第四章幾何圖形初步4.3角（第3課時）（4大題型）分層作業題型目錄考查題型一求一個角的余角考查題型二求一個角的補角考查題型三與余角、補角有關的計算考查題型四同（等）角的余（補）角相等的應用考查題型一求一個角的余角1．（22·23下·河源·二模）若一個角是，則這個角的余角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據余角的定義“如果兩個角的和等于（直角），就說這兩個角互為余角”，計算即可得出答案．【詳解】解：∵一個角是，∴這個角的余角是．故選：B．【點睛】本題主要考查了余角的計算，掌握余角的定義是解題的關鍵．2．（22·23上·西城·階段練習）一個角的余角的倍比這個角的倍大，則這個角的余角的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據余角的概念及計算，設這個角為，由此列方程求解即可．【詳解】解：根據題意，設這個角為，∴這個角的余角為，∴，解得，，∴這個角的余角為，故選：．【點睛】本題主要考查余角的概念及計算，掌握方程的運用，余角的計算是解題的關鍵．3．（21·22下·哈爾濱·階段練習）已知，則的余角等于．【答案】【分析】根據互余的兩個角的和等于列式計算即可得解．【詳解】解：的余角等于，故答案為：．【點睛】本題主要考查的是余角的定義，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．4．（23·24上·全國·課堂例題）如圖，是直線上一點，平分平分，則與互余的角是．

【答案】【分析】根據兩角之和為，則這兩角互余，進行求解作答即可．【詳解】解：∵平分平分，∴，，∴，∴，∴與互余，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線，互余．解題的關鍵在于明確角度之間的數量關系．5．（22·23下·全國·課堂例題）如圖，點A，O，B在同一條直線上，射線平分，射線在的內部，且，寫出圖中所有互為余角的角．

【答案】與，與，與，與【分析】利用余角的定義直接數出結果即可．【詳解】解：∵射線平分，∴，∵，∴，∴，∴圖中所有互為余角的角：與，與，與，與．【點睛】本題主要考查角平分線的定義、平角及余角，熟練掌握角平分線的定義及余角是解題的關鍵．考查題型二求一個角的補角1．（22·23下·宿州·期中）已知，則的補角的度數為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】把原式化為，再計算即可.【詳解】解：∵，則的補角的度數為，故選：C【點睛】本題考查了求一個角的補角，掌握角度的加減運算方法是解題的關鍵．2．（21·22上·哈爾濱·階段練習）下列說法（1）兩個數比較．絕對值大的反而小；（2）0乘以任何數都得0；（3）兩數相除，同號得正，異號得負；（4）等角的補角相等；（5）如果一個數的絕對值等于這個數本身，那么這個數是正數．其中正確的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據有理數的大小比較法則，有理數乘法和除法法則，補角的性質和絕對值的性質逐一判斷即可．【詳解】解：（1）兩個負數比較．絕對值大的反而小，原說法錯誤；（2）0乘以任何數都得0，說法正確；（3）兩數相除，同號得正，異號得負，說法正確；（4）等角的補角相等，說法正確；（5）如果一個數的絕對值等于這個數本身，那么這個數是正數或0，原說法錯誤．綜上，正確的說法有（2）（3）（4），共3個，故選：C．【點睛】本題考查有理數的大小比較，有理數乘法和除法法則，補角的性質和絕對值的的性質等知識，掌握基本定義和性質是解題的關鍵．3．（22·23上·宜昌·期末）若，則的補角【答案】【分析】根據互為補角的兩個角的和等于列式計算即可．【詳解】解：∵，∴的補角，故答案為：．【點睛】本題考查了補角的計算，熟記互為補角的兩個角的和等于是解題的關鍵．4．（23·24上·全國·課堂例題）如圖所示，是直線上的一個點，．（1）寫出圖中互余的角和互補的角；（2）若的余角的3倍比它的補角少，求的度數．思維過程展現：（1）觀察圖形，因為，所以，則圖中互余的角為與，互補的角為與，與．（2）由“的余角的3倍比它的補角少”，可以設，由題意得，解得．所以．【答案】90///////57度33【分析】（1）根據互余和互補的概念求解即可；（2）根據題意列出一元一次方程，進而求解即可．【詳解】（1）觀察圖形，因為，所以，則圖中互余的角為與，互補的角為與，與；（2）由“的余角的3倍比它的補角少”，可以設，由題意得，解得，所以．故答案為：90，，，，，，，，，33．【點睛】此題考查了補角和余角，一元一次方程的應用，解題的關鍵是熟練掌握補角和余角的概念．5．（21·22上·江門·階段練習）已知與互為補角．(1)若，則的度數為________；(2)若的余角比的三分之一多，求的度數．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據補角的定義即可得出結論．（2）設，則的余角為，為，根據題意列出方程即可得出結論．【詳解】（1）解：因為與互為補角，所以．（2）解：設，則的余角為，為，由題意得，

