二項分布、Poisson分布及其應用山東大學公共衛生學院

概念及性質

二項分布

應用（率的估計與比較）

概念及性質Poisson分布

應用（率的估計與比較）主要內容Poisson分布是一種重要的離散型分布，由法國數學家S.D.Poisson（1837）提出。在醫學研究中，常用于研究單位時間、人群、空間內，某罕見事件發生次數的分布。

一、Poisson分布的概念41.模擬試驗有一桶黃豆，其中有5/1000的黃豆被染成紅色，即紅豆的發生率為0.005，然后用茶杯作為抽樣的容器（每杯大約為500個豆子）進行抽樣，觀察每杯內出現紅豆分別為0，1，2，3，

的分布概率。其分布概率服從Poisson分布的概率函數。

Poisson分布最初是作為二項分布的一個特例提出來的，在n較大，較小時，Poisson分布是二項分布的極限形式。舉例：據以往經驗，新生兒染色體異常率為1%，試分別用二項分布和Poisson分布原理，求100名新生兒中發生x例染色體異常的概率。舉例：對于（n=10，20，40，100）的四種情況7在實際工作中，Poisson分布較多地用于研究單位時間、單位空間、單位人群，某罕見事件的發生數。例如某細菌在單位空氣和單位水中出現的情況，一定人群中某患病率很低的非傳染性疾病患病數或死亡數的分布等。Poisson分布的應用82.Poisson分布的概率函數與累計概率概率函數式中，，為Poisson分布的總體平均數；X為某單位人群、容積、面積、時間、空間內某事件的發生次數，稱為樣本陽性數。遞推公式：9Poisson分布的累計概率：從陽性率為的總體中隨機抽樣時，單位時間、人群、空間內最多有k例陽性的概率最少有k例陽性的概率

Poisson分布的累計概率10例題已知某批疫苗接種后的嚴重反應率為1‰。問用該批疫苗接種150人，有2人以上發生嚴重反應的概率是多少？

=0.15113.Poisson分布的應用條件條件：除π<0.05外，其余同二項分布。從π<0.05的兩分類資料中以固定的、足夠大的n（通常為單位人群、單位容積、單位面積、單位時間）抽樣時，樣本中出現陽性數X=0,1,2…的樣本的分布為Poisson分布。124.Poisson分布的圖形

=3

=513Poisson分布的圖形

=50

=20

=1014Poisson分布的圖形Poisson分布的形狀取決于的大小：很小時(如)，Poisson分布的圖形呈正偏態；隨的增大而逐漸趨于對稱；當時，圖形近似正態分布；時，圖形為正態分布。

15Poisson分布的正態近似示意圖N(

,

)165.Poisson分布的性質Poisson分布是單參數的離散型分布，參數為。方差等于均數，。Poisson分布可以看成二項分布的特例。Poisson分布的極限形式是正態分布。Poisson分布具有可加性。多個服從Poisson分布的獨立隨機樣本，其和仍服從Poisson分布。利用Poisson分布的可加性，可通過擴大樣本含量n

，使，即可利用正態分布原理進行統計推斷。17Poisson分布的可加性若x1，x2，…，xk相互獨立，且它們分別服從參數

1，

2，…，

k的Poisson分布，則x1+

x2+…+

xk

也服從Poisson分布，其參數為

1+

2…+

k

。例：設某車間平均每升空氣中的粉塵顆粒數為25，現考慮3升空氣中的粉塵顆粒數，則它服從參數為75的Poisson分布。18二、總體平均數的估計點值估計：以X作為為μ的點值估計。由于抽樣誤差的存在，X往往不等于μ

，通常用區間估計。區間估計：根據樣本陽性數X是否大于50，可用查表法和正態近似法。19區間估計----查表法當樣本陽性數時，用查附表8Poisson分布的可信區間，可得總體平均數的95%或99%可信區間。例3.8將一個面積為100cm2的培養皿置于病房中，1h后取出，培養24h，查得8個菌落，試估計該病房平均每100cm2細菌數的95％CI。本例，查附表8，得的95%下限為3.4，上限為15.8，即該病房平均每100cm2細菌數的95％可信區間為3.4

15.8。20區間估計----正態近似法當樣本陽性數時，可按正態近似法估計

的可信區間：

21例題---正態近似法用計數器測得某放射性物質1小時內發出的脈沖數為200個,據此估計該放射性物質平均每小時發出的脈沖數的95%可信區間。22樣本陽性數與總體平均數的比較兩樣本陽性數的比較三、率的比較23（一）樣本陽性數與總體平均數的比較目的：推斷樣本所代表的未知總體平均數μ與已知總體平均數μ0是否相等。根據資料的具體情況，可選用：

1.

