2.3.2平面與平面垂直判定1/43目標導航課標要求1.了解二面角及其平面角定義,并會求簡單二面角大小.2.了解兩個平面相互垂直定義.3.了解兩個平面垂直判定定理,并能用定理判定面面垂直.素養達成經過二面角及其平面角、兩個平面相互垂直學習,鍛煉了學生邏輯思維能力、空間想象能力,促進直觀想象、邏輯推理等關鍵素養達成.2/43新知探求課堂探究3/43新知探求·素養養成點擊進入情境導學知識探究1.二面角(1)定義:從一條直線出發兩個半平面所組成圖形叫做二面角,這條直線叫二面角

,這兩個半平面叫二面角

.圖中二面角可記作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.棱面4/43(2)二面角平面角:如圖,在二面角α-l-β棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內分別作

射線OA,OB,則射線OA和OB組成∠AOB叫做二面角平面角.平面角是

二面角叫做直二面角.垂直于棱l探究2:教室相鄰兩個墻面與地面能夠組成幾個二面角?答案:能夠組成三個二面角,如圖所表示.分別是α-a-β,β-c-γ,α-b-γ.這三個二面角都是90°.直角5/432.平面與平面垂直(1)定義:普通地,兩個平面相交,假如它們所成二面角是

,就說這兩個平面相互垂直.平面α與β垂直,記作

.直二面角α⊥β(2)判定定理文字語言圖形語言符號語言一個平面過

,則這兩個平面垂直另一個平面垂線6/43探究2:過平面外一點,能夠作多少個與已知平面垂直平面?答案:無數多個.過平面外一點能夠作平面一條垂線,過此垂線能夠作出無數個平面,這些平面都與已知平面垂直.7/43自我檢測1.(二面角)以下結論:(1)兩個相交平面組成圖形叫做二面角;(2)異面直線a,b分別和一個二面角兩個半平面垂直,則a,b所成角與這個二面角平面角相等或互補.(3)二面角平面角是從棱上一點出發,分別在兩個半平面內作射線所成角最小角;(4)二面角大小與其平面角頂點在棱上位置沒相關系.其中正確是(

)(A)①③ (B)②④(C)③④ (D)①②B8/432.(判定定理)對于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β一個條件是(

)(A)m⊥n,m∥α,n∥β (B)m⊥n,α∩β=m,n?α(C)m∥n,n⊥β,m?α (D)m∥n,m⊥α,n⊥β3.(二面角)在二面角α-l-β棱l上任選一點O,若∠AOB是二面角α-l-β平面角,則必須含有條件是()(A)AO⊥BO,AO?α,BO?β(B)AO⊥l,BO⊥l(C)AB⊥l,AO?α,BO?β(D)AO⊥l,BO⊥l,且AO?α,BO?βCD9/434.(面面垂直判定)已知l⊥α,則過l與α垂直平面(

)(A)有1個(B)有2個(C)有沒有數個(D)不存在C5.(二面角)三棱錐P-ABC兩側面PAB,PBC都是邊長為2正三角形,AC=,則二面角A-PB-C大小為

.

答案:60°10/436.(面面垂直判定定理)在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則在三棱錐P-ABC四個面中,相互垂直面有

對.