解得．即．【點睛】本題考查了余角和補角的定義，熟練掌握余角和補角的定義是解題關鍵．考查題型三與余角、補角有關的計算1、（22·23上·紅河·期末）一個角的補角比這個角的余角的3倍少，這個角的度數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】互余的兩個角和為，互補的兩個角和為，再建立方程求解．【詳解】解：設這個角為度數，則，解得；故選：A．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，補角的定義，余角的定義，根據題意建立方程是解題的關鍵．2．（22·23下·淮安·開學考試）如圖，相交于點，，則與的關系是（

）

A．相等 B．互余 C．互補 D．對頂角【答案】B【分析】根據題意得，即可得．【詳解】解：根據題意得，，則，∵，∴，∴與互余，故選：B．【點睛】本題考查了互余，解題的關鍵是理解題意，掌握互余．3．（22·23下·淄博·期末）如圖所示，，且與關系為．

【答案】互余【分析】根據補角和余角的概念求解，即可得到答案．【詳解】，，與關系為互余，故答案為：互余．【點睛】本題考查了補角和余角，熟練掌握互余和互補的意義是解題關鍵．4．（23·24上·全國·課堂例題）如圖所示，是直線上一點，，則圖中互為余角，互為補角．

【答案】與與與與與，與與與與【分析】根據余角和補角的定義進行解答即可．【詳解】解：∵，∴，∴，，∵，∴，，∴與與與與互為余角；∵，，，∴，，∵，∴與，與與與與互為補角；故答案為：①與與與與；②與，與與與與互為補角．【點睛】本題主要考查了余角和補角的定義，解題的關鍵是熟練掌握和為的兩個角互為余角；和為的兩個角互為補角．5．（21·22下·哈爾濱·階段練習）如圖，已知直線和相交于點，（為銳角），點在直線上方，，平分．

(1)如圖1，若，求的度數；(2)如圖2，直接寫出：°；(3)若，過點O作射線OG，使，求的度數．【答案】(1)(2)45(3)或【分析】（1）根據角平分線性質，可得，再由，可得，即可得出答案；（2）由已知條件得，，再由角平分線性質得，即可得到，計算即可得出答案；（3）設，由題意可得，，再根據，代入式子，即可解得，即，再由角平分線性質可得，由鄰補角定義得，再根據條件即可求出的值，然后分在上方和下方這兩種情況討論即可得出答案．【詳解】（1）解：平分，，，．（2）解：，，又．（3）解：設，∵平分，∴，又∵，∴，，又∵，即，解得，∴，∴，∴，當射線在下方時，，當射線在上方時，，綜上，的度數是或．【點睛】本題考查了角平分線的性質，補角的性質及角度的計算，熟練掌握角平分線的性質，補角的性質并靈活運用相關性質進行角度的計算是解題關鍵．考查題型四同（等）角的余（補）角相等的應用1．（23·24上·全國·課堂例題）已知，，如果，那么，依據是(

)A．同角的余角相等 B．同角的補角相等C．等角的余角相等 D．等角的補角相等【答案】C【分析】根據等角的余角相等進行解答．【詳解】解：∵，，∴與互余，與互余，又∵，∴的余角與的余角相等，即(等角的余角相等)．故選：C．【點睛】本題主要考查了等角或同角的余角相等的性質，熟記這個余角的性質是解題的關鍵．2．（22·23下·保定·期中）如圖，在同一平面內，，，點為反向延長線上一點（題中所有角均指小于的角）．給出下列結論：①；②；③．其中結論一定正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】由根據等角的余角相等得到，而，即可判斷①正確；由，而，即可判斷②正確；由，而，即可判斷③不正確．【詳解】解：∵，∴，而，∴，所以①正確；，所以②正確；，而，所以③不正確；故選：A．【點睛】本題考查了余角和補角，角度的計算，余角的性質，準確識圖是解題的關鍵．3．（22·23下·丹東·期末）如圖，，分別交，于點P，F，過點P作，則圖中與互余的角有個．

