第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個(gè)性化分層教輔學(xué)困生篇《空間向量及其運(yùn)算》一．選擇題（共10小題）1．（2024春?啟東市期中）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AA1→A．a(chǎn)→+b→+c→ B．2．（2023秋?濱海新區(qū)期末）已知三棱錐O﹣ABC，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且OA→=a→，OB→=b→，OC→=cA．12(b→+c→?a3．（2023秋?寶安區(qū)期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．零向量沒(méi)有方向 B．空間向量不可以平行移動(dòng) C．如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長(zhǎng)度不相等 D．同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量4．（2024春?西青區(qū)校級(jí)期末）已知a→=(2，2，1)，b→=(1，1，0)A．（1，1，0） B．（1，2，0） C．（2，2，0） D．（1，1，1）5．（2024春?印臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）已知空間向量a→=(1，0，3)，b→=(2，1，0)，A．0 B．1 C．2 D．36．（2024春?瀘州期末）已知空間向量a→=(1，2，0)，b→=(0，?1，1)，A．1 B．2 C．3 D．47．（2024春?湖北期末）空間向量a→=(1，0，1)在A．(12，0，12) B．(8．（2023秋?運(yùn)城期末）如圖，空間四邊形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，點(diǎn)M在線段A．?23a→C．12a→9．（2023秋?臨沂期末）已知AB→=(1，2，3)，CB→=(a，b，b+2)，若點(diǎn)A，B，A．1 B．2 C．3 D．410．（2024春?晉城期末）已知空間向量a→=(x，x?1，0)，b→=(0，1，1)，c＝（1，1，1），且a→，bA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024春?吉安月考）如圖，在長(zhǎng)方體中OABC﹣D′A′B′C′中，OA＝1，OC＝3，OD'＝2，點(diǎn)E在線段AO延長(zhǎng)線上，且OE=1A．OC→=（3，0，0） B．CB′C．EB′→=（32，3，2） D．EC（多選）12．（2024春?長(zhǎng)春期末）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD中，E為PC的中點(diǎn)，則（）A．PA→=PB→C．AB→+AD（多選）13．（2024春?晉城期末）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，且E為AB的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．DBB．BC1⊥DB1 C．直線CE與DB1夾角的余弦值為13D．點(diǎn)E到平面A1BC1的距離為3（多選）14．（2024春?連云區(qū)校級(jí)月考）下列選項(xiàng)中正確的是（）A．若存在實(shí)數(shù)x，y，使MP→=xMA→+yMB→，則點(diǎn)P，B．若p→與a→，b→共面，則存在實(shí)數(shù)xC．若向量a→、b→D．若a→、b→、c→是空間三個(gè)向量，則對(duì)空間任一向量p→（多選）15．（2024春?河南月考）設(shè)向量u→=(a，b，0)，v→=(c，d，1)，且a2+b2＝cA．向量v→與z軸正方向的夾角為定值（與c、d之值無(wú)關(guān)）B．u→?C．u→與v→夾角的最大值為D．a(chǎn)d﹣bc的最大值為3三．填空題（共5小題）16．（2023秋?萊蕪區(qū)校級(jí)月考）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1各條棱長(zhǎng)均為2，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∠BAD＝90°，則線段AC1的長(zhǎng)度為．17．（2024春?金牛區(qū)校級(jí)月考）已知向量AB→=(n，1，1)(n∈N?)在向量CD→=(12，5，0)上的投影向量的模為an，則a5＝，使an為整數(shù)的n的值按照從小到大的順序排列，得到的新數(shù)列的前18．（2024春?濱海新區(qū)校級(jí)期末）已知空間四點(diǎn)A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，則x的值為．19．（2024春?長(zhǎng)沙期末）已知向量a→=(?22，90，28)，b→=(11，?45，k)，若a→，b20．（2023秋?徐匯區(qū)期末）已知向量a→=(?m，1，3)，b→=(2，n，1)，若a→四．解答題（共5小題）21．（2023秋?中原區(qū)校級(jí)月考）已知向量a→=(?1，2，3)，（1）求a→與b（2）若a→⊥(a22．（2024春?順義區(qū)校級(jí)月考）已知向量a→=(1，2，2)，（1）求a→（2）求|2a（3）求cos?a23．（2024春?淮安期中）已知點(diǎn)A（0，1，1），B（2，1，0），C（1，﹣1，2）．（1）表示出AB→，AC（2）證明：P（5，3，﹣3）與A、B、C四點(diǎn)共面．24．（2023秋?吉安期末）在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，A（2，0，1），B（2，2，0），C（0，2，1），D（3，4，﹣1）．（1）求AB→（2）判斷點(diǎn)A，B，C，D是否共面，并說(shuō)明理由．25．（2023秋?信宜市校級(jí)月考）已知向量a→=(2，?3，1)，b→（1）a→（2）a→（3）a→與b

2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個(gè)性化分層教輔學(xué)困生篇《空間向量及其運(yùn)算》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024春?啟東市期中）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AA1→A．a(chǎn)→+b→+c→ B．【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算，即可求解．【解答】解：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA則A1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023秋?濱海新區(qū)期末）已知三棱錐O﹣ABC，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且OA→=a→，OB→=b→，OC→=cA．12(b→+c→?a【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)所給的圖形，在圖形中看出要求的向量可以怎么得到，用減法把向量先變化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法則，得到結(jié)果．【解答】解：由題意知MN=1∵OA∴MN→=1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的加減法，本題解題的關(guān)鍵是在已知圖形中盡量的應(yīng)用幾何體的已知棱表示要求的結(jié)果，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．3．（2023秋?寶安區(qū)期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．