威遠中學校屆高一下期半期考試數學命題人：游蕊艷做題人：王章濤游蕊艷審題人：李魏王章濤游蕊艷數學試題共4頁滿分分考試時間分鐘.注意事項：答題前，務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規定的位置上.答選擇題時，必須使用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，必須使用毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.第Ⅰ卷選擇題，共分)85分在每小題給出的四個選項中，只有一項1.已知向量，.若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據向量垂直的充要條件，利用數量積的坐標運算列式求解即可.【詳解】因為向量，，且，所以，解得.故選：C2.向量，化簡后等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加法與減法可化簡所得向量式.第1頁/共18頁【詳解】.故選：D.3.已知為銳角，且，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據弦切互化可得，即可利用二倍角公式求解.【詳解】由可得，故，所以，故選：A4.如圖，在中，為的中點，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】運用平面向量線性運算及共線向量關系即可求解.【詳解】由題意知.故選：C.5.若是方程的兩個根，則（）第2頁/共18頁A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據韋達定理可得，結合兩角和與差的正、余弦公式以及切弦互化計算即可求解.【詳解】因為是方程的兩個實根，所以，則.故選：B6.如圖，摩天輪的半徑為40m，摩天輪的中心點距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉動，每36min轉的起始位置在最低點處.距離地面超過70m）A.10minB.12minC.14minD.16min【答案】B【解析】在地面的投影點為坐標原點，所在直線為垂直的向右的方向為第3頁/共18頁軸建立坐標系，設時點距離底面的高度為，由題意得，，求出函數解析式，令，解不等式繼而可求解.【詳解】如圖，以點在地面的投影點為坐標原點，所在直線為軸，與垂直的向右的方向為軸建立坐標系，設時點距離底面的高度為，由題意得，，周期，所以，所以，即，可得，令，則，所以，令，即，所以，解得，令，則，所以在摩天輪轉動的一圈內，點距離地面超過70m的時長為.故選：.第4頁/共18頁7.已知函數滿足，將函數圖象向左平移個單位后其圖象關于y軸對稱，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】的解析式，最后根據函數的對稱性，確定的最小值.【詳解】因為，所以，即，，又因為，所以當時，，所以，將其圖象向左平移個單位后，所得函數，因為函數的圖象關于y軸對稱，所以，，即，，當時，，所以的最小值為.故選:A.8.在平行四邊形中，為的中點，，與交于點，過點的直線分別與射線，交于點，，，，則的最小值為（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據平面向量基本定理，將用和表示，再利用，，三點共線，求得第5頁/共18頁，再利用基本不等式求得最值.【詳解】由，，共線，可設，由,,三點共線，故可設，則有，解得：，故，由題意，，，三點共線，故可設，則，整理得，故，當且僅當，即時等號成立，則的最小值為；故選：C36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得09.下列式子化簡后等于的是（）A.B.第6頁/共18頁C.D.【答案】ABC【解析】A：根據兩家和差公式分析判斷；對于BD：根據倍角公式分析判斷；對于C角公式分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，故A正確；對于選項B：因，故B正確；對于選項C：因為，故C正確；對于選項D：因為，故D錯誤；故選：ABC.10.是邊長為3的等邊三角形，，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.在上的投影向量是【答案】BCD【解析】【分析】根據向量線性運算、向量的模的計算、向量數量積、向量投影等知識對選項分別進行分析，由此確定正確選項.【詳解】如圖：第7頁/共18頁對于A，．故A不正確；對于B，所以，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，在上的投影向量是．故D正確．故選：BCD.如圖是某地一天從6點到14點的氣溫變化曲線，該曲線近似滿足函數：，其中：.