北京市朝陽區市級名校2024屆高二上數學期末經典模擬試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題，木題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.直線x—JJy+2G=0被圓/+丁=4截得的弦長為。

B.百

22

2.已知橢圓=+與=1(〃>〃>0)的長軸長，短軸長，焦距長成等比數列，則橢圓離心率。為()

a~b~

亞-11

A.B.—

~r2

rV5+1V3-1

22

3.“x>2”是“x>目的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知各項均為正數的等比數列｛凡｝滿足6。+為=6%,若存在兩項q“，4使得瘋[=4q,則3的最小

mn

值為()

2

A.4B.-

3

,3

C.一1).9

2

5.過點P(2,1)作直線1,使1與雙曲線上一y2=l有且僅有一個公共點，這樣的直線1共有

4

A.1條B.2條

C.3條D.4條

6.函數/(x)=[>+sin2x的圖象的大致形狀是()

yy

A.21B.42

C.63D.84

8.若x-+(x+l)=a。+4(x+2)+%(x+2)~+…+%(x+2),則。?二()

A.22B.19

C.-20D.-19

9.若函數=當IWXWm時，平均變化率為3,則陽等于()

A.y/5B.2

C.3D.1

10.南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個球,

第二層有3個球，第三層有6個球，…，則第十層球的個數為()

A.45B.55

C.90D.110

II.若函數＞=的圖象如圖所示，則函數y=/(x)的導函數y=r(x)的圖象可能是()

12.數列2,-5,9,-14,L的一個通項公式可以是（）

,，

A.q二（一廣（3〃-1）B.an=（-1）（3?-1）

cw=（-L竽D.q,=（T）“等

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知拋物線C：y2=2pM〃>°）的焦點為「，準線為/，過點尸斜率為6的直線/'與拋物線c交于點M（M在

x軸的上方），過M作MN上1于點N,連接N廣交拋物線。于點Q,則與7=_________

Qt7

14.等差數列｛4｝中，若仆+%+%=42,%=5,貝IJ%=,數列一--的前〃項和為S”,則5“=

15.方程工+工=1表示雙曲線，則實數A的取值范圍是.

攵+1k-2

16.平面內〃條直線兩兩相交，且任意三條直線不過同一點，將其交點個數記為/,若規定q=0,則%=1，%=3,

,/=,（用含〃的式子表示）

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在正方體A8CQ—A4CQ|中，￡為8月的中點

Ai

（I）求證：BCJ/平面ARE；

（II）求直線AA與平面ARE所成角的正弦值

18.（12分）如圖，已知頂點R（0,-3）,N（2,l）,動點P,Q分別在x軸，，軸上移動，延長尸。至點使得

PQ=^QM,且PR?PM=O.

乙

My

---2A_.

/PX

R，

（1）求動點M的軌跡C；

（2）過點可分別作直線24即交曲線于43兩點，若直線NA,NB的傾斜角互補，證明：直線的斜率為定值；

（3）過點N分別作直線N4N8交曲線于A3兩點，若NA1NB,直線A8是否經過定點？若是，求出該定點，若

不是，說明理由.

19.（12分）已知圓G圓心為坐標原點，且與直線3x+4y—IO=O相切

（1）求圓G的標準方程；

（2）若直線/過點2）,直線/被圓G所截得的弦長為2百，求直線/的方程

20.（12分）“雙十一”已經成為網民們的網購狂歡節，某電子商務平臺對某市的網民在今年“雙十一”的網購情況進行

摸底調查，用隨機抽樣的方法抽取了100人，其消費金額，（百元）的頻率分布直方圖如圖1所示：

（1）利用圖1,求網民消費金額，的平均值/和中位數Z0；

（2）把下表中空格里的數填上，能否有90%的把握認為網購消費與性別有關.

男女合計

人」0

3()

合計45

附表:

皈泌））0.100.050.01

2.7063.8416.635

n(ad-be)2

參考公式：/=

(a+/?)(<?+d)(a+c)(b+d)

21.（12分）已知函數〃力=/-Hnx+（1-加卜.

（1）討論函數/（戈）的單調性；

（2）若函數/（X）有兩個不同的零點，求實數。的取值范圍.

22,（10分）一杯100C的開水放在室溫25P的房間里，1分鐘后水溫降到85C,假設每分鐘水溫變化量和水溫與室

溫之差成正比

（1）分別求2分鐘，3分鐘后的水溫；

（2）記〃分鐘后的水溫為4（〃wN,），證明：｛《-25｝是等比數列，并求出｛（｝的通項公式；

（3）當水溫在40℃到55℃之間時（包括40'C和55C）,為最適合飲用的溫度，則在水燒開后哪個時間段飲用最佳.（參

考數據：愴2^0.3）

參考答案

一、選擇題：木題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解題分析】利用直線和圓相交所得的弦長公式2戶二萬直接計算即可.

