2025年大學統(tǒng)計學期末考試題庫數(shù)據(jù)分析計算題庫（多元統(tǒng)計分析試題）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、描述性統(tǒng)計量計算要求：計算給定數(shù)據(jù)集的均值、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、標準差、方差以及偏度和峰度。1.設(shè)有一組數(shù)據(jù)：{12,18,19,14,22,14,18,23,14,12,18,19}，請計算該數(shù)據(jù)集的均值、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、標準差、方差、偏度和峰度。二、假設(shè)檢驗要求：根據(jù)給出的假設(shè)檢驗問題，判斷拒絕原假設(shè)的結(jié)論。2.已知總體服從正態(tài)分布，方差已知。在α=0.05的顯著性水平下，對總體均值進行假設(shè)檢驗。原假設(shè)H0：μ=μ0，備擇假設(shè)H1：μ≠μ0，其中μ0=15，樣本均值x?=14，樣本標準差s=3，樣本容量n=100。3.假設(shè)總體X服從正態(tài)分布，已知方差σ2=9，從總體中隨機抽取一個容量為16的樣本，計算以下問題：a.樣本均值x?的分布；b.樣本方差s2的分布；c.樣本均值與總體均值之間差的分布；d.樣本均值與總體均值之間差的平方的分布。三、線性回歸分析要求：根據(jù)給定數(shù)據(jù)，建立線性回歸模型，并分析模型的擬合程度。4.以下是某品牌產(chǎn)品售價與廣告費用之間的數(shù)據(jù)：廣告費用：500，600，700，800，900，1000售價：800，850，870，890，910，930a.請根據(jù)上述數(shù)據(jù)建立線性回歸模型，并計算回歸方程的系數(shù)；b.根據(jù)模型計算R2值，判斷模型的擬合程度；c.分析模型的假設(shè)是否成立。5.某工廠在研究生產(chǎn)效率與工人年齡之間的關(guān)系時，收集了以下數(shù)據(jù)：工人年齡：20，25，30，35，40，45生產(chǎn)效率：100，150，180，210，240，270a.請根據(jù)上述數(shù)據(jù)建立線性回歸模型，并計算回歸方程的系數(shù)；b.根據(jù)模型計算R2值，判斷模型的擬合程度；c.分析模型的假設(shè)是否成立。四、主成分分析要求：對一個包含多個變量的數(shù)據(jù)集進行主成分分析，提取前兩個主成分，并計算每個樣本在這兩個主成分上的得分。6.假設(shè)我們有一個包含5個變量的數(shù)據(jù)集，變量為X1,X2,X3,X4,X5，數(shù)據(jù)如下表所示：|X1|X2|X3|X4|X5||----|----|----|----|----||1|2|3|4|5||2|3|4|5|6||3|4|5|6|7||4|5|6|7|8||5|6|7|8|9|請完成以下任務(wù)：a.計算每個變量的均值和標準差；b.計算協(xié)方差矩陣；c.計算特征值和特征向量；d.提取前兩個主成分；e.計算每個樣本在這兩個主成分上的得分。五、因子分析要求：對一個包含多個變量的數(shù)據(jù)集進行因子分析，確定合適的因子個數(shù)，并解釋每個因子的含義。7.假設(shè)我們有一個包含6個變量的數(shù)據(jù)集，變量為X1,X2,X3,X4,X5,X6，數(shù)據(jù)如下表所示：|X1|X2|X3|X4|X5|X6||----|----|----|----|----|----||1|2|3|4|5|6||2|3|4|5|6|7||3|4|5|6|7|8||4|5|6|7|8|9||5|6|7|8|9|10||6|7|8|9|10|11|請完成以下任務(wù)：a.計算每個變量的均值和標準差；b.計算協(xié)方差矩陣；c.進行KMO和Bartlett的球形度檢驗；d.計算特征值和特征向量；e.確定合適的因子個數(shù)；f.解釋每個因子的含義。六、聚類分析要求：對一個包含多個變量的數(shù)據(jù)集進行聚類分析，選擇合適的聚類方法，并對結(jié)果進行解釋。8.假設(shè)我們有一個包含5個變量的數(shù)據(jù)集，變量為X1,X2,X3,X4,X5，數(shù)據(jù)如下表所示：|X1|X2|X3|X4|X5||----|----|----|----|----||1|2|3|4|5||2|3|4|5|6||3|4|5|6|7||4|5|6|7|8||5|6|7|8|9|請完成以下任務(wù)：a.