部編人教版七年級數(shù)學(xué)上冊知識點精細(xì)化梳理

第一章有理數(shù)

一、有理數(shù)的基礎(chǔ)知識

1.三個重要的定義

(1)正數(shù)：像1、2、5,這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù);

(2)負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上“一”號，表示比。小的數(shù)叫做負(fù)數(shù)：

(3)0即不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),0是一個具有特殊意義的數(shù)字0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，不是

表示不存在或無實際意義.

概念剖析：

①判斷一個數(shù)是否是正數(shù)或負(fù)數(shù)，不能用數(shù)的前面加不加“+”“一”去判斷，要嚴(yán)格按照“大

于0的數(shù)叫做正數(shù)；小于。的數(shù)叫做負(fù)數(shù)”去識別.

②正數(shù)和負(fù)數(shù)的應(yīng)用：正數(shù)和負(fù)數(shù)通常表示具有相反意義的量.

③所有正整數(shù)組成正整數(shù)集合；所有負(fù)整數(shù)組成負(fù)整數(shù)集合；正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù),

正整數(shù)，0、負(fù)整數(shù)組成整數(shù)集合：

④常常有溫差、時差、高度差(海拔差)等等差之說，其算法為高溫減低溫等等;

例1下列說法正確的是()

A、一個數(shù)前面有“一”號，這個數(shù)就是負(fù)數(shù)；

B、非負(fù)數(shù)就是正數(shù)；

C、一個數(shù)前面沒有“一”號，這個數(shù)就是正數(shù)；

D、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；

例2把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號中8,0.125,0,-i,-6-0.25

43'

正整數(shù)集合{}整數(shù)集合{}

負(fù)整數(shù)集合{}正分?jǐn)?shù)集合{}

例3如果向南走50米記為是-50米，那么向北走782米記為是,。米的意義是

例4對某種盒裝牛奶進(jìn)行質(zhì)量檢測一盒裝牛奶超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量2克，記作+2克，那么-5克表示

知識窗口：正數(shù)和負(fù)數(shù)通常表示具有相反意義的量，一個記為正數(shù)另一個就記為負(fù)數(shù)，我們習(xí)慣上

把向東、向北、上升、盈利、運進(jìn)、增加、收入、高于海平面等等規(guī)定為正，把相反意義的量規(guī)定

為負(fù).

例5若a＞0,則。是；若。＜0,則。是；若。＜匕，則。一人

是;若.＞〃，則a—b是;（填正數(shù)、負(fù)數(shù)或0〉

2.有理數(shù)的概念及分類

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).有理數(shù)的分類如下：

（1）按定義分類：（2）按性質(zhì)符號分類：

正整數(shù)正整數(shù)

正行理數(shù)

整數(shù)0正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)負(fù)整數(shù)有理數(shù)0

正分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)?負(fù)有理數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

概念剖析：①整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，也就是說如果一個數(shù)是有理數(shù)，則它就一定可以化成整數(shù)

或分?jǐn)?shù)；

②正有理數(shù)和0又稱為非負(fù)有理數(shù)，負(fù)有理數(shù)和0又稱為非正有理數(shù)；

③整數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以化成小數(shù)部分為0或小數(shù)部分不為0的小數(shù)，但并不是所有小數(shù)都

是有理數(shù)，只有有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)：

例6若。為無限不循環(huán)小數(shù)且。＞0,8是。的小數(shù)部分，則a-〃是（）

A、無理數(shù)B、整數(shù)C、有理數(shù)D、不能確定

例7若。為有理數(shù)，則。不可能是（）

A、整數(shù)B、整數(shù)和分?jǐn)?shù)C、4〃W0）D、兀

P

3.數(shù)軸

標(biāo)有原點、正方向和單位長度的直線叫作數(shù)軸.數(shù)軸有三要素：原點、正方向、單位長度.畫一條水

平直線，在直線上取一點表示0（叫做原點），選取某一長度作為單位長度，規(guī)定直線上向右的方向

為正方向，就得到數(shù)軸.在數(shù)軸上所表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，即從數(shù)軸的左邊到右邊

所對應(yīng)的數(shù)逐漸變大，所以正教都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù).

