試卷第=page11頁，共=sectionpages2626頁試卷第=page2424頁，共=sectionpages2525頁專題24四邊形壓軸綜合（3大考點）【考點歸納】TOC\o"1-2"\h\z\u一、考點01線段周長問題 1二、考點02面積、比例問題 12三、考點03角度問題 23考點01線段周長問題一、考點01線段周長問題1．（2024·海南·中考真題）正方形中，點E是邊上的動點（不與點B、C重合），，，交于點H，交延長線于點G．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，于點P，交于點M．①求證：點P在的平分線上；②當時，猜想與的數量關系，并證明；③作于點N，連接，當時，若，求的值．2．（2024·山東濟南·中考真題）某校數學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了深入研究．（一）拓展探究如圖1，在中，，垂足為．（1）興趣小組的同學得出．理由如下：①______②______請完成填空：①______；②______；（2）如圖2，為線段上一點，連接并延長至點，連接，當時，請判斷的形狀，并說明理由．（二）學以致用（3）如圖3，是直角三角形，，平面內一點，滿足，連接并延長至點，且，當線段的長度取得最小值時，求線段的長．3．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在中，．(1)尺規作圖：作的角平分線，在角平分線上確定點，使得；（不寫作法，保留痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，，則的長是多少？（請直接寫出的值）4．（2024·湖北·中考真題）在矩形中，點E，F分別在邊AD，上，將矩形沿折疊，使點A的對應點P落在邊CD上，點B的對應點為點G，交于點H．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當P為CD的中點，，時，求的長；(3)如圖3，連接，當P，H分別為CD，的中點時，探究與AB的數量關系，并說明理由．5．（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發現】如圖1，在中，點D在邊上．若，則，請證明；（2）【靈活運用】如圖2，在中，，點D為邊的中點，，點E在上，連接，．若，求的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形中，，點E，F分別在邊，上，，延長，相交于點G．若，，求的長．6．（2024·湖南長沙·中考真題）對于凸四邊形，根據它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據該約定，解答下列問題：(1)請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；

（

）②內角不等于的菱形一定是“內切型單圓”四邊形；

（

）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，則有．（

）(2)如圖1，已知四邊形內接于，四條邊長滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若的平分線交于點E，的平分線交于點F，連接．求證：是的直徑．(3)已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內切圓與分別相切于點E，F，G，H．①如圖2．連接交于點P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內切圓的半徑r及的長．7．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰中，，，點，分別在，上，，連接，，取中點，連接．(1)求證：，；(2)將繞點順時針旋轉到圖2的位置．①請直接寫出與的位置關系：___________________；②求證：．8．（2024·內蒙古通遼·中考真題）數學活動課上，某小組將一個含的三角尺利一個正方形紙板如圖1擺放，若，．將三角尺繞點逆時針方向旋轉角，觀察圖形的變化，完成探究活動．【初步探究】如圖2，連接，并延長，延長線相交于點交于點．問題1和的數量關系是________，位置關系是_________．【深入探究】應用問題1的結論解決下面的問題．問題2如圖3，連接，點是的中點，連接，．求證．【嘗試應用】問題3如圖4，請直接寫出當旋轉角從變化到時，點經過路線的長度．9．（2024·吉林長春·中考真題）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線（是常數）經過點．點、是該拋物線上不重合的兩點，橫坐標分別為、，點的橫坐標為，點的縱坐標與點的縱坐標相同，連結、．(1)求該拋物線對應的函數表達式；(2)求證：當取不為零的任意實數時，的值始終為2；(3)作的垂直平分線交直線于點，以為邊、為對角線作菱形，連結．①當與此拋物線的對稱軸重合時，求菱形的面積；②當此拋物線在菱形內部的點的縱坐標隨的增大而增大時，直接寫出的取值范圍．10．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在中，，．點是邊上的一點（點不與點、重合），作射線，在射線上取點，使，以為邊作正方形，使點和點在直線同側．(1)當點是邊的中點時，求的長；(2)當時，點到直線的距離為________；(3)連結，當時，求正方形的邊長；(4)若點到直線的距離是點到直線距離的3倍，則的長為________．（寫出一個即可）11．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形中，．點在射線上運動（不與點，點重合），關于的軸對稱圖形為．(1)當時，試判斷線段和線段的數量和位置關系，并說明理由；(2)若，為的外接圓，設的半徑為．①求的取值范圍；②連接，直線能否與相切？如果能，求的長度；如果不能，請說明理由．12．（2024·廣東·中考真題）【問題背景】如圖1，在平面直角坐標系中，點B，D是直線上第一象限內的兩個動點，以線段BD為對角線作矩形，軸．反比例函數的圖象經過點A．【構建聯系】（1）求證：函數的圖象必經過點C．（2）如圖2，把矩形沿BD折疊，點C的對應點為E．當點E落在y軸上，且點B的坐標為時，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形沿BD折疊，點C的對應點為E．當點E，A重合時，連接交BD于點P．以點O為圓心，長為半徑作．若，當與的邊有交點時，求k的取值范圍．13．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在中，為銳角，點在邊上，連接，且．

