試題PAGE1試題2024北京陳經綸中學初二（下）期中數學時間：90分鐘滿分：100分一、選擇題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的.1.下列二次根式中，最簡二次根式是（）A. B. C. D.2.下列四組線段中，能作為直角三角形三條邊的是（）A.1，2， B.6，8，9 C.1，2， D.5，12，143.下列計算正確的是（）A. B. C. D.4.下列條件中，不能判斷四邊形是平行四邊形的是（）A. B.C. D.5.如圖，在中，，，，，則的長為（）A.1.5 B.2 C.3 D.46.如圖，在平面直角坐標系中，已知點O（0，0），A（2，3），以點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交x軸的正半軸于B點，則B點的橫坐標介于（）A.3和4之間 B.4和5之間 C.5和6之間 D.6和7之間7.如圖，在菱形中，，點E，F分別在上，且，過點E作交于點G，過點F作交于點H，與交于點O．當四邊形比四邊形的周長大12時，的值為（）A.6.5 B.6 C.5.5 D.58.如圖，在矩形中，對角線，交于點，點為邊上一點，過分別作，，垂足為點，，過作，垂足為點，若知道與的周長和，則一定能求出（）A.的周長 B.的周長C.的周長 D.四邊形APFH的周長二、填空題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.9.若二次根式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是______________．10.平行四邊形ABCD中，∠A+∠C=200°，則∠B=_______.11.如圖，A、B兩點分別位于一個池塘的兩端，小聰想用繩子測量A、B間的距離，但繩子不夠長，一位同學幫他想了一個主意：先在地上取一個可以直接到達A、B的點C，找到AC、BC的中點D、E，并且測出DE的長為10m，則A、B間的距離為______________．12.如圖，O是矩形ABCD的對角線的交點，M是AD的中點．若BC=8，OB=5，則OM的長為_______．13.菱形中，，則菱形的面積是_________．14.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足為F，已知∠DAF＝50°，則∠C的度數是____．15.下列命題中，其逆命題成立的是______________．（填相應的序號）①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②平行四邊形對角線互相平分．③如果，那么．④線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．16.如圖，菱形的對角線相交于點O，P為邊上一動點（不與點A，B重合），于點E，于點F，若，則的最小值為______．三、解答題：本大題共10個小題，共52分.第17題8分，第18-19題每題4分，第20-24、26題每題5分，第25題6分.17.計算：（1）；（2）．18.計算：．19.下面是小明設計的“利用已知矩形作一個內角為角的平行四邊形”的尺規作圖過程．已知：矩形．求作：平行四邊形，使．作法：如圖，①分別以A，B為圓心，以大于長為半徑，在兩側作弧，分別交于點E，F；②作直線；③以點A為圓心，以長為半徑作弧，交直線于點G，連接；④以點G為圓心，以長為半徑作弧，交直線于點H，連接．則四邊形即為所求作的平行四邊形．根據小明設計的尺規作圖過程，填空：（1）的大小為______________；（2）判定四邊形是平行四邊形的依據是______________________________．20.如圖，將平行四邊形的對角線向向兩個方向延長，分別至點和點，且使得，求證：四邊形為平行四邊形．21.如圖，在△ABC中，點D，點E分別是邊AC，AB的中點，點F在線段DE上，AF＝5，BF＝12，AB＝13，BC＝19，求DF的長度．22.如圖，在平行四邊形中，，作，CE交AB于點O，交DA的延長線于點E，連接BE．（1）求證：四邊形ACBE是矩形；（2）連接OD．若，，求OD的長．23.如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長為，網格的中心標記為點按要求畫四邊形，使它的四個頂點均落在格點上，且點為其對角線交點：（1）在圖中畫一個兩邊長分別為和的矩形；（2）在圖中畫一個平行四邊形，使它有且只有一條對角線與(1)中矩形的對角線相等；（3）在圖中畫一個正方形，使它的對角線與(1)中所畫矩形的對角線相等．24.閱讀下面材料：我們在學習二次根式時，熟悉的是分母有理化以及應用，其實，還有一個方法叫做“分子有理化”，與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較和的大小可以先將它們分子有理化如下：，，因為，所以．