零向量沒(méi)有方向 B．空間向量不可以平行移動(dòng) C．如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長(zhǎng)度不相等 D．同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量【考點(diǎn)】空間向量的概念及屬性．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象．【答案】D【分析】根據(jù)零向量的規(guī)定可以確定A錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量是自由向量可以確定B；根據(jù)相等向量的定義可以確定C、D．【解答】解：對(duì)于A：零向量的方向是任意的，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：空間向量是自由向量可以平移，B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D：大小相等方向相同的兩個(gè)向量為相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯(cuò)誤；D符合定義，正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024春?西青區(qū)校級(jí)期末）已知a→=(2，2，1)，b→=(1，1，0)A．（1，1，0） B．（1，2，0） C．（2，2，0） D．（1，1，1）【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量的概念求解即可．【解答】解：a→則向量a→在b→上的投影向量為：故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的投影公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024春?印臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）已知空間向量a→=(1，0，3)，b→=(2，1，0)，A．0 B．1 C．2 D．3【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由空間向量基本定理可得存在實(shí)數(shù)對(duì)（x，y），使得c→=xa→+yb→，由此可得關(guān)于x、y、z【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)閍→，b→，c→即（5，2，z）＝x（1，0，3）+y（2，1，0）＝（x+2y，y，3x），所以x+2y=5，y=2，3x=z，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量基本定理，涉及向量的共面，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024春?瀘州期末）已知空間向量a→=(1，2，0)，b→=(0，?1，1)，A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面．【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】根據(jù)條件得到存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得c→【解答】解：由題意知a→，b所以存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得c→所以（2，3，m）＝λ（1，2，0）+μ（0，﹣1，1）＝（λ，2λ﹣μ，μ），所以λ=22λ?μ=3μ=m，解得故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的共面定理應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（2024春?湖北期末）空間向量a→=(1，0，1)在A．(12，0，12) B．(【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：a→=(1，0，1)，則a→?b故所求投影向量為：a→?b故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的求解，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023秋?運(yùn)城期末）如圖，空間四邊形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，點(diǎn)M在線段A．?23a→C．12a→【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算．【專題】空間向量及應(yīng)用．【答案】A【分析】由題意，把OA→，OB→，OC→【解答】解：MN→=1=?2=?2∵OA→=a→，∴MN→故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是空間向量基本定理，考查了用向量表示幾何的量，向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形把所研究的向量用三個(gè)基向量表示出來(lái)，本題是向量的基礎(chǔ)題．9．（2023秋?臨沂期末）已知AB→=(1，2，3)，CB→=(a，b，b+2)，若點(diǎn)A，B，A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：點(diǎn)A，B，C共線，AB→=(1，2，3)，則AB→∥CB→，即a1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024春?晉城期末）已知空間向量a→=(x，x?1，0)，b→=(0，1，1)，c＝（1，1，1），且a→，bA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】因?yàn)槿齻€(gè)向量共面，由向量的基本定理可知存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得a→【解答】解：因?yàn)閍→所以存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得a→即（x，x﹣1，0）＝（0，λ，λ）+（μ，μ，μ）＝（μ，λ+μ，λ+μ）所以x=μx?1=λ+μ0=λ+μ，解得故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，共面向量基本定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024春?吉安月考）如圖，在長(zhǎng)方體中OABC﹣D′A′B′C′中，OA＝1，OC＝3，OD'＝2，點(diǎn)E在線段AO延長(zhǎng)線上，且OE=1A．OC→=（3，0，0） B．CB′C．EB′→=（32，3，2） D．EC【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BC【分析】由題意得C（0，3，0），B′（1，3，2），E（?1【解答】解：由題意得C（0，3，0），B′（1，3，2），E（?1故OC→=（0，3，0），CB′→=（1，0，2），EB′→=（故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2024春?長(zhǎng)春期末）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD中，E為PC的中點(diǎn)，則（）A．PA→=PB→C．AB→+AD【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解．【解答】解：在四棱錐P﹣ABCD中，E為PC的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，PA→=PB→+AB→+AD→+故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）13．