(1)如圖1，若是邊的中點，連接，對角線分別與相交于點．①求證：是的中點；②求；(2)如圖2，的延長線與的延長線相交于點，連接的延長線與相交于點．試探究線段與線段之間的數量關系，并證明你的結論．14．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．(1)如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；(2)如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關系，并說明理由；(3)①如圖3所示，在中，，，交于點，請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；②若關于直線對稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點，連接，請直接寫出的值．15．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在CD上，的對稱點為交于．(1)求證：．(2)若為中點，且，求長．(3)連接，若為中點，為中點，探究與大小關系并說明理由．16．（2024·山東威海·中考真題）如圖，在菱形中，，，為對角線上一動點，以為一邊作，交射線于點，連接．點從點出發，沿方向以每秒的速度運動至點處停止．設的面積為，點的運動時間為秒．(1)求證：；(2)求與的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍；(3)求為何值時，線段的長度最短．17．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，點依次在直線上，點固定不動，且，分別以為邊在直線同側作正方形、正方形，，直角邊恒過點，直角邊恒過點．(1)如圖，若，，求點與點之間的距離；(2)如圖，若，當點在點之間運動時，求的最大值；(3)如圖，若，當點在點之間運動時，點隨之運動，連接，點是的中點，連接，則的最小值為_______．18．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫出線段，，的數量關系，并說明理由．【模型應用】（2）如圖2，在正方形中，點E，F分別在對角線和邊上，，．用等式寫出線段，，的數量關系，并說明理由．【模型遷移】（3）如圖3，在正方形中，點E在對角線上，點F在邊的延長線上，，．用等式寫出線段，，的數量關系，并說明理由．19．（2024·江西·中考真題）綜合與實踐如圖，在中，點D是斜邊上的動點（點D與點A不重合），連接，以為直角邊在的右側構造，，連接，．特例感知（1）如圖1，當時，與之間的位置關系是______，數量關系是______；類比遷移（2）如圖2，當時，猜想與之間的位置關系和數量關系，并證明猜想．拓展應用（3）在（1）的條件下，點F與點C關于對稱，連接，，，如圖3．已知，設，四邊形的面積為y．①求y與x的函數表達式，并求出y的最小值；②當時，請直接寫出的長度．20．（2024·山東·中考真題）一副三角板分別記作和，其中，，，．作于點，于點，如圖1．(1)求證：；(2)在同一平面內，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點與點重合記為，點與點重合，將圖2中的繞按順時針方向旋轉后，延長交直線于點．①當時，如圖3，求證：四邊形為正方形；②當時，寫出線段，，的數量關系，并證明；當時，直接寫出線段，，的數量關系．21．（2024·四川達州·中考真題）在學習特殊的平行四邊形時，我們發現正方形的對角線等于邊長的倍，某數學興趣小組以此為方向對菱形的對角線和邊長的數量關系探究發現，具體如下：如圖1．（1）四邊形是菱形，，，．．又，，______+______．化簡整理得______．【類比探究】（2）如圖2．若四邊形是平行四邊形，請說明邊長與對角線的數量關系．【拓展應用】（3）如圖3，四邊形為平行四邊形，對角線，相交于點，點為的中點，點為的中點，連接，若，，，直接寫出的長度．二、考點02面積、比例問題22．（2024·江蘇宿遷·中考真題）在綜合實踐活動課上，同學們以折疊正方形紙片展開數學探究活動【操作判斷】操作一：如圖①，對折正方形紙片，得到折痕，把紙片展平；操作二：如圖②，在邊上選一點E，沿折疊，使點A落在正方形內部，得到折痕；操作三：如圖③，在邊上選一點F，沿折疊，使邊與邊重合，得到折痕把正方形紙片展平，得圖④，折痕與的交點分別為G、H．根據以上操作，得________．【探究證明】（1）如圖⑤，連接，試判斷的形狀并證明；（2）如圖⑥，連接，過點G作的垂線，分別交于點P、Q、M．求證：．【深入研究】若，請求出的值（用含k的代數式表示）．23．（2024·山東濟寧·中考真題）綜合與實踐某校數學課外活動小組用一張矩形紙片（如圖1，矩形中，且足夠長）進行探究活動．【動手操作】如圖2，第一步，沿點A所在直線折疊，使點D落在上的點E處，折痕為，連接，把紙片展平．第二步，把四邊形折疊，使點A與點E重合，點D與點F重合，折痕為，再把紙片展平．第三步，連接．【探究發現】根據以上操作，甲、乙兩同學分別寫出了一個結論．甲同學的結論：四邊形是正方形．乙同學的結論：．（1）請分別判斷甲、乙兩同學的結論是否正確．若正確，寫出證明過程；若不正確，請說明理由．【繼續探究】在上面操作的基礎上，丙同學繼續操作．如圖3，第四步，沿點G所在直線折疊，使點F落在上的點M處，折痕為，連接，把紙片展平．第五步，連接交于點N．根據以上操作，丁同學寫出了一個正確結論：．（2）請證明這個結論．24．（2024·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖（1），在矩形中，點，分別是，的中點，連接，，求證：．問題探究：如圖（2），在四邊形中，，，點是的中點，點在邊上，，與交于點，求證：．問題拓展：如圖（3），在“問題探究”的條件下，連接，，，直接寫出的值．

25．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，在矩形中，點為邊上不與端點重合的一動點，點是對角線上一點，連接，交于點，且．【模型建立】（1）求證：；【模型應用】（2）若，，，求的長；【模型遷移】（3）如圖2，若矩形是正方形，，求的值．26．（2024·貴州·中考真題）綜合與探究：如圖，，點P在的平分線上，于點A．(1)【操作判斷】如圖①，過點P作于點C，根據題意在圖①中畫出，圖中的度數為______度；(2)【問題探究】如圖②，點M在線段上，連接，過點P作交射線于點N，求證：；(3)【拓展延伸】點M在射線上，連接，過點P作交射線于點N，射線與射線相交于點F，若，求的值．27．（2024·湖南·中考真題）【問題背景】已知點A是半徑為r的上的定點，連接，將線段繞點O按逆時針方向旋轉得到，連接，過點A作的切線l，在直線l上取點C，使得為銳角．【初步感知】（1）如圖1，當時，；【問題探究】（2）以線段為對角線作矩形，使得邊過點E，連接，對角線，相交于點F．①如圖2，當時，求證：無論在給定的范圍內如何變化，總成立：②如圖3，當，時，請補全圖形，并求及的值．28．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在中，，，點D、E在邊上，且，，，求的長．解：如圖2，將繞點A逆時針旋轉得到，連接．

由旋轉的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，

∴___③___．【問題解決】上述問題情境中，“①”處應填：______；“②”處應填：______；“③”處應填：______．劉老師進一步談到：圖形的變化強調從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應萬變．【知識遷移】如圖3，在正方形中，點E、F分別在邊上，滿足的周長等于正方形的周長的一半，連結，分別與對角線交于M、N兩點．探究的數量關系并證明．

【拓展應用】如圖4，在矩形中，點E、F分別在邊上，且．探究的數量關系：______（直接寫出結論，不必證明）．

【問題再探】如圖5，在中，，，，點D、E在邊上，且．設，，求y與x的函數關系式．

29．（2024·四川眉山·中考真題）綜合與實踐問題提出：在一次綜合與實踐活動中，某數學興趣小組將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形的中心處，并繞點旋轉，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況．操作發現：將直角三角板的直角頂點放在點處，在旋轉過程中：（1）若正方形邊長為4，當一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為______；當一條直角邊與正方形的一邊垂直時，重疊部分的面積為______．（2）若正方形的面積為，重疊部分的面積為，在旋轉過程中與的關系為______．類比探究：如圖1，若等腰直角三角板的直角頂點與點重合，在旋轉過程中，兩條直角邊分別角交正方形兩邊于，兩點，小宇經過多次實驗得到結論，請你幫他進行證明．拓展延伸：如圖2，若正方形邊長為4，將另一個直角三角板中角的頂點與點重合，在旋轉過程中，當三角板的直角邊交于點，斜邊交于點，且時，請求出重疊部分的面積．（參考數據：，，）30．（2024·安徽·中考真題）如圖1，的對角線與交于點O，點M，N分別在邊，上，且．點E，F分別是與，的交點．(1)求證：；(2)連接交于點H，連接，．（ⅰ）如圖2，若，求證：；（ⅱ）如圖3，若為菱形，且，，求的值．31．（2024·四川南充·中考真題）如圖，正方形邊長為，點E為對角線上一點，，點P在邊上以的速度由點A向點B運動，同時點Q在邊上以的速度由點C向點B運動，設運動時間為t秒（）．(1)求證：．(2)當是直角三角形時，求t的值．(3)連接，當時，求的面積．32．（2024·重慶·中考真題）在中，，，過點作．(1)如圖1，若點在點的左側，連接，過點作交于點．若點是的中點，求證：；(2)如圖2，若點在點的右側，連接，點是的中點，連接并延長交于點，連接．過點作交于點，平分交于點，求證：；(3)若點在點的右側，連接，點是的中點，且．點是直線上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉得到，連接，點是直線上一動點，連接，．在點的運動過程中，當取得最小值時，在平面內將沿直線翻折得到，連接．在點的運動過程中，直接寫出的最大值．33．（2023·浙江湖州·中考真題）【特例感知】（1）如圖1，在正方形中，點P在邊的延長線上，連接，過點D作，交的延長線于點M．求證：．【變式求異】（2）如圖2，在中，，點D在邊上，過點D作，交于點Q，點P在邊的延長線上，連接，過點Q作，交射線于點M．已知，，，求的值．【拓展應用】（3）如圖3，在中，，點P在邊的延長線上，點Q在邊上（不與點A，C重合），連接，以Q為頂點作，的邊交射線于點M．若，（m，n是常數），求的值（用含m，n的代數式表示）．