【答案】3【分析】由，得到，，因此，由平行線的性質得到，因此，于是得到圖中與互余的角有3個．【詳解】解：，，，，，，，圖中與互余的角有3個．．故答案為：3【點睛】本題考查平行線的性質，余角，關鍵是掌握余角的定義，平行線的性質．4．（22·23下·長寧·期末）如圖，，比大，與互余，則．

【答案】【分析】設，表示出，根據與互余，，得出關于的等式，求解即可．【詳解】解：設，比大，，與互余，，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了互余的定義，一元一次方程，解題的關鍵是利用互余建立一元一次方程求解．5．（23·24上·成都·期末）如圖1，和都是直角．

(1)如果，求的度數；(2)當變小時，則的度數______（填“變大”、“不變”或“變小”）；(3)在圖2中利用能夠畫直角的工具畫一個與相等的角．【答案】(1)(2)變大(3)見解析【分析】（1）根據直角的定義得到，由此可得，則；（2）仿照（1）的求解方法求出即可得到結論；（3）根據同角的余角相等仿照圖（1）畫圖即可．【詳解】（1）解：∵和都是直角，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵和都是直角，∴，∴，∴，∴當變小時，則的度數變大，故答案為：變大；（3）解：如圖2所示：．

【點睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，同角的余角相等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．一、單選題1．（22·23上·常州·期末）若與互余，與互補，則與的關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由與互余，與互補可得，，由得：，由此即可得到答案．【詳解】解：與互余，與互補，，，由得：，，故選：D．【點睛】本題考查了余角和補角，解決本題的關鍵是要記住互為余角的兩個角的和為，互為補角的兩個角的和為．2．（22·23下·煙臺·期末）下列說法中，正確的是（

）A．若，則互為補角B．若是的補角，則一定是鈍角C．若是的余角，則一定是銳角D．若是的余角，則一定小于【答案】C【分析】根據余角、補角的概念，逐項進行判斷，即可解答，若兩個角的和為，則這兩個角互余；若兩個角的和等于，則這兩個角互補．【詳解】解：A、是3個角，不符合互補的定義，故A錯誤；B、若是的補角，則，當時，，是銳角，故B錯誤；C、若是的余角，∴，則一定是銳角，故C正確；D、若是的余角，則，當時，，故D錯誤；故選B．【點睛】考查了余角和補角，解題的關鍵是熟悉余角和補角的定義和性質．3．（22·23下·威海·期中）已知是銳角，與互補，與互余，則的度數為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】由補角和余角的概念可得，，進一步求解即可．【詳解】解：是銳角，與互補，與互余，，，，，，故選：B【點睛】本題考查了余角和補角的定義，屬于基礎題目，熟練掌握余角和補角的定義是解題的關鍵．4．（22·23上·臨沂·期末）如圖，是直線上的一點，是一條射線，平分，在內，且，．下列四個結論：①；②射線平分；③圖中與互余的角有2個．其中結論正確的序號有（

）A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②【答案】B【分析】①根據平分，，，以及平角是，求出，即可得出結論；②求出，即可得出結論；③根據，即可得出結論．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴設，則，∵，∴，∴，解得：，∴，故①錯誤；∵，，∴，則，∴射線平分，故②正確；∵，∴，∴圖中與互余的角有2個，故③正確；綜上，正確的是②③；故選B．【點睛】本題考查幾何圖形中角的計算．余角的定義，理清角之間的和差關系，是解題的關鍵．5．（22·23上·深圳·期末）如圖，在同一平面內，，，點為反向延長線上一點（圖中所有角均指小于180°的角）．下列結論：①；②；③；④若繞點順時針旋轉一周，其它條件都不變，若，則或15°，其中結論一定正確的有（

）個．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】由根據等角的余角相等得到，而，即可判斷①正確；由，而，即可判斷②正確；由，而不能判斷，即可判斷③錯誤；根據，可得，從而得到，設，則，可得，再由，可得，再由，求出x，可得，故④錯誤，即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故①正確；∵，∴，故②正確；∴，根據題意無法確定與的大小關系，∴不一定成立，故③錯誤；∵，E、O、F三點共線，∴，∴，設，則，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，即，故④錯誤．所以，正確的結論有2個．故選：C．【點睛】本題考查了余角和補角，角度的計算，余角的性質，角平分線的定義，準確識圖是解題的關鍵．二、填空題6．（21·22下·哈爾濱·階段練習）在同一平面內，，與互余，則是度．【答案】或【分析】根據圖形分情況討論，即可求出的度數．【詳解】如圖：

