隨機過程綜合練習題一、填空題（每空3分）第一章1．是獨立同分布的隨機變量，的特性函數為，則的特性函數是。2．。3．的特性函數為，，則的特性函數為。4．條件期望是的函數，（是or不是）隨機變量。5．是獨立同分布的隨機變量，的特性函數為，則的特性函數是。6．n維正態分布中各分量的互相獨立性和不有關性。第二章7．寬平穩過程是指協方差函數只與有關。8．在獨立反復試驗中，若每次試驗時事件A發生的概率為，以記進行到次試驗為止A發生的次數，則是過程。9．正交增量過程滿足的條件是。10．正交增量過程的協方差函數。第三章11．{X(t),t≥0}為具有參數的齊次泊松過程，其均值函數為；方差函數為。12．設抵達某路口的綠、黑、灰色的汽車的抵達率分別為，，且均為泊松過程，它們互相獨立，若把這些汽車合并成單個輸出過程(假定無長度、無延時)，相鄰綠色汽車之間的不一樣抵達時間間隔的概率密度是，汽車之間的不一樣抵達時刻間隔的概率密度是。13．{X(t),t≥0}為具有參數的齊次泊松過程，。14．設{X(t),t≥0}是具有參數的泊松過程，泊松過程第n次抵達時間Wn的數學期望是。15．在保險的索賠模型中，設索賠規定以平均2次/月的速率的泊松過程抵達保險企業．若每次賠付金額是均值為10000元的正態分布，求一年中保險企業的平均賠付金額。16．抵達某汽車總站的客車數是一泊松過程，每輛客車內乘客數是一隨機變量．設各客車內乘客數獨立同分布，且各輛車乘客數與車輛數N(t)互相獨立，則在[0，t]內抵達汽車總站的乘客總數是（復合or非齊次）泊松過程．17．設顧客以每分鐘2人的速率抵達，顧客流為泊松流，求在2min內抵達的顧客不超過3人的概率是．第四章18．無限制隨機游動各狀態的周期是。19．非周期正常返狀態稱為。20．設有獨立反復試驗序列。以記第n次試驗時事件A發生，且，以記第n次試驗時事件A不發生，且，若有，則是鏈。答案一、填空題1．；2．；3．4．是5．；6．等價7．時間差；8．獨立增量過程；9．10．11．；12．13．14．15．24000016．復合；17．18．2；19．遍歷狀態；20．齊次馬爾科夫鏈；二、判斷題（每題2分）第一章1．是特性函數，不是特性函數。（）2．n維正態分布中各分量的互相獨立性和不有關性等價。（）3．任意隨機變量均存在特性函數。（）4．是特性函數，是特性函數。（）5．設是零均值的四維高斯分布隨機變量，則有（）第二章6．嚴平穩過程二階矩不一定存在，因而不一定是寬平穩過程。（）7．獨立增量過程是馬爾科夫過程。（）8．維納過程是平穩獨立增量過程。（）第三章9．非齊次泊松過程是平穩獨立增量過程。（）第四章10．有限狀態空間不可約馬氏鏈的狀態均常返。（）11．有限齊次馬爾科夫鏈的所有非常返狀態集不也許是閉集。（）12．有限馬爾科夫鏈，若有狀態k使，則狀態k即為正常返的。（）13．設，若存在正整數n，使得則i非周期。（）14．有限狀態空間馬氏鏈必存在常返狀態。（）15．i是正常返周期的充要條件是不存在。（）16．平穩分布唯一存在的充要條件是：只有一種基本正常返閉集。（）17．有限狀態空間馬氏鏈不一定存在常返狀態。（）18．i是正常返周期的充要條件是存在。（）19．若，則有（）20．不可約馬氏鏈或者全為常返態，或者全為非常返態．（）答案二、判斷題1．×2．√3．√4．√5．√6．√7．√8．√9．×10．√11．√12．√13．√14．√15．√16．√17．×18．×19．√20．√三、大題第一章1．（10分）—（易）設，求的特性函數，并運用其求。2．（10分）—（中）運用反復拋擲硬幣的試驗定義一種隨機過程，出現正面和背面的概率相等，求的一維分布函數和，的二維分布函數。3．（10分）—（易）設有隨機過程，其中A與B是互相獨立的隨機變量，均服從原則正態分布，求的一維和二維分布。