2024～2025學年度第二學期九年級數學科模擬考試卷（A）說明：1．全卷共4頁，考試用時120分鐘，滿分為120分．2．請將答案寫在答題卷相應的位置上．一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）1.的倒數是（）A.2025 B. C. D.2.下列式子運算正確是（）A. B.C. D.3.如圖，它是由5個完全相同小正方體搭建的幾何體，俯視圖是（）A. B. C. D.4.若關于的一元二次方程的一個根是，則代數式的值為（）A. B.0 C.1 D.45.如圖，正六邊形內接于，周長為，則邊心距的長為（）A. B. C. D.6.如圖，中，，，，將繞點A逆時針方向旋轉得，交于點E，則的長為（）A B. C. D.7.，，則（）A.4 B.6 C.8 D.8.如圖，在中，為中點，，若的面積為，則的面積為（）A. B. C. D.9.如圖，點E在矩形的邊上，將矩形沿翻折，點B恰好落在邊的點F處，如果，那么的值等于（）A. B. C. D.10.如圖，拋物線與y軸交于點A，與x軸交于點B，E，線段在拋物線的對稱軸上移動（點C在點D下方），且．當的值最小時，點C的坐標是（）A. B. C. D.二、填空題（本大題5小題，每小題3分，共15分）11.因式分解：_________12.在實數中，其中無理數有______個．13.如圖，將一張含有30°角的三角形紙片的兩個頂點疊放在矩形的兩條對邊上，若∠2＝54°，則∠1的大小為_____．14.如圖，在中，是的中點，點在上，連接并延長交于點，若，，則的長為______；15.如圖，菱形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，，，與交于點D，若反比例函數經過點D，則_________．三、解答題（一）（本大題3小題，每小題7分，共21分）16.計算：．17.解不等式組：并求所有整數解的和．18.已知關于的一元二次方程，求證：該方程一定有兩個實數根．四、解答題（二）（本大題3小題，每小題9分，共27分）19.圖是一盞臺燈的照片，圖是其示意圖．臺燈底部立柱（與桌面垂直）的高為，支架長為，支架長為．若支架的夾角為，支架與底部立柱的夾角為，求臺燈的旋鈕到桌面的距離（精確到）．（參考數據：，）20.文旅發展促進經濟增長的同時，也帶動了電器銷售．一電器商城銷售某品牌空調，該空調每臺進貨價為2500元，已知該商店6月份售出75臺空調，8月份售出108臺空調．求該商城7、8兩個月售出空調數的月平均增長率；調查發現，當該空調售價為3000元時，平均每天能售出8臺；售價每降低50元，平均每天能多售出4臺，該商城如何定價能使每天的利潤最大？最大利潤是多少？21.在矩形中，連接．（1）如圖1，請用尺規在邊上求作一點，連接，使；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）如圖2，已知點在邊上，且，連接，交于點，若，，求的長．五、解答題（三）（本大題2小題，第22題13分，第23題14分，共27分）22.如圖，是的外接圓，是的直徑，F是延長線上一點，連接，，且．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為5，，求的長．23.在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線與軸交于點，與軸交于點，．（1）求拋物線的解析式；（2）已知點在拋物線上，且在第二象限，連接交軸于點．①若長為，點的橫坐標為，求與的函數關系式；②取的中點，連接，當時，求點的坐標．

2024～2025學年度第二學期九年級數學科模擬考試卷（A）說明：1．全卷共4頁，考試用時120分鐘，滿分為120分．2．請將答案寫在答題卷相應的位置上．一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）1.的倒數是（）A.2025 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了倒數的定義，根據乘積互為1的兩個數互為倒數，進行作答即可．【詳解】解：∵∴的倒數是，故選：C2.下列式子運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了同底數冪相乘、同底數冪相除、冪的乘方、合并同類項，根據同底數冪相乘、同底數冪相除、冪的乘方、合并同類項的運算法則逐項分析即可得解，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．【詳解】解：A、和不是同類項，不能直接相加，故原選項計算錯誤，不符合題意；B、，故原選項計算正確，符合題意；C、，故原選項計算錯誤，不符合題意；D、，故原選項計算錯誤，不符合題意；故選：B．3.如圖，它是由5個完全相同的小正方體搭建的幾何體，俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題主要考查了畫三視圖的知識；用到的知識點為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形．根據俯視圖是從上面看到的圖形，判定即可．【詳解】解：俯視圖為：，故選：A．4.若關于的一元二次方程的一個根是，則代數式的值為（）A. B.0 C.1 D.4【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代數式的值，先把代入，得，再代入進行計算，即可作答．【詳解】解：∵關于的一元二次方程的一個根是，∴，∴，∴．