試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁圓中陰影面積計算2025年中考數學總復習考前板塊訓練1．如圖，是的直徑，點在上，為外一點，且，．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．2．如圖，為的直徑，點是的中點，，垂足為，、的延長線交于點．(1)寫出一個與相等的角：________；寫出一個與相等的弧：________．(2)求證：是的切線；(3)若，，求陰影部分的面積（用含有的式子表示）．3．如圖，四邊形內接于，為的直徑，，，．(1)求的長；(2)求圖中陰影部分的面積．4．如圖，已知中，，以為直徑作，交與點，過點作交于點，連接．(1)判斷與的位置關系，并說明理由；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．5．如圖，四邊形是的內接四邊形，，連接，，，，與相交于點E．(1)求的度數；(2)求的度數；(3)若，，求陰影部分的面積（結果保留π）．6．如圖，為的直徑，將繞點A逆時針旋轉一定角度后得到的交于點E，連接交于點D，已知F為的中點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．7．如圖，是的外接圓，是直徑，過點作直線，過點作直線，兩直線交于點，如果，的半徑是．(1)請判斷與的位置關系，并說明理由；(2)求圖中陰影部分的面積（結果用表示）．8．如圖，在中，，以為直徑的分別與，交于點D，E，過點D作交于點F．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為8，，求陰影部分的面積．9．如圖，在中，，以點C為圓心，長為半徑的圓交于點D．(1)若，求的度數；(2)若D是的中點，，求陰影部分的面積；10．如圖，在中，，以為直徑的與交于點，連接．(1)尺規作圖：作出劣弧的中點（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)連接交于F點，連接，求證：；(3)若的半徑等于，且與相切于交于點，求陰影部分的面積（結果保留）．11．如圖，平分，點在射線上，以點為圓心，半徑為1的與相切于點，連接并延長交于點，交于點(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．（結果保留12．如圖，在Rt中，為中點，連接為的中點，以點為圓心，長為半徑作，交于點，過點作于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．13．如圖，是的弦，是直徑，連接，，，其中，平分，過點B作交的延長線于點E．(1)求證：是的切線．(2)若，求圖中陰影部分的周長之和．14．如圖，中，，，，與相切于點D．

(1)求圖中陰影部分的面積；(2)設上有一動點P，連接，．當的長最大時，求的長．15．如圖，點A在的直徑的延長線上，點B在上，連接、．(1)給出下列信息：①；②；③與相切．請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，第三個作為結論，組成一個正確的命題并作出證明．你選擇的條件是_____，結論是_____（填寫序號，只需寫出你認為正確的一種情形)．(2)在（1）的條件下，若，求圖中陰影部分的面積．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《圓中陰影面積計算—2025年中考數學總復習考前板塊訓練》參考答案1．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據圓周角定理可得：，得到，推出，得到，結合，可推出，即可得證；（2）連接，證明是等邊三角形，得到，，推出，得到，，求出，，最后根據面積的和差即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，

，，又，，即，又是的半徑，直線是的切線；（2）解：如圖，連接，，，又，是等邊三角形，，，，在中，，，，，，陰影部分的面積為．【點睛】本題考查了切線的性質與判定，圓周角定理，平行線的判定與性質，扇形的面積公式，等邊三角形的判定與性質，含角的直角三角形的性質，勾股定理，解題的關鍵是靈活運用相關知識．2．(1)；(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線的判定定理，特殊角的三角函數值，相似三角形的判定與性質，扇形的面積，連接經過切點的半徑和連接直徑所對的圓周角是解決此類問題常添加的輔助線．（1）根據點是的中點，利用圓周角定理，即可解答；（2）連接，利用圓周角定理，同圓的半徑相等的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定與性質和圓的切線的判定定理解答即可；（3）利用直角三角形的邊角關系定理求得的度數，利用圓周角定理得到的度數，利用直角三角形的邊角關系定理求得的長度，再利用陰影部分的面積解答即可．【詳解】（1）解：點是的中點，，，故答案為：；；（2）證明：連接，如圖，點是的中點，，，，．，，．為的半徑，是的切線；（3）解：連接，如圖，，為的直徑，，，，．，，，，，在中，，，，，．陰影部分的面積．3．(1)；(2)．【分析】（1）延長至點，使，連接，根據圓內接四邊形對角互補和鄰補角的性質可證，利用可證，根據全等三角形的性質可證是等腰直角三角形，從而可得，過點作于點，根據等腰直角三角形的性質可得，設，，利用勾股定理可求的長度；（2）連接，可證是等腰直角三角形，根據扇形的面積公式和三角形的面積公式可求陰影的面積．【詳解】（1）解：如下圖所示，延長至點，使，連接，四邊形是圓內接四邊形，