概念剖析：

①畫教軸時數(shù)軸的三要素原點、正方向、單位長度缺一不可；

②數(shù)軸的方向不一定都是水平向右的，數(shù)軸的方向可以是任意的方向；

③數(shù)軸上的單位長度沒有明確的長度，但單位長度與單位長度要保持相等：

④有理數(shù)在數(shù)軸上都能找到點與之對應(yīng)，一般地，設(shè)。是一個正數(shù)則數(shù)軸上表示數(shù)。的點在原點的

右邊，與原點的距離是。個單位長度；表示數(shù)-。的點在原點的左邊，與原點的距離是。個單位長度.

⑤在數(shù)軸上求任意兩點/6的距離L,則有公式L=|a-4或乙=|〃-4，這兩個公式選擇那個都一樣.

例8在數(shù)軸上表示數(shù)3的點到表示數(shù)。的點之間的距離是10,則數(shù)。=;若在數(shù)

軸上表示數(shù)3的點、到表示數(shù)a的點之間的距離是人，則數(shù)a=.

例9a,6兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，則下列正確的是（）

―?-----------1——L_>

b0白

A、我6VoB、ab<QC、-<0D、a-b<0

b

例10下列敖軸魚正確的是（）

]_______________A__I_____I_____i______

0-101

AB

-2-10|2-1-2012

4、相反數(shù)CD

如果兩個數(shù)只有符號不同，那么其中一個數(shù)就叫另一個數(shù)的相反數(shù).0的相反數(shù)是0,互為

相反的兩個數(shù)，在數(shù)細(xì)上位于原點的兩則，并且與原點的距離相等.概念剖析：①“如果

兩個數(shù)只有符號不同，那么其中一個數(shù)就叫另一個數(shù)的相反數(shù)”，不要茫然的認(rèn)為“如果

兩個數(shù)符號不同，那么其中一個數(shù)就叫另一個數(shù)的相反數(shù)”.

②很顯然，數(shù)。的相反數(shù)是-4,即。與-?；橄喾磾?shù)。要把它與倒數(shù)區(qū)分開.

③互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點一個在原點的左邊，一個在原點的右邊，且離

原點的距離相等，也就是說它們關(guān)于原點對稱.

④在數(shù)軸上離某點的距離等于〃的點有兩個.

⑤如果數(shù)。和數(shù)〃互為相反數(shù)，則〃+〃=0;幺=—l（HwO）或2=—1（"工0）；

ba

⑥求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面加上“一”即可；

例如。一〃的相反數(shù)是〃一。;

例11下列說法正確的是（）

A、若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)一定是一個正數(shù)，一個負(fù)數(shù)；

B、如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，則它們的商為7;

C、如果。+〃=0,則數(shù)。和教人互為相反數(shù)；

D、互為相反數(shù)的兩個數(shù)一定不相等；

例12求出下列各數(shù)的相反數(shù)

①q②。+1③a-b④3c2

4

例13化簡下列各數(shù)的符號

①一(-4.5)②-(-1?③-[-(+2)]@-{-[-(-0-2)]}

知識窗口：①一個數(shù)前面加上“一”號，該數(shù)就成了它的相反數(shù)；

②一個數(shù)前面的符號確定方法：奇數(shù)個負(fù)號相當(dāng)于一個負(fù)號，偶數(shù)個負(fù)號相當(dāng)于一個正

號，而與正號的個數(shù)無關(guān).

5、絕對值

數(shù)軸上表示數(shù)。的點與原點的距離叫做數(shù)。的絕對值.(1)絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就

是數(shù)軸上表示該數(shù)的點與原點的距離.(2)絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；

a(a>0)

0的絕對值是0；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，可用字母方表示如下：同=09=0)

-a(a<0)

(3)兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小.

概念剖析：①“一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示該數(shù)的點與原點的距離”，而距離是非負(fù)，也就是說

可一個數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，即時20。

②互為相反數(shù)的兩個數(shù)離原點的距離相等，也就是說互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等.