再例如：求的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，當x＝2時，分母有最小值2，所以y的最大值是2．解決下述問題：（1）由材料可知，__________；（2）比較和的大小；（3）式子的最小值是__________．25.如圖，正方形中，點P是邊上的一點（不與點C、D重合），連接，，O為的中點，過點P作于E，連接．（1）依題意補全圖形；（2）求的大小（用含a的式子表示）；（3）用等式表示線段與之間的數量關系，并證明．26.在平面直角坐標系中，如果P，Q為某個菱形相鄰的兩個頂點，且該菱形的兩條對角線分別與x軸，y軸平行，那么稱該菱形為點P，Q的“相關菱形”．圖1為點P，Q的“相關菱形”的一個示意圖．已知點A的坐標為，點B的坐標為，（1）如果，那么R，S，T中能夠成為點A，B的“相關菱形”頂點的是；（2）如果點A，B的“相關菱形”為正方形，求點B的坐標．（3）如圖2，在矩形中，F．點M的坐標為，如果在矩形上存在一點N，使得點M，N的“相關菱形”為正方形，直接寫出m的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的.1.【答案】B【分析】根據最簡二次根式的定義逐項判斷即可得．【詳解】A、，則不是最簡二次根式，此項不符題意；B、是最簡二次根式，此項符合題意；C、，則不是最簡二次根式，此項不符題意；D、，則不是最簡二次根式，此項不符題意；故選：B．【點睛】本題考查了最簡二次根式，熟記定義是解題關鍵．2.【答案】A【分析】本題考查勾股定理逆定理，利用勾股定理逆定理，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、，能作為直角三角形三條邊，符合題意；B、，不能作為直角三角形三條邊，不符合題意；C、，不能作為直角三角形三條邊，不符合題意；D、，不能作為直角三角形三條邊，不符合題意；故選A．3.【答案】B【分析】本題主要考查二次根式的運算．根據二次根式的加減乘除運算可進行求解．【詳解】解：A、與不是同類二次根式，不能計算，故不符合題意；B、，原計算正確，故符合題意；C、，原計算錯誤，故不符合題意；D、，原計算錯誤，故不符合題意；故選：B．4.【答案】C【分析】根據平行四邊形的判斷方法一一判斷即可解決問題．【詳解】解：A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，故本選項錯誤；B、∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，故本選項錯誤；C、根據AB=CD，AD∥BC可能得出四邊形是等腰梯形，不一定推出四邊形ABCD是平行四邊形，錯誤，故本選項正確；D、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，故本選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定的應用，注意：平行四邊形的判定定理有：①有兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，②有兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③有一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，⑤有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．5.【答案】B【分析】根據直角三角形兩銳角互余求出，然后根據角所對的直角邊等于斜邊的一半求出，利用勾股定理求出，，再求出，然后求出，從而得到，根據等角對等邊可得，從而得解．【詳解】解：，，，，∵∴∴，，，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，勾股定理，直角三角形兩銳角互余的性質，等角對等邊的性質，解題的關鍵是掌握相應的性質定理．6.【答案】A【分析】先根據勾股定理求出OA的長，由于OB=OA，故估算出OA的長，再根據點B在x軸的正半軸上即可得出結論．【詳解】解：∵點A坐標為（2，3），∴OA==，∵點A、B均在以點O為圓心，以OA為半徑的圓上，∴OA=OB=，∵3＜＜4，點B在x軸的正半軸上，∴點B的橫坐標介于3和4之間．故選：A．【點睛】本題考查的是勾股定理及估算無理數的大小，根據題意利用勾股定理求出OA的長是解答此題的關鍵．7.【答案】C【分析】本題主要考查了菱形的判定和性質，熟練掌握菱形的判定和性質定理是解題的關鍵．根據菱形的性質可得到四邊形、四邊形、四邊形、四邊形是平行四邊形，再由，可得四邊形是菱形，四邊形是菱形，即可求解．【詳解】解：在菱形中，，∵，∴，∵，∴，∴四邊形、四邊形、四邊形、四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴四邊形是菱形，，∴，∴四邊形是菱形，∵四邊形比四邊形的周長大12，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C8.