二項分布、Poisson分布及其應用山東大學公共衛生學院

概念及性質

二項分布

應用（率的估計與比較）

概念及性質Poisson分布

應用（率的估計與比較）主要內容3在醫藥衛生領域的許多研究中，人們感興趣的常是某隨機事件是否發生？如，某藥治療某病有效還是無效；某化驗結果是陽性還是陰性；大鼠在毒理實驗中的生存與死亡

。這類試驗稱為“成敗型”試驗或Bernoulli試驗。在醫學統計學中，把這類變量稱為二項分類變量，所獲得的資料稱為二項分類資料，簡稱為兩分類變量和兩分類資料。二項分類資料的抽樣分布服從二項分布。一、二項分布的概念4二項分布的概念若試驗E只有兩種可能的結果(A及)，并且P(A)=

，，把E獨立地重復n次的試驗稱為n重貝努里試驗（Bernoullitrial）。

n重貝努里試驗中事件A的發生次數x所服從的分布即為二項分布（binomialdistribution），記為x～B(

,

n）。例如拋硬幣（正/反），患者治療后的結局（治愈/未愈），實驗動物染毒后結局（生存/死亡），……。51.模擬試驗有20顆珠子，其中白珠6顆，紅珠14顆；看作總體，則白珠的發生率為，紅珠的發生率為。現以每組為4顆，即，問摸到白珠分別為0、1、2、3、4的概率？6概率的乘法定理乘法定理：n個相互獨立事件同時發生的概率等于各獨立事件的概率之積。

獨立事件是指某事件的發生與否與其它事件的發生無關，如模擬試驗中，摸到白珠與否與前后摸紅或白無關，是相互獨立的。故每組中的4個珠子符合乘法定理，摸到四紅的概率為0.74＝0.2401，

。7概率的加法定理加法定理：若n個事件是互不相容(或互斥)的，則任一事件發生的概率等于該n個事件的概率之和。

互不相容事件是指一事件發生后，其它事件不能發生，如模擬試驗中一白三紅的有四種情況，四者之間為互不相容事件，若作一次試驗時，一旦為白、紅、紅、紅，就不可能是其它三種情況。對于互不相容事件，任一事件發生的概率為該n個事件的概率之和。一白三紅有四種情況，其發生的概率為4×0.3×0.73＝0.4116。8累計概率1.00009以上模擬試驗，若按“排列”來說(珠子顏色順序)有16種情況，若從“組合”來講，有5種情況，即5種組合，各種組合的概率服從二項展開式(楊輝三角)。10設1-π=a，π=b某項的概率記作：式中，π為總體陽性率；n為樣本含量，即獨立試驗次數；X為n次試驗中出現的陽性數，；為組合數，即二項式展開后各項的系數。112.二項分布的概率函數和累計概率概率函數式中，n為獨立的試驗次數，為“陽性”的概率，為“陰性”的概率，為在n次試驗中出現“陽性”的次數，表示在n次試驗中出現的組合數，稱之為二項系數（binomialcoefficient）。

12二項分布的累計概率二項分布的累計概率(cumulativeprobability)：從陽性率為的總體中隨機抽取n個觀察單位，則最多有k例陽性的概率為最少有k例陽性的概率為

13例題已知某藥物治療某病的治愈率為65%。問用該藥治療10例該病患者,最少治愈8人的概率為多大？14例題本例，

=0.65，n=10，x=8。求P(x8)。按二項分布的概率密度函數得即治療10例能至少治愈8人的概率為0.2616。153.二項分布的應用條件應用條件：

①試驗中只有對立的兩類結果，每一個觀察單位只能發生兩種對立結果之一；

②已知其中一類結果的發生率為，其對立結果的發生率為；③在同一條件下，n次試驗是相互獨立的，即各觀察單位的觀察結果相互獨立。在上述條件下，若從已知的總體中以固定n抽樣時，出現陽性數X為0，1，2，…..，n的樣本的概率服從二項展開式，故稱這種樣本的分布為二項分布。164.二項分布的圖形當

和n已知時，可按公式計算的值。以為橫坐標，為縱坐標作圖，即可繪出二項分布的圖形。二項分布的圖形是離散的，其圖形與

和n有關。17二項分布的圖形18二項分布的圖形19二項分布的圖形=0.2,n=20

=0.2,n=30=0.2,n=5=0.2,n=1020二項分布的特點當時，無論n大小，圖形均呈對稱分布。當且n小時，圖形呈偏態分布；

越遠離0.5，其分布越偏；隨著n的增大，其分布逐漸趨于對稱；時，逼近正態分布。實際工作中，只要n足夠大，

與1-

均不太小時，例如與均

5時，可看作近似正態分布。21二項分布的正態近似示意圖225.二項分布的均數和標準差設從概率為

的總體中隨機抽取樣本量為n的樣本，每個樣本的事件發生數為x，則x的總體均數和總體標準差（絕對數形式）分別為：若用相對數表示，即樣本率的均數和標準差分別為：

未知時，用樣本率p估計：

23二、總體率的估計點值估計：p為π的點值估計。由于抽樣誤差的存在，p往往不等于π

，故通常用區間估計。區間估計：根據樣本含量n的大小以及p是否遠離0.5，可用查表法和正態近似法。24總體率的區間估計----查表法當樣本含量n較小，如，特別是p很接近于0或1(遠離0.5)時，用查表法：根據n和陽性數X查“百分率的可信區間”表。某醫院眼科醫生用某種方法矯正30名近視眼患者的視力，其中8人近期有效，求該法近期有效率的95%CI。查附表7，在n=30，和X=8的交叉點處上、下限界值為12和46。即該法近期有效率的95%可信區間為12%~46%。注意：由于附表7中X值只列出了的部分，當時，應以查表，再從100中減去查得的數值即為所求可信區間。25總體率的區間估計----正態近似法當樣本含量n足夠大(如)，且樣本率p和1-p均不太小，一般np與n(1-p)均大于5時，樣本率p的抽樣分布近似正態分布，可用正態近似法。總體率π的可信區間可按下式進行估計：