第二章4．（10分）—（易）設隨機過程X(t)=Vt+b，t∈(0,+∞),b為常數，V服從正態分布N(0，1)的隨機變量，求X(t)的均值函數和有關函數。5．（10分）—（易）已知隨機過程X(t)的均值函數mx(t)和協方差函數Bx(t1,t2)，g(t)為一般函數，令Y(t)=X(t)+g(t)，求隨機過程Y(t)的均值函數和協方差函數。6．（10分）—（中）設是實正交增量過程，是一服從原則正態分布的隨機變量，若對任一都與互相獨立，求的協方差函數。7．（10分）—（中）設，若已知二維隨機變量的協方差矩陣為，求的協方差函數。8．（10分）—（難）設有隨機過程和常數，試以的有關函數表達隨機過程的有關函數。第三章9．（10分）—（易）某商店每曰8時開始營業，從8時到11時平均顧客抵達率線性增長．在8時顧客平均抵達率為5人/時，11時抵達率到達最高峰20人/時，從11時到13時，平均顧客抵達率維持不變，為20人/時，從13時到17時，顧客抵達率線性下降，到17時顧客抵達率為12人/時。假定在不相重疊的時間間隔內抵達商店的顧客數是互相獨立的，問在8：30—9：30間無顧客抵達商店的概率是多少在這段時間內抵達商店的顧客數學期望是多少?10．（15分）—（難）設抵達某商店的顧客構成強度為的泊松過程，每個顧客購置商品的概率為，且與其他顧客與否購置商品無關，求（0，t）內無人購置商品的概率。11．（15分）—（難）設X1(t)和X2(t)是分別具有參數和的互相獨立的泊松過程，證明：Y(t)是具有參數的泊松過程。12．（10分）—（中）設移民到某地區定居的戶數是一泊松過程，平均每周有2戶定居．即。假如每戶的人口數是隨機變量，一戶四人的概率為1/6，一戶三人的概率為1/3，一戶兩人的概率為1/3，一戶一人的概率為1/6，并且每戶的人口數是互相獨立的，求在五周內移民到該地區人口的數學期望與方差。13．（10分）—（難）在時間t內向電話總機呼喊k次的概率為，其中為常數．假如任意兩相鄰的時間間隔內的呼喊次數是互相獨立的，求在時間2t內呼喊n次的概率14．（10分）—（易）設顧客到某商場的過程是泊松過程，巳知平均每小時有30人抵達，求下列事件的概率：兩個顧客相繼抵達的時間間隔超過2min15．（15分）—（中）設進入中國上空流星的個數是一泊松過程，平均每年為10000個．每個流星能以隕石落于地面的概率為0.0001，求一種月內落于中國地面隕石數W的EW、varW和P{W≥2}．16．（10分）—（易）通過某拾字路口的車流是一泊松過程．設1min內沒有車輛通過的概率為0.2，求2min內有多于一輛車通過的概率。17．（10分）—（易）設顧客到某商場的過程是泊松過程，巳知平均每小時有30人抵達，求下列事件的概率：兩個顧客相繼抵達的時間間隔短于4min18．（15分）—（中）某刊物郵購部的顧客數是平均速率為6的泊松過程，訂閱1年、2年或3年的概率分別為1／2、l／3和1／6，且互相獨立．設訂一年時，可得1元手續費；訂兩年時，可得2元手續費；訂三年時，可得3元手續費.以X(t)記在[0，t]內得到的總手續費，求EX(t)與varX(t)19．（10分）—（易）設顧客抵達商場的速率為2個／min，求(1)在5min內抵達顧客數的平均值；(2)在5min內抵達顧客數的方差；(3)在5min內至少有一種顧客抵達的概率．20．（10分）—（中）設某設備的有效期限為，在前5年內平均2.5年需要維修一次，後5年平均2年需維修一次，求在有效期限內只維修過1次的概率．21．（15分）—（難）設X(t)和Y(t)(t≥0)是強度分別為和的泊松過程，證明：在X(t)的任意兩個相鄰事件之間的時間間隔內，Y(t)恰好有k個事件發生的概率為。第四章22．