例14如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)是()

A、互為相反數(shù)B、相等C、積為0D、互為相反數(shù)或相等

例15己知">0,試求⑷+業(yè)+乜包的值.

abab

例16若|x|二-x,則x是數(shù)；

例17若|/3|+|y—2|=0,則(工+丁尸豌二；

例18將下列各數(shù)從大到小排列起來

53

0、-2、0.0001

64

例19如果兩個數(shù)"和力的絕對值相等，則下列說法正確的是()

A、a=bB、-=-1C、a+b=0D、不能確定

b

二、有理數(shù)的運算

1.有理數(shù)的加法

(1)有理數(shù)的加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不等的異號兩

數(shù)相加，取絕對值較大數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反的兩個數(shù)相加得

0；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).

例20計算下列各式

19

①(-3)-(-4)+7②—5-(-10)+2上一(一與

33

③(-53)+(-3.2)-(-2.5)-(+4.8)

(2)有理數(shù)加法的運算律：

加法的交換律：a+b=b+a;加法的結(jié)合律：(/b)+c-a+(b+c)

知識窗口：用加法的運算律進(jìn)行簡便運算的基本思路是：先把互為相反數(shù)的數(shù)相加；把同分母的分

數(shù)先相加；把符號相同的數(shù)先相加；把相加得整數(shù)的數(shù)先相加.

例21計算下列各式

117

①(―/)+(+3)+(+8)+(—10)+2②0.125+3—F(—3—)+(+11—)+(—0.25)

483

2.有理數(shù)的減法

(1)有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).(2)有理數(shù)減法常見的錯誤：顧此

失彼，沒有顧到結(jié)果的符號；仍用小學(xué)計算的習(xí)慣，不把減法變加法；只改變運算符號，不改變減

數(shù)的符號，沒有把減數(shù)變成相反數(shù).(3)有理數(shù)加減混合運算步驟：先把減法變成加法，再按有理

數(shù)加法法則進(jìn)行運算；

例22概念剖析：減法是加法的逆運算，用法則“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”即可轉(zhuǎn)化.

轉(zhuǎn)化后它滿足加法法則和運算律.計算：-7-11-9+5

例23月球表面的溫度中午是10FC,半夜是-153"C,中午比半夜高多少度？

例24已知〃7是6的相反數(shù)，〃比〃7的相反數(shù)小5,求〃比加大多少？

3.有理數(shù)的乘法

(1)有理數(shù)乘法的法則：兩個有理數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；任何數(shù)與0

相乘都得0.(2)有理數(shù)乘法的運算律：交換律：ab=ba;結(jié)合律：(abua(b。?,交

換律：a56)=a/ac.(3)倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)，即ab=1,

那么a和b互為倒數(shù)；倒數(shù)也可以看成是把分子分母的位置顛倒過來.概念剖析：①

“兩個有理數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)”不要誤認(rèn)為成“同號得正，異號得負(fù)”

②多個有理數(shù)相乘時，積的符號確定規(guī)律：多個有理數(shù)相乘，若有一個因數(shù)為0,則積

為0;幾個都不為0的因數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)來決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為

奇數(shù)時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積為正.③有理數(shù)乘法的計算步

驟：先確定積的符號，再求各因數(shù)絕對值的積.例25計算下列各式：

①(-1.25)xllx(-2.5)x(-2)②(-12)x(l-l+l-l)

554-24

③(T5.75)x2-+(-35.25)x(-2-)+10.5x(-7-)@49—x(-5)

99925

4、有理數(shù)的除法

有理數(shù)的除法法則：除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)，0不能做除數(shù)。這個法則可以把除法轉(zhuǎn)

化為乘法；除法法則也可以看成是：兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相

除，0除以任何一個不等于0的數(shù)都等于0.概念剖析：①除法是乘法的逆運算，用法則

“除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)”即可轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后它滿足乘法法則和運算律.

②倒數(shù)的求法：求一個整數(shù)的倒數(shù)，直接可寫成這個數(shù)分之一，即。的倒數(shù)為工0):

a

求一個真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要將分子、分母顛倒一下即可，印巴的倒數(shù)為‘；求

mn

一個帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再求其倒數(shù)；求一個小數(shù)的倒數(shù)，應(yīng)先

將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求其倒數(shù)。注意：0沒有倒數(shù).