26例題例3.7在某鎮按人口的1/20隨機抽取520人，作漢坦病毒IgG抗體滴度實驗，得腎綜合癥出血熱隱性感染率為5.17％，求該鎮人群中腎綜合癥出血熱隱性感染率的95%可信區間。本例P=0.0517即該鎮人群中腎綜合癥出血熱隱性感染率的95%可信區間為3.27%~7.07%。

27樣本率與總體率的比較兩樣本率的比較三、率的比較28（一）樣本率與總體率的比較目的：推斷樣本率所代表的未知總體率π與已知總體率π0是否相等。根據資料的具體情況，可選用：

1.

直接計算概率法

2.正態近似法29應用條件：π0偏離0.5較遠，且陽性數X較小作單側檢驗時。例1

根據以往長期的實踐，證明某常用藥的治愈率為80%。現在某種新藥的臨床試驗中，隨機觀察了10名用該新藥的患者，治愈9人。問該新藥的療效是否比傳統的常用藥好？1.直接計算概率法樣本率與總體率的比較30H0成立時，隨機抽查的10人中治愈人數x的分布樣本率與已知總體率的比較----直接計算概率法本例π0=0.80，1-π0=0.20，n=10，根據題意需求最少治愈9人的概率。31樣本率與總體率的比較----直接計算概率法H0：

=

0，即新藥治愈率與傳統藥物相同H1：

>

0，即新藥治愈率高于傳統藥物

=0.05

P=0.3758>0.05，按

=0.05的檢驗水準不拒絕H0，尚不能認為該新藥療效較傳統藥物療效好。32例2

據以往經驗，新生兒染色體異常率一般為1％，某醫生觀察了當地400名新生兒，發現有1例染色體異常，問該地新生兒染色體異常率是否低于一般？H0成立時,400名新生兒中染色體異常例數的概率分布樣本率與總體率的比較----直接計算概率法33H0:

=

0，即該地新生兒染色體異常率不低于一般H1:

<

0，即該地新生兒染色體異常率低于一般

=0.05本例

0=0.01，n=400，x=1，根據題意需求最多有1例染色體異常的概率P=0.0905>0.05,按

=0.05檢驗水準不拒絕H0,尚不能認為該地新生兒染色體異常率低于一般。樣本率與總體率的比較-----直接計算概率法34應用條件：當π0不太靠近0或1，且樣本含量n足夠大；或nπ0≥5且n(1-π0)≥5時，可利用二項分布的正態近似原理做檢驗。2.正態近似法樣本率與總體率的比較35

例3

據報道，某常規療法對某種疾病的治愈率為65%。現某醫生用中西醫結合療法治療了100例該病患者，共治愈80人。問該中西醫結合療法的療效是否比常規療法好？當H0成立時,100例患者中治愈人數的概率分布樣本率與總體率的比較-----正態近似法36H0：

=

0，該中西醫結合療法療效與常規療法相同

H1：

>

0，該中西醫結合療法療效好于常規療法

=0.05

本例,

0=0.65，n=100，x=80

因u=

3.14>2.33，故P<0.01，按

=0.05水準拒絕H0，接受H1，可認為中西醫結合療法的療效好于常規療法。樣本率與總體率的比較-----正態近似法37

例4

經長期臨床觀察,發現胃潰瘍患者發生胃出血癥狀的占20%。現某醫院觀察了304例65歲以上的老年胃潰瘍患者，有96例發生胃出血癥狀，占31.58%。問老年胃潰瘍患者是否較一般患者更易發生胃出血？H0成立時,304例老年胃潰瘍患者中胃出血發生人數的分布樣本率與總體率的比較-----正態近似法38H0:

=

0,即老年胃潰瘍患者胃出血發生率與一般患者相同

H1:

>

0,即老年胃潰瘍患者胃出血發生率高于一般患者

=0.05

u=5.05>2.33,P<0.01,按

=0.05水準拒絕H0,接受H1,可認為老年胃潰瘍患者較一般患者更易發生胃出血。樣本率與總體率的比較-----正態近似法39（二）兩樣本率比較目的：推斷兩個樣本各自代表的兩總體率是否相等應用條件：當兩個樣本率均滿足正態近似條件時，可用u檢驗。40兩樣本率比較

例5

為研究高血壓病的遺傳度,某醫師進行了高血壓子代患病率調查。其中父母雙親有一方患高血壓者調查了205人，其中高血壓患者101人；父母雙親均患高血壓者調查了153人，其中高血壓患者112人。問雙親中只有一方患高血壓與雙親均患高血壓的子代中，高血壓患病率是否相同？

本例p1=101/205=0.49268

p2=112/153=0.73203,

pc

=(101+112)/(205+153)=0.5949741

H0：

1

=

2，即兩組人群中子代患病率相同

H1：

1≠

2，即兩組人群中子代患病率不同

=0.05

|u|=4.5638>2.58，P<0.01，按

=0.05水準拒絕H0，接受H1，可認為兩組子代患病率不同，父母雙親均患病者子代高血壓患病率高于單親患病者。兩樣本率比較42

例6

某研究者在某地區隨機抽取10歲兒童100人，20歲青年120人，檢查發現10歲兒童中有70人患齲齒，20歲青年中有60人患齲齒，問該地區10歲兒童與20歲青年患齲齒率是否相等？