主講人：xxx第四章導數的應用4.1.1洛必達法則（一）引入引入

洛必達法則在處理一些特殊的函數極限時能夠極大的簡化計算過程，但是洛必達法則的研究者在學術界一直存在爭議，有種說法稱這個理論是由伯努利所提出，被洛必達發表，但其真實性有待考究。洛必達的聲譽勢必會受這一傳言的影響。這個爭議給我們提供了一個誠信問題的反面教材。所以我們做任何事都需要以誠信為本，不斷在學習和生活中培養出良好的品德、品行。正所謂“薄德者，懷之不遠也；才小者，見不能博也”亦是此理。引入

在運用極限的運算法則求函數的極限時，會遇到分子、分母同時趨于零或都趨于無窮大的情況，這樣的極限可能存在也可能不存在，通常稱這種極限為未定式（或未定型）。分別記為型、型。例如，洛必達法則

設函數與滿足條件：（1）（或）；（2）在點的某去心鄰域內可導，且；（3），則。

注意：定理中把x→x0可換為x→x0+、x→x0-，或x→∞、x→+∞、x→-∞洛必達法則仍然成立。洛必達法則例1

求解當x→0時，分子分母的極限都為0，所以是型未定式，由洛必達法則得洛必達法則例2

解當x→0時，分子分母的極限都為0，所以是型未定式，由洛必達法則得求注

1.若用了一次洛必達法則之后，仍是未定式，且仍滿足洛必達法則中的條件，則可繼續運用洛必達法則；

2.用洛必達法則求極限時，可以與其他求極限的方法結合起來，以簡化計算。洛必達法則例3

求解當x→0時，分子分母的極限都為無窮大，所以是型未定式，由洛必達法則得洛必達法則例4

解這是型未定式，如果分別對分子和分母求導得求這個極限不存在事實上，

說明：不滿足洛必達條件時，不代表原極限不存在。此時無法利用洛必達法則，必須利用其它方法討論。課堂小結洛必達法則可與其他求極限方法結合使用；030201不滿足洛必達法則，不代表原極限不存在。洛必達法則必須針對型或型；主講人：xxx第四章導數的應用4.1.2洛必達法則（二）引入

解決思路：經過適當的變換，轉化化為型和型未定式的極限。利用洛必達法則可解決型、型未定式的極限問題，除了這兩種情形外，還可以來解決，等未定式的極限問題。型的極限定義若乘積中有一個函數是無窮小，一個是無窮大，則稱為型未定式。

方法：對于型未定式的極限，一般可將其寫成或，使其變成型或型未定式，再用洛必達法則求極限。例1型的極限求解這是型未定式，先將函數變形為，再用洛必達法則型的極限定義若函數和都是無窮大，則稱為型未定式。

方法：對于型未定式的極限，一般可通過通分，使其變成型或型未定式，再用洛必達法則求極限。型的極限例2求解這是型未定式，通分得小結與拓展

善于抓住知識點之間的聯系，對應馬克思主義哲學觀，抓住知識的本質，即抓住主要矛盾，掌握解決主要矛盾的方式方法，通過轉化，次要矛盾也迎刃而解?？梢酝ǚ只癁樾?。型一般用取倒數的方法，化為型或型；主講人：xxx第四章導數的應用4.2函數的單調性引入

今天，我想和大家通過一個特殊的視角來審視2020年發生的新冠疫情，這是“新型冠狀肺炎曲線”。通過這條曲線，我們可以看到疫情的發展趨勢，也可以看到醫護工作者們為了抗擊疫情所做出的巨大貢獻。引入

在研究疫情發展的過程中，我們不僅要觀察它的發展趨勢，還需要理解病毒傳播的速度和范圍。這就涉及到了我們今天要學習的主題——函數的單調性。函數的單調性可以描述函數在某區間上的變化趨勢，對于疫情發展曲線的分析具有重要意義。引入

從右圖看到，當函數單調遞增時，曲線是上升的，此時其上每一點處的切線與ｘ軸正方向的夾角都是銳角，切線的斜率大于零，也就是說在相應點處的導數大于零；相反地，當函數單調遞減時，曲線是下降的；其上每一點處的切線與ｘ軸正方向的夾角都是鈍角，切線的斜率小于零，也就是說在相應點處的導數小于零。

反過來，能否用導數的正負來判定函數的單調性呢?這個結論是肯定的。yx0αbayx0αba定理設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，則有

