北京市房山區名校2024年中考數學模擬精編試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將木試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.如圖，△ABC中，ZC=90°,D、E是AB、BC上兩點，將AABC沿DE折疊，使點B落在AC邊上點F處，并

且DF〃BC,若CF=3,BC=9,則AB的長是（）

2.港珠澳大橋是連接香港、珠海、澳門的超大型跨海通道，全長約55000米，把55000用科學記數法表示為（）

A.55x1伊B.5.5x104C.5.5x10sD.0.55xl05

3.如圖,AADE繞正方形ABCD的頂點A順時針旋轉90。,得4ABF,連接EF交AB于H,有如下五個結論①AEJLAF；

@EF：AF=V2：1;③AF2=FH?FE；?ZAFE=ZDAE+ZCFE(5)FB：FC=HB：EC.貝！1正確的結論有()

B.3個C.4個D.5個

4.如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學從建筑物底端B出發，先沿水平方向向右行走20米到達點C,再

經過一段坡度（或坡比）為i=l：0.75、坡長為10米的斜坡CD到達點D,然后再沿水平方向向右行走40米到達點E

（A,B,C,I）,E均在同一平面內）.在E處測得建筑物頂端A的仰角為24。，則建筑物AB的高度約為（參考數據:

sin24°M).41,cos24°=0.91,tan240=0.45)()

C.27.4米D.28.8米

5.已知血=l+&,〃=1一血，則代數式加2+（_3〃〃？的值為（）

A.±3B.3C.5D.9

6.將一副三角板和一張對邊平行的紙條按如圖擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30。角的直角三角板的斜邊與紙

條一邊重合，含45。角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則N1的度數是（）

7.一、單選題

如圖，△ABC中，AB=4,AC=3,BC=2,將△ABC繞點A順時針旋轉60。得到△AED,則BE的長為（）

A.5B.4C.3D.2

8.隨著服裝市場競爭日益激烈，某品牌服裝專賣店一款服裝按原售價降價20%,現售價為。元，則原售價為（）

A.（fl-20%）元B.（。+20%）元C.y元D.u〃元

■4，■

9.如果將直線h：y=2x-2平移后得到直線L：y=2x,那么下列平移過程正確的是（）

A.將h向左平移2個單位B.將h向右平移2個單位

C.將h向上平移2個單位D.將h向下平移2個單位

10.如匡，邊長為1的小正方形構成的網格中，半徑為1的。O的圓心O在格點上，則NBED的正切值等于（）

B

E

A2行R行「，

A.-----B.——C.2

5519

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.已知正比例函數的圖像經過點.?）、二（口.二.、二（n7二）如果二二二，那么二,-------Z；-（填“>”、

“=”、“V”)

12.如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，ME±AM,ME交AD的延長線于點E.若AB=12,BM=5,貝ljDE

的長為.

13.若A（-3,y）B（-2,y2）,C（1,y3）三點都在y=—」的圖象上，則y,yz,y3的大小關系是___.（用“V”

x

號填空）

14.在△ABC中，若NA,N5滿足|cosA-』|+（siiiB一正尸=0,則NC=_______.

22

15.己知點（?Lm）、（2,11）在二次函數丫=2乂2-22乂-1的圖象上，如果m>n,那么a0（用“〉”或"V”連接）.

16.如匡，在△ABC中，AB=AC,AH±BC,垂足為點H,如果AH=BC,那么sin/BAC的值是__.

17.己知點尸是線段A5的黃金分割點，PA>PBtAB=4cm,則以=cm.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）如圖所示，正方形網格中，△ABC為格點三角形（即三角形的頂點都在格點上）.

（1）把△ABC沿BA方向平移后，點A移到點Ai,在網格中畫出平移后得到的△AIiG；

（2）把△A1B1G繞點Ai按逆時針方向旋轉90。，在網格中畫出旋轉后的AAiB2c2；

（3）如果網格中小正方形的邊長為1,求點B經過（1）、（2）變換的路徑總長.

19.（5分）某家電銷售商場電冰箱的銷售價為每臺1600元，空調的銷售價為每臺140。元，每臺電冰箱的進價比每臺

空調的進價多300元，商場用9000元購進電冰箱的數量與用7200元購進空調數量相等.