【答案】B【分析】本題考查了矩形的判定與性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．過點作于，連接，證出四邊形為矩形，得出，證明，由全等三角形的性質得出，證明，則可得出答案．【詳解】解：過點作于，連接，，，四邊形為矩形，，四邊形為矩形，，，，，，，，同理，，，，，，，又，，，與的周長和知道與的周長和，一定能求出的周長．故選：B．二、填空題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.9.【答案】【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據被開方數大于等于0，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故答案為：．10.平行四邊形ABCD中，∠A+∠C=200°，則∠B=_______.【答案】80°##80度【分析】根據平行四邊形的性質（平行四邊形的對角相等，對邊平行）可得，又由，可得．【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，，，，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質：平行四邊形的對角相等，對邊平行．熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．11.【答案】20m【詳解】∵AC、BC的中點D、E，∴DE為三角形ABC的中位線，∴DE=AB,∵DE=10m,∴AB=20m.故答案為20m12.【答案】3【分析】首先由O是矩形ABCD對角線AC的中點，可求得AC的長，然后由勾股定理求得AB的長，即CD的長，又由M是AD的中點，可得OM是△ACD的中位線，進而求得答案．【詳解】解：∵O是矩形ABCD對角線AC的中點，OB=5，∴AC=2OB=10，∴CD=AB=，∵M是AD的中點，∴OM=CD=3．故答案為：3．【點睛】此題考查了矩形的性質、直角三角形的性質以及三角形中位線的性質．注意利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求得AC的長是關鍵．13.【答案】【分析】本題考查菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理．連接交于點，先證明是等邊三角形，得到，三線合一，求出的長，進而得到的長，利用菱形的面積公式，對角線乘積的一半，進行求解即可．【詳解】解：如圖，連接交于點，∵菱形中，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴菱形的面積為．故答案為：．14.【答案】100°.【分析】根據直角三角形兩銳角互余，平行四邊形的性質即可解決問題.【詳解】∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∵∠DAF＝50°，∴∠ADF＝90°﹣50°＝40°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADF＝80°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠C+∠ADC＝180°，∴∠C＝100°故答案為100°.【點睛】本題考查平行四邊形的性質、直角三角形的性質、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．15.【答案】①②④【分析】本題考查判斷逆命題的真假，平行四邊形的判定和性質，中垂線的判定和性質，先寫出各項的逆命題，再判斷真假即可．【詳解】解：①的逆命題為：平行四邊形的兩組對邊分別平行，是真命題，成立；②的逆命題為對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，是真命題，成立；③的逆命題為：如果，那么，是假命題，不成立；④的逆命題為到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，是真命題，成立；故答案為：①②④．16.【答案】【分析】連接，根據菱形的性質得到，，根據矩形的判定定理得到四邊形是矩形，求得，當時，最小，利用含30度角的直角三角形的性質和勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示，∵四邊形是菱形，∴，，，∵于點，于點，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵當取最小值時，的值最小，∴當時，最小，即的值最小，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，垂線段最短，菱形的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握垂線段最短是解題的關鍵．三、解答題：本大題共10個小題，共52分.