∵與互余，∴；如圖：

∵與互余，∴，∴，故答案為：或．【點睛】此題考查了角的計算，解題的關鍵是注意采用分類討論的思想．7．（22·23上·大連·期末）如圖，若是直線上一點，，，則．【答案】/80度【分析】本題先由平角的定義得出，再由已和條件即可求出結果．【詳解】解：，，，，且，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平角的定義和角的計算，解答本題的關鍵是理解平角的概念．8．（22·23下·安慶·期末）如圖，直線，相交于點O，平分．（1）若，則．（用含α的式子表示）（2）若，，則．

【答案】；或．【分析】（1）根據補角的定義和對頂角相等得出，，根據角平分線的定義得出，進而根據即可得出答案；（2）根據角平分線的定義和對頂角相等得出，再分兩種情況討論得出或得出答案．【詳解】（1）∵，∴，，∵平分，∴，∴；故答案為：；（2）如圖1：

∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，如圖2：

∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，綜上，或．故答案為：或．【點睛】本題考查補角的定義，角平分線的定義，對頂角，注意分兩種情況是解題的關鍵．9．（22·23下·南昌·期末）如圖，直線與相交于點O，，平分，，平分．若射線從射線的位置出發，繞點O以每秒的速度逆時針旋轉一周，當旋轉時間為t秒時，三條射線中恰好有一條射線是另外兩條射線所組成的角的平分線，請寫出旋轉時間t的值為秒．（旋轉過程中，，都只考慮小于的角）

【答案】1或13或25【分析】利用角平分線求出，，求出，，求出，由角平分線，求出，，再分平分，平分，平分三種情況討論求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；分情況討論：①當平分時，

∵，∴，即：，∴，∴；②平分時，

則：，∴，∴；③當平分時：

則：，∴，∴點旋轉的角度為：，∴；綜上：的值為：1或13或25．故答案為：1或13或25．【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算．正確的識圖，理清角的和差關系，是解題的關鍵．10．（22·23下·哈爾濱·階段練習）如圖，長方形中，點、分別在邊、上，連接，將對折，點落在直線上的點處，得折痕，將對折，點落在直線上的點處，得折痕，點在上，，，則為度．

【答案】66【分析】根據折疊的性質得到，由平均的定義得到，再根據，，可得，即可得答案．【詳解】解：由折疊得：，，，，，，，，故答案為：66．【點睛】本題考查了折疊的性質，余角的定義，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．三、解答題11．（21·22下·寧德·期中）如圖，將一副三角板的兩個直角頂點O重合在一起，放置成如圖所示的位置．

(1)如圖1，若，猜想______；(2)小明推測：三角板繞重合的點O旋轉（三角板保持不動），不論轉動到哪個位置，“與始終互補”，你同意他的結論嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)同意，理由見解析【分析】（1）根據三角板中角的度數和已知條件求解即可；（2）根據題意分3種情況討論，分別根據和角度的和差求解即可．【詳解】（1）∵一副三角板的兩個直角頂點O重合在一起∴∵∴∴；（2）同意，理由如下：如圖所示，當在內時，

∵∴，∴與互補；如圖所示，當在內時，

∵∴∴與互補；如圖所示，當在內時，

∵∴，∴與互補，綜上所述，不論轉動到哪個位置，與始終互補．【點睛】本題主要考查角的和差關系，熟練掌握并利用角的和差運算以及分類討論是解題的關鍵．12．（22·23下·十堰·開學考試）如圖，過點O在內部作射線．，分別平分和，與互補，．(1)如圖1，若，則______°，______°，______°；(2)如圖2，若平分．試探索：是否為定值，若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

【答案】(1)、、；(2)是定值，理由見解析【分析】（1）根據給出的關系，依次求出、、、等度數，進而求得結果；（2）根據，從而表示出分子，根據，進而得出結果．【詳解】（1）解：∵和互補，，∴，∴，∵，分別平分和，∴，，∴，，故答案為：、、；（2）是定值，理由如下：∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了互補、角平分線的定義、角和差之間的關系等知識，解決問題的關鍵是弄清角之間數量關系．四、問答題13．（22·23上·石家莊·期中）如圖，是的平分線，且．

(1)圖中的余角是__________．(2)如果，求的度數．【答案】(1)(2)【分析】