（1）求每臺電冰箱與空調的進價分別是多少？

（2）現在商場準備一次購進這兩種家電共100臺，設購進電冰箱x臺，這100臺家電的銷售利潤為Y元，要求購進

空調數量不超過電冰箱數量的2倍，總利潤不低于16200元，請分析合理的方案共有多少種？

（3）實際進貨時，廠家對電冰箱出廠價下調K（0VKV150）元，若商場保持這兩種家電的售價不變，請你根據以上

信息及（2）中條件，設計出使這100臺家電銷售總利潤最大的進貨方案.

20.（8分）甲、乙兩組工人同時開始加工某種零件，乙組在工作中有一次停產更換設備，更換設備后，乙組的工作效

率是原來的2倍.兩組各自加工零件的數量y（件）與時間x（時）之間的函數圖象如下圖所示.求甲組加工零件的數

量y與時間x之間的函數關系式.求乙組加工零件總量a的值.

21.（10分）知識改變世界，科技改變生活.導航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行.如圖，某校組織學生乘車到黑

龍灘（用C表示）開展社會實踐活動，車到達A地后，發現C地恰好在A地的正北方向，且距離A地13千米，導航

顯示車輛應沿北偏東60。方向行駛至B地，再沿北偏西37。方向行駛一段距離才能到達C地，求B、C兩地的距離.（參

22.（10分）試探究：

小張在數學實踐活動中，畫了一個AABC,ZACfi=90°,BC=1,AC=2t再以點〃為圓心，8C為半徑畫弧交

于點。，然后以A為圓心，40長為半徑畫弧交AC于點￡,如圖1,則A￡=；此時小張發現/4￡2=從0￡。,

請同學仁驗證小張的發現是否正確.

拓展延伸：

小張利用圖1中的線段AC及點心構造連接AP,得到圖2,試完成以下問題：

（1）求證：AAC'/s△尸CE;

（2）求乙4的度數；

（3）求cosZA的值；

應用遷移：利用上面的結論，求半徑為2的圓內接正十邊形的邊長.

23.（12分）如圖是小強洗漱時的側面示意圖，洗漱臺（矩形ABCD）靠墻擺放，SAD=80cm,寬AB=48cm,小

強身高166cm,下半身FG=100cm,洗漱時下半身與地面成80。（NFGK=80"），身體前傾成125。（NEFG=125。）,

腳與洗漱臺距離GC=15cm（點D,C,G,K在同一直線上）.（cos80°=0.17,sin80。洸.98,e=1.414）

（1）此時小強頭部E點與地面DK相距多少？

（2）小強希望他的頭部E恰好在洗漱盆AB的中點O的正上方，他應向前或后退多少？

24.（14分）如圖，點B、E、C、F在同一條直線上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求證：AB〃DE.

AD

B

E

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、C

【解析】

由折疊得到EB=EF,ZB=ZDFE,根據CE+EB=9,得到JCE+EF=9,設EF=x,得至I]CE=9-x,在直角三角形CEF中,

利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出EF與CE的長，由FD與BC平行，得到一對內

錯角相等，等量代換得到一對同位角相等，進而確定出EF與AB平行，由平行得比例，即可求出AB的長.

【詳解】

由折疊得至EB=EF,ZB=ZDFE,

在R3ECF中，設EF=EB=x,得到CE=BC?EB=9?x,

根據勾股定理得：EF2=FC2+EC2,即X2=32+（9-x）2,

解得：x=5,

AEF=EB=5,CE=4,

VFD/7BC,

/.ZDFE=ZFEC,

/.ZFEC=ZB,

AEF/7AB,

.EFCE

a?-----=-----?

BC

EF?BC5x945

貝！JAB=

44

故選C.

【點睛】

此題考查了翻折變換（折疊問題），涉及的知識有：勾股定理，平行線的判定與性質，平行線分線段成比例，熟練掌握

折疊的性質是解本題的關鍵.

2、B

【解析】

科學記數法的表示形式為axion的形式，其中l<|a|<10,n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動

了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數.

【詳解】

55000是5位整數，小數點向左移動4位后所得的數即可滿足科學記數法的要求，由此可知10的指數為4,

所以，55000用科學記數法表示為5.5x10。

故選B.

【點睛】

本題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為axion的形式，其中10a|〈1O,n為整數，表示時關鍵要正

確確定a的值以及n的值.

3、C

【解析】

由旋轉性質得到△AFBWZXAED,再根據相似三角對應邊的比等于相似比，即可分別求得各選項正確與否.