故選：D．5.如圖，正六邊形內接于，的周長為，則邊心距的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質、垂徑定理、勾股定理、等邊三角形的判定與性質；熟練掌握正六邊形的性質，證明三角形是等邊三角形和運用垂徑定理求出是解決問題的關鍵．由圓的面積求出，證明是等邊三角形，得到，由垂徑定理得到，再由勾股定理求出即可．【詳解】解：∵周長為，∴∵六邊形為正六邊形，∴，∴是等邊三角形，∴∵，∴，∴，故選：A．6.如圖，中，，，，將繞點A逆時針方向旋轉得，交于點E，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，等腰三角形的判定，先求出，，由旋轉的性質可得，，，再利用勾股定理解題即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，由旋轉可得，，，∴，∴，故選：C．7.，，則（）A.4 B.6 C.8 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了同底數冪相乘、冪的乘方與積的乘方，由題意可得，從而得出，即可得解，熟練掌握運算法則，進行適當變形是解此題的關鍵．【詳解】解：∵，，∴，即，∴，∴，故選：A．8.如圖，在中，為中點，，若的面積為，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了三角形中線的性質，平行線分線段成比例，根據三角形的中線的性質可得，根據平行線分線段成比例可得，再根據三角形中線平分三角形面積即可求解．【詳解】解：∵在中，點D是的中點，∴，∵∴∴∴，故選：B．9.如圖，點E在矩形的邊上，將矩形沿翻折，點B恰好落在邊的點F處，如果，那么的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查翻折的性質，矩形、等腰直角三角形的性質，根據翻折的性質得出，，，再根據等腰直角三角形的性質及勾股定理，設，求出，，，進一步可得結論．【詳解】解：∵四邊形為矩形，，．∵將矩形沿翻折，，，．，，．，，．設，在中，，，．．故選：B．10.如圖，拋物線與y軸交于點A，與x軸交于點B，E，線段在拋物線的對稱軸上移動（點C在點D下方），且．當的值最小時，點C的坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出點，求出，將點沿軸向下平移個單位，得到點，連接，，，易證得四邊形是平行四邊形，于是可得，由軸對稱的性質可得，于是得到，即點是直線與拋物線對稱軸的交點時，的值最小，利用待定系數法可求得直線的解析式，然后求得拋物線的對稱軸，通過求解兩條直線的交點即可得出答案．【詳解】解：令，解得：，，，，，如圖，將點沿軸向下平移個單位，得到點，連接，，，點沿軸向下平移個單位得到點，，，，拋物線的對稱軸軸，且線段在拋物線的對稱軸上，線段在軸上，，四邊形是平行四邊形，，拋物線是軸對稱圖形，，，當、、三點共線，即點是直線與拋物線對稱軸交點時，的值最小，在拋物線中，令，則，，由平移的性質可得：點的縱坐標，，設直線的解析式為，將，代入，得：，解得：，直線的解析式為，在拋物線中，其對稱軸為直線，要使的值最小，則點的坐標應滿足，解得：，，故選：C．【點睛】本題主要考查了平移的性質，二次函數的圖象與性質，平行四邊形的判定與性質，軸對稱的性質，三角形三邊之間的關系，求拋物線與軸的交點坐標，求拋物線與軸的交點坐標，因式分解法解一元二次方程，待定系數法求一次函數解析式，解二元一次方程組，兩直線的交點與二元一次方程組的解等知識點，巧妙添加輔助線并運用數形結合思想是解題的關鍵．二、填空題（本大題5小題，每小題3分，共15分）11.因式分解：_________【答案】【解析】【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．【詳解】解：．故答案為：．12.在實數中，其中無理數有______個．【答案】2【解析】【分析】無限不循環小數叫做無理數，據此進行判斷即可．本題考查無理數以及算術平方根，熟練掌握其定義是解題的關鍵．【詳解】解：在實數，中，無理數有，，共2個．故答案：13.如圖，將一張含有30°角的三角形紙片的兩個頂點疊放在矩形的兩條對邊上，若∠2＝54°，則∠1的大小為_____．【答案】24°【解析】【分析】由平行線的性質和三角形的外角性質可得∠3=∠1+30°，可求∠1的度數．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形∴AB∥CD∴∠2＝∠3＝54°∵∠3＝∠1+30°∴∠1＝24°故答案為24°【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質是本題的關鍵．14.如圖，在中，是的中點，點在上，連接并延長交于點，若，，則的長為______；【答案】##【解析】【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，作，可得，推出，即可求解．【詳解】解：作交于點H，如圖所示：∵是中點，∴，∵∴，∴，∵，∴，故答案為：．15.如圖，菱形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，，，與交于點D，若反比例函數經過點D，則_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了菱形的性質，勾股定理，反比例函數圖象上點的坐標特征，求出的坐標是解此題的關鍵．