PAGEPAGE1第1講空間幾何體的結構特征及三視圖和直觀圖1．(2024·沈陽市教學質量監(jiān)測(一))“牟合方蓋”是我國古代數學家劉徽在探討球的體積的過程中構造的一個和諧美麗的幾何體．它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好像兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現其直觀性所作的協助線．當其正視圖和側視圖完全相同時，它的俯視圖可能是()解析：選B.依據直觀圖以及圖中的協助四邊形分析可知，當正視圖和側視圖完全相同時，俯視圖為B，故選B.2．已知某空間幾何體的俯視圖如圖所示，則此幾何體的正視圖不行能為()解析：選D.選項A，可想象為三個圓柱疊放在一起；選項B，可想象為三個球疊放在一起；選項C，可想象為一個圓臺和一個圓柱疊放在一起；選項D，可想象為上面為一個小圓柱，下面為一個空心球，則其俯視圖中的中間圓應為虛線．故選D.3．將長方體截去一個四棱錐后得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側視圖為()解析：選D.依據幾何體的結構特征進行分析即可．4．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是()解析：選D.A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖明顯不符合要求，故選D.5．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側視圖，且該幾何體的體積為eq\f(8,3)，則該幾何體的俯視圖可以是()解析：選C.由正視圖和側視圖及體積易得幾何體是四棱錐P-ABCD，其中ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，此時VP-ABCD＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3)，則俯視圖為Rt△PAB，故選C.6.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積為________．解析：直觀圖的面積S′＝eq\f(1,2)×(1＋1＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)＋1,2).故原平面圖形的面積S＝eq\f(S′,\f(\r(2),4))＝2＋eq\r(2).答案：2＋eq\r(2)7．一個圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長為12cm，則這個圓臺的母線長為________cm.解析：如圖，過點A作AC⊥OB，交OB于點C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：138．已知正四棱錐V-ABCD中，底面面積為16，一條側棱的長為2eq\r(11)，則該棱錐的高為________．解析：如圖，取正方形ABCD的中心O，連接VO，AO，則VO就是正四棱錐V-ABCD的高．因為底面面積為16，所以AO＝2eq\r(2).因為一條側棱長為2eq\r(11)，所以VO＝eq\r(VA2-AO2)＝eq\r(44－8)＝6.所以正四棱錐V-ABCD的高為6.答案：69．某幾何體的三視圖如圖所示．(1)推斷該幾何體是什么幾何體？(2)畫出該幾何體的直觀圖．解：(1)該幾何體是一個正方體切掉兩個eq\f(1,4)圓柱后得到的幾何體．(2)直觀圖如圖所示．10．如圖所示的三個圖中，上面是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側視圖如圖所示(單位：cm)．(1)在正視圖下面，依據畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)依據給出的尺寸，求該多面體的體積．解：(1)如圖．(2)所求多面體的體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2×2)×2＝eq\f(284,3)(cm3)．1．已知三棱錐的俯視圖與側視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側視圖是有一條直角邊長為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為()解析：選C.當正視圖為等腰三角形時，則高應為2，且應為虛線，解除A，D；當正視圖是直角三角形，由條件得一個直觀圖如圖所示，中間的線是看不見的線PA形成的投影，應為虛線，故答案為C.2．(2024·蘭州適應性考試)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是線段A1C1上的動點，則三棱錐P-BCD的俯視圖與正視圖面積之比的最大值為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：選D.正視圖，底面B，C，D三點，其中D與C重合，隨著點P的改變，其正視圖均是三角形且點P在正視圖中的位置在邊B1C1上移動，由此可知，設正方體的棱長為a，則S正視圖＝eq\f(1,2)×a2；設A1C1的中點為O，隨著點P的移動，在俯視圖中，易知當點P在OC1上移動時，S俯視圖就是底面三角形BCD的面積，當點P在OA1上移動時，點P越靠近A1，俯視圖的面積越大，當到達A1的位置時，俯視圖為正方形，此時俯視圖的面積最大，S俯視圖＝a2，所以eq\f(S俯視圖,S正視圖)的最大值為eq\f(a2,\f(1,2)a2)＝2，故選D.3．(2024·合肥其次次質量檢測)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，用過點A，C，E的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(左)視圖為()解析：選A.如圖，取B1C1的中點為F，連接AC，CF，EF，AE，截面AEFC以下部分為所求得的幾何體，易知選項A中的圖形為其側視圖，故選A.4．如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體隨意兩個頂點間距離的最大值是________．解析：作出直觀圖如圖所示，通過計算可知AF、DC最長且DC＝AF＝eq\r(BF2＋AB2)＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，如圖為該四棱錐的正視圖和側視圖，它們是腰長為6cm的全等的等腰直角三角形．(1)依據圖中所給的正視圖、側視圖，畫出相應的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA.解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內含對角線)邊長為6cm的正方形，如圖，其面積為36cm2.俯視圖(2)由側視圖可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2)(cm)．由正視圖可知AD＝6cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(（6\r(2)）2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．6．已知正三棱錐V-ABC的正視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫出該三棱錐的直觀圖和側視圖．(2)求出側視圖的面積．解：(1)如圖．(