注：若把定理中的閉區間換成其他各種區間，結論仍然成立；并且f'(x)＞0與f'(x)＜0換成f'(x)≥0與f'(x)≤0（等號只在個別點處成立），定理的結論仍成立。函數的單調性判別法（1）若在(a,b)內f'(x)＞0，則函數f(x)在[a,b]上單調增加；（2）若在(a,b)內f'(x)＜0，則函數f(x)在[a,b]上單調減少。例1判定函數f(x)=3x2-x3的單調區間。解函數的定義域為(-∞,+∞)，f'(x)=6x-3x2=3x(2-x)函數的單調性判別法x=0，x=2是單調性的分界點。令f'(x)=0得x1=0，x2=2。點x1=0，x2=2把定義域分成三個小區間。所以，函數f(x)在區間(-∞,0)與(2,+∞)上單調減少，在區間(0,2)上單調增加。x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)函數的單調性判別法（1）單調區間的分界點除駐點（導數為零的點）外，也可是導數不存在的點。注意：

例如，（2）如果函數在某駐點兩邊導數同號，則不改變函數的單調性。例如，函數的單調性判別法如果函數在定義區間上連續，只要用方程f'(x)=0的根及f'(x)不存在的點來劃分函數f(x)的定義區間，就能保證f'(x)在各個部分區間內保持固定符號，從而可以判定函數f(x)在每個部分區間上的單調性。由此可得到判定函數單調性的方法如下：綜合上述討論，可得以下結論：函數的單調性判別法04一般步驟求函數的定義域；求f'(x)。令f'(x)=0，求出f'(x)=0的根（駐點）及f'(x)不存在的點；030201用這些點將函數的定義區間分成若干區間，在這些區間內判別f'(x)的符號；根據f'(x)的符號確定函數f(x)的單調性。討論函數f(x)的單調性可按下列步驟進行：例2解函數的定義域為(-∞,+∞)，函數的單調性判別法判定函數

的單調區間。令f'(x)=0得x=，又x=0時f'(x)不存在。點x=0，x=把定義域分成三個小區間。列表討論：函數的單調性判別法x(-∞,0)0(0,

)(

,+∞)f'(x)+0-0+f(x)所以，函數f(x)在區間(-∞,0)與(

,+∞)都單調增加，在區間(0,

)上單調減少。04確定定義域；求駐點和導數不存在的點；030201列表；判斷符號，寫出單調區間。課堂小結一般步驟：函數單調性的判定定理主講人：xxx第四章導數的應用4.3函數的極值（一）情境引入題西林壁蘇軾橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。情境引入在這首詩中，蘇軾描述了從不同角度觀看廬山所得到的不同的景象。在函數圖像中，極值點通常出現在函數曲線的拐點處，即函數從上升轉為下降或從下降轉為上升的地方。這與實際山峰和山谷的地形特點相似。通過將山峰和山谷的特點與函數的極值進行類比，我們可以更好地理解極值的概念和判斷方法。觀察與思考函數y=f(x)在點x1、x2、x3、x4處的函數值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，與它們左右近旁各點處的函數值，相比有什么特點?

yxOaby=f(x)x1

f(x1)x2

f(x2)x3

f(x3)x4

f(x4)函數極值的定義設函數y=f(x)在x0的某鄰域內有定義，若對于該鄰域內異于點x0的x，（1）f(x)＜f(x0)，則稱f(x0)為函數f(x)的極大值，點x0是f(x)的極大值點。（2）f(x)＞f(x0)，則稱f(x0)為函數f(x)的極小值，點x0是f(x)的極小值點。極大值與極小值統稱為極值，x0為函數的極值點。例題講解

是函數的極大值，

是函數的極小值，顯然，極小值大于極大值

。

是函數的極大值點；是函數的極小值點；Oxyaby=f(x)極值概念的幾點說明函數的極值點一定在區間的內部，區間的端點不能成為極值點；極值點是自變量的值，極值指的是函數值；函數的極大（?。┲悼赡懿恢挂粋€，而且函數的極大值未必大于極小值；極值是一個局部概念，反映了函數在某一點附近的大小情況。拓展提升—低谷與高峰極值僅僅是一個小區間內的結果，最值才是整體最終的結果。極小值與極大值如同人生的“低谷”與“高峰”，所有的曲折都是暫時的，只是人生路上的轉折點，并不代表一生的結果。當代青年學生要有局部和整體思想，正確看待成功和失敗，勝不驕，敗不餒。問題探究極值與導數有何關系？在極值點處，曲線如果有切線，則切線是水平的。

yxOaby=f(x)x1

f(x1)=0

x2

f(x2)=0

x3

f

(x3)=0

x4

f(x5)=0

x5極值存在的必要條件定理1設函數f(x)在點x0處可導，且在x0處取得極值，則函數f(x)在x0處的導數f'(x0)=0。導數為零的點，（即方程f'(x)=0的實根）叫做函數f(x)的駐點。典型例題例1oxyx=0為