【詳解】

解：由題意知，△AFBgZkAED

AAF=AE,ZFAB=ZEAD,ZFAB+ZBAE=ZEAD+ZBAE=ZBAD=90

AAE±AF,故此選項①正確；

AZAFE=ZAEF=ZDAE+ZCFE,故④正確；

???△AEF是等腰直角三角形，有EF:AF=&：1,故此選項②正確；

VAAEF與4AHF不相似，

/.AF2=FHFE不正確.故此選項③錯誤，

VHB//EC,

.,.△FBH^AFCE,

AFB:FC=HB:EC,故此選項⑤正確.

故選：C

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，熟練地應用旋轉的性質以

及相似三角形的性質是解決問題的關鍵.

4、A

【解析】

作BM1ED交ED的延長線于M,CNJ.DM于N.首先解直角三角形RtACDN,求出CN,DN,再根據tan24°=—,

EM

構建方程即可解決問題.

【詳解】

作BM_LED交ED的延長線于M,CNJ_DM于N.

.*.CD=10,

/.(3k)2+(4k)2=100,

ACN=8,DN=6,

???四邊形BMNC是矩形,

ABM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,

?-AM

在RSAEM中，tan24o=------

EM

8+AB

,0.45=----------,

66

AAB=21.7(米),

故選A.

【點睛】

本題考查的是解直角三角形的應用一仰角俯角問題，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

5、B

【解析】

由已知可得：m+〃=2,mn=(1+5/2)(1—>/2)=-1>+tr—3nm=J(口+〃了-5〃?〃.

【詳解】

由已知可得：m+n=2,mn=(\+>/2)(l-y/2)=-\?

原式=y](in+n)2-5nm=^22-5x(-1)=M=3

故選：B

【點睛】

考核知識點：二次根式運算.配方是關鋌.

6、A

【解析】

試題分析：如圖，過A點作AB〃a,.*.Z1=Z2,Va/7b,/.AB/7b,AZ3=Z4=30°,而N2+N3=45。，，N2=15。,

/.Zl=15o.故選A.

a

方

考點：平行線的性質.

7、B

【解析】

根據旋轉的性質可得AB=AE,ZBAE=60%然后判斷出△AEB是等邊三角形，再根據等邊三角形的三條邊都相等可

得BE=AB.

【詳解】

解：???AABC繞點A順時針旋轉60。得到△AED,

.\AB=AE,ZBAE=60°,

???△AEB是等邊三角形，

ABE=AB,

VAB=1,

ABE=1.

故選B.

【點睛】

本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，主要利用了旋轉前后對應邊相等以及旋轉角的定義.

8、C

【解析】

根據題意列出代數式，化簡即可得到結果.

【詳解】

根據題意得：a+(l-20%)=a+j=.a(元)，

■■

故答案選：C.

【點睛】

本題考查的知識點是列代數式，解題的關鍵是熟練的掌握列代數式.

9、C

【解析】

根據“上加下減”的原則求解即可.

【詳解】

將函數y=2x-2的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象對應的函數解析式是y=2x.

故選：C.

【點睛】

本題考查的是一次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象變換的法則是解答此題的關鍵.

10、D

【解析】

根據同弧或等弧所對的圓周角相等可知NBED=NBAD,再結合圖形根據正切的定義進行求解即可得.

【詳解】

VZDAB=ZDEB,

.\tanZDEB=tanZDAB=-，

2

故選I）.

【點睛】

本題考查了圓周角定理（同弧或等弧所對的圓周角相等）和正切的概念，正確得出相等的角是解題關鍵.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11、>

【解析】

分析：根據正比例函數的圖象經過點M（?1,1）可以求得該函數的解析式，然后根據正比例函數的性質即可解答本

題.

詳解：設該正比例函數的解析式為廣3則得：〃=?0.5,???尸-0.5x.??,正比例函數的圖象經過點A（XB

》）、B（xi,ji）,xi<xi,

故答案為》.

點睛：本題考查了正比例函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用正比例函數的性質解答.

12吧

5

【解析】

由勾股定理可先求得AM,利用條件可證得△ABMSAEMA,則可求得AE的長，進一步可求得。￡

【詳解】

詳解：???正方形A8C。，

z.z^=9(r.

V4?=12,BM=5,

9

：ME.LAMf

二NAM￡=90°=N5.

VNb/1E=9O°,

，ZBAM+ZMAE=ZMAE+ZEf

/.NBAM=NE,

???△ABMSZXEMA,

.BMAM513

??------=,gBpn—=,

AMAE13AE

169

：.AE=——，

5

169109

：.DE=AE-AD=--------12=一.