（2024春?晉城期末）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，且E為AB的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．DBB．BC1⊥DB1 C．直線CE與DB1夾角的余弦值為13D．點(diǎn)E到平面A1BC1的距離為3【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算；空間中點(diǎn)到平面的距離；異面直線及其所成的角．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BD【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解A，利用數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解B，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算，以及夾角公式即可求解C，利用等體積法即可求解D．【解答】解：對(duì)于A，DB13DA對(duì)于B，DB1→?BC1→=(對(duì)于C，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則C(0，1，0)，E(1，12，0)，D(0，0，0)，B1故cos＜DB1→，CE→＞=DB對(duì)于D，由VC1?BE其中h為點(diǎn)E到平面A1BC1的距離，故D正確，故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，空間直角坐標(biāo)系，等體積轉(zhuǎn)換法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）14．（2024春?連云區(qū)校級(jí)月考）下列選項(xiàng)中正確的是（）A．若存在實(shí)數(shù)x，y，使MP→=xMA→+yMB→，則點(diǎn)P，B．若p→與a→，b→共面，則存在實(shí)數(shù)xC．若向量a→、b→D．若a→、b→、c→是空間三個(gè)向量，則對(duì)空間任一向量p→【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面；平面向量的基本定理．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AC【分析】由空間向量共面定理即可判斷AB，由共線向量的概念即可判斷C，由空間向量基本定理即可判斷D【解答】解：由向量共面定理可知，若存在實(shí)數(shù)x，y，使MP→=xMA→+yMB→，則點(diǎn)P，M若a，b共線，p不與a→，b→共線，則不存在實(shí)數(shù)x，y，使p→若向量a→、b→所在的直線是異面直線，則a→、b→的方向不相同也不相反，且所在直線也不相交，所以向量a→若a→、b→、c→是空間三個(gè)基底向量，則對(duì)空間任一向量p→，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量共面定理以及共線向量的概念，屬于基礎(chǔ)題．（多選）15．（2024春?河南月考）設(shè)向量u→=(a，b，0)，v→=(c，d，1)，且a2+b2＝cA．向量v→與z軸正方向的夾角為定值（與c、d之值無(wú)關(guān)）B．u→?C．u→與v→夾角的最大值為D．a(chǎn)d﹣bc的最大值為3【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合不等式的使用，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇．【解答】解：對(duì)于A，取與z軸正方向同向的單位向量m→=(0，0，1)，設(shè)向量v→與z則cosθ=m→?v→|m→||對(duì)于B，u→則u→?v→=ac+bd，由a2+b2＝c2+d2＝3，得（a2+b2）（c＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥（ac+bd）2，即﹣3≤ac+bd≤3，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)u→與v→夾角的為α，則由B知，ac+bd≥﹣3，于是cosα≥?32，又α∈[0，π]，則因此u→與v→夾角的最大值為5π6對(duì)于D，（a2+b2）（c2+d2）＝a2d2+b2c2+a2c2+b2d2≥a2d2+b2c2+2|abcd|≥a2d2+b2c2﹣2abcd＝（ad﹣bc）2，當(dāng)且僅當(dāng)﹣ac＝bd時(shí)取等號(hào)，因此﹣3≤ad﹣bc≤3，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共5小題）16．（2023秋?萊蕪區(qū)校級(jí)月考）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1各條棱長(zhǎng)均為2，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∠BAD＝90°，則線段AC1的長(zhǎng)度為25．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】25【分析】根據(jù)題意，利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算律求解即可．【解答】解：平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→所以AC所以AC=AB→2+AD→2+AA1→2+＝4+4+4+2×2×2×0+2×2×2×12+所以|AC1→|＝2所以線段AC1的長(zhǎng)度為25故答案為：25【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用空間向量數(shù)量積求模長(zhǎng)問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．17．（2024春?金牛區(qū)校級(jí)月考）已知向量AB→=(n，1，1)(n∈N?)在向量CD→=(12，5，0)上的投影向量的模為an，則a5＝5，使an為整數(shù)的n的值按照從小到大的順序排列，得到的新數(shù)列的前n項(xiàng)和【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】5；132【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的公式，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解．【解答】解：AB→=(n，1，1)(n∈N則an=|AB通過(guò)計(jì)算可得，當(dāng)n＜5或5＜n＜17時(shí)，an均不是整數(shù)，當(dāng)n＝18時(shí)，an＝17．由此可得新數(shù)列為5，18，31，44，……，該數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為13的等差數(shù)列，所以Sn故答案為：5；132【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的公式，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024春?濱海新區(qū)校級(jí)期末）已知空間四點(diǎn)A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，則x的值為11．【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面．【專題】方程思想；平面向量及應(yīng)用；空間向量及應(yīng)用．【答案】11．