，又，，，，，在和中，，，，，是等腰直角三角形，，過點作于點，則，，，設，，在中，，，解得：，；（2）解：如下圖所示，連接，，，又，，，．【點睛】本題主要考查了圓的基本性質、圓內接四邊形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質．解決本題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據全等三角形的性質解決問題．4．(1)與相切，理由見解析(2)【分析】（1）連接，如圖所示，根據平行線的性質得到，求得，根據全等三角形的性質得到，根據切線的判定定理得到結論；（2）根據三角形的內角和定理得到，根據圓周角定理得到，根據三角形的面積公式和扇形的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）解：與相切，理由如下：連接，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，∵是的半徑，∴與相切；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系、全等三角形的判定和性質、圓周角定理、求不規則圖形面積、扇形面積的計算等知識，熟練掌握切線的判定定理、不規則圖形面積求法是解題的關鍵．5．(1)(2)(3)【分析】（1）根據四邊形是的內接四邊形得到，結合已知條件得到，進而求解即可；（2）根據圓周角定理得到，再根據等腰三角形的性質和三角形的內角和定理求解即可；（3）首先根據得到，從而得到為直角，然后利用求解．【詳解】（1）解：四邊形是的內接四邊形，，，，；（2）解：，，；（3）解：，，，，在中，，，，又，，，，．【點睛】本題考查了扇形面積的計算，圓內接四邊形的性質，圓周角定理、等腰三角形的性質、含30度角的直角三角形的性質等知識，在求不規則的陰影部分的面積時常常轉化為幾個規則幾何圖形的面積的和或差．6．(1)詳見解析(2)圖中陰影部分的面積．【分析】（1）如圖，連，先證，再證出，又由F為的中點，證出，得出，進而即可得解；（2）如圖，連，，，先由等腰三角形的性質證得，再由勾股定理得到，可證得，再證，最后用進行計算即可得解．【詳解】（1）證明：如圖，連、，∵四邊形為圓內接四邊形，∴，∵繞點A逆時針旋轉一定角度后得到的交于點E，連接交于點D，∴，∴，∴，∴，∵F為的中點，∴，∵，∴，∴，∴，∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：如圖，連，，，∵為的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴為等邊三角形，為等邊三角形，∴，∵，∴，也為等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴圖中陰影部分的面積．【點睛】本題主要考查了切線的判定和性質，圓內接四邊形的性質，等腰三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理，旋轉的性質，圓周角定理的推論，扇形的面積等知識點，熟練掌握其性質并能靈活運用作出輔助線是解決此題的關鍵．7．(1)與相切，證明見解析(2)【分析】本題主要考查切線的判定及扇形面積的計算，掌握切線的兩種判定方法及扇形的面積公式是解題的關鍵．（1）連接，根據圓周角定理得，，可判斷為等腰直角三角形，所以，而，則有，然后根據切線的判定定理得到為的切線．（2）由，得到四邊形為平行四邊形，則，然后根據梯形的面積公式和扇形的面積公式，利用求得圖中陰影部分的面積．【詳解】（1）解：DE與相切．理由如下：連接，，是直徑，．．為等腰直角三角形．點為的中點，．，．為的切線．（2）∵，，∴四邊形為平行四邊形．∴．．8．(1)見詳解(2)【分析】本題考查切線的判定和性質，等腰三角形的性質，扇形的面積公式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分割法求陰影部分的面積，屬于中考常考題型．（1）連接，根據圓周角定理得出，再證明是的中位線，得出，再證明，即可證明是的切線．（2）根據計算即可；【詳解】（1）證明：連接．∵是的直徑，，，，，∴是的中位線，，，，∴是的切線．（2）解：連接．，，，，，，，∴．9．(1)(2)【分析】本題主要考查圓的基本性質，三角形的內角和定理，直角三角形的性質，扇形的面積公式，等邊三角形的判定和性質等，綜合運用相關知識是解題的關鍵．（1）連接，根據三角形的內角和定理求出，由得到，從而利用三角形的內角和定理可得；（2）由點D是斜邊上的中線可得，又由，得到為等邊三角形，從而得到，根據扇形面積公式求出陰影部分的面積即可．