55

故答案為祟.

【點睛】

本題主要考查相似三角形的判定和性質，利用條件證得△ABM^^EMA是解題的關鍵.

13、ya<yi<yi

【解析】

根據反比例函數的性質kVO時，在每個象限，y隨X的增大而增大，進行比較即可.

【詳解】

解：k=-l<0,

???在每個象限，y隨x的增大而增大，

V-3<-l<0,

AO<yi<yi.

又??T>0

3Vo

?*?y3<yi<yi

故答案為：ysVyiVyi

【點睛】

本題考查的是反比例函數的性質，理解性質：當k>0時，在每個象限，y隨x的增大而減小，kVO時，在每個象限,

y隨x的增大而增大是解題的關鍵.

14、75°

【解析】

【分析】根據絕對值及偶次方的非負性，可得出cosA及sinB的值，從而得出NA及NB的度數，利用三角形的內角

和定理可得出NC的度數.

【詳解】?..|cosA—L+(sinB——?j2=0,

22

..1.R&

..cosA=—,$inB=-----,

22

/.ZA=60°,ZB=45°,

ZC=1800-ZA-ZB=75°,

故答案為：75°.

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值及非負數的性質，解答本題的關鍵是得出cosA及sinB的值，另外要求我們

熟練掌握一些特殊角的三角函數值.

15、>；

【解析】

Vy=ax2-2ax-1=a(x-l)2-a-l,

，拋物線對稱軸為：x=l,

由拋物線的對稱性，點(-1,m)、(2,n)在二次函數丫=@*2-2@乂-1的圖像上,

V|-1-1|>|2-1|,JBLm>n,

:.a>0.

故答案為〉

16、-

5

【解析】

過點B作BD_LAC于D,設AH=BC=2x,根據等腰三角形三線合一的性質可得BH=CH='BC=x,利用勾股定理列

2

式表示出AC,再根據三角形的面積列方程求出BD,然后根據銳角的正弦二對邊：斜邊求解即可.

【詳解】

如圖，過點B作BD_LAC于D,設AH=BC=2x,

根據勾股定理得，AC=y]AH2+CH2=7（2X）2+X2=X,

I1

SAABC=-BC*AH=-AC*BD，

22

?11

n即一?2x?2x=—?Jr,x?BD,

22

解得BC=^x,

5

4一.

所以，sinNBAC=BD_5A_4.

ABy/5x5

4

故答案為《.

J

17、2石一2

【解析】

根據黃金分割點的定義，知AP是較長線段；則AP=41二1AB,代入運算即可.

2

【詳解】

解：由于P為線段AB=4的黃金分割點，

且AP是較長線段；

貝!]AP=4x_1=2（>/5-1）cm,

故答案為：（2君-2）cm.

【點睛】

此題考查了黃金分割的定義，應該識記黃金分割的公式：較短的線段=原線段的邑1,難度一般.

2

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18、（1）（2）作圖見解析；（3）2及十乃乃.

2

【解析】

（1）利用平移的性質畫圖，即對應點都移動相同的距離.

（2）利用旋轉的性質畫圖，對應點都旋轉相同的角度.

（3）利用勾股定理和弧長公式求點B經過（1）、（2）變換的路徑總長.

【詳解】

解：（1）如答圖，連接AAi,然后從C點作AA1的平行線且AiC尸AC,同理找到點B”分別連接三點，△AiBiCi即

為所求.

（2）如答圖，分別將AiBi,AiG繞點Ai按逆時針方向旋轉90。，得到Bz,C2,連接B2c2,AAiB2c2即為所求.

（3）VB"==2&,珞e=9。；；,二等乃，

???點B所走的路徑總長=2四+顯兀.

2

考點：1.網格問題；2.作圖（平移和旋轉變換）；3.勾股定理；4.弧長的計算.

19、（1）每臺空調的進價為1200元，每臺電冰箱的進價為1500元；（2）共有5種方案；

（3）當100VkV150時，購進電冰箱38臺，空調62臺，總利潤最大；當OVkVIOO時，購進電冰箱34臺，空調66

臺，總利潤最大，當k=100時，無論采取哪種方案，yi恒為20000元.

【解析】

（1）用“用9000元購進電冰箱的數量與用7200元購進空調數量相等”建立方程即可；（2）建立不等式組求出x的范圍，

代入即可得出結論；（3）建立y尸（k-100）x+20000,分三種情況討論即可.