【題目詳解】由題意可得圓的圓心為0(0,0),半徑廠=2,則圓心到直線的距離=詈￡1=也，所以由直線

x/1+3

和圓相交所得的弦長公式可得弦長為：2尸方=2亞行=2,

故選：C.

2、A

【解題分析】由題意，(2份2=(2〃)x(2c),結合從=/—c.2,求解即可

【題目詳解】???橢圓'+二的長軸長，短軸長，焦距長成等比數列

ab~

A(2Z?)2=(2tz)x(2c)

b2=ac

又??"2=/—c、2

???2a-2c=ac

；?1—/=。，即儲+o—i=o

Ae=又在橢圓e>0

2

故選：A

3、B

【解題分析】根據充分條件和必要條件的概念即可判斷.

【題目詳解】丁2〈君，?,?“/>2”是“x>后”的必要不充分條件.

故選:B.

4、C

【解題分析】由4。+%=6仆求得2,代入瘋Z=4q求得〃z+〃=6,利用基本不等式求出它的最小值

【題目詳解】因為各項均為正數的等比數列｛〃“)滿足《。+〃9=6%，

可得+44=6%,即+q—6=0

解得9=2或q二一3(舍去)

??,亞晨的，

2m+n-2=16,

tn+n=6

.141141n1In4m3

.?—?—=—(—I—)(〃?+7?)=—(5H----1------)2—(5+2.----------)=..

"?n6mn6inn6\mn2

n4/w

當且僅當一=——，即〃『2,〃=4時，等號成立

mn

故上1+二4的最小值等于3：.

mn2

故選：C

【題目點撥】方法點睛：本題主要考查等比數列的通項公式和基本不等式的應用，解題的關鍵是常量代換的技巧，所

14141

謂常量代換，就是把一個常數用代數式來代替，如一+—=(一+一)x6x二，再把常數6代換成已知中的加+〃，即

mnmn6

14114

一十—=:(一+一)(〃2+〃).常量代換是基本不等式里常用的一個技巧，可以優化解題，提高解題效率.

mn6inn

5、B

【解題分析】利用幾何法，結合雙曲線的幾何性質，得出符合條件的結論.

【題目詳解】由雙曲線的方程可知其漸近線方程為尸士g%

則點尸(2,1)在漸近線x上，

又雙曲線的右頂點為4(2,0),

如圖所示.滿足條件的直線/有兩條：-2,y-l=-1(x-2)

【題目點撥】該題考查的是有關直線與雙曲線的公共點有一個的條件，結合雙曲線的性質，結合圖形，得出結果，屬

于中檔題目.

6、B

【解題分析】對A,根據當Xf”時，/（X）的值即可判斷；對B,根據函數在（（）,+?）上的單調性即可判斷；對C,

根據函數的奇偶性即可判斷；對D,根據函數在（0,+?）上的單調性即可判斷.

r3

【題目詳解】解：對A,丁當X—＞十8時，f（x）=—+sin2xf+oo,故A錯誤；

6

對B,?.?/（X）=上+$苗2*的定義域為/?,

6

且/(-X)=sin(-2x)=-^-sin2x=-/(x),

故/（x）為奇函數;

r-

f'(x)=—+2cos2x,

,71

當R>0時，丁當0,-時，cos2x>0,

I4

即f\x)=—+2cos2x>0,

2

故存在?/（-￥I）=^X2e§，乃J，/'（工2）二°，

故/（力在（0,與）單調遞增，（%,占）單調遞減，（0+8）單調遞增，故B正確;

對c，?./(X)為奇函數，故C錯誤；

對D,函數)(M在(0,+?)上不單一胤故D錯誤.

故選：B.

7、D

【解題分析】設等比數列｛%｝公比為必根據給定條件求出即可計算作答.

【題目詳解】等比數列｛q｝公比為心由4+4+%=21得：%(1+才+/)=21,即/+^-6=0,而如＞0,解

得/=2,

所以。5+%+。9+%+%)=2：x21=84.

故選：D

8、C

【解題分析】將所求進行變形可得J斗(冗+1)7=[-2+(%+2)]2+[-l+(x+2)]，根據二項式定理展開式，即可求得

答案.

【題目詳解】由題意得丁+(冗+1)7=[—2+(工+2)]2+[—1+(工+2)]7

所以%=C；+C；(—I)s=-2O.

故選：C

9、B

【解題分析】直接利用平均變化率的公式求解.

