第6講慣性導(dǎo)航基礎(chǔ)概念3中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU1、向量與矩陣計算2、四元數(shù)與方向余弦3、比力方程及舒勒原理主要內(nèi)容中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU1、向量與矩陣計算向量和列矩陣中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU一個向量，可以根據(jù)其在坐標(biāo)系中的三個分量表示為列矩陣形式。例如，地面某點至地心的位置向量可以寫成如下形式:1、向量與矩陣計算向量的坐標(biāo)變換中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU同一個向量，相應(yīng)于不同坐標(biāo)系會有不同的坐標(biāo)分量，亦即有不同的列矩陣表示式。一個坐標(biāo)系中的向量可以變換至另一個坐標(biāo)系，如:式中角標(biāo)e表示地球坐標(biāo)系，矩陣稱為地球坐標(biāo)系至慣性坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣。1、向量與矩陣計算角速度向量中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU表示地球坐標(biāo)系e相對于慣性系i的旋轉(zhuǎn)角速度在地球坐標(biāo)系e下的投影。1、向量與矩陣計算反對稱矩陣中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU1、向量與矩陣計算

角速度與反對稱陣的變換中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU類似于位移向量坐標(biāo)變換，角速度向量也可以從一個坐標(biāo)系變換至另一坐標(biāo)系。例如1、向量與矩陣計算向量、反對稱矩陣運算規(guī)則中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU1、向量與矩陣計算向量、反對稱矩陣運算規(guī)則中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSUA和B分別表示a和b的反對稱陣1、向量與矩陣計算向量、反對稱矩陣運算規(guī)則中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU2、四元數(shù)與方向余弦四元數(shù)中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU1843年，英國數(shù)學(xué)力學(xué)家Hamilton首次提出四元數(shù)的數(shù)學(xué)概念。隨著剛體動力學(xué)理論的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)利用四元數(shù)和四元數(shù)矩陣可以較好地處理剛體運動學(xué)，特別是剛體運動分析的理論問題和運動控制的實際問題，尤其是發(fā)現(xiàn)其中的旋轉(zhuǎn)矩陣運算與單位四元數(shù)運算非常相似，從而使四元數(shù)方法在空間機構(gòu)學(xué)和理論力學(xué)中開始獲得應(yīng)用。定義中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU。

2、四元數(shù)與方向余弦一個有固定點的剛體通過繞該點的某個軸轉(zhuǎn)過特定角度可達到任何姿態(tài)n定義中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU。

四元數(shù)是實數(shù)和復(fù)數(shù)的推廣，設(shè)R為實數(shù)的全體四元數(shù)：描述剛體角運動的數(shù)學(xué)工具(quaternions)其中，i，j,k是二個相互正交的單位虛向量，且滿足2、四元數(shù)與方向余弦定義中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU。

稱作標(biāo)量部分稱作矢量部分?表示四元數(shù)相乘區(qū)分矢量的點乘“?”和叉乘“×”稱形如數(shù)q為四元數(shù)2、四元數(shù)與方向余弦q的共軛為定義中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU特別地，當(dāng)c=d=0時，四元數(shù)就變成了復(fù)數(shù)，這時q=a+bi；當(dāng)b=c=d=0時，四元數(shù)就成了實數(shù)，這時q=a。q的范數(shù)為q的模為q的逆為當(dāng)，稱q為單位四元數(shù)，則2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)基本性質(zhì)1．四元數(shù)加減法2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)基本性質(zhì)2．四元數(shù)乘法2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)基本性質(zhì)2．四元數(shù)乘法四元數(shù)乘法不服從交換律令：2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)基本性質(zhì)兩個矢量的四元數(shù)乘積不再是矢量，而是一個新的四元數(shù)2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)基本性質(zhì)3．四元數(shù)的除法若則若則不能表示為（含義不確切）2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)基本性質(zhì)此外2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)描述的剛體定軸轉(zhuǎn)動設(shè)2、四元數(shù)與方向余弦n中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)描述的剛體定軸轉(zhuǎn)動由矢量的四元數(shù)乘法表示為一個旋轉(zhuǎn)？2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)描述的剛體定軸轉(zhuǎn)動矢量的四元數(shù)乘法2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)描述的剛體定軸轉(zhuǎn)動2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)描述的剛體定軸轉(zhuǎn)動2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)描述的剛體定軸轉(zhuǎn)動2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)表示——矢量旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系固定，矢量