直接計算概率法

2.正態近似法24應用條件：μ0<20，且樣本陽性數X較小作單側檢驗時。例7已知接種某疫苗時，一般嚴重反應率為1‰。現用某批號的該種疫苗接種150人，有2人發生嚴重反應，問該批號疫苗的嚴重反應率是否高于一般？1.直接計算概率法樣本陽性數與總體平均數的比較H0(

＝0.001)成立時150人中發生嚴重反應人數的概率分布25

H0：

=

0，即該批疫苗的嚴重反應率不高于一般

H1：

>

0，即該批疫苗的嚴重反應率高于一般

=0.05

本例

0=0.001，n=150，

0=n0=0.15，x=2，根據題意需計算最少有2例發生嚴重反應的概率，P<0.05，按

=0.05水準拒絕H0，接受H1，可認為該批疫苗的嚴重反應率高于一般。樣本陽性數與總體平均數的比較----直接計算概率法26

例8

衛生標準規定,生活飲用水大腸桿菌數不得超過3個/ml。現對某飲用水進行抽檢，抽取1ml水樣培養得到5個大腸桿菌。問該水樣中的大腸桿菌是否超標？H0(

=3)成立時,每毫升水中大腸桿菌數的概率分布樣本陽性數與總體平均數的比較----直接計算概率法27

H0：

=

0，即該水樣中大腸桿菌數不超標

H1：

>0

，即該水樣中大腸桿菌數超標

=0.05

本例

0=3，x=5，根據題意需計算每毫升水有5個以上大腸桿菌的概率，

P>0.05，按

=0.05水準不拒絕H0，尚不能認為該水樣中大腸桿菌超標。樣本陽性數與總體平均數的比較----直接計算概率法28當μ0≥20時，，可利用Poisson分布的正態近似原理做檢驗。2.正態近似法樣本陽性數與總體平均數的比較29

例9

質量控制標準規定某裝置平均每小時發出質點數不超過50個。今抽查一次，在1小時內測得該裝置發出的質點數為58個，問該裝置是否符合要求？樣本陽性數與總體平均數的比較----直接計算概率法H0(=0=50)成立時,1小時內該裝置發出的質點數的概率分布30

H0：

=

0，即該裝置符合質量標準

H1：≠0

，即該裝置不符合質量標準

=0.05

u=1.1314<1.96，p>0.05，按

=0.05水準不拒絕H0，尚不能認為該裝置不符合質量標準。樣本陽性數與總體平均數的比較----直接計算概率法31

例10

某省肺癌死亡率為35.2/10萬，在該省某地抽查10萬人，進行三年死亡回顧調查，得肺癌死亡數為82人。已知該地人口年齡別構成與全省基本相同。問該地肺癌死亡率與全省有無差別？樣本陽性數與總體平均數的比較----直接計算概率法32H0:該地肺癌死亡率與全省相同，即

=

0=35.23=105.6

H1:該地肺癌死亡率與全省不同，即

0

=0.05

本例X=82，

0=105.6>20，可用正態近似法進行檢驗。

P<0.05，按

=0.05的檢驗水準拒絕H0,接受H1,

可認為該地居民肺癌死亡率低于全省。樣本陽性數與總體平均數的比較----直接計算概率法33（二）兩樣本陽性數的比較目的：推斷兩個樣本各自代表的兩總體平均數是否相等。當兩個樣本陽性數X1,X2均大于20時，可用u檢驗。

34兩樣本陽性數的比較----u檢驗1.兩樣本觀察單位(時間、面積、容積等)相同

或35

例11

某省腫瘤研究所分別在甲、乙兩縣隨機抽查10萬育齡婦女，進行追蹤觀察。三年中甲縣死于宮頸癌的有28人，乙縣死于宮頸癌者47人。問甲乙兩縣宮頸癌死亡率有無差別？

兩樣本陽性數的比較36

H0：

1=

2，即甲乙兩縣宮頸癌死亡人數/10萬相等

H1：

1

2，即甲乙兩縣宮頸癌死亡人數/10萬不等

=0.05

本例1.96<u=2.1939<2.58，故0.01<P<0.05，按

=0.05的水準拒絕H0，接受H1，可認為兩縣育齡婦女宮頸癌死亡率不同。兩樣本陽性數的比較37

例12

某車間在改革生產工藝前，隨機測量三次車間空氣中的粉塵濃度，每次取1升空氣，分別測得有38、29、36顆粉塵；改革生產工藝后又測量3次，每次取1升空氣，分別測得有25、18、21顆粉塵。問工藝改革前后粉塵濃度是否有變化？

兩樣本陽性數的比較38H0:

1=

2,工藝改革前后平均每3升空氣中的粉塵顆粒數相同H1:

1

2,工藝改革前后平均每3升空氣中的粉塵顆粒數不同

=0.05

本例u>2.58，故P<0.01，按

=0.05的水準拒絕H0，接受H1，認為改革生產工藝前后平均每3升空氣中的粉塵顆粒數不同，改革生產工藝后粉塵濃度降低了。兩樣本陽性數的比較39兩樣本陽性數的比較----u檢驗2.

兩樣本觀察單位(時間、面積、容積等)不同需先將觀察單位化為相等，即分別計算出兩樣本陽性數的平均數。

40

例13

某縣防疫站從甲水井取樣7次，每次取1ml水培養，測得菌落數分別為30、70、120、50、80、60、40；乙水井取水樣5次，每次取1ml水培養，測得菌落數分別為70、90、130、40、80。問兩水井的細菌污染狀況有無差別？

H0:

1=

2，即兩水井平均每毫升水中細菌個數相同

H1:

1

2，即兩水井平均每毫升水中細菌個數不同

=0.05兩樣本陽性數的比較41

本例，甲、乙水井中平均每毫升水中的菌落數分別為兩樣本陽性數的比較42

本例u>2.58，故P<0.01，按

=0.05的水準拒絕H0，接受H1，認為兩水井的細菌污染狀況不同，乙水井的污