【題目詳解】解：由題得先=巫匕他=貯1=〃?+1=3,.」〃二2.

?xm-\m-1

故選：B

10、B

【解題分析】根據題意，發現規律并將規律表達出來，第〃層有(1+2+3+…+〃)個球.

【題目詳解】根據規律，可以得知：第一層有1個球；第二層有。+2)個球；第三層有(1+2+3)個球，則根據規律

可知：第〃層有(1+2+3+…+〃)個球

設第〃層的小球個數為%,則有：。〃=1+2+3+…+〃=〃("+[

2

故第十層球的個數為：4。=55

故選：B

11、C

【解題分析】由函數/（力的圖象可知其單調性情況，再由導函數與原函數的關系即可得解.

【題目詳解】由函數“X）的圖象可知，當工＜0時，從左向右函數先增后減，

故不＜0時，從左向右導函數尸（“先正后負，故排除AB；

當x＞0時，從左向右函數/（X）先減后增，

故工＞0時，從左向右導函數尸（X）先負后正，故排除D.

故選：C.

12、C

【解題分析】用檢驗法，由通項公式驗證是否符合數列各項，結合排除法可得

【題目詳解】第一項為正數.BD中求出第一項均為負數，排除.

而AC均滿足4=2,A中勺=一5,%=8,排除A,C中滿足。2=-5，%=9,a4=-14,

故選:C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解題分析】由題意畫出圖形，寫出直線廠的方程，與拋物線方程聯立求出M的坐標，進一步求出。的坐標，求得。尸

即可求解

【題目詳解】解：如圖，

由拋物線C:y2=2〃x,得F或,0）,則“/：），=6*一4，與效物線），2=2px聯立得_5px+士〃2=0,

31

解得N=7〃、x2=7P

26

26

,:MN11,NMEc=60。，

.-.Z7VMF=6O°,.NMF為等邊三角形,

:.MN=NF=FM=X”+勺2〃，

設/G=〃，

ZA^TO=60°,

QG=6a,

Q（萬，

Q在拋物線上，

3a2—2〃或—。），解得=~,

.7"J,

0236

：.QF-=至,-.NQ=他，

6233

則兇=2,

2|QF|

故答案為：2

Yl

14、①.3〃-1------

6〃+4

1（11、］

【解題分析】設等差數列｛4｝公差為d,根據等差數列的性質即可求通項公式；-------=---------采用裂

/?山【凡d

項相消的方法求S”.

【題目詳解】設等差數列｛4｝公差為d,

a

%+5+%=42=3a5=42=>tz5=14,

,一a、14—5

d=———-=-------=3,

5-23

an-a2-(〃-2)d=3〃-l；

1(11)1

V----------=---------------

%4+11%3

1)1(11、n

---=———,,=------

4.J3123n+2J6〃+4

故答案為：3/:—1；--------?

6〃+4

15、(—1.2)

【解題分析】由題可得(％+1)(%—2)<0,即求.

【題目詳解】??,方程工+工=1表示雙曲線,

k+\k-2

/.(A+1)(4-2)<0,

*,?-1<A,<2.

故答案為：(一1,2).

16、①.6；②1).

【解題分析】利用第〃+1條直線與前〃條直線相交有〃個交點得出。川與的關系后可得結論

【題目詳解】第4條直線與前三條直線有3個交點，因此/=4+3=6,同理4=q+4=10,

由此得到第〃+1條直線與前〃條直線相交有〃個交點，所以。的=%+〃，

即/_Q=1,^一生=2,q一/=工……an-a,i=/?-1,

所以q=1+2+3+??+(〃―1)=〃("1)

2

故答案為：6；—n(n—\)

2

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17、（I）證明見解析；（II）j.

【解題分析】（I）證明出四邊形ABC；。為平行四邊形，可得出8C//AQ,然后利用線面平行的判定定理可證得結

論；也可利用空間向量計算證明；

（II）可以將平面擴展，將線面角轉化，利用幾何方法作出線面角，然后計算；也可以建立空間直角坐標系，利用空

間向量計算求解.

【題目詳解】（I）［方法一］:幾何法

如下圖所示：

在正方體A8CO-A⑸GR中，A8//A4且=A4，A耳〃GA且

:.AB//CR且AB=CR,所以，四邊形A8G"為平行四邊形，則BC"/AR,

rBGa平面ARE,ARu平面ARE,〃平面ARE；

［方法二］:空間向量坐標法

以點A為坐標原點，AD.AB.AA所在直線分別為工、），、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系A一町區,

設正方體ABCO-agGR的棱長為2,則4(0,0,0)、4(0,0,2)、D,(2,0,2),￡(0,2』)，4〃二(2,0,2),

AE=(0,2,l),

.、AD.=0f2x+2z=0

設平面人。E的法向量為〃=(x,y,z),由1,得.八,

[n^AE=0[2y+z=0

令z=-2,貝ijx=2,y=\t則〃=(2,1,-2).

