足條件；②當時，取充分小的正數，使得，，；再取充分大的正數，使得，，，則，且，，，.從而根據零點存在定理，可知有個零點，滿足條件；③當時，由于當時，單調遞減，故在的范圍內至多有一個零點.而當時，有，且若，則必有，即.所以在的范圍內至多有一個零點.二者結合，可知至多有兩個零點，不滿足條件綜合①②③，可知的取值范圍是.故選：C.7.已知函數在上存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意可知在上有解，整理可得，構建，利用導數求最值即可得結果.【詳解】由題意可知：，因為函數在上存在單調遞減區間，則在上有解，可得，所以．令，則，顯然，可知函數單調遞增，則，即，所以實數的取值范圍是.故選：C．8.已知定義在R上的函數滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構造函數，利用導函數判斷函數的單調性，然后利用函數單調性即可得【詳解】令，又則，因此函數是增函數，于是得，即，所以，即，故選：B二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)．9.關于的展開式，下列結論正確的是（）A.展開式共有7項 B.每一項中的指數都是偶數C.各項系數的和為64 D.常數項為540【答案】ABC【解析】【分析】根據二項式展開式的特征即可求解A，根據通項的特征即可求解BD，利用賦值即可求解C.【詳解】對于A,根據，即可得展開式共有7項，故A正確，對于B，的展開式的通項為，由于為偶數，因此每一項中的指數都是偶數，故B正確，對于C,令，則系數和為，故C正確，對于D，令，故，故常數項為，故D錯誤，故選：ABC10.（多選）已知，則下列說法正確的是（）A.展開式中所有項的二項式系數和為B.展開式中所有偶次項系數和為C.展開式中所有奇次項系數和為D.【答案】ABD【解析】【分析】根據給定條件，利用二項式定理及性質，結合賦值法逐項分析、計算判斷作答.【詳解】對于A，二項式系數和為，故A正確；對于B，令，得，①令，得，②①②，可得，，故B正確；對于C，①②，得，，故C錯誤；對于D，令，得，令，得.，故D正確.故選：ABD.11.過點有三條直線和曲線相切，則實數的可能取值是（）A.0 B.3 C.6 D.4【答案】BCD【解析】【分析】設切點為，利用導數幾何意義得切線方程為，根據切點在曲線及切線上得，問題化為有三個不同的零點，再應用導數研究其單調性、極值，進而求參數范圍.【詳解】設切點為，又，則切線斜率，所以切線方程為，又，則，所以中有3個不同解，進而有有三個不同零點，而，令或，顯然，否則至多有兩個不同零點，當時，或時，即在和上單調遞增；時，即在上單調遞減；又極大值，故此時至多有一個零點；當時，或時，即在和上單調遞增；時，即在上單調遞減；又極大值，極小值，此時滿足要求，所以，綜上，A不可能，B、C、D都有可能.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：問題化為有三個不同的零點為關鍵.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.現有某類病毒記作，其中正整數，（，）可以任意選取，則不同的選取種數為______，，都取到奇數的概率為______．【答案】①.63②.【解析】【分析】利用分步乘法計數原理得到有可能的取值個數，并得到，都取到奇數的情況數，得到概率.【詳解】因為正整數，滿足，，所以有可能的取值有（種），其中，都取到奇數，可從中選取，可從中選取，故情況有（種），因此所求概率為．故答案為：63，13.已知曲線，則曲線的切線中斜率最小的直線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為_________.【答案】##【解析】【分析】利用導數的幾何意義結合基本不等式可求得的切線斜率的斜率的最小值，利用等號成立的條件求出切點坐標，可得出切線方程，即可求出該切線在兩坐標軸上的截距，結合三角形的面積公式可求得結果.【詳解】對函數求導得，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以，故，當且僅當時取等號.所以當時，曲線的切線斜率取得最小值，此時切點的坐標為，切線的方程為，即.該切線在軸上的截距為，在軸上的截距為，所以該切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積.故答案為：.14.已知函數，其中存在三個零點，且，給出下列4個結論：①；②；③的取值范圍為；④若成等差數列，則；則所有正確的結論的序號為__________.