r相對坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)四元數(shù)為q，轉(zhuǎn)動后的矢量為r'，則這種轉(zhuǎn)動關(guān)系可通過四元數(shù)旋轉(zhuǎn)運算來實現(xiàn)含義：矢量r相對固定坐標(biāo)系產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)軸由q決定運算時把r當(dāng)作標(biāo)量為零，只含矢量部分的四元數(shù)。2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)表示——坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)矢量固定不動，參考坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動了一個角度。參考坐標(biāo)系OXYZ，單位矢量為i，j，k

用e表示。旋轉(zhuǎn)變換：新的單位矢量i'，j'，k'新的坐標(biāo)系OX'

Y'Z'固定矢量在新舊坐標(biāo)系投影分別為2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)表示——坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)四元數(shù)映像2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)表示——坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)則不變矢量V

在兩個坐標(biāo)系上的投影之間存在如下關(guān)系：

式中

分別稱為矢量V在坐標(biāo)系OXYZ和OX'Y'Z'上的映像。2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)表示——方向余弦將該投影變換式展開，也就是把代入上述投影變換式進行四元數(shù)乘法運算，整理運算結(jié)果可得2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)表示——方向余弦其中方向余弦矩陣

2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU四元數(shù)表示——合成旋轉(zhuǎn)對于一個坐標(biāo)系經(jīng)過多次旋轉(zhuǎn)后，新坐標(biāo)系和原始坐標(biāo)系之間的關(guān)系等效于一個一次轉(zhuǎn)動的效果，

相應(yīng)地有合成轉(zhuǎn)動四元數(shù)

假定q1、q2

分別是第一次轉(zhuǎn)動、第二次轉(zhuǎn)動的四元數(shù)

q是合成轉(zhuǎn)動的四元數(shù)，那么有如下關(guān)系成立：

上式中q1和q2的轉(zhuǎn)軸方向必須以映象的形式給出。

2、四元數(shù)與方向余弦如果q1和q2的轉(zhuǎn)軸方向都以原始坐標(biāo)系的分量表示，則有

非映象中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU用四元數(shù)建立方向余弦表——非映像方式用四元數(shù)旋轉(zhuǎn)變換的方法求取兩個坐標(biāo)系之間的方向余弦表。

坐標(biāo)系OX'Y'Z'相對OXYZ三次旋轉(zhuǎn)，以歐拉角ψ、θ、γ的形式給出。

第一轉(zhuǎn)，繞Z軸轉(zhuǎn)ψ角，瞬時轉(zhuǎn)軸n和k軸重合，則轉(zhuǎn)動四元數(shù)為

2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU第二轉(zhuǎn)，繞OX1軸轉(zhuǎn)θ角，瞬時轉(zhuǎn)軸n的方向表示式為

其轉(zhuǎn)動四元數(shù)為

用四元數(shù)建立方向余弦表——非映像方式2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU第三轉(zhuǎn)，繞OZ'軸轉(zhuǎn)動γ角瞬時轉(zhuǎn)軸e方向表達式為用四元數(shù)建立方向余弦表——非映像方式方向矢量在XYZ坐標(biāo)系中的投影為2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU用四元數(shù)建立方向余弦表——非映像方式由于q1、q2和q3的轉(zhuǎn)軸方向都是以參考坐標(biāo)分量為方向的，所以三次轉(zhuǎn)動的合成轉(zhuǎn)動四元數(shù)

q為2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU用四元數(shù)建立方向余弦表——非映像方式2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU用四元數(shù)建立方向余弦表——非映像方式2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU用四元數(shù)建立方向余弦表——映像方式采用映像方式求取兩個坐標(biāo)系之間的方向余弦表。

