八一路校區高二數學第一次月考測試一、單選題1.若函數在處可導，且，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由導數的概念可解.【詳解】.故選：C2.甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，則甲、乙兩人中間恰好有兩人的站法有（）A.36種 B.72種 C.144種 D.288種【答案】C【解析】【分析】由排列數的計算公式，結合分步乘法計數原理代入計算，即可得到結果.【詳解】第一步從6個位置中選擇2個位置，滿足條件的選位可以是，共有3種不同方法；第二步將甲、乙排到所選擇的2個位置，共有種不同的方法；第三步將丙、丁、戊、己排到剩余的4個位置，共有種不同的方法；由分步計數原理可知，共有種．故選：C3.拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，定理內容是：如果函數在閉區間上的圖象連續不間斷，在開區間內的導數為，那么在區間內至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據這個定理，可得函數在上的“拉格朗日中值點”的個數為（）．A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】【分析】根據題中給出的“拉格朗日中值點”的定義分析求解即可．【詳解】函數，求導得：，令為在上的“拉格朗日中值點”，則有，即，整理得，解得，所以函數在上的“拉格朗日中值點”的個數為2.故選：B.4.函數的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數的導數，利用導數判定函數的單調性即可得出選項．【詳解】解：，定義域為，，令，得，令，得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，排除A、C，當時，，，，所以，排除B，只有D中圖象符合題意；故選：D5.已知偶函數在上的導函數為，且在時滿足以下條件：①導函數的圖象如圖所示；②唯一的零點是1．則的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】記在上的零點為，結合導函數的圖象可求出的單調區間，再根據可求出當時的正負，再結合偶函數的性質可求得不等式的解集.【詳解】記在上的零點為，由在上的圖象，知當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增．因為在唯一的零點是1，即，所以當時，，當時，．又為偶函數，所以當時，，當時，，所以的解集為．故選：B．6.已知函數，則（）A.2024 B. C.2025 D.2026【答案】B【解析】【分析】通過求導得到的對稱中心，然后利用對稱性求函數值即可.【詳解】由，可得．令，得，又，所以圖象的對稱中心為，，，，．故選：B.7.在上的導函數為，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據條件構造函數，利用導數判斷其單調性，從而得到不等關系，即可判斷.【詳解】令，則，，，在上單調遞增，，即，.故選：A.8.已知對恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將不等式進行變形，構造函數，根據其單調性得到，轉化為恒成立問題，通過求函數在上的最大值來確定的取值范圍.【詳解】設，則.∵時，，，∴，故在上單調遞增.∵對恒成立，∴當時，，則有，當時，可等價變形為.∵在上單調遞增，且，（），∴由可得，即對恒成立.設，則.當時，，，，故.∴在上單調遞減，∴當時，.∵對恒成立，∴，即實數的取值范圍是.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是把不等式等價變形為，通過構造函數，最終問題轉化為轉化為恒成立問題.二、多選題9.定義在上的函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.函數在上單調遞減 B.函數在上單調遞減C.函數在處取得極小值 D.函數在處取得極大值【答案】AD【解析】【分析】利用函數的函數的圖象，可判斷函數的單增區間與單減區間，進而可得極大值點，從而可得結論.【詳解】由函數的導函數的圖象可知，當時，，所以在上單調遞增，故B錯誤；當時，，所以在上單調遞減，故A正確；所以函數在處取得極大值，不是極小值點，故C錯誤，D正確.故選：AD.10.設函數，則（）A.函數有兩個極值點B.函數有兩個零點C.直線是曲線的切線D.點是曲線的對稱中心【答案】ABD【解析】【分析】求導，確定函數單調性極值，即可判斷AB，由導數的幾何意義可判斷C，由對稱中心的概念可判斷D;【詳解】令解得，令解得或，所以在單調遞增，單調遞減，單調遞增，因為，極大值，且極小值，所以函數有兩個極值點，有兩個零點，故AB正確，令即，，無解；故C錯誤；，所以，即點是曲線的對稱中心，正確；故選：ABD11設函數，則（）A.當時，是的極大值點B.當時，有三個零點C.存在a，使得點為曲線的對稱中心D.存在a，b，使得為曲線的對稱軸【答案】BC【解析】【分析】A選項，根據極值和導函數符號的關系進行分析；B選項，先分析出函數的極值點為，根據零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；C選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據此進行計算判斷，亦可利用拐點結論直接求解.D選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據此計算判斷；【詳解】A選項，，時，，單調遞減，時，單調遞增，此時在處取到極小值，A選項錯誤；B選項，，由于，故時，故在上單調遞增，時，，單調遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，B選項正確；C選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，C選項正確.