34．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖1，點為矩形的對稱中心，，，點為邊上一點，連接并延長，交于點，四邊形與關于所在直線成軸對稱，線段交邊于點．

(1)求證：；(2)當時，求的長；(3)令，．①求證：；②如圖2，連接，，分別交，于點，.記四邊形的面積為，的面積為.當時，求的值．35．（2023·湖北襄陽·中考真題）【問題背景】人教版八年級下冊數學教材第63頁“實驗與探究”問題1如下：如圖，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形繞點怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的.想一想，這是為什么？（此問題不需要作答）九年級數學興趣小組對上面的問題又進行了拓展探究、內容如下：正方形的對角線相交于點，點落在線段上，（為常數）．

【特例證明】（1）如圖1，將的直角頂點與點重合，兩直角邊分別與邊，相交于點，.①填空：______；②求證：．（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明；也可過點分別作，的垂線構造全等三角形證明．請選擇其中一種方法解答問題②．）【類比探究】（2）如圖2，將圖1中的沿方向平移，判斷與的數量關系（用含的式子表示），并說明理由．【拓展運用】（3）如圖3，點在邊上，，延長交邊于點，若，求的值．36．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在中，，．將線段繞點順時針旋轉得到線段，過點作，垂足為．

圖1

圖2

圖3(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，的平分線與的延長線相交于點，連接，的延長線與的延長線相交于點，猜想與的數量關系，并加以證明；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿折疊，在變化過程中，當點落在點的位置時，連接．①求證：點是的中點；②若，求的面積．37．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸的正半軸交于點A，與y軸的負半軸交于點D，點B在x軸的正半軸上，四邊形是平行四邊形，線段的長是一元二次方程的一個根．請解答下列問題：(1)求點D的坐標；(2)若線段的垂直平分線交直線AD于點E，交x軸于點F，交于點G，點E在第一象限，，連接，求的值；(3)在（2）的條件下，點M在直線DE上，在x軸上是否存在點N，使以E、M、N為頂點的三角形是直角邊比為1∶2的直角三角形？若存在，請直接寫出的個數和其中兩個點N的坐標；若不存在，請說明理由．三、考點03角度問題38．（2024·廣東·中考真題）【知識技能】（1）如圖1，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉，得到．當點E的對應點與點A重合時，求證：．【數學理解】（2）如圖2，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉，得到，連接，，作的中線．求證：．【拓展探索】（3）如圖3，在中，，點D在上，．過點D作，垂足為E，，．在四邊形內是否存在點G，使得？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．39．（2024·廣西·中考真題）如圖1，中，，．的垂直平分線分別交，于點M，O，平分．(1)求證：；(2)如圖2，將繞點O逆時針旋轉得到，旋轉角為．連接，①求面積的最大值及此時旋轉角的度數，并說明理由；②當是直角三角形時，請直接寫出旋轉角的度數．40．（2024·河南·中考真題）綜合與實踐在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗，請運用已有經驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形．(1)操作判斷用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有________（填序號）．(2)性質探究根據定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質．下面研究與對角線相關的性質．如圖2，四邊形是鄰等對補四邊形，，是它的一條對角線．①寫出圖中相等的角，并說明理由；②若，，，求的長（用含m，n，的式子表示）．(3)拓展應用如圖3，在中，，，，分別在邊，上取點M，N，使四邊形是鄰等對補四邊形．當該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出的長．41．（2024·上海·中考真題）在梯形中，，點E在邊上，且．(1)如圖1所示，點F在邊上，且，聯結，求證：；(2)已知；①如圖2所示，聯結，如果外接圓的心恰好落在的平分線上，求的外接圓的半徑長；②如圖3所示，如果點M在邊上，聯結、、，與交于N，如果，且，，求邊的長．42．（2024·四川成都·中考真題）數學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質．已知三角形紙片和中，，，．【初步感知】（1）如圖1，連接，，在紙片繞點旋轉過程中，試探究的值．【深入探究】（2）如圖2，在紙片繞點旋轉過程中，當點恰好落在的中線的延長線上時，延長交于點，求的長．【拓展延伸】（3）在紙片繞點旋轉過程中，試探究，，三點能否構成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形的面積；若不能，請說明理由．43．（2024·重慶·中考真題）在中，，點是邊上一點（點不與端點重合）．點關于直線的對稱點為點，連接．在直線上取一點，使，直線與直線交于點．

(1)如圖1，若，求的度數（用含的代數式表示）；(2)如圖1，若，用等式表示線段與之間的數量關系，并證明；(3)如圖2，若，點從點移動到點的過程中，連接，當為等腰三角形時，請直接寫出此時的值．專題24四邊形壓軸綜合（3大考點）（解析版）【考點歸納】TOC\o"1-2"\h\z\u一、考點01線段周長問題 1二、考點02面積、比例問題 73三、考點03角度問題 131考點01線段周長問題一、考點01線段周長問題1．（2024·海南·中考真題）正方形中，點E是邊上的動點（不與點B、C重合），，，交于點H，交延長線于點G．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，于點P，交于點M．①求證：點P在的平分線上；②當時，猜想與的數量關系，并證明；③作于點N，連接，當時，若，求的值．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②；③．【分析】（1）利用即可證明；（2）①證明是等腰直角三角形，再推出四點共圓，求得，據此即可證明結論成立；②由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，證明，根據相似三角形的性質即可求解；③證明四邊形是平行四邊形，推出和都是等腰直角三角形，設，則，，由，得到，據此求解即可．【詳解】（1）證明：∵正方形，∴，∵，∴，∵，，∴；（2）①證明：連接，

由（1）得，∴，∴，即，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，，∵，∴四點共圓，∴，∵，，∴點P在的平分線上；②，理由如下：由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，