第17題8分，第18-19題每題4分，第20-24、26題每題5分，第25題6分.17.【答案】（1）（2）【分析】本題考查二次根式的混合運算：（1）利用二次根式的性質進行化簡，進行除法運算，再進行加減運算即可；（2）先化簡計算括號內，再進行乘除運算即可．【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】原式．18.【答案】【分析】本題考查了二次根式的混合運算．先化簡，再計算括號內的減法，然后計算除法即可求解．【詳解】解：．19.【答案】（1）（2）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【分析】本題考查了垂直平分線的性質，等邊三角形的判定與性質，平行四邊形的判定等知識．熟練掌握垂直平分線的性質，等邊三角形的判定與性質，平行四邊形的判定是解題的關鍵．（1）如圖，連接，由是的垂直平分線，可得，則是等邊三角形，進而可求的度數；（2）由題意知，由，可證四邊形是平行四邊形，然后作答即可；【小問1詳解】解：如圖，連接，∵是的垂直平分線，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為：；【小問2詳解】解：∵，∴四邊形是平行四邊形，∴判定依據為一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故答案為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；20.【答案】見解析【分析】連接，與交于點O，由平行四邊形的性質得，再證得，即可得出結論．【詳解】連接，與交于點O．如圖所示：∵四邊形是平行四邊形，∴，又∵，∴，即．∴四邊形是平行四邊形．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證出是解題的關鍵．21.【答案】3【分析】由題易得出DE為的中位線，即．由勾股定理逆定理可判斷，即可利用直角三角形斜邊中線的性質求出，從而即可求出．【詳解】∵點D，點E分別是邊AC，AB的中點，∴DE為的中位線，∴．∵AF＝5，BF＝12，AB＝13，∴,∴,∴，∴．【點睛】本題考查三角形中位線的性質，勾股定理逆定理，直角三角形斜邊中線的性質．熟練掌握上述知識是解題關鍵．22.【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）先證明四邊形ACBE是平行四邊形，然后根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明；（2）先證明?AOC為等邊三角形，由各角之間的關系得出∠FAO=90°-60°=30°，根據含有30°角的直角三角形的性質及勾股定理進行求解即可得出結果．【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AC⊥AD，∴∠EAC=∠DAC=90°，∵∠ECA=∠ACD，∴∠AEC=∠ADC，∴CE=CD，∴AE=AD=BC，∵AE∥BC，∴四邊形ACBE是平行四邊形，∵∠EAC=90°，∴四邊形ACBE為矩形；【小問2詳解】如圖，過點O作OF⊥DE于F，由（1）可知，四邊形ACBE為矩形，∴對角線AB與CE相等且互相平分，AO=，∴OA=OC，∵∠ACD=∠ACO=60°，∴?AOC為等邊三角形，∴∠OAC=60°，∵∠EAC=90°，∴∠FAO=90°-60°=30°，在Rt?AFO中，OF=，，在Rt?AEB中，，AD=AE=，∴DF=AF+AD=，∴OD=．【點睛】題目主要考查矩形的判定和性質，平行四邊形的性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，含有30°角的直角三角形的性質等，理解題意，熟練掌握運用這些知識點是解題關鍵．23.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【分析】（1）根據網格的特點，矩形的性質即可得到結論；（2）根據（1）的結論，固定點，根據平行四邊形的性質，作出點，順次連接即可得到結論；（3）固定點，根據網格的特點，勾股定理正方形的性質即可得到結論．【小問1詳解】解：如圖，矩形即為所求；【小問2詳解】解：如圖，平行四邊形即為所求；【小問3詳解】解：如圖，正方形即為所求．，且則正方形即為所求．【點睛】本題考查了勾股定理與網格問題，矩形的性質，平行四邊形的性質，正方形的性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．24.【答案】（1）（2）（3）【分析】本題考查二次根式的混合運算，分子有理化：（1）根據分子有理化的方法進行求解即可；（2）利用分子有理化得到，，然后比較和的大小即可得到與的大小；（3）利用二次根式有意義的條件得到，而，利用當時，有最小值，有最小值0得到的最小值．【小問1詳解】解：，故答案為：．【小問2詳解】，，而，，，；【小問3詳解】由，，得，，當時，有最大值，則有最小值，此時有