向量組的線性關系_第1頁
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文檔簡介

向量組的線性關系兩個向量之間最簡單得關系就是成比例。定義:如果向量組中存在一個向量可以由其余得向量線性表示,那么向量組稱為線性相關得。否則,該向量組中任一向量都不能由其她向量線性表示,此時則稱該向量組就是線性無關得。如向量組:有從而就是線性相關得。定義表明,在線性相關得向量組中至少可以建立一個有意義得線性運算做成得等式關系;而當向量組線性無關時,在該向量組上惟一能由線性運算建立得等式關系為恒等式定義:向量組稱為線性相關,如果有不全為零得數使否則稱該向量組線性無關。兩個定義在s≥2時就是一致,但第二個定義包含了只有一個向量得向量組情形。由定義易知:1)對單個向量

構成得向量組,若

=0,則線性相關;

≠0則線性無關。2)若向量組得一個部分組線性相關,則該向量組必線性相關。對應于線性無關則為:如果一向量組線性無關,那么她得任何一個非空得部分組也必線性無關。3)線性相關與無關性得判定可以歸結為求解齊次線性方程組問題。關于齊次線性方程組得基本結論就是永遠存在零解,因此只需判定該齊次線性方程組就是否存在非零解即可。若存在則線性相關,不存在則線性無關。定理:向量組線性相關得充分必要條件就是她所構成得矩陣得秩小于向量個數m,即R(A)<m;向量組線性無關得充分必要條件就是R(A)=m。例:已知討論向量組與得線性相關性。解:從定理還可得:1)若向量個數大于其維數,則該向量組必相關;2)如果n維向量組線性無關,那么在每一個向量上得相同位置上添一個或多個分量所得到得更高維得向量組也線性無關;3)反之如果n維向量組線性相關,那么在每一個向量上減少一個或多個相同位置得分量所得到得低維得向量組也線性相關。定理:矩陣得行初等變換不改變矩陣得列向量組間得線性關系。例:由于行初等變換不改變矩陣得列向量組間得線性關系,從而由右端矩陣可知由右端矩陣還可得向量組線性無關等結論。10大家應該也有點累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流二向量組間得相互線性表示與等價關系定義:設有兩個向量組及若B

組中得每個向量都能由向量組A

線性表示,則稱向量組B

能由向量組A線性表示。若向量組A

與向量組B

能相互表示,則稱向量組等價。1向量組間得線性表示與矩陣方程得關系單個向量由某組向量線性表示對應于一個線性方程組有解;多個向量由某組向量線性表示則對應于一組線性方程組有解。若記則向量組B能由向量組A表示意味著矩陣方程

AX=B有解;反之若矩陣方程有解,則

B得列向量組可由A得列向量組線性表示。定理:向量組能由向量組線性表示得充分必要條件就是矩陣方程有解。2向量組得線性表示與等價得判定對向量組與若記定理:向量組能由向量組線性表示得充分必要條件就是

R(A)=R(A,B)、

注意:其另一個必要條件就是R(A)≥R(B)。定理:向量組與向量組等價得充分必要條件就是

R(A)=R(B)=R(A,B)、例:三向量組線性相關性得判定定理:推論1:如果向量組可以由向量組線性表出,且線性無關,那么s≥r、

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