計算每個變量的均值和標準差；b.選擇合適的聚類方法（例如K均值聚類）；c.對數(shù)據(jù)進行聚類；d.解釋聚類結(jié)果。本次試卷答案如下：一、描述性統(tǒng)計量計算1.均值=(12+18+19+14+22+14+18+23+14+12+18+19)/12=18.25中位數(shù)=(14+18)/2=16眾數(shù)=14極差=23-12=11標準差=√[Σ(xi-x?)2/n]=√[(12-18.25)2+(18-18.25)2+(19-18.25)2+(14-18.25)2+(22-18.25)2+(14-18.25)2+(18-18.25)2+(23-18.25)2+(14-18.25)2+(12-18.25)2+(18-18.25)2+(19-18.25)2]/12≈3.28方差=(Σ(xi-x?)2/n)=[(12-18.25)2+(18-18.25)2+(19-18.25)2+(14-18.25)2+(22-18.25)2+(14-18.25)2+(18-18.25)2+(23-18.25)2+(14-18.25)2+(12-18.25)2+(18-18.25)2+(19-18.25)2]/12≈10.69偏度=(Σ(xi-x?)3/n)/[(Σ(xi-x?)2/n)^(3/2)]≈-0.25峰度=(Σ(xi-x?)?/n)/[(Σ(xi-x?)2/n)^(2)]≈0.75二、假設(shè)檢驗2.根據(jù)t檢驗公式，計算t值：t=(x?-μ0)/(s/√n)=(14-15)/(3/√100)≈-1.47在α=0.05的顯著性水平下，查t分布表得到tα/2(99)≈1.984因為|-1.47|<|1.984|，所以不拒絕原假設(shè)H0：μ=μ0。3.a.樣本均值x?的分布為正態(tài)分布，均值為μ，標準差為σ/√n=3/√16=0.75b.樣本方差s2的分布為χ2分布，自由度為n-1=16-1=15c.樣本均值與總體均值之間差的分布為t分布，自由度為n-1=15d.樣本均值與總體均值之間差的平方的分布為χ2分布，自由度為n-1=15三、線性回歸分析4.a.回歸方程的系數(shù)：b0=y?-b1x?=900-0.9*800=100b1=Σ(xy)/Σ(x2)-(Σx*Σy)/(n*Σx2)=(500*800+600*850+700*870+800*890+900*910+1000*930)/(5002+6002+7002+8002+9002+10002)-(500+600+700+800+900+1000)*(800+850+870+890+910+930)/(6*5002+6*6002+6*7002+6*8002+6*9002+6*10002)≈0.9所以回歸方程為y=0.9x+100b.R2值=Σ(?i-y?)2/Σ(yi-y?)2=(0.9*500+100-800)2+(0.9*600+100-850)2+(0.9*700+100-870)2+(0.9*800+100-890)2+(0.9*900+100-910)2+(0.9*1000+100-930)2/[(500-800)2+(600-800)2+(700-800)2+(800-800)2+(900-800)2+(1000-800)2]≈0.97c.模型的假設(shè)成立，因為R2值接近1，說明模型對數(shù)據(jù)的擬合程度較好。5.a.回歸方程的系數(shù)：b0=y?-b1x?=270-0.9*35=223.5b1=Σ(xy)/Σ(x2)-(Σx*Σy)/(n*Σx2)=(20*100+25*150+30*180+35*210+40*240+45*270)/(202+252+302+352+402+452)-(20+25+30+35+40+45)*(100+150+180+210+240+270)/(6*202+6*252+6*302+6*352+6*402+6*452)≈0.9所以回歸方程為y=0.9x+223.5b.R2值=Σ(?i-y?)2/Σ(yi-y?)2=(0.9*20+223.5-100)2+(0.9*25+223.5-150)2+(0.9*30+223.5-180)2+(0.9*35+223.5-210)2+(0.9*40+223.5-240)2+(0.9*45+223.5-270)2/[(20-100)2+(25-100)2+(30-100)2+(35-100)2+(40-100)2+(45-100)2]≈0.97c.模型的假設(shè)成立，因為R2值接近1，說明模型對數(shù)據(jù)的擬合程度較好。四、主成分分析6.a.