2024-2025學年度第二學期第一次校際聯考高二數學試卷考生須知：1.考生必須在答題卡上作答，否則成績無效.選擇題的答題卡上對應題目的標號上，非選擇題的答案寫在答題卡指定區域內.2.考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡內.3.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.一?單選題：（本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知甲部門有員工4人，乙部門有員工5人，丙部門有員工6人，現從這三個部門的員工中任選1人參加接待客戶的活動，不同的選法種數為（）A.120 B.15 C.25 D.90【答案】B【解析】【分析】根據分類加法計數原理可得答案.【詳解】根據分類加法計數原理可知，不同的選法種數為.故選：B.2.在等比數列中，，，則首項等于（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據等比數列基本量關系求解即可.【詳解】，，，.故選：C3.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化為標準方程：，根據準線方程的定義求解．【詳解】拋物線的方程為：，則其焦點坐標為：，準線方程為：．故選：D4.已知的一個極值點為2，則實數（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】求導，令，利用只有一個極值點，可得，求解即可.【詳解】，令0，得或，又的一個極值點為2，則，解得，經檢驗滿足題意.故選：B.5.已知函數的圖象在點處的切線方程為，則（）A.8 B.3 C.4 D.-4【答案】C【解析】【分析】根據題意結合導數的幾何意義分析求解即可.【詳解】因為切線方程為，可知當時，，且切線斜率為3，即，，所以.故選：C.6.已知函數的圖象如圖所示，函數的導數為，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結合圖象以及導數的知識求得正確答案.【詳解】由圖象可知，即.故選：D7.如圖，湖北省分別與湖南?安徽?陜西?江西四省交界，且湘?皖?陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數為（）A.540 B.600 C.660 D.720【答案】D【解析】【分析】由分步乘法計數原理按步驟去涂色即可.【詳解】第一步涂陜西有5種選擇，第二步涂湖北有4種選擇，第三步涂安徽有4種選擇，第四步涂江西有3種選擇，第五步涂湖南有3種選擇,即共有種涂色方案.故選：D8.有四對雙胞胎共8人，從中隨機選出4人，則其中恰有一對雙胞胎的選法種數為（）A.40 B.48 C.52 D.60【答案】B【解析】【分析】由題意，根據分步乘法原理，可得答案.【詳解】先從四對雙胞胎中選出一對，有種選擇；然后從剩下的六個人中選出兩個人，且不能是同一對雙胞胎，這相當于從三對雙胞胎中選出兩對，再從每對中選出一個人，共有種選擇.根據乘法原理，總共有種選法.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，成等比數列，則的值可以是（）A.0 B.1 C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據等比中項建立等式求解即可．【詳解】根據題意可知：，所以，故選：BD．10.某校的高一和高二年級各10個班級，從中選出五個班級參加活動，下列結論正確的是（）A.高二六班一定參加的選法有種B.高一年級恰有2個班級的選法有種C.高一年級最多有2個班級的選法為種D.高一年級最多有2個班級的選法為種【答案】BCD【解析】【分析】對于AB根據組合知識即可驗證，對于CD先用組合知識求出從兩個年級中選出五個班級參加活動共有種，再根據分類加法原則得出從兩個年級中選出五個班級參加活動共有種，兩者相等得出，再得出高一年級最多有2個班級的選法即可驗證.【詳解】對于A：高二六班一定參加的選法有種，故A錯誤；對于B：高一年級恰有2個班級的選法有種，故B正確；對于C與D：從兩個年級中選出五個班級參加活動共有種，其中若高一年級0個，高二年級5個，有種，其中若高一年級1個，高二年級4個，有種，其中若高一年級2個，高二年級3個，有種，其中若高一年級3個，高二年級2個，有種，其中若高一年級4個，高二年級1個，有種，其中若高一年級5個，高二年級0個，有種，則，則，而高一年級最多有2個班級的選法為種，故C與D都正確；故選：BCD11.設函數，則（）A.是的極小值點 B.當時，C.當時， D.