【詳解】

（1）設每臺空調的進價為m元，則每臺電冰箱的進價（m+300）元，

9000=7200

由題意得,

m+300m

Am=1200,

經檢驗，m=1200是原分式方程的解，也符合題意，

.*.m+300=1500元，

答：每臺空調的進價為1200元，每臺電冰箱的進價為1500元；

(2)由題意,y=(1600-1500)x+(1400-1200)(100-x)=-100x+20000,

??-l(X)Jt+200(X)>16200

?1100-x<2

/.33-<x<38,

3

???x為正整數，

Ax=34,35,36,37,38,

即：共有5種方案：

(3)設廠家對電冰箱出廠價下調k(0<k<150)元后，這100臺家電的銷售總利潤為”元，

Ayi=(1600-1500+k)x+(1400-1200)(100-x)=(k-100)x+20000,

當100VkV150時，yi隨x的最大而增大，

???x=38時，y?取得最大值，

即：購進電冰箱38臺，空調62臺，總利潤最大，

當OVkVIOO時，yi隨x的最大而減小，

；?x=34時，yi取得最大值,

即：購進電冰箱34臺，空調66臺，總利潤最大，

當k=100時，無論采取哪種方案，yi恒為20000元.

【點睛】

本題考查了一次函數的應用，分式方程的應用，不等式組的應用，根據題意找出等量關系是解題的關鍵.

20、(1)y=60x；(2)300

【解析】

(1)由題圖可知，甲組的y是x的正比例函數.

設甲組加工的零件數量y與時間x的函數關系式為y=kx.

根據題意，得6k=360,

解得k=6().

所以，甲組加工的零件數量y與時間x之間的關系式為y=60x.

（2）當x=2時，y=100.因為更換設備后，乙組工作效率是原來的2倍.

a-100100汽

所以--------=——x2,解得a=300.

4.828----2

21、(20-573)千米.

【解析】

分析：作BDJ_AC,設AD=x,在R3ABD中求得BD=GX,在RlABCD中求得CD二型x,由AC=AD+CD建

3

立關于x的方程，解之求得x的值，最后由BC=—處1可得答案.

cosADBC

詳解：過點B作BD_LAC,

依題可得：ZBAD=60°,ZCBE=37°,AC=13(千米),

VBD1AC,

AZABD=30°,ZCBD=53°,

在RtAABD中,設AD=x,

,AD

..tanZABD=-----

BD

,3coAD\/3

即BrTtan300=-----=——,

BD3

r.BD=^x,

在RtADCB中,

,CD

.,.tanZCBD=——

BD

CD4

H即ntan530=-----=—

BD3

,CD普

VCD+AD=AC,

,x+46'=13,解得，x=4\/3-3

3

???BD=12?3G

在RSBDC中,

,BD

:.cosNCBD=tan600=,

BC

配nr———J220-5人工米

即：RC=cos/DBC3（千米），

5

故B、C兩地的距離為（20?56）千米.

點睛：此題考查了方向角問題.此題難度適中，解此題的關鍵是將方向角問題轉化為解直角三角形的知識，利用三角

函數的知識求解.

22、（1）小張的發現正確；（2）詳見解析；（3）ZA=36°；（4）75-1

【解析】

嘗試探究：根據勾股定理計算即可；

ATApArFC

拓展延伸：（1）由AE2=4C?￡C,推出一上二一匕，又AE=FC,推出一上二一上,即可解問題；

AEECFCEC

（2）利用相似三角形的性質即可解決問題；

（3）如圖，過點尸作尸ML1C交AC于點M,根據COSNA=3^,求出AM、AP即可；

應用遷移：利用（3）中結論即可解決問題；

【詳解】

解：嘗試探究：石-1;

VZACB=90°,BC=1,AC=2f

：.AB=后,

：.AD=AE=^-\，

*：AE2=（V5-1）?=6-2后,

AOEC=2x[2-（75-1）J=6-25/5,

2

：.AE=A&ECt

，小張的發現正確：

拓展延伸：

2

(1)VAE=AC^ECt

?AC_AE

?:AE=FC,

.ACFC

??二,

FCEC

又???NC=NC,

:?△ACFsAFCE；

(2)?:△ACFsMCE,:?NAFC=NCEF,

又VEF=FC,

:?/C=4CEF,