則下列說法正確的有（）A.函數的最小正周期為B.函數解析式為C.函數在區間上單調遞增D.第8頁/共18頁【答案】BC【解析】【分析】根據圖象計算最小正周期可得選項A錯誤；根據函數圖象逐步計算的值可得選項B正上的單調性與函數在區間圖象可得選項C正確；利用函數中心對稱的性質可得選項D錯誤.【詳解】A.由函數圖象得，函數的最小正周期為，A錯誤.B.由題意得，，解得.設函數最小正周期為，則，故，由得，，∴，由得，，故，選項B正確C.∵，∴函數在區間上的單調性與函數在區間上的單調性相同，由圖象可得，函數在區間上單調遞增，C正確.D.等價于，由圖可知，函數的圖象不關于點中心對稱，D錯誤.故選：BC.第Ⅱ卷（非選擇題，共分）三、填空題（本大共3小題，每小題5分，滿分12__________.【答案】【解析】第9頁/共18頁【分析】由誘導公式計算即可．【詳解】．故答案為：．13.已知向量，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】利用且與不共線求解.【詳解】，，則，因與的夾角為銳角，則，得，當時，，得，此時與同向，則實數的取值范圍是.故答案為：14.將余弦函數的圖象向左平移個單位，再將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的得到函數的圖象，若在區間上恰有1個最小值和3個零點，則的取值范圍為___.【答案】【解析】【分析】根據圖像變換可得為整體，結合余弦函數性質列式求解即可.【詳解】余弦函數的圖象向左平移個單位，可得，第10頁/共18頁再將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的，可得，因為，且，則，由題意可得：，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.四、解答題（本題共計5小題，共分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.15.已知，，與的夾角.（1）求；（2）若與共線，求的值.【答案】（1）（2）【解析】1）利用等式及向量的運算律求解即可；（2）根據共線向量定理列等式求解即可.【小問1詳解】，【小問2詳解】與共線，存在唯一實數，使得即，第11頁/共18頁又與不共線，∴，解得16.已知銳角，且滿足.（1）求；（2）求【答案】（1）（2）【解析】1）利用同角三角函數的平方關系及兩角和的正弦公式即可求解；（2）根據（1）的結論及同角三角函數的平方關系，利用兩角和的余弦公式及三角函數的特殊值對應的特殊角即可求解.【小問1詳解】因為為銳角，，所以.因為，是銳角，即，，所以，，又因為，所以..【小問2詳解】第12頁/共18頁由（1）知，，因為是銳角，，所以，由，，所以，，因為，所以.17.已知函數的部分圖像如圖所示.（1）求的解析式及對稱中心；（2）若，求的值；（3）若方程在上恰有個不相等的實數根，求的取值范圍.【答案】（1），對稱中心：（2）或（3）.第13頁/共18頁【解析】1）由函數的圖像得到和周期，然后求得，通過點坐標，得到，即求得函數解析式，由余弦函數的對稱中心得到函數的對稱中心；（2）由（1）得到方程，結合題目給到的區間求得對應的的值；（3）整體題中方程得，由取值范圍求得的范圍，由題意得到最大值的不等式，解得的取值范圍.【小問1詳解】由函數的圖像，可得，周期，則，∴．將點代入函數解析式可得，解得，∵，∴，∴；令，解得，的對稱中心為【小問2詳解】由（1）知：，又，∴，，∴或解得：或又∵，∴或.【小問3詳解】第14頁/共18頁由（1）知，則，由函數在上恰有5個零點，即在上恰有5個解，即在上恰有5個解，∵，∴，即函數與在區間有5個交點，由圖像知，只需即可，解得，故.18.如圖，在梯形中，，，，E、F分別為、的中點，且，P是線段上的一個動點．（1）若，求的值；（2）求的長；（3）求的取值范圍．第15頁/共18頁【答案】（1）（2）（3）【解析】1）根據向量的線性運算，結合圖形的幾何性質，可得答案；（2）利用同一組基底表示向量，根據數量積的運算律，可得答案；（3）利用同一組基底表示向量，根據數量積的運算律，結合二次函數的性質，可得答案.【小問1詳解】由分別為的中點，則，，由圖可得，則，所以.【小問2詳解】由（1）可知，，由，則，，可得，解得.【小問3詳解】由圖可得，，，第16頁/共18頁由，則.19.已知向量，，其中，函數，且的圖象上兩條相鄰對稱軸的距離為．（1）求函數的解析式；（2）求函數在上的單調遞增區間；（3）若對，關于的不等式成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2），（3）【解析】1）利用向量數量積的坐標公式和三角恒等變換將其化成正弦型函數，依題求出即得；（2）先求出函數在R上的單調遞增區間，再與給定區間求交即得；（3）將所給不等式等價轉化，將其化成在恒成立問題，通過設元，范圍.【小問1詳解】依題，由題知，，.【小問2詳解】由可得，，第17頁/共