第5章連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散化及恢復(fù)

5.1抽樣信號(hào)及其頻譜5.2抽樣定理5.3理想濾波器的分析5.4系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏?.5連續(xù)時(shí)間信號(hào)的恢復(fù)5.1抽樣信號(hào)及其頻譜

5.1抽樣信號(hào)及其頻譜

圖5.1-1信號(hào)的抽樣

圖5.1-1所示的抽樣原理從理論上分析可表述為f(t)與抽樣脈沖序列PTs(t)的乘積，即1.周期矩形脈沖抽樣

式中的抽樣脈沖序列PTs如圖5.1-2所示。它實(shí)際上就是周期矩形脈沖函數(shù)，可表示為圖5.1-2抽樣脈沖序列PTs(t)

由于fs(t)=f(t)·PTs(t)，同樣，根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積性質(zhì)，可得圖5.1-3矩形脈沖抽樣(a)f(t)的波形及其頻譜；(b)PTs的波形及其頻譜；(c)fs(t)的波形及其頻譜5.2抽樣定理

頻域抽樣

頻域抽樣定理的內(nèi)容是：一個(gè)在時(shí)間區(qū)間(-tm,tm)以外為零的時(shí)間有限信號(hào)f(t)，其頻譜函數(shù)F(jω)可以由其在均勻頻率間隔fs上的樣點(diǎn)值Fs(jnωs)惟一地確定，只要其頻率間隔fs小于或等于

下面從物理概念上對(duì)此作一簡(jiǎn)單說明。在頻域?qū)(jω)進(jìn)行抽樣，相當(dāng)于用F(jω)乘沖激函數(shù)序列δωs(ω)，而δωs(ω)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信號(hào)也為一個(gè)沖激函數(shù)序列 。根據(jù)傅里葉變換的卷積性質(zhì)可知，頻域樣值函數(shù)Fs(jnωs)對(duì)應(yīng)的時(shí)間信號(hào)fs(t)為f(t)在時(shí)域的周期性重復(fù)，其周期為Ts。只要抽樣間隔fs

不大于 ，則在時(shí)域中波形不會(huì)發(fā)生混疊，我們用矩形脈沖作選通信號(hào)就可無失真地恢復(fù)出原信號(hào)f(t)。類似于式(3.7-13),當(dāng) 時(shí)，存在下列關(guān)系式：圖5.2-3頻域抽樣5.3理想低通濾波器的特性

一個(gè)系統(tǒng)，如果它的H(ω)對(duì)不同頻率成分的正弦信號(hào)，有的讓其通過，有的予以抑制，則該系統(tǒng)稱為濾波器。所謂理想濾波器，是指不允許通過的頻率成分，一點(diǎn)也不讓它通過，百分之百地被抑制掉；而允許通過的頻率成分，讓其順利通過，百分之百地讓其通過。圖5.3-1理想低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)由圖3.7-9可知，理想低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為圖5.3-2理想低通濾波器的沖激響應(yīng)在時(shí)域，要求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)滿足因果條件，即

在頻域，有一個(gè)“佩利-維納準(zhǔn)則”，即H(jω)物理可實(shí)現(xiàn)的必要條件是5.4無失真?zhèn)鬏敆l件1.失真的概念圖5.3-3系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏?/p>

通常把失真分為兩大類：一類為線性失真，另一類為非線性失真。信號(hào)通過線性系統(tǒng)所產(chǎn)生的失真稱線性失真。其特點(diǎn)是在響應(yīng)y(t)中不會(huì)產(chǎn)生新頻率。也就是說，組成響應(yīng)y(t)的各頻率分量在激勵(lì)信號(hào)f(t)中都含有，只不過各頻率分量的幅度、相位不同而已。反之，f(t)中的某些頻率分量在y(t)中可能不再存在。如圖3.7-6所示的失真就是線性失真，對(duì)y(t)與f(t)求傅里葉變換可知，

y(t)中決不會(huì)有f(t)中不含有的頻率分量。圖5.4-1線性失真圖5.4-2非線性失真2.無失真?zhèn)鬏敆l件圖5.4-3系統(tǒng)不失真?zhèn)鬏數(shù)姆l、相頻條件(a)幅頻條件；(b)相頻條件5.5連續(xù)信號(hào)的恢復(fù)

由圖5.2-2(c)所示樣值函數(shù)fs(t)及其頻譜Fs(jω)圖形可知，樣值函數(shù)fs(t)經(jīng)過一個(gè)截止頻率為ωm的理想低通濾波器，就可從Fs(jω)中取出F(jω)，從時(shí)域來說，這樣就恢復(fù)了連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)。即式中，H(jω)為理想低通濾波器的頻率特性。H(jω)的特性為由:據(jù)傅里葉變換的時(shí)域卷積性質(zhì)，得式中，fs(t)為Fs(jω)的傅里葉反變換。圖5.5-1f(t)的恢復(fù)原理由式(3.7-8)所表示的理想低通濾波器的頻率特性可表示為