?

又??向量Bq=(2,0,2),BCr/?=2x2+0xl+2x(-2)=0,

又.?8Ga平面8C"/平面ARE；

(H)[方法一]：幾何法

延長CG到尸，使得Gb=8E,連接石夕，交MG于G,

又???C///5E,???四邊形8E尸G為平行四邊形，???56//石/，

又丁BC\〃AD\,???ADJIEF,所以平面ARE即平面AD,FE,

連接。。，作GH_L〃G,垂足為H,連接可，

???FC,1平面A4GA,D、Gu平面A.B.C.D,，:.FC,1Dfi,

又＜FC\CCH=C,，，直線Dfi1平面QFH,

又???直線Dfiu平面DfiF，:.平面DfiF1平面GFH,

???G在平面RGF中的射影在直線FH上，.??直線FH為直線產G在平面RGF中的射影，ZC、FH為直線FC,與平

面。G尸所成的角，

根據直線RG〃直線4A，可知NGF”為直線AA與平面ARG所成的角.

2x1_2

設正方體的棱長為2,則C]G=GE=I,D、G=6：.C[H=

?

即直線4A與平面ARE所成角的正弦值為日

［方法二］:向量法

接續（I）的向量方法，求得平面平面ARE的法向量〃=（2」,-2）,

..〃?AA42

又.:M=（0.0,2）,/.cos<〃,M>=布丁一獲T一弓，

???直線M與平面AD,E所成角的正弦值為1.

［方法三］:幾何法+體積法

如圖，設6c的中點為F,延長尸，易證三線交于一點P

因為BB“AA^^EF//AD1,

所以直線4A與平面人力波所成的角，即直線用E與平面77?尸所成的角

設正方體的棱長為2,在二出中，易得PE=PF=芯,EF=^,

可得S.二］

乙

1311

由胃楂幽-P￡F=/棱叱8m?得§、心//=3*5乂1入1乂2.

2

整理得

RH2

所以sin/4四二蕓^二可

2

所以直線4A與平面ARE所成角的正弦值為j

［方法四］:純體積法

設正方體的棱長為2,點A到平面AER的距離為小

在△AER中，AE=EADI=26,D、E=3,

cos加…+人明江^二

2D】EAE2x3xV55

所以5布乙4后。=孚，易得S.的=3

由45閨=9-'皿，得;S四中44="八印?力，解得/?=：

JJJ

.ch2

設直線4A與平面AE。所成的角為/所以sin夕=71二三

Ari3

【整體點評】(I)的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標運算進行證明；

(H)第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學習空間向量之前的方法，有利用培養學生的集合論證和空間想象

能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計算論證和求解，定為最優解法；方法三在幾何法的基

礎上綜合使用體積方法，計算較為簡潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進行計算，省卻了輔

助線和幾何的論證，不失為一種優美的方法.

18、（1）x2=4y；（2）證明見解析；（3）（-2,5）.

【解題分析】（1）設點M,P,Q的坐標，將向量進行坐標化，整理即可得軌跡方程；（2）設點A4乏-,B匹,

I4）I-

直線NAN8的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數，用斜率公式計算得到x+%+4=0,即可計算k,、B；（3）若

NA工NB,由兩直線斜率積為T,可得到關于玉&與X+&的等量關系，寫出直線AB的方程，將等量關系代入直線

方程整理可得直線AB經過的定點

【題目詳解】（1）設M（xy）,P（小,0）,。（。,兄）?

1

%二54

由得（-/.%）=（（尤）_），0）,即.

2

%=-y

因為PR?PM=（），所以（一天）（工一題）-3y=0,所以f=4），.

所以動點M的軌跡為拋物線C,其方程為f=4），.

X

（2）證明：設點A玉,亍,

若直線的傾斜角互補,則兩直線斜率互為相反數,

*

=空，所以

又k=/—二二+2,kNB

“八X-24444

x}+x2+4=0,整理得x+占+4=0,

2

x；x2

所以*_4_4_一十々=「

ABXj-x24

(3)因為NA1NB,

g、iUVX|+2x,+21

1

所以KNA*(vs=-^—+j-=-'

即NW+2(x+工2)+20=0,①

直線A3的方程為：)，一立=qa(x—xj,

X+XX公

整理得：y=―—―7x——!——-,②

'44

將①代入②得y=七至x+2(*[+：)+2(),即)，二號型"+2)+5,

當了=-2時y=5,

即直線48經過定點(一2,5).