【分析】根據(jù)空間四點(diǎn)A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，可得存在實(shí)數(shù)m，n使得AD→=mAB→【解答】解：AB→=（﹣2，2，﹣2），AC→=（﹣1，6，﹣8），∵空間四點(diǎn)A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，∴存在實(shí)數(shù)m，n使得AD→=mAB→∴x?4=?2m?n?2=2m+6n0=?2m?8n，解得x＝11．m＝﹣4，故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、平面向量共面定理、方程組的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024春?長(zhǎng)沙期末）已知向量a→=(?22，90，28)，b→=(11，?45，k)，若a→，b【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】﹣14．【分析】根據(jù)向量共線即可確定k的取值．【解答】解：向量a→=(?22，90，28)，若a→，b→共線，則有a→=?2b故答案為：﹣14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查共線向量，屬于基礎(chǔ)題．20．（2023秋?徐匯區(qū)期末）已知向量a→=(?m，1，3)，b→=(2，n，1)，若a→【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】方程思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】﹣2．【分析】根據(jù)向量共線定理的坐標(biāo)式，建立方程，即可求解．【解答】解：∵a→∥b→，且∴?m2解得m＝﹣6，n=1∴mn＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量共線定理的坐標(biāo)式，方程思想，屬基礎(chǔ)題．四．解答題（共5小題）21．（2023秋?中原區(qū)校級(jí)月考）已知向量a→=(?1，2，3)，（1）求a→與b（2）若a→⊥(a【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）?4（2）λ=7【分析】（1）應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求a→與b（2）由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)．【解答】解：（1）根據(jù)題意，向量a→=(?1，2，3)，則cos?a（2）根據(jù)題意，向量a→=(?1，2，3)，則a→又a→⊥(a則λ=7【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量垂直的判斷，屬于基礎(chǔ)題．22．（2024春?順義區(qū)校級(jí)月考）已知向量a→=(1，2，2)，（1）求a→（2）求|2a（3）求cos?a【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）﹣2；（2）52（3）?6【分析】由空間向量的數(shù)量積，模長(zhǎng)公式及夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解．【解答】解：（1）a→（2）2a則|2a（3）|a→|=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積，模長(zhǎng)公式及夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．23．（2024春?淮安期中）已知點(diǎn)A（0，1，1），B（2，1，0），C（1，﹣1，2）．（1）表示出AB→，AC（2）證明：P（5，3，﹣3）與A、B、C四點(diǎn)共面．【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面；平面向量的概念與平面向量的模．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）AB→=(2，0，?1)，AC（2）證明詳見(jiàn)解析．【分析】（1）結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，以及向量模公式，即可求解；（2）結(jié)合向量共面定理，即可求解．【解答】解：（1）A（0，1，1），B（2，1，0），C（1，﹣1，2），則AB→2AB則|2AB（2）證明：設(shè)AP→∴（5，2，﹣4）＝λ（2，0，﹣1）+μ（1，﹣2，1），∴5=2λ+μ2=?2μ?4=?λ+μ，解得∴AP→則AB→又因?yàn)锳為公共點(diǎn)，所以這四個(gè)點(diǎn)共面．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共面定理，屬于基礎(chǔ)題．24．（2023秋?吉安期末）在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，A（2，0，1），B（2，2，0），C（0，2，1），D（3，4，﹣1）．（1）求AB→（2）判斷點(diǎn)A，B，C，D是否共面，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）10；（2）點(diǎn)A，B，C，D不共面．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求解；（2）結(jié)合向量共面定理，即可求解．【解答】解：（1）A（2，0，1），B（2，2，0），D（3，4，﹣1）．則AB→=(0，2，?1)，∴AB→（2）∵AB→=(0，2，?1)，AD→設(shè)AD→=μAB故點(diǎn)A，B，C，D不共面．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．25．（2023秋?信宜市校級(jí)月考）已知向量a→=(2，?3，1)，b→（1）a→（2）a→（3）a→與b【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）（8，﹣3，﹣7）；（2）3；（3）714【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示分析運(yùn)算；（2）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解；（3）根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解．【解答】解：（1）a→（2）b→所以a→（3）|a所以a→與b→夾角的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量的概念與平面向量的?！局R(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒(méi)有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．向量的幾何表示用有向線段表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小寫(xiě)字母a→、b→，…表示．有向向量的長(zhǎng)度為模，表示為|向量的模AB→的大小，也就是AB→的長(zhǎng)度（或稱模），記作|零向量長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0→單位向量長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量AB→（與AB→共線的單位向量是相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．2．平面向量的基本定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一a→，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說(shuō)明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．