∵正方形，∴，∴，∴，∵，即，∴，∴；③由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，

∴，同理四點共圓，則，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，設平行四邊形的對角線的交點為，且，∵是等腰直角三角形，∴和都是等腰直角三角形，設，則，，∵，，∴，∴，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，三角形全等的判定和性質，三角形相似的判定和性質，四點共圓，熟練掌握三角形全等的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理是解題的關鍵．2．（2024·山東濟南·中考真題）某校數學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了深入研究．（一）拓展探究如圖1，在中，，垂足為．（1）興趣小組的同學得出．理由如下：①______②______請完成填空：①______；②______；（2）如圖2，為線段上一點，連接并延長至點，連接，當時，請判斷的形狀，并說明理由．（二）學以致用（3）如圖3，是直角三角形，，平面內一點，滿足，連接并延長至點，且，當線段的長度取得最小值時，求線段的長．【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，證明見解析；（3）【分析】（1）根據余角的性質和三角形相似的性質進行解答即可；（2）證明，得出，證明，得出，即可得出答案；（3）證明，得出，求出，以點為圓心，2為半徑作，則都在上，延長到，使，交于，連接，證明，得出，說明點在過點且與垂直的直線上運動，過點作，垂足為，連接，根據垂線段最短，得出當點E在點處時，最小，根據勾股定理求出結果即可．【詳解】解：（1），，，，，，，，，；（2）是直角三角形；理由如下：，，，由（1）得，，，，，，是直角三角形．（3），，，，如圖，以點為圓心，2為半徑作，則都在上，延長到，使，交于，連接，則，∵為的直徑，∴，，∴，，，，點在過點且與垂直的直線上運動，過點作，垂足為，連接，∵垂線段最短，∴當點E在點處時，最小，即的最小值為的長，∵，∴四邊形是矩形，∴，在中根據勾股定理得：，即當線段的長度取得最小值時，線段的長為．【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質，圓周角定理，矩形的判定和性質，勾股定理，垂線段最短，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．3．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在中，．(1)尺規作圖：作的角平分線，在角平分線上確定點，使得；（不寫作法，保留痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，，則的長是多少？（請直接寫出的值）【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）作的角平分線和線段的垂直平分線相交于點D，即為所求．（2）過點D作交與點E，過點D作交與點F，先利用角平分線的性質定理證明四邊形為正方形，設，則，，以為等量關系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出．【詳解】（1）解：如下圖：即為所求．（2）過點D作交與點E，過點D作交與點F，則，又∵∴四邊形為矩形，∵是的平分線，∴，∴四邊形為正方形，∴，設，∴，，在中，，在中，，∵∴∴解得：，∴．【點睛】本題主要考查了作角平分線以及垂直平分線，角平分線的性質定理，正方形的判定以及勾股定理的應用，作出圖形以及輔助線是解題的關鍵．4．（2024·湖北·中考真題）在矩形中，點E，F分別在邊，上，將矩形沿折疊，使點A的對應點P落在邊上，點B的對應點為點G，交于點H．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當P為的中點，，時，求的長；(3)如圖3，連接，當P，H分別為，的中點時，探究與的數量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)，見解析【分析】（1）證明對應角相等，即可得到；（2）根據，求得的長度，從而得出長度；（3）延長，交于一點，連接，先證明，得到相等的邊，再根據，得出大小關系．【詳解】（1）證明：如圖，四邊形是矩形，，，，分別在，上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，，，，；（2）解：四邊形是矩形，，，，為中點，，設，，在中，，即，解得，，，，，即，，，．（3）解：如圖，延長，交于一點，連接，，分別在，上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，，直線，，，，，是等腰三角形，，為中點，設，，為中點，，，，，，，，，在中，，，，在中，，，，，，，，即．【點睛】本題考查了矩形與折疊、相似三角形的判定與性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握以上基礎知識是解題關鍵．5．（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發現】如圖1，在中，點D在邊上．若，則，請證明；（2）【靈活運用】如圖2，在中，，點D為邊的中點，，點E在上，連接，．若，求的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形中，，點E，F分別在邊，上，，延長，相交于點G．若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）證明，得出，即可證明結論；（2）過點C作于點F，過點D作于點G，解直角三角形得出，，證明，得出，求出，根據勾股定理得出，得出，證明，得出，求出；（3）連接，證明，得出，求出，證明為直角三角形，得出，根據勾股定理求出，證明，得出，求出結果即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∴；（2）過點C作于點F，過點D作于點G，如圖所示：則，∴，∵，∴，，∵為的中點，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：；（3）連接，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，負值舍去，∴，∴，∵，∴為直角三角形，，∴，∴在中根據勾股定理得：，∴，∵，∴，∴，即，解得：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，勾股定理及其逆定理，三角函數的應用，三角形相似的判定和性質，平行線的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．6．（2024·湖南長沙·中考真題）對于凸四邊形，根據它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據該約定，解答下列問題：(1)請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；