例25倒數(shù)是其本身的數(shù)有:

例26計算下列各式：

0-2.5-rl-x(-8)②(一5)+7工③(—48)+(-6)

82

5、有理數(shù)的乘方

(1)有理數(shù)的乘方的定義：求幾個相同因數(shù)a的積的運算叫做乘方，乘方是一種運算，是幾個相

同的因數(shù)的特殊乘法運算，記做其中a叫做底數(shù)，表示相同的因數(shù)，n叫做指數(shù)，表示相同

因數(shù)的個數(shù)，它所表示的意義是n個a相乘，不是n乘以凡乘方的結(jié)果叫做賽.(2)正數(shù)的任何

次方都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次方是負(fù)數(shù)，。的任何非0次抵都是0,1的任

何非0次賽都是1,-1偶數(shù)次暴是1.-1奇數(shù)次幕是-1;

概念剖析：①所表示的意義是n個a相乘，不是n乘以a;

②(-〃)"工-〃"。因為-優(yōu)表示〃個相乘，而(-〃)”表示〃個〃的相反數(shù)；

③任何數(shù)的偶次賽都得非負(fù)數(shù)，即/"之0.

例27①2’的意義是;

②—5"的意義是;

③(_的意義是____________________________；

7

例28當(dāng)。=一3,8=3時，則/+/=__________；

2

例29計算：(-2)2008+(-2)2009

例30若出伏。工0/工0)互為相反數(shù)，〃是自然數(shù)，則()

A、cCn和從〃互為相反數(shù)B、/向和廬”互為相反數(shù)

C、M和從互為相反數(shù)D、和//互為相反數(shù)

知識窗口：所有的奇數(shù)可以表示為2〃+1或2〃-1;所有的偶數(shù)可以表示為2〃.6、有理數(shù)的混合運算

(1)進(jìn)行有理數(shù)混合運算的關(guān)建是熟練掌握加、減、乘、除、乘方的運算法則、運算律及運算順

序。比較復(fù)雜的混合運算，一般可先根據(jù)題中的加減運算，把算式分成幾段，計算時，先從每段的

柬方開始，按順序運算，有括號光算括號里的，同時要注意靈活運用運算律簡化運笄.

(2)進(jìn)行有理數(shù)的混合運算時，應(yīng)注意：一是要注意運算順序，先算高一級的運算，再算低一級

的運算；二是要注意觀察，靈活運用運算律進(jìn)行簡便運算，以提高運算速度及運算能力.

知識窗口：有理數(shù)混合運算的關(guān)鍵時把握好運算順序，即先乘方、再乘除、最后加減；有括號的先

算括號；若是同級運算，應(yīng)按照從左到右的順序進(jìn)行.

例31計算下列各式

①10+3-1-"勺x6②(-3)、2；X(—|)+4-22X-1^

例31已知〃的絕對值為3.且〃滿足x的一元一次方程(。-力/+(3+〃)工-2=0,則/+從十巴的

b

值為多少？

7、科學(xué)記數(shù)法

(1)把一個大于10的數(shù)記成axlO〃的形式，其中。是整數(shù)位只有一位的數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科

學(xué)記數(shù)法.(2)與實際完全符合的藪叫做準(zhǔn)確數(shù)，與準(zhǔn)確數(shù)接近的數(shù)叫做近似數(shù)。一般

地，一個近似數(shù)，四舍五人到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.(3)一個數(shù)，從

左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位土(最末尾一位)，所得的數(shù)字，叫做這

個數(shù)的有效數(shù)字.

概念剖析：I把一個數(shù)。用科學(xué)記數(shù)法表示為4x10”，其中IKavlO,〃為自然數(shù)，

①當(dāng)〃21()時，〃為這個數(shù)人的整數(shù)位數(shù)減1;例如：用科學(xué)記數(shù)法表示1880(X).04得

1.8800004X105,它滿足1<1.8800004<10,5=6-1(188000.04的整數(shù)部分有6位數(shù));