坐標(biāo)系OX'Y'Z'相對OXYZ三次旋轉(zhuǎn)，以歐拉角ψ、θ、γ的形式給出。

第一轉(zhuǎn)：繞Z軸轉(zhuǎn)ψ角，瞬時轉(zhuǎn)軸n用映像的形式給出2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU用四元數(shù)建立方向余弦表——映像方式所謂轉(zhuǎn)軸的映像，是指如果瞬時轉(zhuǎn)軸是由參考坐標(biāo)系某個坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)換過來的，那么，這個坐標(biāo)軸的單位矢量就是瞬時轉(zhuǎn)軸的映像。第一轉(zhuǎn)，瞬時轉(zhuǎn)軸n與Z軸重合，那么瞬時轉(zhuǎn)軸n的映像就是Z軸單位矢量k。2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU第二轉(zhuǎn)：繞OX1軸轉(zhuǎn)θ角用四元數(shù)建立方向余弦表——映像方式由于瞬時轉(zhuǎn)軸n是由OX軸經(jīng)過第1次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)換來的，OX軸對應(yīng)單位矢量i，所以n的映像為i，則q2

的映像表示式為2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU第三轉(zhuǎn)，繞OZ'軸轉(zhuǎn)動γ角用四元數(shù)建立方向余弦表——映像方式由于瞬時轉(zhuǎn)軸n是由OZ軸經(jīng)過第2次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)換來的，OZ軸對應(yīng)單位矢量k，所以n的映像為k，則q3