（

）②內角不等于的菱形一定是“內切型單圓”四邊形；

（

）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，則有．（

）(2)如圖1，已知四邊形內接于，四條邊長滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若的平分線交于點E，的平分線交于點F，連接．求證：是的直徑．(3)已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內切圓與分別相切于點E，F，G，H．①如圖2．連接交于點P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內切圓的半徑r及的長．【答案】(1)①×；②√；③√(2)①外接型單圓；②見解析(3)，，【分析】（1）根據圓內接四邊形和切線長定理可得：有外接圓的四邊形的對角互補；有內切圓的四邊形的對邊之和相等，結合題中定義，根據對角不互補，對邊之和也不相等的平行四邊形無外接圓，也無內切圓，進而可判斷①；根據菱形的性質可判斷②；根據正方形的性質可判斷③；（2）①根據已知結合題中定義可得結論；②根據角平分線的定義和圓周角定理證明即可證得結論；（3）①連接、、、、，根據四邊形是“完美型雙圓”四邊形，結合四邊形的內角和定理可推導出，，，進而可得，，然后利用圓周角定理可推導出，即可證得結論；②連接、、、，根據已知條件證明，進而證明得到，再利用勾股定理求得，，同理可證求解即可．【詳解】（1）解：由題干條件可得：有外接圓的四邊形的對角互補；有內切圓的四邊形的對邊之和相等，所以①當平行四邊形的對角不互補，對邊之和也不相等時，該平行四邊形無外接圓，也無內切圓，∴該平行四邊形是“平凡型無圓”四邊形，故①錯誤；②∵內角不等于的菱形的對角不互補，∴該菱形無外接圓，∵菱形的四條邊都相等，∴該菱形的對邊之和相等，∴該菱形有內切圓，∴內角不等于90°的菱形一定是“內切型單圓”四邊形，故②正確；③由題意，外接圓圓心與內切圓圓心重合的“完美型雙圓”四邊形是正方形，如圖，則，，，，∴為等腰直角三角形，∴，即；故③正確，故答案為：①×；②√；③√；（2）解：①∵四邊形中，，∴四邊形無內切圓，又該四邊形有外接圓，∴該四邊形是“外接型單圓”四邊形，故答案為：外接型單圓；②∵的平分線交于點E，的平分線交于點F，∴，，∴，，∴，∴，即和均為半圓，∴是的直徑．（3）①證明：如圖，連接、、、、，∵是四邊形的內切圓，∴，，，，∴，在四邊形中，，同理可證，，∵四邊形是“完美型雙圓”四邊形，∴該四邊形有外接圓，則，∴，則，∵，，∴，∴，∴；②如圖，連接、、、，∵四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內切圓與分別相切于點E，F，G，H，∴∴，，，，，∴，，，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，則，在中，由得，解得；在中，，∴，同理可證，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質、正方形的性質、菱形的性質、圓周角定理、內切圓的定義與性質、外接圓的定義與性質、相似三角形的判定與性質、四邊形的內角和定理、勾股定理、角平分線的判定等知識，理解題中定義，熟練掌握這些知識和靈活運用性質和判定是解題的關鍵．另外還要求學生具備扎實的數學基礎和邏輯思維能力，備考時，重視四邊形知識的學習，提高解題技巧和速度，以應對中考挑戰．7．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰中，，，點，分別在，上，，連接，，取中點，連接．(1)求證：，；(2)將繞點順時針旋轉到圖2的位置．①請直接寫出與的位置關系：___________________；②求證：．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析【分析】（1）先證明得到，，根據直角三角形斜邊中線性質得到，根據等邊對等角證明，進而可證明；（2）①延長到點，使，連接，延長到，使，連接并延長交于點．先證明，得到，，進而，．證明得到，然后利用三角形的中位線性質得到，則，進而證明即可得到結論；②根據得到即可得到結論．【詳解】（1）證明：在和中，，，，，，．是斜邊的中點，，，，．，，．；（2）解：①；理由如下：延長到點，使，連接，延長到，使，連接并延長交于點．，，，，，，，，，，．，．在和中，，，，，．是中點，是中點，是中位線，．，，．，．故答案為：；②證明：∵，，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形的判定與性質、三角形的中位線性質、平行線的判定與性質等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關知識的聯系與運用，靈活添加輔助線構造全等三角形是解答的關鍵．8．（2024·內蒙古通遼·中考真題）數學活動課上，某小組將一個含的三角尺利一個正方形紙板如圖1擺放，若，．將三角尺繞點逆時針方向旋轉角，觀察圖形的變化，完成探究活動．【初步探究】如圖2，連接，并延長，延長線相交于點交于點．問題1和的數量關系是________，位置關系是_________．【深入探究】應用問題1的結論解決下面的問題．問題2如圖3，連接，點是的中點，連接，．求證．【嘗試應用】問題3如圖4，請直接寫出當旋轉角從變化到時，點經過路線的長度．【答案】（1）；；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）如圖，由四邊形是正方形，是等腰直角三角形，，證明，再進一步可得結論；（2）如圖，由，，再結合直角三角形斜邊上的中線的性質可得結論；（3）如圖，證明在以為圓心，為半徑的上，過作于，當時，證明，可得，，證明四邊形是正方形，可得當旋轉角從變化到時，在上運動，再進一步解答即可；【詳解】解：；；理由如下：如圖，∵四邊形是正方形，∴，，∵是等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴；（2）如圖，∵四邊形是正方形，∴，∵點是的中點，∴，∵，∴，∵點是的中點，∴，∴；（3）如圖，∵，，∴在以為圓心，為半徑的上，過作于，當時，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，而，，∴四邊形是正方形，∴當旋轉角從變化到時，在上運動，∵，，，∴，∴點經過路線的長度為.【點睛】本題考查的是正方形的性質與判定，旋轉的性質，勾股定理的應用，含30度角的直角三角形的性質，圓周角的應用，勾股定理的逆定理的應用，弧長的計算，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.9．（2024·吉林長春·中考真題）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線（是常數）經過點．點、是該拋物線上不重合的兩點，橫坐標分別為、，點的橫坐標為，點的縱坐標與點的縱坐標相同，連結、．(1)求該拋物線對應的函數表達式；(2)求證：當取不為零的任意實數時，的值始終為2；(3)作的垂直平分線交直線于點，以為邊、為對角線作菱形，連結．①當與此拋物線的對稱軸重合時，求菱形的面積；②當此拋物線在菱形內部的點的縱坐標隨的增大而增大時，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)見詳解(3)①；②或或【分析】（1）將代入，解方程即可；（2）過點B作于點H，由題意得，則，，因此；（3）①記交于點M，，而對稱軸為直線，則，解得：，則，，由，得，則，因此；②分類討論，數形結合，記拋物線頂點為點F，則，故菱形中只包含在對稱軸右側的拋物線，當時，符合題意；當m繼續變大，直至當直線經過點F時，符合題意，過點F作于點Q，由，得到，解得：或（舍），故，當時，發現此時菱形包含了對稱軸左側的拋物線，不符合題意；當時，符合題意：當m繼續變小，直至點A與點F重合，此時，故；當m繼續變小，直線經過點F時，也符合題意，過點F作于點Q，同上可得，，解得：或（舍），當m繼續變小時，仍符合題意，因此，故m的取值范圍為：或或．【詳解】（1）解：將代入，得：，解得：，∴拋物線表達式為：；（2）解：過點B作于點H，則，由題意得：，∴，，∴在中，；（3）解：①如圖，記交于點M，由題意得，，由，得：對稱軸為直線：∵四邊形是菱形，∴點A、C關于對稱，，∵與此拋物線的對稱軸重合，∴，解得：，∴，∴∴，∵，∴，則，∴；②記拋物線頂點為點F，把代入，得：，∴，∵拋物線在菱形內部的點的縱坐標隨的增大而增大，∴菱形中只包含在對稱軸右側的拋物線，當時，如圖，符合題意，當m繼續變大，直至當直線經過點F時，符合題意，如圖：過點F作于點Q，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴，解得：或（舍），∴，當時，如圖，發現此時菱形包含了對稱軸左側的拋物線，不符合題意；當時，如圖，符合題意：當m繼續變小，直至點A與點F重合，此時，符合題意，如圖：∴；當m繼續變小，直至直線經過點F時，也符合題意，如圖：過點F作于點Q，同上可得，，∴，解得：或（舍），當m繼續變小時，仍符合題意，如圖：∴，綜上所述，m的取值范圍為：或或．【點睛】本題考查了拋物線與幾何的綜合，菱形的性質，待定系數法求函數解析式，求銳角的正切值，正確理解題意，利用數形結合的思想，找出臨界狀態是解決本題的關鍵．10．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在中，，．點是邊上的一點（點不與點、重合），作射線，在射線上取點，使，以為邊作正方形，使點和點在直線同側．(1)當點是邊的中點時，求的長；(2)當時，點到直線的距離為________；(3)連結，當時，求正方形的邊長；(4)若點到直線的距離是點到直線距離的3倍，則的長為________．（寫出一個即可）【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】本題考查等腰三角形性質，勾股定理，銳角三角函數，熟練掌握面積法是解題的關鍵；（1）根據等腰三角形三線合一性質，利用勾股定理即可求解；（2）利用面積法三角形面積相等即可；（3）設，則，，過點作于，根據，建立方程；即可求解；（4）第一種情況，，在異側時，設，，則，證明，得到，即可求解；第二種情況，當，在同側，設，則，，，求得，解方程即可求解；【詳解】（1）解：根據題意可知：，為等腰三角形，故點是邊的中點時，；在中，；（2）根據題意作，如圖所示；當時，則，設點到直線的距離為，，解得：；（3）如圖，當時，點落在上，設，則，，過點作于則，，，解得：故，所以正方形的邊長為；（4）如圖，，在異側時；設，，則三邊的比值為，，，當，在同側設，則，，三邊比為，三邊比為，設，則，，解得：綜上所述：的長為或11．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形中，．點在射線上運動（不與點，點重合），關于的軸對稱圖形為．(1)當時，試判斷線段和線段的數量和位置關系，并說明理由；(2)若，為的外接圓，設的半徑為．①求的取值范圍；②連接，直線能否與相切？如果能，求的長度；如果不能，請說明理由．【答案】(1)，(2)①且；②能，【分析】（1）由菱形的性質可得，，再結合軸對稱的性質可得結論；（2）①如圖，設的外接圓為，連接交于．連接，，，，證明為等邊三角形，共圓，，在上，，過作于，當時，最小，則最小，再進一步可得答案；②如圖，以為圓心，為半徑畫圓，可得在上，延長與交于，連接，證明，可得，為等邊三角形，證明，可得：，，過作于，再進一步可得答案．【詳解】（1）解：，；理由如下：∵在菱形中，，∴，，∵，∴，∴，由對折可得：，∴；（2）解：①如圖，設的外接圓為，連接交于．連接，，，，∵四邊形為菱形，，∴，，，∴為等邊三角形，∴，∴共圓，，在上，∵，∴，過作于，∴，，∴，當時，最小，則最小，∵，，∴，∴；點E不與B、C重合，，且，∴的取值范圍為且；②能為的切線，理由如下：如圖，以為圓心，為半徑畫圓，∵，∴在上，延長與交于，連接，同理可得為等邊三角形，∴，∴，∴，∵為的切線，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，由對折可得：，，過作于，∴設，∵，∴，∴，解得：，∴，∴．【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，圓周角定理的應用，銳角三角函數的應用，勾股定理的應用，切線的性質，本題難度很大，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．12．（2024·廣東·中考真題）【問題背景】如圖1，在平面直角坐標系中，點B，D是直線上第一象限內的兩個動點，以線段為對角線作矩形，軸．反比例函數的圖象經過點A．【構建聯系】（1）求證：函數的圖象必經過點C．（2）如圖2，把矩形沿折疊，點C的對應點為E．當點E落在y軸上，且點B的坐標為時，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形沿折疊，點C的對應點為E．當點E，A重合時，連接交于點P．以點O為圓心，長為半徑作．若，當與的邊有交點時，求k的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】（1）設，則，用含的代數式表示出，再代入驗證即可得解；（2）先由點B的坐標和k表示出，再由折疊性質得出，如圖，過點D作軸，過點B作軸，證出，由比值關系可求出，最后由即可得解；（3）當過點B時，如圖所示，過點D作軸交y軸于點H，求出k的值，當過點A時，根據A，C關于直線對軸知，必過點C，如圖所示，連，，過點D作軸交y軸于點H，求出k的值，進而即可求出k的取值范圍．【詳解】（1）設，則，∵軸，∴D點的縱坐標為，∴將代入中得：得，∴，∴，∴，∴將代入中得出，∴函數的圖象必經過點C；（2）∵點在直線上，∴，∴，∴A點的橫坐標為1，C點的縱坐標為2，∵函數的圖象經過點A，C，∴，，∴，∴，∵把矩形沿折疊，點C的對應點為E，∴，，∴，如圖，過點D作軸，過點B作軸，∵軸，∴H，A，D三點共線，∴，，∴，∵，∴，∴,∵，∴，，∴，由圖知，，∴，∴；（3）∵把矩形沿折疊，點C的對應點為E，當點E，A重合，∴，∵四邊形為矩形，∴四邊形為正方形，，∴，，，∵軸，∴直線為一，三象限的夾角平分線，∴，當過點B時，如圖所示，過點D作軸交y軸于點H，∵軸，∴H，A，D三點共線，∵以點O為圓心，長為半徑作，，∴，∴，∴，，，∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，當過點A時，根據A，C關于直線對軸知，必過點C，如圖所示，連，，過點D作軸交y軸于點H，∵,∴為等邊三角形，∵，∴，∴，，∴，，∵軸，∴，∴，∴,∴，∴，∴，∴,∴當與的邊有交點時，k的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形，一次函數的性質，反比例函數的性質，矩形的性質，正方形的判定和性質，軸對稱的性質，圓的性質等知識點，熟練掌握其性質，合理作出輔助線是解決此題的關鍵．13．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在中，為銳角，點在邊上，連接，且．