（10分）—（中）已知隨機游動的轉移概率矩陣為求三步轉移概率矩陣P(3)及當時始分布為時，經三步轉移後處在狀態3的概率。23．（15分）—（難）將2個紅球4個白球任意地分別放入甲、乙兩個盒子中，每個盒子放3個，現從每個盒子中各任取一球，互換後放回盒中(甲盒內取出的球放入乙盒中，乙盒內取出的球放入甲盒中)，以X(n)表達通過n次互換後甲盒中紅球數，則{X(n)，n≥0}為齊次馬爾可夫鏈，求（1）一步轉移概率矩陣；（2）證明：{X(n)，n≥0}是遍歷鏈；（3）求。24．（10分）—（中）已知本月銷售狀態的初始分布和轉移概率矩陣如下：求下一、二個月的銷售狀態分布。25．（15分）—（難）設馬爾可夫鏈的狀態空間I＝{1，2，…，7}，轉移概率矩陣為求狀態的分類及各常返閉集的平穩分布。26．（15分）—（難）設河流每天的BOD(生物耗氧量)濃度為齊次馬爾可夫鏈，狀態空間I={1，2，3，4}是按BOD濃度為極低，低、中、高分別表達的，其一步轉移概率矩陣(以一天為單位)為若BOD濃度為高，則稱河流處在污染狀態。(1)證明該鏈是遍歷鏈；(2)求該鏈的平穩分布；(3)河流再次到達污染的平均時間。27．（10分）—（易）設馬爾可夫鏈的狀態空間I＝{0，1，2，3}，轉移概率矩陣為求狀態空間的分解。28．（15分）—（難）設馬爾可夫鏈的狀態空間為I＝{1，2，3，4}．轉移概率矩陣為討論29．（10分）—（易）設馬爾可夫鏈的轉移概率矩陣為求其平穩分布。30．（15分）—（難）甲乙兩人進行一種比賽，設每局比賽甲勝的概率是p，乙勝的概率是q，和局的概率為r，且p+q+r=1．設每局比賽勝者記1分，負者記一1分．和局記零分。當有一人獲得2分時比賽結束．以表達比賽至n局時甲獲得的分數，則是齊次馬爾可夫鏈．（1）寫出狀態空間I；（2）求出二步轉移概率矩陣；（3）求甲已獲1分時，再賽兩局可以結束比賽的概率．31．（10分）—（中）(天氣預報問題)設明天與否有雨僅與今天的天氣有關，而與過去的天氣無關．又設今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為，規定有雨天氣為狀態0，無雨天氣為狀態l。因此問題是兩個狀態的馬爾可夫鏈．設，求今天有雨且第四天仍有雨的概率．32．（10分）—（中）設是一種馬爾可夫鏈，其狀態空間I={a，b，c}，轉移概率矩陣為求（1）（2）33．（15分）—（難）設馬爾可夫鏈的狀態空間I＝{1，2，…，6}，轉移概率矩陣為試分解此馬爾可夫鏈并求出各狀態的周期。答案三、大題解：引入隨機變量………………（1分）…………（3分）…………（4分）………（6分）…………（8分）…………（10分）2．解：依題意知硬幣出現正背面的概率均為1/2當t=1/2時，X（1/2）的分布列為其分布函數為…………（3分）同理，當t=1時Ｘ(1)的分布列為其分布函數為…………（5分）由于在不一樣步刻投幣是互相獨立的，故在t=1/2，t=1時的聯合分布列為故聯合分布函數為………（10分）3．解：對于任意固定的t∈T，X(t)是正態隨機變量，故因此X（t）服從正態分布…………（3分）另一方面任意固定的則依n維正態隨機向量的性質，服從二維正態分布，且………………（8分）因此二維分布是數學期望向量為（0，0），協方差為的二維正態分布。………………（10分）4．解：，，故服從正態分布，均值函數為…………（4分）有關函數為………………（10分）5．解：………………（4分）………………（10分）6．解：由于是實正交增量過程，故服從原則正態分布，因此………（2分）………（4分）又由于都與互相獨立………………（6分）………（8分）………（10分）7．解：運用數學期望的性質可得，……………（2分）…………（8分）…………………（10分）8．