【答案】①②④【解析】【分析】將轉化為，再根據圖象，對每個選項逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】由得，即，即，令，則為直線a和函數圖象的交點的橫坐標；的定義域為，且，故為奇函數；又當時，，，故當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；故在時取得極大值，且，，作的圖象如下所示：對①②：數形結合可知，，故，故①正確，②正確；對③：若使得與有個交點，則，解得，故③錯誤；對④：若成等差數列，則，即，即，即，又，，則，即，，也即，又，故，故④正確；故答案為：①②④【點睛】關鍵點點睛：處理本題的關鍵一是能夠將函數的零點轉化為圖象交點的橫坐標，從而數形結合解決問題；二是能夠熟練應用導數處理函數單調性和最值的問題；屬綜合困難題.四、解答題（本題共6小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.有6本不同的書，6本不同的書分成三組，每組都是2本，有多少種不同的分法？【答案】【解析】【分析】這是平均分組問題，列舉，，是一種分法，所以求出組合數除以即可.【詳解】先分三組，有種分法，但是這里面出現了重復，不妨記六本書為，若第一組取了，，第二組取了，第三組取了，則該種方法記為，但種分法中還有，，共種情況，而這種情況只能作為一種分法，故分配方式有（種）．16.偶函數f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的圖象過點P(0，1)，且在x＝1處的切線方程為y＝x－2，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝x4－x2＋1【解析】【分析】將點P(0，1)代入求出e＝1，再根據函數為偶函數，可得f(－x)＝f(x)，求出b＝0，d＝0，再利用導數幾何意義可得4a＋2c＝1且a＋c＋1＝－1，解方程即可求解.【詳解】∵f(x)的圖象過點P(0，1)，∴e＝1．又∵f(x)為偶函數，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e．∴b＝0，d＝0．∴f(x)＝ax4＋cx2＋1．∵函數f(x)在x＝1處的切線方程為y＝x－2，∴切點坐標為(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1．∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1．∴a＝，c＝－．∴函數f(x)的解析式為f(x)＝x4－x2＋1．17.已知函數（，是自然對數的底數，）．（1）當時，求函數的極值；（2）若函數在區間上單調遞減，求實數的取值范圍；【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）當時，求得，得出函數的單調性，進而求得其極值，得到答案；（2）求得，令，根據題意，轉化為在上恒成立，結合二次函數的性質，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：當時，函數，可得令，解得，，所以，與的關系如下：單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以當時，函數取得極大值，即，當時，函數取得極小值，即.【小問2詳解】解：因為，所以，令，則，因為函數在區間上單調遞減，可得在上恒成立，令，則，解得，所以實數的取值范圍為.18.已知函數.（1）求曲線的斜率為1的切線方程；（2）當時，求證：.【答案】（1）和.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，根據求解切點，即可根據點斜式求解直線方程，（2）構造函數，利用導數求解函數的單調性，即可根據最值求證.【小問1詳解】由，得.令，即，得或.又，，所以曲線的斜率為1的切線方程是與，即和.小問2詳解】令，.由，得.令，得或.當時，，的變化情況如下表：04＋－＋遞增0遞減遞增0所以的最小值為，最大值為0，故，即.19.已知函數.（1）當時，有兩個零點，求的取值范圍；（2）若是的極小值點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導，確定函數的單調性，可知，分類討論和，結合零點存在性定理即可得出答案.（2）求導，結合分類討論，求解函數的單調性，結合極值的定義，即可求解.【小問1詳解】,令，當時，在上單調遞減，又因為，當時，，，當時，，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，，①若，即，則，至多有一個零點，不合題意；②若，即，因為當趨于負無窮時，趨于負無窮，所以在上有一個零點，,又在上單調遞減，，所以由零點存在性定理知，所以在上有一個零點，所以在上有兩個零點，符合題意.綜上：.【小問2詳解】因為，，在上單調遞增，，①當時，，存在，使得時，，當時，，，當時，，，故在上單調遞增，在上單調遞減，所以是的極大值點，不合題意；②當時，，存在，使得時，，當時，，，當時，，，故在上單調遞減，在上單調遞增，所以是的極小值點，符合題意；③當時，，，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，