(1)如圖1，若是邊的中點，連接，對角線分別與相交于點．①求證：是的中點；②求；(2)如圖2，的延長線與的延長線相交于點，連接的延長線與相交于點．試探究線段與線段之間的數量關系，并證明你的結論．【答案】(1)①見解析；②(2)，理由見解析【分析】（1）①根據，得出為的中點，證明出即可；②先證明出得到，然后再根據平行四邊形的性質找到線段的數量關系求解；（2）連接交于點，證明，進一步證明出四邊形為平行四邊形，得出為的中位線，得到，再證明出得到，再通過等量代換即可求解．【詳解】（1）解：①，為的中點，，是邊的中點，，，在中，∴，又∵，，，是的中點；②，四邊形為平行四邊形，，，，∵，，，，，；（2）解：線段與線段之間的數量關系為：，理由如下：連接交于點，如下圖：

由題意，的延長線與的延長線相交于點，連接的延長線與相交于點，，又，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，為的中點，，，為的中點，為的中位線，，，，，，，，．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，三角形全等的判定及性質，三角線相似的判定及性質，三角形的中位線等知識，解題的關鍵是添加適當的輔助線構造全等三角形來求解．14．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．(1)如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；(2)如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關系，并說明理由；(3)①如圖3所示，在中，，，交于點，請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；②若關于直線對稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點，連接，請直接寫出的值．【答案】(1)，(2)，理由見解析(3)①見解析；②或．【分析】（1）根據題意可推出，得到，從而推出，再根據勾股定理可求得，再求得；（2）根據題意可推出，得到，設，則，，再利用勾股定理得到，從而推出、，即可求得答案；（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線，使，連接，延長交于點；第二種情況，作的平分線，取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接；第三種情況，作，交的延長線于點，連接，作的垂直平分線；在延長線上取點F，使，連接；②根據①中的三種情況討論：第一種情況，根據題意可證得是等腰三角形，作，則，可推出，從而推出，計算可得，最后利用勾股定理即可求得；第二種情況，延長、交于點，同理可得是等腰三角形，連接，可由，結合三線合一推出，從而推出，同第一種情況即可求得；第三種情況無交點，不符合題意．【詳解】（1）解：，為的中點，，，，，，，即，解得，，；故答案為：1；；（2）解：，理由如下：根據題意，在垂中四邊形中，，且為的中點，，；又，，；設，則，，，，，，，，；（3）解：①第一種情況：作的平行線，使，連接，則四邊形為平行四邊形；延長交于點，，，，，，，即，為的中點；故如圖1所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第二種情況：作的平分線，取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接，故為的中點；同理可證明：，則，則四邊形是平行四邊形；故如圖2所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第三種情況：作，交的延長線于點，連接，作的垂直平分線；在延長線上取點F，使，連接，則為的中點，同理可證明，從而，故四邊形是平行四邊形；故如圖3所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：②若按照圖1作圖，由題意可知，，四邊形是平行四邊形，，，是等腰三角形；過P作于H，則，，，，，，；,，，，即