計算每個變量的均值和標準差：均值：x?1=(1+2+3+4+5)/5=3，x?2=(2+3+4+5+6)/5=4，x?3=(3+4+5+6+7)/5=5，x?4=(4+5+6+7+8)/5=6，x?5=(5+6+7+8+9)/5=7標準差：s1=√[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]/5≈1.4，s2=√[(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2]/5≈1.4，s3=√[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]/5≈1.4，s4=√[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]/5≈1.4，s5=√[(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2]/5≈1.4b.計算協(xié)方差矩陣：協(xié)方差矩陣=[(s12,s1*s2,s1*s3,s1*s4,s1*s5),(s2*s1,s22,s2*s3,s2*s4,s2*s5),(s3*s1,s3*s2,s32,s3*s4,s3*s5),(s4*s1,s4*s2,s4*s3,s42,s4*s5),(s5*s1,s5*s2,s5*s3,s5*s4,s52)]c.計算特征值和特征向量：特征值：λ1=5.8，λ2=2.4，λ3=1.8，λ4=1.8，λ5=0.6特征向量：[0.9,0.2,0.1,0.1,0.1],[0.2,0.9,0.1,0.1,0.1],[0.1,0.1,0.9,0.1,0.1],[0.1,0.1,0.1,0.9,0.1],[0.1,0.1,0.1,0.1,0.9]d.提取前兩個主成分：主成分1=0.9X1+0.2X2+0.1X3+0.1X4+0.1X5主成分2=0.2X1+0.9X2+0.1X3+0.1X4+0.1X5e.計算每個樣本在這兩個主成分上的得分：樣本1得分=0.9*1+0.2*2+0.1*3+0.1*4+0.1*5=1.5樣本2得分=0.2*1+0.9*2+0.1*3+0.1*4+0.1*5=2.0樣本3得分=0.1*1+0.1*2+0.9*3+0.1*4+0.1*5=3.0樣本4得分=0.1*1+0.1*2+0.1*3+0.9*4+0.1*5=4.0樣本5得分=0.1*1+0.1*2+0.1*3+0.1*4+0.9*5=5.0五、因子分析7.a.計算每個變量的均值和標準差：均值：x?1=(1+2+3+4+5)/5=3，x?2=(2+3+4+5+6)/5=4，x?3=(3+4+5+6+7)/5=5，x?4=(4+5+6+7+8)/5=6，x?5=(5+6+7+8+9)/5=7，x?6=(6+7+8+9+10)/5=8標準差：s1=√[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]/5≈1.4，s2=√[(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2]/5≈1.4，s3=√[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]/5≈1.4，s4=√[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]/5≈1.4，s5=√[(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2]/5≈1.4，s6=√[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]/5≈1.4b.計算協(xié)方差矩陣：協(xié)方差矩陣=[(s12,s1*s2,s1*s3,s1*s4,s1*s5,s1*s6),(s2*s1,s22,s2*s3,s2*s4,s2*s5,s2*s6),(s3*s1,s3*s2,s32,s3*s4,s3*s5,s3*s6),(s4*s1,s4*s2,s4*s3,s42,s4*s5,s4*s6),(s5*s1,s5*s2,s5*s3,s5*s4,s52,s5*s6),(s6*s1,s6*s2,s6*s3,s6*s4,s6*s5,s62)]c.進行KMO和Bartlett的球形度檢驗：KMO檢驗結(jié)果：KMO=0.7Bartlett球形度檢驗結(jié)果：p-value=0.000d.計算特征值和特征向量：特征值：λ1=5.8，λ2=2.4，λ3=1.8，λ4=1.8，λ5=0.6特征向量：[0.9,0.2,0.1,0.1,0.1,0.1],[0.2,0.9,0.1,0.1,0.1,0.1],[0.1,0.1,0.9,0.1,0.1,0.1],[0.1,0.1,0.1,0.9,0.1,0.1],[0.1,