②當(dāng)1工〃<10時，〃為0;例如：用科學(xué)記數(shù)法表示1.8800004得1.8800004x10°；

③當(dāng)〃<1時，〃為由〃變到。的過程中小數(shù)點移動位數(shù)的相反數(shù)：

④科學(xué)記數(shù)法既然是將很大的數(shù)或很小的數(shù)一種簡單的記數(shù)方法，那么就在記數(shù)的過程

中不能出現(xiàn)幾百、兒干、幾萬或幾百分之一、兒千分之一、兒萬分之一等等詞出現(xiàn).II在讓數(shù)字精

確和教有效數(shù)字時應(yīng)注意：

①在四合五入法精確小數(shù)時不可羥視，即如果要求將一個小數(shù)精確到千分位，而四合五人所得到的

結(jié)果干分位為0時，該0不能省略。如：將2.08965601精確到千分位，應(yīng)為2.090,不應(yīng)為2.09。

其他分位也應(yīng)注意.②在數(shù)一個數(shù)的有效數(shù)字時應(yīng)該嚴(yán)格按照“從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到

精確到的數(shù)位止（最末尾一位），所得的數(shù)字”；科學(xué)記數(shù)法4X10"的形式中，效數(shù)字只與。有關(guān)，

而與10〃無關(guān).

例32用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)

①1893400000②800032000③0.000003578012④120萬人民幣；

例33①3.256有位效數(shù)字，它們分別是;

②0.032560有位效數(shù)字，它們分別是:

③3.2560x1Ox有位效數(shù)字，它們分別是;

@3.256xl08有位效數(shù)字，它們分別是;

例34用四舍五入法完成下列各題

①0.（）2954、（精確到千分位），所得結(jié)果有位效數(shù)字，它們分別是

②0.999999。（精確到萬分位），所得結(jié)果有位效數(shù)字，它們分別是

________________________*9

③0.93=（精確到個位）所得結(jié)果有位效數(shù)字，它們分別是

真題演練：

一、選擇題：

1.下列說法正確的是（）

A、非負(fù)有理數(shù)即是正有理數(shù)B、0表示不存在，無實際意義

C、正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)D、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

2.下列說法正確的是（）

A、互為相反數(shù)的兩個數(shù)一定不相等B、互為倒數(shù)的兩個數(shù)一定不相等

C、互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等D、互為倒數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等

3.絕對值最小的數(shù)是（）A、1B、0C、-1D、不存在

4、計算（一2）4+（-24）所得的結(jié)果是（）A、0B、32C、-32D、16

5、的理數(shù)中倒數(shù)等于它本身的數(shù)一定是（)A、1B、0C、7D、±1

6、（?3）-（-4）+7的計算結(jié)果是（）A、0B、8C、-14D、-8

7、（-2）的相反數(shù)的倒數(shù)是（）A、LB、--C、2D、-2

22

8、化簡：/=4,則白是（）A、2B、-2C、2或-2D、以上都不對

9、若卜+1|+1一2|,則x+y=()A、-1B、1C、0D、3

10、有理數(shù)a,b如圖所示位置，則正確的是（）

b0a

A、了6>0B、ab>0C、b-水0D、\a\>\b\

二、填空題

11.(-5)+(-6)=;(-5)-(-6)=.12.(-5)X(-6)=

(-5):6二.13.(-2八匕;-24x—=.14、

2

22

（-3）x—=；-3-l=.15、_p<x）2+（_1）2003=.

'7279

16、平方等于64的數(shù)是;的立方等于-64

17、與它的倒數(shù)的積為/8、若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值是2,

貝”Kb二：c*;".19、如果a的相反數(shù)是-5,貝Usr,\a\-,

I~a-3|=.20、若|a|二4,|d|=6,且a伙0,則|天引二三、計算:

I3S

(1)-48+8?-(-25)+(-5-(2)-3-+5T(-2)X—

2514

2

(3)-32-(-3)2+3x(-2)(4)24-84-(-4)x(--)

(6)|-1.3|+5x(-l)-1

(5)-32+16-e-(-2)3-(-6)X(-3)

四、某工廠計劃每天生產(chǎn)彩電100臺，但實際上一星期的產(chǎn)量如下所示:

星期四五六日

增減/輛-1+3-2+4+7-5-10

比計劃的100臺多的記為正數(shù)，比計劃中的100臺少的記為負(fù)數(shù)；請算出本星期的總產(chǎn)量是多少臺？

本星期那天的產(chǎn)量最多，那一天的產(chǎn)量最少？

五、某工廠在上一星期的星期日生產(chǎn)了100臺彩電，下表是本星期的生產(chǎn)情況：

星期-二三四五六日

增減/輛-1+3-2+4+7-5-10

比前一天的產(chǎn)量多的計為正數(shù)，比前一天產(chǎn)量少的記為負(fù)數(shù)；請算出本星期最后一天星期日的產(chǎn)量

是多少？本星期的總產(chǎn)量是多少？那一天的產(chǎn)量最多？那一天的產(chǎn)量最少？

第二章：整式的加減

一、代數(shù)式的概念

1.用字母表示數(shù)之后，可能用字母表示的有

（1）具有一定數(shù)量的數(shù)；（2）一些變化的規(guī)律；（3）數(shù)的運算法則和運算定律；（4）數(shù)量關(guān)系；（5）

數(shù)學(xué)公式.

2.用字母表示數(shù)的意義

用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個重要特點，它的優(yōu)點在于能簡明、扼要、準(zhǔn)確地把數(shù)和數(shù)之間的關(guān)系表

示出來，化特殊為一般，深刻地揭示數(shù)量之間的聯(lián)系，為我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)帶來方便.

3.用字母表示數(shù)學(xué)公式

（1）加法、乘法的運算律：（2）平面圖形的面積公式；（3）平面圖形的周長公式；（4）立體圖形

的體積公式.

4、代數(shù)式的概念

用字母表示數(shù)之后，出現(xiàn)了一些用運算符號把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們把它們叫做

代數(shù)式.

概念剖析：①運算符號指的是加、減、乘、除、乘方、絕對值，大中小括號以及以后要學(xué)到的開方

符號，但不包括大于、小于號、等號等表示數(shù)量關(guān)系的關(guān)系符號；

例1、②單個的數(shù)字和字母也是代數(shù)式.③判斷一個式子是否是代數(shù)式，只要看看它能否滿足代數(shù)

式的概念即可.下列的式子中那些是代數(shù)式①k+1|+|丁-2|②"10〃③3%+5>0

④，=，+，⑤2/+8X—5@2X+3-3m⑦{2x+（7—2），+⑧57

pmnlx-5y

是代數(shù)式的有（只填序號）；

例2.下列各式中不是代數(shù)式的是（）A、nB、0C、」一D、升打卅a

x+y

5、書寫代數(shù)式的規(guī)定

（1）數(shù)字與字母、字母與字母相乘時，乘號可以省略不寫或用“?”代替，省略乘號時，數(shù)字因數(shù)

應(yīng)寫在字母因數(shù)的前面，數(shù)字是帶分?jǐn)?shù)時要改寫成假分?jǐn)?shù)，數(shù)字與數(shù)字相乘時仍要寫“X”號.（2）

代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時，一般要寫成分?jǐn)?shù)的形式.（3）用代數(shù)式表示某一個量時，代數(shù)式后面帶

有單位，如果代數(shù)式是和、差形式，要用括號把代數(shù)式括起來.例3.下列個代數(shù)式中①②

2

③〃一3人④2?5⑤2.5。％

書寫規(guī)范的有（只填序號）；

6、代數(shù)式的意義

代數(shù)式的意義是把代數(shù)式的數(shù)量關(guān)系翻譯成用文字?jǐn)⑹龅臄?shù)量關(guān)系，即為讀代數(shù)式

用語言把一個代數(shù)式的數(shù)學(xué)意義表示出來時，要正確表達(dá)式中所含有代數(shù)運算以及它們運算順序，

還要注意語言的簡練準(zhǔn)確.例4、說出下列代數(shù)式的意義

?2m+n6勺意義是;

②2（機(jī)+/?）的意義是;

③"2+2的意義是；

t

7、單項式

由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項式，其中數(shù)因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，所有字母因數(shù)的指數(shù)

之和叫做單項式的次數(shù)。單獨的一個數(shù)或字母也叫做單項式.

概念剖析：①單項式是代教式中的一種特殊形式；

②要判斷一個式子是否是單項式，只要看看它是否滿足單項式的定義：

③單獨的一個數(shù)作為單項式時，其系數(shù)就是它本身，次數(shù)為0;單獨的一個字母作為單

項式時，其系數(shù)就是1,次數(shù)為它本身的次數(shù)；

④若一個單項式的次數(shù)為m,我們就叫該單項式m次單項式；

⑤單項式與單項式相等的條件：幾個單項式完全相同.