∴若按照圖2作圖，延長、交于點，同理可得：是等腰三角形，連接，，，，，；同理，，，，，，即，

，若按照圖3作圖，則：沒有交點，不存在PE（不符合題意）故答案為：或．【點睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質與判定，相似三角形的判定與性質，勾股定理，尺規作圖，等腰三角形的判定與性質等，熟練掌握以上知識點，讀懂題意并作出合適的輔助線是解題的關鍵．15．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，的對稱點為交于．(1)求證：．(2)若為中點，且，求長．(3)連接，若為中點，為中點，探究與大小關系并說明理由．【答案】(1)見詳解(2)(3)【分析】（1）根據矩形的性質得，由折疊得出，得出，即可證明；（2）根據矩形的性質以及線段中點，得出，根據代入數值得，進行計算，再結合，則，代入數值，得，所以；（3）由折疊性質，得直線，，是等腰三角形，則，因為為中點，為中點，所以，，所以，則，所以，則，即可作答．【詳解】（1）解：如圖：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖：∵四邊形是矩形，∴，，∵為中點，∴，設，∴，在中，，即，解得，∴，∴，∵，∴，∴，解得，∵，∴；（3）解：如圖：延長交于一點M，連接∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，∴直線，，∴是等腰三角形，∴，∵為中點，∴設，∴，∵為中點，∴，∵，，∴，∴，，∴，在中，，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，【點睛】本題考查了矩形與折疊，相似三角形的判定與性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．16．（2024·山東威海·中考真題）如圖，在菱形中，，，為對角線上一動點，以為一邊作，交射線于點，連接．點從點出發，沿方向以每秒的速度運動至點處停止．設的面積為，點的運動時間為秒．(1)求證：；(2)求與的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍；(3)求為何值時，線段的長度最短．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．【分析】（）設與相交于點，證明，可得，，利用三角形外角性質可得，即得，即可求證；（）過點作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三線合一可得，即可由三角形面積公式得到與的函數表達式，最后由，可得自變量的取值范圍；（）證明為等邊三角形，可得，可知線段的長度最短，即的長度最短，當時，取最短，又由菱形的性質可得為等邊三角形，利用三線合一求出即可求解；本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的外角性質，解直角三角形，求二次函數解析式，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，垂線段最短，掌握菱形的性質及等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：設與相交于點，∵四邊形為菱形，∴，，，∵∴，在和中，，∴，∴，，∵，又∵，∴，∴，∴；（2）解：過點作于，則，∵，∴，∵四邊形為菱形，，∴，，即，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：∵，，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴線段的長度最短，即的長度最短，當時，取最短，如圖，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴當時，線段的長度最短．17．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，點依次在直線上，點固定不動，且，分別以為邊在直線同側作正方形、正方形，，直角邊恒過點，直角邊恒過點．(1)如圖，若，，求點與點之間的距離；(2)如圖，若，當點在點之間運動時，求的最大值；(3)如圖，若，當點在點之間運動時，點隨之運動，連接，點是的中點，連接，則的最小值為_______．【答案】(1)或；(2)；(3)．【分析】（）設，則，證明，然后根據相似三角形的性質得出，則，轉化為，解方程即可；（）設，則，證明，然后根據相似三角形的性質得出，則，轉化為然后由二次函數的性質求解即可；（）連接，由四邊形是正方形，得，即點對角線所在直線上運動，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，當三點共線時，有最小值，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：設，則，∵四邊形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴,∴，∴，即，則，解得：或，∴或；（2）設，則，∵四邊形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，當時，有最大，最大值為；（3）連接，∵四邊形是正方形，∴，即點在對角線所在直線上運動，如圖，作關于的對稱點，連接，過作于點，∴，四邊形為矩形，則點三點共線，，∴，∴，∵，點是的中點，∴，∴，∴當三點共線時，有最小值，∴在中，由勾股定理得：，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解一元二次方程，二次函數的最值，兩點之間線段最短等知識，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．18．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫出線段，，的數量關系，并說明理由．【模型應用】（2）如圖2，在正方形中，點E，F分別在對角線和邊上，，．用等式寫出線段，，的數量關系，并說明理由．【模型遷移】（3）如圖3，在正方形中，點E在對角線上，點F在邊的延長線上，，．用等式寫出線段，，的數量關系，并說明理由．【答案】（1），理由見詳解，（2），理由見詳解，（3），理由見詳解【分析】（1）直接證明，即可證明；（2）過E點作于點M，過E點作于點N，先證明，可得，結合等腰直角三角形的性質可得：，，即有，，進而可得，即可證；（3）過A點作于點H，過F點作，交的延長線于點G，先證明，再結合等腰直角三角形的性質，即可證明．【詳解】（1），理由如下：∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；（2），理由如下：過E點作于點M，過E點作于點N，如圖，∵四邊形是正方形，是正方形的對角線，∴，平分，，∴，即，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，，，∴四邊形是正方形，∴是正方形對角線，，∴，，∴，，∴，即，∵，∴，即有；（3），理由如下，過A點作于點H，過F點作，交的延長線于點G，如圖，∵，，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵在正方形中，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質等知識，題目難度中等，作出合理的輔助線，靈活證明三角形的全等，并準確表示出各個邊之間的數量關系，是解答本題的關鍵．19．（2024·江西·中考真題）綜合與實踐如圖，在中，點D是斜邊上的動點（點D與點A不重合），連接，以為直角邊在的右側構造，，連接，．特例感知（1）如圖1，當時，與之間的位置關系是______，數量關系是______；類比遷移（2）如圖2，當時，猜想與之間的位置關系和數量關系，并證明猜想．拓展應用（3）在（1）的條件下，點F與點C關于對稱，連接，，，如圖3．已知，設，四邊形的面積為y．①求y與x的函數表達式，并求出y的最小值；②當時，請直接寫出的長度．【答案】（1），（2）與之間的位置關系是，數量關系是；（3）①y與x的函數表達式，當時，的最小值為；②當時，為或.【分析】（1）先證明，，，可得；再結合全等三角形的性質可得結論；（2）先證明，，結合，可得；再結合相似三角形的性質可得結論；（3）①先證明四邊形為正方形，如圖，過作于，可得，，再分情況結合勾股定理可得函數解析式，結合函數性質可得最小值；②如圖，連接，，，證明，可得在上，且為直徑，則，過作于，過作于，求解正方形面積為,結合，再解方程可得答案.【詳解】解：（1）∵，∴，，∵，∴，，∴；∴，，∴，∴，∴與之間的位置關系是，數量關系是；（2）與之間的位置關系是，數量關系是；理由如下：∵，∴，，∵，∴；∴，，∴，∴，∴與之間的位置關系是，數量關系是；（3）由（1）得：，，，∴，都為等腰直角三角形；∵點F與點C關于對稱，∴為等腰直角三角形；，∴四邊形為正方形，如圖，過作于，∵，，∴，，當時，∴，∴，如圖，當時，此時，同理可得：，∴y與x的函數表達式為，當時，的最小值為；②如圖，∵，正方形，記正方形的中心為，∴，連接，，，∴，∴在上，且為直徑，∴，過作于，過作于，∴，，∴，∴，∴正方形面積為,∴，解得：，，經檢驗都符合題意，如圖，綜上：當時，為或.【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，正方形的判定與性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，二次函數的性質，圓的確定及圓周角定理的應用，本題難度大，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.20．（2024·山東·中考真題）一副三角板分別記作和，其中，，，．作于點，于點，如圖1．(1)求證：；(2)在同一平面內，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點與點重合記為，點與點重合，將圖2中的繞按順時針方向旋轉后，延長交直線于點．①當時，如圖3，求證：四邊形為正方形；②當時，寫出線段，，的數量關系，并證明；當時，直接寫出線段，，的數量關系．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②當時，線段，，的數量關系為；當時，線段，，的數量關系為；【分析】（1）利用等腰直角三角形與含30度角的直角三角形的性質可得結論；（2）①證明，，可得，證明，可得四邊形為矩形，結合，即，而，可得，從而可得結論；②如圖，當時，連接，證明，可得，結合，可得；②如圖，當時，連接，同理，結合，可得【詳解】（1）證明：設，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（2）證明：①∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∵，即，而，∴，∴四邊形是正方形；②如圖，當時，連接，由（1）可得：，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；②如圖，當時，連接，由（1）可得：，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，正方形的判定，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數的應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.21．（2024·四川達州·中考真題）在學習特殊的平行四邊形時，我們發現正方形的對角線等于邊長的倍，某數學興趣小組以此為方向對菱形的對角線和邊長的數量關系探究發現，具體如下：如圖1．（1）四邊形是菱形，，，．．又，，______+______．化簡整理得______．【類比探究】（2）如圖2．若四邊形是平行四邊形，請說明邊長與對角線的數量關系．【拓展應用】（3）如圖3，四邊形為平行四邊形，對角線，相交于點，點為的中點，點為的中點，連接，若，，，直接寫出的長度．【答案】（1），，；（2）；（3）【分析】（1）根據菱形的性質及勾股定理補充過程，即可求解；（2）過點作于點，過點作交的延長線于點，根據平行四邊形的性質得，，，證明，得，，，根據勾股定理得，，繼而得出的值即可；（3）由（2）可得得出，過點分別作的垂線，垂足分別為，連接，根據勾股定理以及已知條件，分別求得，根據得出，根據得出，進而勾股定理，即可求解．【詳解】解：（1）四邊形是菱形，，，．．又，，．化簡整理得故答案為：，，．（），理由如下，過點作于點，過點作交的延長線于點，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，在和中，，∴，∴，，在中，，在中，，∴，∴（）∵四邊形是平行四邊形，，，，∴由（）可得∴解得：（負值舍去）∵四邊形是平行四邊形，∴，，，如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，連接，∵分別為的中點，∴∵，∴，∵是的中點，∴∴，∴，在中，，∴，∵為的中點，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，．【點睛】本題考查了菱形的性質，平行四邊形的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，平行線分線段成比例，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．二、考點02面積、比例問題22．（2024·江蘇宿遷·中考真題）在綜合實踐活動課上，同學們以折疊正方形紙片展開數學探究活動【操作判斷】操作一：如圖①，對折正方形紙片，得到折痕，把紙片展平；操作二：如圖②，在邊上選一點E，沿折疊，使點A落在正方形內部，得到折痕；操作三：如圖③，在邊上選一點F，沿折疊，使邊與邊重合，得到折痕把正方形紙片展平，得圖④，折痕與的交點分別為G、H．根據以上操作，得________．【探究證明】（1）如圖⑤，連接，試判斷的形狀并證明；（2）如圖⑥，連接，過點G作的垂線，分別交于點P、Q、M．求證：．【深入研究】若，請求出的值（用含k的代數式表示）．【答案】[操作判斷]45；[探究證明]（1）等腰直角三角形，理由見詳解；（2）見詳解；[深入研究]【分析】[操作判斷]根據正方形的性質以及折疊的性質即可求解；[探究證明]（1）先證明，再證明，則，繼而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，則，因此；[深入研究]連接，先證明，則，由，設，則，而，