方法二：直接利用拐點結論任何三次函數都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數的零點，，，，由，于是該三次函數的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，C選項正確.D選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，D選項錯誤；故選：BC【點睛】結論點睛：（1）的對稱軸為；（2）關于對稱；（3）任何三次函數都有對稱中心，對稱中心是三次函數的拐點，對稱中心的橫坐標是的解，即是三次函數的對稱中心.三、填空題12.函數在處有極值10，則實數_________．【答案】【解析】【分析】將函數求導，由題意得和，聯立求得，再回代檢驗是否符合題意即得.【詳解】由求導得，，依題意，①，②，聯立①，②，解得：或.當，時，，，函數增函數，顯然不符合題意，故舍去；當，時，，，當時，，此時為減函數，當時，，此時為增函數，故在處有極小值為，符合題意.故答案為：.13.若函數在區間上有單調遞增區間，則實數的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據題意轉化為在上有解，分離參數后求函數最值即可得解.【詳解】，由題意在上有解，即在上有解，根據對勾函數的性質可知，在上單調遞增，所以在時取最大值，故，故實數的取值范圍是.故答案為：14.對于函數，若對任意的，存在唯一的使得，則實數的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】借助導數研究單調性，并求出函數在給定區間上的值域，再結合集合包含關系，列出不等式解題即可.【詳解】函數，求導，令，求導，函數在上單調遞增，當時，；當時，，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，因此函數在上單調遞增，當時，，即，函數，求導得，當時，，當時，，函數在上單調遞減，此時，即；在上單調遞增，此時，即，由對任意的，存在唯一的使得，得是的子集，即，解得，所以實數的取值范圍是．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是將題目轉化為值域之間的包含關系，再借助導數研究單調性，得到值域.四、解答題15.4名男生和3名女生站成一排.（1）甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？（2）男生甲和男生乙不相鄰，女生甲和女生乙相鄰，排在一起的站法有多少種？（3）甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？【答案】（1）2880（2）960（3）840【解析】【分析】（1）根據題意先排甲，然后剩余的進行全排列即可；（2）利用捆綁法，將女生甲和女生乙捆綁在一起，與除去男生甲和男生乙的其他人進行全排列，然后男生甲和乙插空即可；（3）7個全排列后，除以甲、乙、丙的全排列數即可.【小問1詳解】分兩步，先排甲有種，其余有種，所以根據分步乘法原理知共有種排法.【小問2詳解】分三步：①捆綁法，現將女生甲與女生乙捆綁在一起，有（種）；②將女生甲和女生乙看成整體，與其他人（除去男生甲和男生乙）排列，有（種）；③插空法，在其他人排好的基礎上，將男生甲和乙插空（共有5個空位置），有（種），所以根據分步乘法原理可知共有（種）.【小問3詳解】7人共有種排法，其中甲、乙、丙三人有種排法，因而在種排法中每種對應一種符合條件的排法，故共有種排法16.已知函數.（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將代入函數解析式，對函數求導，求確定斜率，求確定切點坐標，利用點斜式即可求切線方程.（2）根據，確定函數，令，利用二次求導的方法確定的單調性，再根據，確定函數的單調區間，從而求出函數的最小值，即，由此結論得證.【小問1詳解】當時，，則，得，又，所以切點為，所以切線方程為，即.【小問2詳解】因為，所以，所以，令，所以，令，所以，因為，時，，所以，所以在上單調遞增，又，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，所以，即.17.已知函數，其中.（1）若的圖象在處的切線經過點，求a的值；（2）討論的單調性.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求導求出切線的斜率和切點坐標，由直線的點斜式方程求出切線方程，再代入經過點的坐標可得答案；（2）求導，分、、、討論，可得答案.【小問1詳解】，因為，，所以的圖象在處的切線方程為，將代入得，解得；【小問2詳解】，當時，，令，得；令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.當時，，所以在上單調遞增.當時，令，得或；令，得，所以在，上單調遞增，在上單調遞減.當時，令，得或；令，得，所以在，上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.18.已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）求證：函數的圖象在x軸上方.【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)求，根據正負即可求y的單調區間；(2)求，根據零點的范圍求出g(x)的最小值，證明其最小值大于零即可.【小問1詳解】，令則.當時，，∴函數在上單調遞增；當時，，∴函數上單調遞減.即單調遞增區間是，單調遞減區間是；【小問2詳解】，，易知單調遞增，又，，∴在上存在一個，使得：，即：，且，當，有單調遞減；當，有單調遞增.∴，∴，∴函數的圖象在x軸上方.【點睛】本題考查隱零點，關鍵是判斷單調，且，，由此得出在(1，2)之間存在零點，據此求出g(x)的最小值，證明此最小值大于零即可.19.已知函數．（1）求的單調區間；（2）若在區間內有最小值，求的取值范圍；（3）若關于的方程有兩個不同的解，，求證：．【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求出的導數，通過討論的范圍，判斷的符號，得到函數的單調區間即可；（2）通過討論的范圍，判斷在區間內單調性，從而得出的取值范圍；（3）根據題意分析可得：若，是關于的方程的兩個不同的解，通過聯立方程組消去，再通過換元，整理得到，結合的單調性分析運算得到，從而得證.【小問1詳解】的定義域為，，當時，，所以的單調遞減區間為，無單調遞增區間；當時，