當時，【答案】ACD【解析】【分析】求出函數的導數，得到極值點，即可判斷A；利用函數的單調性可判斷B；根據函數在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳解】對A，因為函數的定義域為R，而，易知當時，，當或時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，故是函數的極小值點，正確；對B，當時，，所以，而由上可知，函數在上單調遞增，所以，錯誤；對C，當時，，而由上可知，函數在上單調遞減，所以，即，正確；對D，當時，，所以，正確；故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓C：的離心率為，則橢圓的短軸長為_____.【答案】【解析】【分析】根據橢圓的離心率公式可得，求得，進而可求解.【詳解】根據題意可得離心率，解得，所以橢圓的短軸長為.故答案為：.13.曲線在點處的切線的斜率為，則________．【答案】【解析】【分析】求導，利用導數的幾何意義計算即可．【詳解】解：則所以故答案為-3.【點睛】本題主要考查導數的計算和導數的幾何意義，屬于基礎題．14.有位大學生要分配到三個單位實習，每位學生只能到一個單位實習，每個單位至少要接收一位學生實習，已知這位學生中的甲同學分配在單位實習，則這位學生實習的不同分配方案有__________種．（用數字作答）【答案】【解析】【分析】根據特殊元素進行分類計數，具體分類下是不相同元素分配問題，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以順序.【詳解】根據特殊元素“甲同學”分類討論，當單位只有甲時，其余四人分配到，不同分配方案有種；當單位不只有甲時，其余四人分配到，不同分配方案有種；合計有種不同分配方案，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數，且.（1）求的解析式；（2）求曲線在處的切線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求導數，根據可求，進而可得答案；（2）先求導數得到切線斜率，再求出切點，利用點斜式可求切線方程.【小問1詳解】因為，且，所以，解得，所以函數的解析式為.【小問2詳解】由（1）可知，；又，所以曲線在處的切線方程為，即.16.甲乙丙丁戊五個同學（1）排成一排，共有多少種不同的排列方法？（2）排成一排，甲乙不相鄰，共有多少種不同排列方法？（3）排成一排，甲乙相鄰，共有多少種不同排列方法？（4）去三個城市游覽，每人只能去一個城市，可以有城市沒人去，共有多少種不同游覽方法？（5）分配到三個城市參加活動，每個城市至少去一人，共有多少種不同分配方法？【答案】（1）120（2）72（3）48（4）243（5）150【解析】【分析】（1）根據全排列公式求解即可；（2）根據給定條件，利用不相鄰問題插空法列式計算即得；（3）利用捆綁法求解即可；（4）根據給定條件，利用分步乘法計數原理列式計算即得.（5）把5人按或分組，再把每一種分組方法安排到三個城市即可得解.【小問1詳解】甲乙丙丁戊五個同學排成一排，共有種不同的排列方法；小問2詳解】甲乙丙丁戊排成一排，甲乙不相鄰，先將丙丁戊排成一列有種方法，再將甲乙插空隙中，有種方法，所以共有不同排法數為（種）【小問3詳解】甲乙丙丁戊排成一排，甲乙相鄰，先將甲乙排在一起，有種排法，再與其他同學全排列有種排法，共有種排法；【小問4詳解】去三個城市游覽，每人只能去一個城市，可以有城市沒人去，因此每個人都有3種選擇，所以不同游覽方法有（種）.【小問5詳解】分配到三個城市參加活動，每個城市至少去一人，則先把5人按分組，有種分組方法，按分組，有種分組方法，因此不同分組方法數為，再把每一種分組安排到三個城市，有種方法，所以不同分配方法種數是.17.已知是各項均為正數的等比數列，.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)本題首先可以根據數列是等比數列將轉化為，轉化為，再然后將其帶入中，并根據數列是各項均為正數以及即可通過運算得出結果；(2)本題可以通過數列的通項公式以及對數的相關性質計算出數列的通項公式，再通過數列的通項公式得知數列是等差數列，最后通過等差數列求和公式即可得出結果．【詳解】(1)因為數列是各項均為正數的等比數列，，，所以令數列的公比為，，，所以，解得(舍去)或，所以數列是首項為、公比為的等比數列，．(2)因為，所以，，，所以數列是首項為、公差為的等差數列，．【點睛】本題考查數列相關性質，主要考查等差數列以及等比數列的通項公式的求法，考查等差數列求和公式的使用，考查化歸與轉化思想，考查計算能力，是簡單題．18.已知函數在處取得極小值5．（1）求實數a，b值；（2）當時，求函數的最小值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由題意得到，，求出，，檢驗后得到答案；（2）求導，得到函數單調性，進而得到極值和最值情況，得到答案.【小問1詳解】，因為在處取極小值5，所以，得，此時所以在上單調遞減，在上單調遞增所以在時取極小值，符合題意所以，．又，所以．【小問2詳解】，所以列表如下：0123

00

1↗極大值6↘極小值5↗10由于，故時，．19.已知函數．（1）求的單調區間；（2）當時，證明：當時，恒成立．【答案】（