f(x)=x3

的駐點,但不是極值點。x

=0是函數的不可導點，同時也是函數的極小值點。

oxyy=|x|極值點有可能是駐點或不可導點。例2思考：極值存在的充分條件？

yxOx1x2aby=f(x)在極大值點附近在極小值點附近

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>0

f

(x)<0極值存在的第一充分條件定理2設函數f(x)在x0連續，且在x0的去心鄰域內可導，（1）當x＜x0時，f'(x)＞0，而當x＞x0時，f'(x)＜0，那么f(x)在x0取得極大值f(x0)；（2）當x＜x0時，f'(x)＜0，而當x＞x0時，f'(x)＞0，那么f(x)在x0取得極小值f(x0)；（3）如果f'(x)在x0的兩側不變號，則x0不是f(x0)的極值點。方法總結04030201確定函數的定義域，求f'(x)；求方程f'(x)=0的根（駐點）和不可導點；用（駐點）和不可導點順次將函數的定義域分成若干個開區間，并列成表格；考察f'(x)符號在每個駐點和不可導點左右的符號，從而確定是否為極值點。求解函數極值的一般步驟例題例

確定函數f(x)=2x3-9x2+12x-3的極值解y

2x3

9x2

12x

3（1）函數的定義域為(-∞,+∞)，（2）f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)，

（3）駐點為x1=1、x2=2。（4）列表分析：（5）極大值：f(1)=2，極小值：f(2)=1。

xf'(x)f(x)(-∞,1)(1,2)(2,+∞)+-+12００極大值極小值課堂小結2個關鍵0302014個步驟極值定義①可導函數y=f(x)在極值點處的f'(x)=0；②極值點左右兩邊的導數必須異號。1個定義①確定定義域；②求f'(x)=0的根；③列表；④判斷符號，寫出極值。主講人：xxx第四章導數的應用4.3函數的極值（二）復習xyoab極小值點極大值點口訣：左負右正為極小，左正右負為極大。第一判別法：討論可疑極值點左右兩側的一階導數符號是否變號來判斷。極值的第二充分條件定理

設函數f(x)在點x0處具有二階導數，且f'(x0)=0，f'

'(x0)≠0，則（1）當f'

'(x0)＜0時，函數f(x)在點x0處取得極大值；（2）當f'

'(x0)＞0時，函數f(x)在點x0處取得極小值。注：如果函數在駐點處的二階導數為零，則極值的第二充分條件失效，這種情況必須使用極值的第一充分條件判斷。例題例1求函數f(x)=x3-3x的極值。解函數的定義域為(-∞,+∞)，

f'(x)=3x2-3，f'

'(x)=6x，令f'(x)=0，得x1=-1，x2=1，

由于f'

'(-1)=-6＜0，所以f(-1)=2為極大值，f'

'(1)=6＞0，所以f(1)=-2為極小值。例題例2求函數f(x)=(x2-1)3+1的極值。解函數的定義域為(-∞,+∞)，

f'(x)=6x(x2-1)2，f'

'(x)=6(x2-1)(5x2-1)，令f'(x)=0，得駐點x1=-1，x2=0，x3=1。

因f'

'(0)=6＞0，由極值的第二充分條件知，x=0為函數的極小值點，

但f'

'(-1)=f'

'(1)=0，極值的第二充分條件對x=±1失效，因此改用極值的第一充分條件。因為f'(x)在x=±1的兩側不變號，所以x=±1均不是函數的極值點，函數只有極小值f(0)=0。課堂小結用二階導求極值（二階導數為零時，改用第一判別法。）主講人：xxx第四章導數的應用——用導數求函數的最值4.4導數的應用復習xyoab極小值點極大值點口訣：左負右正為極小，左正右負為極大。定義域→求導→令f'(x)=0→列表→求極值函數的極值引入極值是一個局部概念，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小，并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小。在社會生活實踐中，為了發揮最大的經濟效益，常常遇到這樣一些問題：在一定條件下，怎樣使“用料最省”、“產品最多”、“成本最低”，“效率最高”等問題，這些問題的解決常?？赊D化為求一個函數的最大值和最小值問題。問題探究觀察下列圖形，找出函數的最值的規律：Oxyabx3x2x1Oxyabx1x2x3Oxyabx2x1圖1圖3圖2連續函數在[a,b]上必有最值；并且在極值點或端點處取到。知識小結求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：注意函數的最值概念是整體性的；函數的最大值（最小值）唯一；函數的最大值大于等于最小值；函數的最值可在端點