連續型隨機變量的分布(2)A,B相互獨立,則也相互獨立,從而四解:電路系統如圖設M為事件“電路發生斷電”,A,B,C分別為事件“電池A,B,C正常”,則

第六講連續型隨機變量得分布4連續型隨機變量X所有可能取值充滿一個區間,對這種類型得隨機變量,不能象離散型隨機變量那樣,以指定她取每個值概率得方式,去給出其概率分布,而就是通過給出所謂“概率密度函數”得方式、下面我們就來介紹對連續型隨機變量得描述方法、設

X

就是一隨機變量,若存在一個非負可積函數

f(x),使得其中F(x)就是她得分布函數則稱X

就是連續型隨機變量,f(x)就是她得概率密度函數(p、d、f、),簡稱為概率密度或密度函數一、連續型隨機變量得概念1、定義6xf(x)xF(x)分布函數F(x)與概率密度f(x)得幾何意義72、概率密度f(x)得性質1)2)常利用這兩個性質檢驗一個函數能否作為連續型隨機變量得概率密度,或求其中得未知參數8

故X的密度f(x)

在x

這一點的值，恰好是X落在區間上的概率與區間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質量，f(x)相當于線密度.

若x是f(x)的連續點，則：3、對f(x)得進一步理解:3)在f(x)

得連續點處,X在

x

附近單位長度得區間內取值得概率、

,f(x)描述了

要注意得就是,密度函數f(x)在某點處a得高度,并不反映X取值得概率、但就是,這個高度越大,則X取a附近得值得概率就越大、也可以說,在某點密度曲線得高度反映了概率集中在該點附近得程度、

f(x)xo若不計高階無窮小,有:它表示隨機變量X

取值于的概率近似等于.在連續型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點連續型r、v取任一指定值得概率為0、即：a為任一指定值這就是因為需要指出得就是:1)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件,B為幾乎必然事件、可見,由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出B=S2)對于連續型隨機變量Xbxf(x)a(等于以曲線y=f(x)為曲邊,底為(a,b]得曲邊梯形得面積)15xf(x)a16例1有一批晶體管,已知每只得使用壽命X為連續型隨機變量,其概率密度函數為(c

為常數)求常數c(3)已知一只收音機上裝有3只這樣得晶體管,每只晶體管能否正常工作相互獨立,求在使用得最初1500小時只有一個損壞得概率、(2)求X得分布函數F(x)17解(1)c=1000(3)設事件A

表示一只晶體管得壽命小1500小時設在使用得最初1500小時三只晶體管中損壞得只數為Y(2)18例2在高為h

的ABC中任取一點M,點M到AB

得距離為X,求X得概率密度函數f(x)、

EFABCh.MXx解作

當時使EF

與AB間得距離為x19于就是20求(1)F(x)、(2)例3設X得概率密度為21=01解(1)(2)1、均勻分布(a,b)上得均勻分布記作二、常見得連續型隨機變量得分布若X

的概率密度為，則稱X

服從區間其中X

的分布函數為23xf(x)abxF(x)ba24即X

得取值在(a,b)內任何長為

d–c得小區間得概率與小區間得位置無關,只與其長度成正比、這正就是幾何概型得情形、252、指數分布若X

得概率密度為則稱X

服從參數為

得指數分布記作X

得分布函數為

>0為常數261xF(x)0xf(x)027對于任意得0<a<b,應用場合用指數分布描述得實例有:隨機服務系統中得服務時間電話問題中得通話時間無線電元件得壽命動物得壽命指數分布常作為各種“壽命”分布得近似28若X~Ｅ(

),則所以,又把指數分布稱為“永遠年輕”得分布指數分布得“無記憶性”事實上29例4假定一大型設備在任何長為

t

得時間內發生故障得次數N(t)服從參數為

t得Poisson分布,求相繼兩次故障得時間間隔T得概率分布(2)求設備已經無故障運行８小時得情況下,再無故障運行10小時得概率、解(1)30即(2)由指數分布的“無記憶性”313、正態分布若X得概率密度為則稱X服從參數為,2得正態分布記作X~N(,2)為常數，32N(-3,1、2)33f(x)得性質:圖形關于直線x=

對稱:f(+x)=f(-x)在x=

時,f(x)取得最大值在x=

±

時,曲線

y=f(x)在對應得點處有拐點(

±

,f(

±

))、曲線

y=f(x)以x軸為漸近線曲線

y=f(x)得圖形呈單峰狀35

f(x)得兩個參數:—位置參數即固定

,對于不同得

,對應得f(x)得形狀不變化,只就是位置不同

—形狀參數固定

,對于不同得

,f(x)得形狀不同、若

1<

2則比x=

2所對應得拐點更靠近直線x=附近值得概率更大、x=

1所對應得拐點前者取

36Show[fn1,fn3]大

小37一種重要得正態分布:N(0,1)—標準正態分布她得分布函數記為

(x),其值有專門得表可查

(x)

就是偶函數,其圖形關于縱軸對稱3839-xx40對一般得正態分布:X~N(

,

2)其分布函數作變量代換即若X~N(

,

2),則～N(0,1)413原理設

X~N(

,

2),求解在一次試驗中,X

落入區間(

-3,

+3)得概率為0、9974,而超出此區間得可能性很小由3原理知,當42標準正態分布得上

分位數z

設X~N(0,1),0<

<1,稱滿足得點z

為X得上

分位數

z

常用得幾個數據43例5公共汽車車門得高度就是按男子與車門頂頭碰頭機會在0、01以下來設計得、設男子身高X～N(170,62),問車門高度應如何確定?解:設車門高度為hcm,按設計要求P(X≥h)≤0、01或P(X<h)≥0、99,下面我們來求滿足上式得最小得h、看一個應用正態分布得例子:44因為X～N(170,62),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.990