例5、下列代數(shù)式中，①帥②1③一2?v④?I⑤3/+8

*⑦？⑧午是單項式的有（只填序號）;

7I

例6、代數(shù)式5。仇:，-7x2+l,--x,2止中，單項式的個數(shù)是（）

55

A、4個B、3個C、2個D、1個

例7、單項式-2加山川）/+時-1是關(guān)于x、y的4次單項式，其系數(shù)是6,求m和〃的值;

例8、若單項式3/）d與單項式〃*相等，則,/?=

8、多項式

幾個多項式的和叫做多項式，其中、每個單項式都叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項，次

數(shù)最高項的次數(shù)叫做該多項式的次數(shù)，每個單項式的系數(shù)都是多項式的系數(shù)；如果一個多項式有〃

項，且次數(shù)為〃2,則我們稱該多項式為〃，次〃項式.

概念剖析：①多項式是代數(shù)式中的一種特殊形式；

②在多項式里，所有字母的指數(shù)都是非負(fù)數(shù).③多項式與多項式相等的條件：幾個多項式的對應(yīng)項

完全相同.例9、多項式①3戈+5y+2z是由哪些項組成,系數(shù)是，次數(shù);

②,必一行2是由哪些項組成，系數(shù)是,次數(shù)：

2

例10、若（〃2-2）%，+3/丁一，一盯+］是關(guān)于1、），的四次四項式，則〃?二；

例11.①若x'y+2x"y2+刎-2）工+1是關(guān)于x、y的四次三項式，則〃二;

②若x5+2x"y2-2）%+］是關(guān)于％、y的多項式，且不含一次項則〃二；

例12.當(dāng)戈取何值時，多項式』.丫-5），-5可化簡為關(guān)于），的一次單項式：

3

例13,若多項式7x,ny2+3.+〃與多項式nx4y2+3xy+7相等，則m=,n=;

9、整式單項式和多項式統(tǒng)稱整式

二、代數(shù)式的計算

1.同類項

所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項，叫做同類項，常數(shù)項也是同類項.

概念剖析：判斷同類項的標(biāo)準(zhǔn)有兩條：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指數(shù)也分別相同。即：

“兩相同，一關(guān)系；”兩相同：所含字母相同、相同字母的指數(shù)也分別相同；一關(guān)系：字

母與字母之間是乘積關(guān)系.

71

例14、指出多項式2//-8町，+-x3/-x4/+-xy里的同類項它們分別

32

是;

例15、若一7￡"2）/與一3/）嚴(yán)是問類項，則〃?=,〃=;

例16、當(dāng)〃=時，與一2/）*-1是同類項；

2.合并同類項

把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項，不是同類項不能合并.合并同類項法則：（1）系

數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)；（2）字母和字母的指數(shù)不變.

例17、把多項式13x-9+76x+1-2/—3x合并同類項后得；

例18、當(dāng)〃二一,時，求多項式3a2-5。+2—6/+6〃-3的值；

2

例19、已知-2/3”與-同類項求多項式

3

2m2n—3mn+5m2n+3mn-6--lm2n-2m2n+5的的值；

例20、若單項式/y”與-2針，+3y3的和仍是單項式，則4m一3〃=;

3.去括號

去括號法則：（1）括號前是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉后，原括號里各項符號都不改

變；（2）括號前是“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉后，原括號里各項的符號都要改

變.

例21.將下列各式的括號去掉①3a+（"+左一1）②3a—（帥+反一1）

③-（+7/y3）+（2與，_7//）④一（+7/），3）-（2xy-7x2y3）

⑤-（~3a）-（ab+bc-\）

例22.化簡”{-［5a-（-〃+b）］}-%

4、整式的加減

整式的加減實質(zhì)上就是合并同類項，如果有括號的就先去括號，然后合并同類項

概念剖析：整式加減運算的步驟：（1）去括號；（2）判斷同類項；（3）合并同類項；

22

例23.①求單項式5/）,,-2xyf2xy,-4/）,的和；

②求單項式5—y,-2x2y,2xy2,-的差；

③求5/一2。+5與4。2+3。-4的和；

④求5eJ-2〃+5與4/+3〃-4的差；

22

⑤已知A=2x—3,B=3x-3x-2fC=2x-3x-2f求4+25—3C;

⑥已知4=l—d,8=f—4x—3,C=5X2-4,求多項式

A——28—（8—C）］+8的值.