答案:311/43題型一求二面角【例1】如圖所表示,在正方體ABCD-A′B′C′D′中:課堂探究·素養提升12/43(1)求二面角D′-AB-D大小;解:(1)在正方體ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥AD′,AB⊥AD,所以∠D′AD為二面角D′-AB-D平面角,在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°.所以二面角D′-AB-D大小為45°.13/43(2)若M是C′D′中點,求二面角M-AB-D大小.解:(2)因為M是C′D′中點,所以MA=MB,取AB中點N,連接MN,則MN⊥AB.取CD中點H,連接HN,則HN⊥AB.從而∠MNH是二面角M-AB-D平面角.∠MNH=45°.所以二面角M-AB-D大小為45°.14/43方法技巧(1)二面角平面角滿足:①頂點在二面角棱上;②兩邊分別在二面角兩個半平面內;③兩邊分別與二面角棱垂直.(2)二面角平面角θ是兩條射線所成角,所以二面角不一定是銳角,其范圍為0°≤θ≤180°.15/43即時訓練1-1:已知D,E分別是正三棱柱ABC-A1B1C1側棱AA1和BB1上點,且A1D=2B1E=B1C1.求過D,E,C1平面與棱柱下底面A1B1C1所成二面角大小.解:如圖所表示,在平面AA1B1B內延長DE和A1B1交于點F,則F是平面DEC1與平面A1B1C1公共點.于是C1F為這兩個平面交線.因而,所求二面角即為二面角D-C1F-A1.因為A1D∥B1E,且A1D=2B1E,所以E,B1分別為DF和A1F中點.因為A1B1=B1C1=A1C1=B1F,所以FC1⊥A1C1.又因為CC1⊥平面A1B1C1,FC1?平面A1B1C1,所以CC1⊥FC1.又因為A1C1,CC1為平面AA1C1C內兩條相交直線,所以FC1⊥平面AA1C1C.因為DC1?平面AA1C1C,所以FC1⊥DC1.所以∠DC1A1是二面角D-C1F-A1平面角.由已知A1D=A1C1,則∠DC1A1=45°.故所求二面角大小為45°.16/43【備用例1】在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a正方形,PD⊥平面ABCD,PD=a.(1)求證:AC⊥平面PBD;(1)證實:因為四邊形ABCD為正方形,所以AC⊥BD,又PD⊥平面ABCD,所以AC⊥PD,又PD∩BD=D,所以AC⊥平面PBD.17/43(2)求二面角P-BC-D平面角;(2)解:因為四邊形ABCD為正方形,所以BC⊥CD,又PD⊥平面ABCD,所以BC⊥PD.又CD∩PD=D,所以BC⊥平面PCD,所以BC⊥PC,所以∠PCD為二面角P-BC-D平面角,在Rt△PCD中,因為PD=DC=a,所以∠PCD=45°,即二面角P-BC-D平面角為45°.18/43(3)求二面角P-AC-D平面角正切值.19/43題型二平面與平面垂直判定【例2】(1)如圖(1)在四面體ABCD中,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a.求證:平面ABD⊥平面BCD;20/4321/43(2)如圖(2),在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D為BC中點,點E在AC上,且DE⊥A1E.①求證:平面A1AD⊥平面BCC1B1;②求證:平面A1DE⊥平面ACC1A1.22/43證實:(2)①因為三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱,所以BB1⊥平面ABC,又AD?平面ABC,所以AD⊥BB1,又D為BC中點,所以AD⊥BC,又BC∩BB1=B,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADA1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.②因為三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱,所以AA1⊥平面ABC,又DE?平面ABC,所以AA1⊥DE,又DE⊥A1E,A1E∩AA1=A1,所以DE⊥平面ACC1A1,又DE?平面A1DE,所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.23/43證實:因為三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱,所以AA1⊥平面A1B1C1,又FB1?平面A1B1C1,所以AA1⊥FB1,又△A1B1C1為等邊三角形,F為A1C1中點,所以B1F⊥A1C1,又A1C1∩AA1=A1,所以B1F⊥平面ACC1A1,又B1F?平面AB1F,所以平面AB1F⊥平面ACC1A1.變式探究:若本例中(2)改為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F為A1C1中點,求證:平面AB1F⊥平面ACC1A1.24/43方法技巧判定兩平面垂直慣用方法:(1)定義法:即說明兩個平面所成二面角是直二面角;(2)判定定理法:其關鍵是在其中一個平面內尋找一直線與另一個平面垂直,即把問題轉化為“線面垂直”;(3)性質法:兩個平行平面中一個垂直于第三個平面,則另一個也垂直于此平面.25/43即時訓練2-1:如圖所表示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.證實:法一

(利用定義證實)26/4327/43法二

(利用判定定理)因為SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,所以SA=AB=AC,所以點A在平面SBC上射影為△SBC外心.因為△SBC為直角三角形,所以點A在△SBC上射影D為斜邊BC中點,所以AD⊥平面SBC.又因為AD?平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC.28/43【備用例2】(·石家莊期末)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,E為PD中點.若PA⊥平面ABCD,PA=AD,求證:平面AEC⊥平面PDC.29/43證實:因為PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,且AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,又AE?平面PAD,所以CD⊥AE.因為PA=AD,E為PD中點,所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PDC,又AE?平面AEC,所以平面AEC⊥平面PDC.30/43【備用例3】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分別是A1C1,BC中點.31/43(1)證實:因為在三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱垂直于底面所以BB1⊥AB,又因為AB⊥BC,BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC1,因為AB?平面ABE.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1;32/43(2)求證:C1F∥平面ABE;33/43(3)求三棱錐E-ABC體積.34/43題型三線面垂直、面面垂直綜合問題【思索】怎樣作二面角平面角?提醒:作二面角三種慣用方法:(1)定義法:在二面角棱上找一個特殊點,在兩個半平面內分別作垂直于棱射線.如圖①,則∠AOB為二面角α-l-β平面角.35/43(2)垂直法:過棱上一點作棱垂直平面,該平面與二面角兩個半平面產生交線,這兩條交線所成角,即為二面角平面角.如圖②,∠AOB為二面角α-l-β平面角.(3)垂線法:過二面角一個面內異于棱上一點A向另一個平面作垂線,垂足為B,由點B向二面角棱作垂線,垂足為O,連接AO,則∠AOB為二面角平面角或其補角.如圖③,∠AOB為二面角α-l