§6.3向心加速度第六章圓周運動目錄勻速圓周運動的加速度大小0201勻速圓周運動的加速度方向默寫線速度：角速度：頻率、轉速和周期關系：角速度與線速度的關系：向心力的大小:

天宮二號空間實驗室在軌飛行時，可認為它繞地球做勻速圓周運動。盡管線速度大小不變，但方向卻時刻變化，因此，它運動的加速度一定不為0。那么，該如何確定它在軌飛行時加速度的方向和大小呢？思考與討論GFNFO根據牛頓第二定律，物體的加速度方向跟合外力的方向相同。合力做勻速圓周運動的物體，它所受的合外力沿什么方向？復習與回顧向心力的大小：向心力的方向：始終指向圓心且與速度方向垂直向心力的作用效果：只改變線速度的方向不改變速度大小知識回顧定義：做圓周運動的物體，會受到指向圓心的力，這個力叫做向心力。向心力是變力勻速圓周運動的加速度方向011.向心加速度：4.作用：只改變速度的方向，不改變速度的大小。5.性質：勻速圓周運動是加速度方向時刻變化的變加速曲線運動。3.方向：指向圓心，與速度方向始終垂直。一、勻速圓周運動的加速度方向vaFn2.符號：an做勻速圓周運動的物體加速度指向圓心，與速度方向始終垂直，因此也稱為向心加速度。勻速圓周運動的加速度大小02根據牛頓第二定律F=ma和向心力大小表達式：1.向心加速度大小：2.物理意義：描述速度方向變化的快慢。3.單位：m/s2二、勻速圓周運動的加速度大小（一）用牛頓第二定律角度求勻速圓周運動的加速度大小不矛盾：若角速度

ω大小相同，則

an與

r成正比，如甲圖；

若線速度

v大小相同，則

an與

r成反比，如乙圖。二、勻速圓周運動的加速度大小（二）正確認識向心加速度的兩種表達式

對于向心加速度的公式，同學們有各自的看法。從

看，向心加速度與半徑成反比；從a=ω2r看，向心加速度與半徑成正比。這兩個結論是否矛盾？談談你的看法。an與r的關系圖象an與r成正比還是反比，要看是ω恒定還是v恒定。

自行車的大齒輪、小齒輪、后輪的半徑不一樣，它們的邊緣有三個點A、B、C，如圖6.3-2所示。其中哪兩點向心加速度的關系適用于“向心加速度與半徑成正比”，哪兩點適用于“向心加速度與半徑成反比”？給出解釋。二、勻速圓周運動的加速度大小思考與討論當ω一定時，a與r成正比當v一定時，a與r成反比1.當圓周運動的線速度v一定時，向心加速度a與半徑r的成反比；2.當角速度ω一定時，向心加速度a與半徑r成正比。【例題】如圖所示，在長為

l的細繩下端拴一個質量為m

的小球，捏住繩子的上端，使小球在水平面內做圓周運動，細繩就沿圓錐面旋轉，這樣就成了一個圓錐擺。當繩子跟豎直方向的夾角為θ

時，小球運動的向心加速度an

的大小為多少？通過計算說明：要增大夾角θ，應該增大小球運動的角速度ω。FnmOrFlG二、勻速圓周運動的加速度大小（三）典例解析θ

θ

從此式可以看出，當小球運動的角速度增大時，夾角也隨之增大。因此，要增大夾角θ，應該增大小球運動的角速度ω。解：根據對小球的受力分析，可得向心力：Fn＝mgtanθ根據牛頓第二定律可得小球運動的向心加速度：

(1)根據幾何關系可知小球做圓周運動的半徑：

r＝lsinθ

(2)把向心加速度公式an＝ω2r和(2)式代入(1)式，可得：(1)直線運動中的速度的變化量：v1v2Δvv1v2Δv根據

得：二、勻速圓周運動的加速度大小（四）用運動學的方法求向心加速度方向和大小a的方向與Δv的方向相同，速度變化量Δv是從初速度v1的末端指向末速度v2末端的矢量。(2)曲線運動中的速度變化量：Av1Bv2v2v1Δv

結論：做勻速圓周運動的物體加速度的方向總是指向圓心。(3)勻速圓周運動中的速度變化量：二、勻速圓周運動的加速度大小（四）用運動學的方法求向心加速度方向和大小1.分別作出質點在A、B兩點的速度矢量（長度一樣）。2.將vA的起點移到B，并保持vA的長度和方向不變。3.以vA的箭頭端為起點，vB的箭頭端為終點作矢量Δv。4.Δv/Δt是質點由A到B的平均加速度，Δv的方向就是加速度方向。5.當Δt很小很小時，AB非常接近，等腰三角形的底角接近直角，Δv的方向跟vA（或vB）的方向垂直。即指向圓心。甲乙丙丁設質點沿半徑為r

的圓做勻速圓周運動，某時刻位于A點，速度為vA，經過時間Δt

后位于B點，速度為vB

。vAΔvvBOABvBvAΔvBvBvAΔvBvBvAΔvvAΔvvBvAΔt趨于0時，Δv

逐漸趨向于平行OA，即Δv指向圓心，此時加速度a也指向圓心。二、勻速圓周運動的加速度大小【加速度方向】另一種推導（四）用運動學的方法求向心加速度方向和大小

設做勻速圓周運動的物體的線速度的大小為v

，軌跡半徑為r。經過時間Δt，物體從A點運動到B點。嘗試用v、r

寫出向心加速度的表達式。OBAvAvBvAΔv當Δt很小很小時,AB=AB=ΔsΔθΔθ推導：如圖可知vA、vB、Δv組成的三角形與ΔABO相似∴二、勻速圓周運動的加速度大小即：所以：=ω2r=ωv（四）用運動學的方法求向心加速度方向和大小大小方向拓展向心加速度:勻速圓周運動的加速度意義:描述速度方向變化的快慢方向:始終指向圓心(時刻改變)當v一定時，a與r成反比當ω一定時，a與r成正比勻速圓周運動的加速度公式推導課堂小結vaFn1．關于向心加速度，下列說法中正確的是（

）A.若物體做圓周運動的向心加速度大小和半徑不變，則該物體的線速度大小不變B.物體做圓周運動的周期越長，向心加速度越大C.不同物體做圓周運動的向心力越大，向心加速度越大D.物體做圓周運動的線速度越大，向心加速度越大A課堂練習【答案】A【詳解】A．若物體做圓周運動的向心加速度大小和半徑不變，根據

可知該物體的線速度大小不變，故A正確；B．根據

物體做圓周運動的周期越長，由于不清楚半徑的變化，所以向心加速度不一定越大，故B錯誤；C．根據F向=ma可知不同物體做圓周運動的向心力大，其向心加速度不一定大，還要看物體的質量關系，故C錯誤；D．根據

可知物體做圓周運動的線速度大，向心加速度不一定越大，還要看物體做圓周運動的半徑關系，故D錯誤。故選A。課堂練習2．如圖所示，A、B兩點分別位于大、小輪的邊緣，C點位于A大輪半徑的中點，大輪的半徑是小輪的2倍，它們之間靠摩擦傳動，接觸面上沒有滑動。則B、C兩點的向心加速度大小之比為（）A.2:1B.4:1C.1:2D.1:4B課堂練習

3．如圖所示，A、B是