的映像表示式為2、四元數(shù)與方向余弦中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU用四元數(shù)建立方向余弦表——映像方式由于q1、q2和q3都是映象形式，所以三次轉(zhuǎn)動的合成轉(zhuǎn)動四元數(shù)q為結(jié)果與采用非映象形式一致，據(jù)此得到方向余弦矩陣2、四元數(shù)與方向余弦3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU哥氏加速度、絕對加速度與比力方程載體相對地球運動，地球又相對慣性空間運動，因此，對地球而言，載體的慣性加速度包含了相對加速度和哥氏加速度等。要求得載體相對地球的運動，就要建立這些加速度之間的關(guān)系式。比力方程是慣性系統(tǒng)的一個基本方程。3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU哥氏加速度3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU哥氏加速度設(shè)在某一瞬時t，直桿處于OA1位置，小球在直桿上處于B1位置。這時小球的相對速度用vr表示，其大小為vr，方向沿OA1方向，小球的牽連速度用ve表示，其大小為ve=ωr，方向與OA1垂直。3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU哥氏加速度經(jīng)過某一瞬間△t后，直桿轉(zhuǎn)動了△=ωt角度，處于OA2位置;小球在直桿上移動了?r=vr?t距離，處于B2位置。這時小球的相對速度用v'r表示，因小球在直桿上作勻速移動，故相對速度的大小仍然不變即vr=v'r，但因直桿的牽連轉(zhuǎn)動帶動小球一起轉(zhuǎn)動，故相對速度的方向改變成沿OA2方向。這時小球的牽連速度用v'e表示，因小球的相對運動使得與小球相重合的牽連點改變到B2位置，故牽連速度的大小改變成V'e=ω(r+?r)，又因直桿的牽連轉(zhuǎn)動，故牽連速度的方向改變成與OA2垂直了。3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU哥氏加速度有三個變化3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU哥氏加速度(1)是由直桿牽連轉(zhuǎn)動的影響，使小球相對速度方向改變而產(chǎn)生的加速度。如果直桿沒有牽連轉(zhuǎn)動，那么小球相對速度的方向不會發(fā)生改變，這項加速度是不存在的。(1)3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU哥氏加速度(2)(2)是由小球相對運動使小球牽連速度大小改變的加速度。如果小球沒有相對運動，那么小球牽連速度的大小不會發(fā)生改變，這項加速度是不存在的。3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU哥氏加速度可以看出：小球在直桿上作勻速移動，故小球相對加速度為零，直桿繞固定軸作勻速轉(zhuǎn)動，故小球的牽連加速度中不存在切向加速度，只存在向心加速度。這就表明，(1)和(2)兩項加速度既不是相對加速度，也不是牽連加速度，而是一種附加加速度，它就稱為哥氏加速度。原因:牽連轉(zhuǎn)動使相對速度方向發(fā)生改變；相對運動又使?fàn)窟B速度的大小發(fā)生改變。兩種原因都造成了同一方向上附加的速度變化率，即為哥氏加速度。哥氏加速度是由于相對運動與牽連轉(zhuǎn)動的相互影響而形成的。3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU哥氏加速度相對速度方向牽連速度大小3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU絕對加速度3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU絕對加速度如圖所示，設(shè)在地球表面附近航行的運載體所在點為P，它在慣性參考系oxiyizi中的位置矢量為R，在地球坐標(biāo)系Oxeyeze中的位置矢量為r，而地心相對日心位置矢量為R0。根據(jù)圖中矢量關(guān)系，可以寫出位置矢量方程:3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU絕對加速度運載體相對慣性空間的的絕對速度運載體相對地球的速度地球公轉(zhuǎn)引起的地心相對慣性空間的速度，運載體牽連速度的一部分地球自轉(zhuǎn)引起的牽連點相對慣性空間的速度，運載體牽連速度的又一部分。3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU絕對加速度因相對慣性空間再一次對時間求導(dǎo)地球相對慣性空間的角速度，可以精確地看成是常矢量3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU絕對加速度得到運載體絕對加速度的表達式3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU絕對加速度得到運載體絕對加速度的表達式3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU絕對加速度得到運載體絕對加速度的表達式3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU比力方程通常我們說“用加速度計側(cè)量載體的運動加速度”，實際上這個說法并不確切，因為加速度計測量的不是載體的運動加速度，而是載體相對慣性空間的絕對加速度和引力加速度之差，稱作“比力”。加速度計的工作原理是基于經(jīng)典的牛頓力學(xué)定律，其力學(xué)模型如圖所示。敏感質(zhì)量(質(zhì)量設(shè)為m)借助彈簧(彈簧剛度設(shè)為k)被約束在儀表殼體內(nèi)，并且通過阻尼器與儀表殼體相聯(lián)。當(dāng)沿加速度的敏感軸方向無加速度輸入時，質(zhì)量塊相對儀表殼體處于零位。3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU比力方程3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU比力方程然而，地球、月球，太陽和其它大體存在著引力場，加速度計的測量將受到引力的影響。為了便于說明，暫且不考慮運載體的加速度。如圖所示，設(shè)加速度的質(zhì)量塊受到沿敏感軸方向的引力mG(G為引力加速度)的作用，則質(zhì)量塊將沿著引力作用方向相對殼體位移而拉伸(或壓縮)彈簧。當(dāng)相對位移量達一定值時彈簧受拉(或受壓)所給出的彈簧力kxG(xG為位移量)恰與引力mG相平衡。在此穩(wěn)態(tài)情況，有如下關(guān)系成立:即穩(wěn)態(tài)時質(zhì)量塊的相對位移量xG與引力加速度G成正比。3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU比力方程對照前兩圖可以看出，沿同一軸向的a矢量和G矢量所引起的質(zhì)量塊位移方向正好相反。綜合考慮運載體加速度和引力加速度的情況下，在穩(wěn)態(tài)時質(zhì)量塊的相對位移量為即穩(wěn)態(tài)時質(zhì)量塊的相對位移量x與(a-G)成正比。阻尼器則用來阻尼質(zhì)量塊到達穩(wěn)定位置的振蕩。借助位移傳感器可將該位移量變換成電信號，所以加速度計的輸出與(a-G)成正比。3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU比力方程例如，在地球表面附近，把加速度計的敏感軸安裝得與運載體(如火箭)的縱軸平行，當(dāng)運載體以5g(g為重力加速度)的加速度垂直向上運動，即以a=5g沿敏感軸正向運動時，因沿敏感軸負(fù)向有引力加速度G≈g，故質(zhì)量塊的相對位移量為當(dāng)運載體垂直自由降落，即以a=g沿敏感軸正向運動時，因沿敏感軸正向有引力加速度G≈g，故質(zhì)量塊的相對位移量為3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU比力方程3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU比力方程令則由此可知，比力代表了作用在單位質(zhì)量上的彈簧力。因為比力的大小與彈簧變形量成正比，而加速度計輸出電壓的大小正是與彈簧變形量成正比，所以加速度計實際感測的量并非是運載體的加速度，而是比力。也因此，加速度計又稱比力敏感器。比力具有與加速度相同的量綱。3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU比力方程3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU比力方程3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU比力方程3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU比力方程3、比力方程和舒勒原理中南大學(xué)航空航天學(xué)院SchoolofAeronauticsandAstronautics,CSU比力方程3、比力方程和舒勒原理中南