3．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當(dāng)θ2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來(lái)轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：4．空間向量及其線性運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長(zhǎng)度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如a→的相反向量記為?5．平行的向量：兩個(gè)方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個(gè)向量都可以通過(guò)平移成為共面向量；⑤一般來(lái)說(shuō)，向量不能比較大小．1．加減法的定義：空間任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運(yùn)算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：a（2）結(jié)合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量：A1（求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為：零向量A11．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當(dāng)λ＞0時(shí)，λa→與②當(dāng)λ＜0時(shí)，λa→與③當(dāng)λ＝0時(shí)，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長(zhǎng)度是a→2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ(μ注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ±a5．空間向量的概念及屬性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長(zhǎng)度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如a→的相反向量記為?5．平行的向量：兩個(gè)方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個(gè)向量都可以通過(guò)平移成為共面向量；⑤一般來(lái)說(shuō)，向量不能比較大?。窘忸}方法點(diǎn)撥】﹣熟悉空間向量的概念，以及空間向量的幾何表示．﹣類比平面向量的概念，延伸至三維空間．【命題方向】﹣主要考查空間向量的基礎(chǔ)概念、幾何表示及性質(zhì)．6．空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當(dāng)λ＞0時(shí)，λa→與②當(dāng)λ＜0時(shí)，λa→與③當(dāng)λ＝0時(shí)，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長(zhǎng)度是a→2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ(μ注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ±a【解題方法點(diǎn)撥】﹣標(biāo)量運(yùn)算：進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，將標(biāo)量與向量分量相乘．﹣線性組合：應(yīng)用線性組合公式，計(jì)算向量的線性組合結(jié)果．【命題方向】﹣向量數(shù)乘和線性運(yùn)算：考查如何進(jìn)行空間向量的數(shù)乘和線性組合運(yùn)算．7．空間向量的共線與共面【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果兩個(gè)向量a→、b→不共線，則向量p→與向量a→、b→共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x【解題方法點(diǎn)撥】空間向量共線問(wèn)題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使a→=λb→成立，或充分利用空間向量的運(yùn)算法則，結(jié)合具體圖形，通過(guò)化簡(jiǎn)、計(jì)算得出（2）a→∥b→表示空間向量共面問(wèn)題：（1）利用向量法證明點(diǎn)共面、線共面問(wèn)題，關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過(guò)程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化．（2）空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使MP→=xMA→+yMB→．滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P證明三個(gè)向量共面的常用方法：（1）設(shè)法證明其中一個(gè)向量可表示成另兩個(gè)向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問(wèn)題例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=?12C．x=16，y=?32分析：利用共線向量的條件b→=λa→，推出比例關(guān)系求出解答：∵a→=（2x，1，3）與b→故有2x1∴x=16，y故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查共線向量的知識(shí)，考查學(xué)生計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2．考查空間向量共面問(wèn)題例：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根據(jù)共面向量定理OM→=m?OA→+n?OB→+p?OC解答：由共面向量定理OM→說(shuō)明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯(cuò)誤的，則D正確．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查共線向量與共面向量，考查學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力．是基礎(chǔ)題．8．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a→、b→，在空間中任取一點(diǎn)O，作OA→=a→，OB→=b→，則∠2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a→、b→，則|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→與b→的數(shù)量積，記作a→?b→（2）幾何意義：a→與b→的數(shù)量積等于a→的長(zhǎng)度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積，或b→的長(zhǎng)度|b→3．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：(λa→)?b→=λ（a（2）分配律：a→4．?dāng)?shù)量積的理解（1）書(shū)寫(xiě)向量的數(shù)量積時(shí)，只能用符號(hào)a→?b→（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量，