則，可得，，，那么，故．【詳解】[操作判斷]解：如圖，由題意得，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，即，故答案為：45；[探究證明]解：（1）如圖，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形；（2）如圖，由翻折得，，∵四邊形是正方形，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；[深入研究]解：如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，，，∵是對角線，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴,∵，∴設，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形背景下的折疊問題，相似三角形的判定與性質，正方形的性質，折疊的性質，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．23．（2024·山東濟寧·中考真題）綜合與實踐某校數學課外活動小組用一張矩形紙片（如圖1，矩形中，且足夠長）進行探究活動．【動手操作】如圖2，第一步，沿點A所在直線折疊，使點D落在上的點E處，折痕為，連接，把紙片展平．第二步，把四邊形折疊，使點A與點E重合，點D與點F重合，折痕為，再把紙片展平．第三步，連接．【探究發現】根據以上操作，甲、乙兩同學分別寫出了一個結論．甲同學的結論：四邊形是正方形．乙同學的結論：．（1）請分別判斷甲、乙兩同學的結論是否正確．若正確，寫出證明過程；若不正確，請說明理由．【繼續探究】在上面操作的基礎上，丙同學繼續操作．如圖3，第四步，沿點G所在直線折疊，使點F落在上的點M處，折痕為，連接，把紙片展平．第五步，連接交于點N．根據以上操作，丁同學寫出了一個正確結論：．（2）請證明這個結論．【答案】（1）甲、乙同學的結論正確，證明見解析，（2）證明見解析【分析】本題主要考查了折疊的性質，矩形的性質和判定，正方形的判定和性質，菱形的判定和性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的三線合一性質，解題的關鍵是正確作出輔助線并熟練掌握相關的性質定理，（1）先證明四邊形為矩形，再根據即可證明四邊形為正方形，設，由折疊性質可知：，，再根據等腰直角三角形的性質分別求出，，即可得出，進而可得出結論；（2）作交于點R，利用證明，得出，再證明四邊形為菱形，得出，進而證明，再根據證明，得出，進而證明，即可得出結論【詳解】解：（1）甲、乙同學的結論都正確，理由如下：四邊形是矩形，由第一步操作根據折疊性質可知：四邊形為矩形，又四邊形為正方形，故甲同學的結論正確；作于點M，四邊形為正方形，設，由第二步操作根據折疊性質可知：，在中，在中，,故乙同學的結論正確；（2）作交于點R，如圖所示：為折痕,

四邊形為矩形，在和中，又由折疊性質可知：四邊形為菱形，即在和中，24．（2024·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖（1），在矩形中，點，分別是，的中點，連接，，求證：．問題探究：如圖（2），在四邊形中，，，點是的中點，點在邊上，，與交于點，求證：．問題拓展：如圖（3），在“問題探究”的條件下，連接，，，直接寫出的值．

【答案】問題背景：見解析；問題探究：見解析；問題拓展：【分析】問題背景：根據矩形的性質可得，根據點，分別是，的中點，可得，即可得證；問題探究：取的中點，連接，得是的中位線，根據已知條件可得平行且等于，進而可得是平行四邊形，得，則，根據直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，進而可得，等量代換可得，等角對等邊，即可得證；問題拓展：過點作，則四邊形是矩形，連接，根據已知以及勾股定理得出；根據（2）的結論結合已知可得，證明垂直平分，進而得出，證明，進而證明，進而根據相似三角形的性質，即可求解．【詳解】問題背景：∵四邊形是矩形，∴，∵，分別是，的中點∴，即，∴；問題探究：如圖所示，取的中點，連接，

∵是的中點，是的中點，∴，又∵，∴，∵，∴∴四邊形是平行四邊形，∴∴又∵，是的中點，∴∴∴，∴；問題拓展：如圖所示，過點作，則四邊形是矩形，連接，

∵，∴，設，則，在中，，∵，由（2）∴，又∵是的中點，∴垂直平分∴，，在中，∴設，則∴，又∵∴∴又∵∴∴．【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，全等三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．25．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，在矩形中，點為