解：……………（2分）…………（10分）解：根據題意知顧客的抵達率為…………（3分）…………（6分）…………（10分）10．解：設表達抵達商店的顧客數，表達第i個顧客購物與否，即則由題意知獨立同分布．且與獨立因此，是復合泊松過程，表達（0，t）內購置商品的顧客數，………（5分）由題意求……（10分）…………（15分）11．證明：…………（5分）………（10分）故Y(t)是具有參數的泊松過程……………（15分）12.解：設為在時間[0，t]內的移民戶數，其是強度為2的泊松過程，表達每戶的人數，則在[0，t]內的移民人數是一種復合泊松過程。……（2分）是獨立同分布的隨機變量，其分布為1234…………（4分）…………（7分）…………（10分）13．解：以A記時間2t內呼喊n次的事件，記第一時間間隔內呼喊為，則，第二時間間隔內成立，于是……（4分）…………（8分）………（10分）14．解：由題意，顧客抵達數N(t)是強度為的泊松過程，則顧客抵達的時間間隔服從參數為的指數分布，……（4分）……………（10分）15．解：設是t年進入中國上空的流星數，為參數的齊次泊松過程設即由題意知，是一種復合泊松過程…………………（5分）是參數為的泊松過程……………（10分）………………（15分）16．解：以表達在內通過的車輛數，設是泊松過程，則………………（2分）………………（5分）………（10分）17．解：由題意，顧客抵達數N(t)是強度為的泊松過程，則顧客抵達的時間間隔服從參數為的指數分布，……（4分）…………（10分）18．解：設Z(t)為在[0，t]內來到的顧客數，為參數的齊次泊松過程，是每個顧客訂閱年限的概率分布，且獨立同分布，由題意知，為[0，t]內得到的總手續費，是一種復合泊松過程…………………（5分）…………………（8分）……（15分）19．解：N(t)表達在[0，t)內抵達的顧客數，顯然{N(t),t≥0}是泊松過程，，則當t=2時，N（5）服從泊松過程………（5分）故………（10分）20．解：由于維修次數與使用時間有關，因此該過程是非齊次泊松過程，強度函數則………（6分）………（10分）21．證明：設X（t）的兩個相鄰事件的時間間隔為，依獨立性有………（2分）而X（t）的不一樣抵達時刻的概率密度函數為………（4分）由于X（t）是泊松過程，故Y（t）恰好有k個事件發生的概率為………（8分）………（10分）解：……（6分）…………（10分）解：由題意知，甲盒中的球共有3種狀態，表達甲盒中的紅球數甲盒乙盒22紅、1白3白11紅、2白1紅、2白03白2紅、1白{甲乙互換一球後甲盒仍有3個白球|甲盒有3個白球}=P{從乙盒放入甲盒的一球是白球}=1/3{甲乙互換一球後甲盒有2個白球1個紅球|甲盒有3個白球}=P{從乙盒放入甲盒的一球是紅球}=2/3{甲乙互換一球後甲盒有1個白球2個紅球|甲盒有3個白球}=0以此類推，一步轉移概率矩陣為……（8分）（2）由于各狀態互通，所認為不可約有限馬氏鏈，且狀態0無周期，故馬氏鏈為遍歷鏈。…………（10分）（3）解方程組即……（13分）解得…………（15分）24．解：…………（5分）…………（10分）25．解：是非常返集，，是正常返閉集。…………………（5分）常返閉集上的轉移矩陣為解方程組，其中，解得上的平穩分布為………………（10分）同理解得上的平穩分布為………………（15分）26.解：（1）由于，故馬氏鏈不可約，又由于狀態1非周期，故馬氏鏈是遍歷鏈……………（5分）（2）解方程組其中解得…（10分）（3）……………（15分）27．解：狀態傳遞圖如下圖……（2分）由狀態3不也許抵達任何其他狀態，因此是常返態．由狀態2可抵達0，1，3三個狀態，但從0，1，3三個狀態都不能抵達狀態2，且，故狀態2是非常返狀態。…………………（5分）狀態0，1互通且構成一種基本常返閉集，故狀態0，1是常返態。