【題目點撥】本題考查直接法求軌跡方程，考查直線斜率為定值的求法和直線恒過定點問題.

19、(1)x2+y2=4

(2)x=l或3x-4y+5=。

【解題分析】(1)由圓心到直線的距離求得半徑，可得圓G的標準方程：

(2)當直線的斜率不存在時，求得直線/被圓G所截得的弦長為2行，符合題意；當直線，的斜率存在時，設出直

線方程，由已知弦長可得圓心到直線的距離，再由點到直線的距離公式列式求A,則直線方程可求

【小問1詳解】

1-10|

???原點0到直線3x+4y-10=0的距離為'1=2,

V32+42

???圓G的標準方程為d+),2=4；

【小問2詳解】

當直線，的斜率不存在時，直線方程為x=L代入/+),2=4,

得〉=±后，即直線，被圓G所截得的弦長為26，符合題意；

當直線，的斜率存在時，設直線方程為丁-2=&(尤一1),即日—)，—上+2=0

???直線/被圓G所截得的弦長為2百，圓的半徑為2,

則圓心到直線/的距離[=亞乙而"=1=匚㈡，解得攵=,

yjk2+]4

33

工直線/的方程為+2=0,即3x—4)，+5=()

44

綜上，直線/的方程為x=l或力-4)，+5=0

20、（1）f=11.5，,0=1°

（2）列聯表見解析，沒有

【解題分析】（1）根據平均數的定義求平均數，由于前2組的頻率和恰好為0.5,從而可求出中位數，

（2）根據頻率分布表結合已知的數據計算完成列聯表，然后計算/公式計算爐，再根據臨界值表比較可得結論

【小問1詳解】

以每組的中間值代表本組的消費金額，則網民消費金額，的平均值為

7=2.5X0.2+7.5xO.3+12.5x0.2+17.5x0.15+22.5x0.1+27.5x0.05=11.50.

頻率直方圖中第一組、第二組的頻率之和為0.04x5+0.06x5=0.5,

..?中位數為=10；

【小問2詳解】

把下表中空格里的數填上，得列聯表如下;

男女合計

252550

<0203050

合計4555100

100x(25x30-25x20)2100

計算/=1.01<2.706,

45x55x50x5099~

所以沒有90%的把握認為網購消費與性別有關.

21、（1）答案見解析

⑵（l,+oo）

【解題分析】（1）求函數的定義域及導函數，根據導數與函數的單調性關系判斷函數的單調性；（2）結合已知條件，根據

函數的單調性，極值結合零點存在性定理列不等式求實數。的取值范圍.

【小問1詳解】

=V-alnx+（l-2a）x的定義域為（0,+8）,

((土2一+……+9)…=(2川)").

JCJCX

當凡0時，/'（丈）＞0恒成立，/（力（0,十8）上單調遞增,

當a>0時，在(0,。)遞減，在(。,+8)遞增

【小問2詳解】

當“,0時，/'(">()恒成立，/(x)(0,+“)上單調遞增，

所以/(工)至多存一個零點，不符題意，故舍去.

當々>0時，“X)在(0,。)遞減，在(。,田)遞增；

所以/(工)有極小值為〃。)=-4M+(1-2a)a=〃-a\na-a2

=a(l-lna-a)

構造函數〃(a)=l-lna-a,a>0

^(^)=-1-1<0,恒成立，所以〃(a)=l-lna-a在(0,+8)單調遞減,

a

注意到?(l)=1-lnl-1=0,/(x)=x2-(71rtv+(l-247)X

①當0v?,l時，/(?)..0,

則函數/(“至多只有一個零點，不符題意，舍去.

②當”1時，函數“力圖象連續不間斷，

的極小值為/(a)vO,

+“二)>0

\e)e~eee~e

又函數/(“在單調遞減，所以/(x)在上存在唯一一個零點;

/(3t7-l)=(36r-l)2-r/ln(3?-l)+(l-2r/)(3?-l)=6f[(3^-l)-ln(3?-l)]

<7>1,.\3(7—1>2,令/=3〃-1>2,

構造函數v(/)=z-lnr,r>2,

/(r)=l-l=lz1>0恒成立.二v(r)=r-hv在(2,+oo)單調遞增，

所以v(r)>v(2)=2-ln2>0,即一ln(3a-l)>0,

所以/(3a_l)=a[(3a_l)-ln(3a_l)]>0

函數/(1)在(43々-1)單調遞增，

所以/