第四節(jié)空間曲面與空間曲線一曲面方程概念二曲線方程概念三二次曲面截痕法11/38水桶表面、臺(tái)燈罩子面等．曲面方程定義：曲面實(shí)例：1曲面方程定義假如曲面與三元方程有下述關(guān)系：(1)曲面上任一點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程；上點(diǎn)坐標(biāo)都不滿足方程；（2）不在曲面那么，方程就叫做曲面方程，就叫做方程圖形．而曲面一曲面方程概念22/38解依據(jù)題意有所求方程為例1求與原點(diǎn)及距離之比為點(diǎn)全體所組成曲面方程.設(shè)是曲面上任一點(diǎn)，33/38依據(jù)題意有化簡得所求方程解例2已知求線段面方程.垂直平分設(shè)是所求曲面上任一點(diǎn)，44/38依據(jù)題意有圖形上不封頂，下封底．解例3方程圖形是怎樣？用平面去截圖形得圓：當(dāng)平面上下移動(dòng)時(shí)，得到一系列圓,增大圓心在半徑為半徑隨而增大.55/38以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：（2）已知坐標(biāo)間關(guān)系式，研究曲面形狀．（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點(diǎn)軌跡時(shí)，求曲面方程．66/38(1)球面依據(jù)題意有所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為設(shè)球心在點(diǎn)半徑為下面建立球面方程.2幾個(gè)常見曲面設(shè)是球面上任一點(diǎn)，(球面方程標(biāo)準(zhǔn)式)77/38將方程（1）展開得由此可見球面方程特點(diǎn)1)是二次方程2）系數(shù)為1（或相等）3）不含項(xiàng)(球面方程普通式)球面方程又可表示為88/38定義(2)柱面并沿定曲線所形成曲面稱為柱面.移動(dòng)直線柱面這條定曲線叫準(zhǔn)線，平行于定直線叫母線.柱面動(dòng)直線99/38下面建立母線平行于軸，準(zhǔn)線為平面曲線柱面方程。設(shè)為柱面上任意一點(diǎn)，過作平行軸直線交平面曲線上點(diǎn)所以將代入得柱面方程因?yàn)樵谄矫媲€上，1010/38從柱面方程看柱面特征：只含而缺方程系中表示母線平行于在空間直角坐標(biāo)軸柱面，只含而缺方程系中表示母線平行于面上在空間直角坐標(biāo)曲線軸柱面，其準(zhǔn)線為只含而缺方程系中表示母線平行于面上在空間直角坐標(biāo)曲線軸柱面，其準(zhǔn)線為面上曲線其準(zhǔn)線為1111/38柱面舉例母線平行于軸橢圓柱面軸平面母線平行于軸拋物柱面母線平行于1212/38軸雙曲柱面母線平行于1313/38定義一條平面曲線繞其所在平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.(3)旋轉(zhuǎn)曲面線這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面軸．這條定直旋轉(zhuǎn)軸1414/38求由平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面方程。設(shè)旋轉(zhuǎn)面上任意一點(diǎn)則是由平面曲線繞上軸旋轉(zhuǎn)而得，一點(diǎn)將上式代入得方程面上曲線繞軸旋轉(zhuǎn)曲面方程.1515/38同理：坐標(biāo)面上已知曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)曲面方程為坐標(biāo)面上已知曲線繞一周旋轉(zhuǎn)曲面方程為軸旋轉(zhuǎn)1616/38例4將以下各曲線繞對(duì)應(yīng)軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成旋轉(zhuǎn)曲面方程．旋轉(zhuǎn)雙曲面1）雙曲線分別繞軸和軸；繞軸旋轉(zhuǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)1717/38旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面2）繞軸；面上橢圓3）繞軸；面上拋物線1818/384）面上直線圓錐面繞軸；1919/38(4)錐面經(jīng)過定點(diǎn)動(dòng)直線沿定曲線移動(dòng)所形成曲面稱為錐面，定點(diǎn)稱為錐面頂點(diǎn)，定曲線稱為錐面準(zhǔn)線。稱為錐面母線，動(dòng)直線2020/38例5建立以橢圓為準(zhǔn)線，坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)錐面方程。解設(shè)點(diǎn)錐面上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)母線交橢圓于點(diǎn)由錐面方程為橢圓錐面2121/38空間曲線普通方程曲線上點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程，滿足方程點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上點(diǎn)坐標(biāo)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.空間曲線C可看作空間兩曲面交線.特點(diǎn)：1空間曲線普通方程二曲線方程概念2222/38例1方程組解表示圓柱面，表示平面，交線為橢圓.表示怎樣曲線？2323/38空間曲線參數(shù)方程2空間曲線參數(shù)方程當(dāng)給定時(shí)，就得到曲線上一個(gè)點(diǎn)伴隨參數(shù)改變可得到曲線上全部點(diǎn).2424/38螺旋線參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，解例2假如空間一點(diǎn)在圓柱面出發(fā)，以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，沿平行軸正方向上升（其中都是常數(shù)），組成圖形叫做螺旋線．試建立其參數(shù)方程．同時(shí)又以線速度于那么點(diǎn)在面投影動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),上從點(diǎn)2525/38螺旋線參數(shù)方程還能夠?qū)憺槔?將曲線方程化為參數(shù)式方程。解將代入得參數(shù)式方程為2626/38以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影坐標(biāo)面.投影柱面特征：3空間曲線在坐標(biāo)面上投影消去變量后得：設(shè)空間曲線普通方程：稱此曲面為曲線投影柱面關(guān)于稱曲線為曲線在投影曲線。2727/38類似地：可定義空間曲線在其它坐標(biāo)面上投影面上投影曲線,消去得曲線投影柱面：關(guān)于面上投影曲線,消去得曲線投影柱面：關(guān)于2828/38例4求曲線解在坐標(biāo)面上投影.（1）消去變量后得關(guān)于投影柱面在面上投影為2929/38（2）因?yàn)榍€在平面上，所以關(guān)于面上投影柱面為面上投影為線段.在（3）同理關(guān)于面上投影柱面面上投影為在3030/38截線方程為解例5求拋物面與平面截線在三個(gè)坐標(biāo)面上投影曲線方程.（1）消去得投影（2）消去得投影（3）消去得投影3131/38例6解半球面和錐面交線為一個(gè)圓,3232/38三二次曲面截痕法二次曲面定義：三元二次方程所表示曲面稱之二次曲面．對(duì)應(yīng)地三元一次方程所表示曲面（平面）被稱為一次曲面．討論二次曲面性狀截痕法：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面平面與曲面相截，考查其交線（即截痕）形狀，然后加以綜合，從而了解曲面全貌．以下用截痕法討論幾個(gè)特殊二次曲面．3333/381橢球面橢球面與平面交線為橢圓橢圓截面大小隨平面位置改變而改變.同理與平面和交線也是橢圓.3434/38橢球面幾個(gè)特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面由橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成．旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面區(qū)分：與平面交線為圓.截面上圓方程球面3535/382拋物面（與同號(hào)）橢圓拋物面用截痕法討論：設(shè)（1）用