5、代數(shù)式的值的計算

用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式指明的運算，計算出的結(jié)果，叫代數(shù)式的值.求代數(shù)式的

值要注意的問題：（1）字母的數(shù)值必須確保代數(shù)式有意義；（2）在代入數(shù)值計算之前要把代數(shù)式化

到最簡；（3）字母的取值保證它本身表示的數(shù)量有意義；（4）字母的取值不同，代數(shù)式的值也不同.

代數(shù)式的值的計算方法；①從已知出發(fā)去求未知（向前看）；

②從未知出發(fā)去找未知和已知關(guān)系（回頭看）；

③從已知和未知同時出發(fā)待相遇去找未知和已知關(guān)系（來回趕）；

例24、已知2/+個=6,3/+2xy=9,求4/+8xy+9y2的值；

例25、；已知。+3力=2,求代數(shù)式2。+3+⑨的值；

例26,當(dāng)上工=2時，求代數(shù)式上上一2（土!上）的值；

x+yx+yx-y

例27、已知〃廣+加一1=（）時，求代數(shù)式2〃/+2008的值

W28s若x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,則/+y+z二

例29、已知。2+。+1=（）,^^2008^^2007^2006=；

例30、已知：a,b,c,d均為有理數(shù)，且|。+目=4、=2^\a-c+b-d\=c-a+d-bf則.+〃+c+d

的最大值為.

三、探索規(guī)律

1.探索數(shù)量關(guān)系，運用符號表示規(guī)律，通過運算驗證規(guī)律

2.用代數(shù)式表示簡單問題中的數(shù)量關(guān)系，運用合并同類項，去括號等法則臉證所探索的規(guī)律.例31.

觀察下列算式：

31=3.32=9、33=27、3，=81、35=243>36=729.37=218738=6561>……

用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出3須8的末位數(shù)字是,32岫的末位數(shù)字是

例32.將一張長方形的紙對力1條折痕（圖中虛線），繼續(xù)對折，對折時每

決折抵占上大的，丘痕呆》可以得到.7冬折癰那夕對折4次可以得

iiii

如果對，第2次對折號到—iiii

—iiii

1iii

iiii

iiii

第1次對折第3次對折

例33.民公園的側(cè)門口有9級臺外，小聰一步只能上1級臺階或2級臺價，小聰發(fā)現(xiàn)當(dāng)臺階數(shù)分別

為1級、2級、3級、4級、5級、6級、7級...逐漸增加時，上臺階的不同方法的種數(shù)依

次為1、2、3、5、8、13.21……這就是著名的斐波那契數(shù)列.那么小聰上這9級臺階共

有種不同方法；

例34、觀察下列順序排列的等式:

9X0+1=1,9X1+2=11,9X2+3=21,9X3+4=31,9X4+5=41

猜想：第年n個等式應(yīng)為.

例35、如圖，是用火柴棍擺出的一系列三痢形圖第A

按這種方式擺下去，當(dāng)每邊上擺20（即廿20）“，曲35題

要的火柴棍總數(shù)為根.

例36、觀察下列等式

9—1=8,16—4=12,25—9=16,36—16=20,……這些等式反映出自然數(shù)間的某種規(guī)律,

設(shè)n表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示出來：.

例37、給出下列算式：

1+1=1X2,22+2=2X3,32+3=3X4,……你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，用代數(shù)式子表示這個規(guī)

律：.

例38、一項工程，甲建筑隊單獨承包需要a天完成，乙建筑隊單獨承包需要。天完成，現(xiàn)兩隊聯(lián)合

承包，完成這項工程需要（）天.

.111ab1

A.----DB.—+—nC.----nD.——

a+baba+bab

例39、用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律.拼成若干個圖案：

第1個第2個第3個

（1）第4個圖案中有白色地面磚塊；（2）第n個圖案中有白色地面磚塊.

例40、一種商品每件進(jìn)價為a元，按進(jìn)價增加25%定出售價，后因庫存積壓降價，按售價的九折

出售，每件還能盈利（）.A.0.125aB.0.15a