過作軸于，得出，則根據菱形的性質得出是的中點，求得的坐標，進而求得的坐標，由反比例函數的圖象經過點即可求出的值．【詳解】解：過作軸于，∵，則，設，則，∵四邊形是菱形，∴是的中點，∵，∴，∴，∴點坐標是，∵反比例函數的圖象經過點，，故答案為：．三、解答題（一）（本大題3小題，每小題7分，共21分）16.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了含特殊角的三角形函數的混合運算，先化簡乘方，立方根，正切值，絕對值，再運算加減，即可作答．【詳解】解：．17.解不等式組：并求所有整數解的和．【答案】，【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式組以及求一元一次不等式組的整數解．解各不等式，可得出x的取值范圍，取其公共部分即可得出不等式組的解集，再將各整數解相加，即可求出結論．【詳解】解：，解不等式①得：；解不等式②得：，∴原不等式組的解集，∴不等式組所有整數解的和為．18.已知關于的一元二次方程，求證：該方程一定有兩個實數根．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的與判別式的關系，理解一元二次方程的判別式與根的關系是解答關鍵．先求出一元二次方程的判別式，再來判斷根的情況．【詳解】證明：，，，，該方程一定有兩個實數根．四、解答題（二）（本大題3小題，每小題9分，共27分）19.圖是一盞臺燈的照片，圖是其示意圖．臺燈底部立柱（與桌面垂直）的高為，支架長為，支架長為．若支架的夾角為，支架與底部立柱的夾角為，求臺燈的旋鈕到桌面的距離（精確到）．（參考數據：，）【答案】約為【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的判定和性質，過點作，垂足為點，分別過點、作直線的垂線，垂足分別為點，可得是矩形，即得，，得到，，，再分別解、，求出即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，過點作，垂足為點，分別過點、作直線的垂線，垂足分別為點，則，∵，∴，∴是矩形，，，∵，∴，∴，在中，，，∵，∴，在中，，，，答：臺燈的旋鈕到桌面的距離約為．20.文旅發展促進經濟增長的同時，也帶動了電器銷售．一電器商城銷售某品牌空調，該空調每臺進貨價為2500元，已知該商店6月份售出75臺空調，8月份售出108臺空調．求該商城7、8兩個月售出空調數的月平均增長率；調查發現，當該空調售價為3000元時，平均每天能售出8臺；售價每降低50元，平均每天能多售出4臺，該商城如何定價能使每天的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】該商城7、8兩個月售出空調數的月平均增長率為；該商城將空調定價為2800元時，每天的利潤最大，最大利潤是7200元【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應用，二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，正確建立方程模型與函數模型解決問題．（1）設該商城7、8兩個月售出空調數的月平均增長率為，根據題意列方程求解即可；（2）設該商城每臺空調降價m元，則每天可多售臺，每天的利潤為w元.根據題意列出，然后根據二次函數的性質即可求解【詳解】解（1）設該商城7、8兩個月售出空調數的月平均增長率為x，根據題意得∶，解得∶，(舍去)．答∶該商城7、8兩個月售出空調數的月平均增長率為；（2）設該商城每臺空調降價m元，則每天可多售臺，每天的利潤為w元，根據題意得出：，當時，w取得最大值，最大值為5000，此時，答∶該商城將空調定價為2800元時，每天的利潤最大，最大利潤是7200元．21.在矩形中，連接．（1）如圖1，請用尺規在邊上求作一點，連接，使；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）如圖2，已知點在邊上，且，連接，交于點，若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了尺規作圖—作垂線、勾股定理、矩形的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）作的垂直平分線交于，點即為所求；（2）設，則，由勾股定理可得，證明，再由相似三角形的性質計算即可得解．【小問1詳解】解：如圖，即為所作；，由作圖可得：，∴；【小問2詳解】解：如圖，，∵，又，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，設，∴，∴，解得，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，又，∴．五、解答題（三）（本大題2小題，第22題13分，第23題14分，共27分）22.如圖，是的外接圓，是的直徑，F是延長線上一點，連接，，且．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為5，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，則，因為，所以，由AD是的直徑，得，推導出，即可證明是的切線；（2）因為的半徑為5，所以，，由，，得，則，由勾股定理求得，再證明，得，則，且，于是得，求得．【小問1詳解】證明：連接，則，，，，是的直徑，，，是的半徑，且，是的切線．【小問2詳解