【詳解】（1）解：連接，如圖，，，，，，（2）D是的中點，且，，，為等邊三角形，，陰影部分的面積為．10．(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（）作的角平分線交于點，則點即是劣弧的中點；（）根據直徑所對的圓周角是直角可得，再利用對頂角相等，結合相似三角形的判定方法即可證明；（）根據，結合半徑相等，利用三線合一得到，再利用即可求解．【詳解】（1）解：如圖，作的角平分線交于點，∴點為弧的中點E；（2）解：如圖，∵，∴，∵，∴；（3）解：如圖，連接，∵與相切于交于點，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，，∴．【點睛】本題考查了作圖——作角平分線，圓周角定理，等腰三角形的性質，相似三角形的判定，扇形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．11．(1)見詳解(2)【分析】（1）首先過點作于點，易證得，即可得是的切線；（2）由，，可求得的長，又由，即可求得答案．此題考查了切線的判定與性質、扇形的面積以及三角函數的性質解答本題的關鍵是掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．【詳解】（1）證明：過點作于點，如圖，與相切于點，，平分，是半徑，，是的切線；（2）解：，，，，，在中，，，．12．(1)證明見解析(2)陰影部分的面積為【分析】本題考查圓的知識，解題的關鍵是掌握直角三角形的性質，圓的切線，扇形面積的計算，進行解答，即可．（1）連接，根據直角三角形的性質，則，得到，根據，則，根據等量代換，平行線的判定，則，根據，得到，即可；（2）過點作于點，根據題意，則，則，根據勾股定理求出，根據等邊三角形的判定，則是等邊三角形，根據，求出，由（1）得，，則，根據勾股定理求出，可得，根據陰影部分的面積等于，即可．【詳解】（1）證明：連接，∵在中，，為中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是半徑，∴是的切線．（2）解：過點作于點，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴∵陰影部分的面積等于，∴陰影部分的面積為：．13．(1)詳見解析(2)【分析】（1）根據圓中半徑相等以及等邊對等角得出，結合角平分線得出，推出，根據平行線的性質得出，即可證明是的切線．（2）如圖，連接，．證明，都是等邊三角形．得出，求出．再根據直角三角形的性質得出，解直角三角形得出，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵平分，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴是的切線．（2）解：如圖，連接，．∵，∴．∵，∴，∴，∵，∴，∵．∴，∴．∴，都是等邊三角形．∴，．∵，∴．∵，∴，．∴圖中陰影部分的周長之和為．【點睛】本題主要考查了角平分線，等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，圓的切線，圓周角定理，解直角三角形，直角三角形的性質，弧長公式等，解決問題的關鍵是熟練掌握以上知識點．14．(1)(2)【分析】本題考查了切線的性質，勾股定理的逆定理，扇形的面積公式等知識，解題的關鍵是：（1）連接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切線的性質得出，利用等面積法求出，然后利用求解即可；（2）延長交于P，連接，則最大，然后在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解∶連接，

∵，，，∴，∴，∵與相切于D，∴，∵，∴，∴；（2）解∶延長交于P，連接，此時最大，

由（1）知：，，∴．15．(1)見解析(2)【分析】（1）若選擇①②，證明③．連接，根據等邊對等角得到，，從而得到，根據三角形的內角和可證明，由此即可證得與相切．若選擇①③，證明②．連接，由等邊對等角與三角形外角的性質得到，根據切線的性質得到，從而，將代入后即可求解．若選擇②③，證明①．連接，由切線的性質得到，從而求得，由等邊對等角與三角形外角的性質得到，，即可求得，從而，得證．（2）過點O作于，在中，可求出，在中，可求出，，根據三角形的面積公式求出，根據扇形面積公式求出，根據，即可求解．【詳解】（1）解：選擇①②可證明③，或選擇①③可證明②，或選擇