1.4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用第一章

數(shù)列北師大版（2019）選擇性必修第二冊學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握單利、復(fù)利的概念掌握零存整取、定期自動轉(zhuǎn)存、分期付款三種模型及應(yīng)用0102實例分析等差數(shù)列，等比數(shù)列是日常經(jīng)濟(jì)生活中的重要數(shù)學(xué)模型.例如，存款、貸款、購物(房、車)分期付款、保險、資產(chǎn)折舊等問題都與其相關(guān).以銀行存款為例，它是老百姓日常生活中最基本的經(jīng)濟(jì)活動.銀行存款計息方式有兩種：單利和復(fù)利，它們分別是以等差數(shù)列和等比數(shù)列為數(shù)學(xué)模型.下面分別舉例說明.抽象概括

單利的計算是僅在原有本金上計算利息，對本金所產(chǎn)生的利息不再計算利息.其公式為：利息＝本金×利率×存期.1.單利以符號

P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金與利息和（以下簡稱本利和），則有

.S＝P（1＋nr）等差數(shù)列模型抽象概括

復(fù)利是指一筆資金除本金產(chǎn)生利息外，在下一個計息周期內(nèi)，以前各計息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息也計算利息的計息方法.2.復(fù)利復(fù)利的計算公式是

.等比數(shù)列模型S＝P（1＋r）n例1

零存整取模型

銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務(wù)，即每月定時存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金，這是零存；到約定日期，可以取出全部本利和，這是整取(現(xiàn)在有一年、三年、五年3種，年利率分別為1.35%，1.55%，1.55%）.

規(guī)定每次存入的錢不計復(fù)利.（1）若每月存入金額為

x元，月利率

r

保持不變，存期為

n個月，試推導(dǎo)出到期整取時本利和的公式；例題分析解：（1）根據(jù)題意，第1個月存入的金額為

x元，到期利息為

xrn元；第2個月存入的金額為

x元，到期利息為

xr(n－1)元······第

n個月存入的金額為

x元，到期利息為

xr

元.即①因此，各月利息之和為

xr(1＋2＋···＋n)

而本金為

nx元，這樣就得到本利和公式

例1

零存整取模型

銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務(wù)，即每月定時存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金，這是零存；到約定日期，可以取出全部本利和，這是整取(現(xiàn)在有一年、三年、五年3種，年利率分別為1.35%，1.55%，1.55%）.

規(guī)定每次存入的錢不計復(fù)利.（2）若每月初存入500元，到第3年整取時的本利和是多少？(精確到0.01元）例題分析

例1

零存整取模型

銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務(wù)，即每月定時存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金，這是零存；到約定日期，可以取出全部本利和，這是整取(現(xiàn)在有一年、三年、五年3種，年利率分別為1.35%，1.55%，1.55%）.

規(guī)定每次存入的錢不計復(fù)利.（3）若每月初存入一定金額，希望到

1

年后整取時取得本利和

2000元，則每月初應(yīng)存入的金額是多少？（精確到0.01元）例題分析

所以每月初應(yīng)存入165.46元.例2

定期自動轉(zhuǎn)存模型

銀行有另一種儲蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動轉(zhuǎn)存.

例如，儲戶某日存入一筆1

年期定期存款，1

年后，如果儲戶不取出本利和，則銀行按存款到期時的

1

年期定期存款利率自動辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，第

2

年的本金就是第

1

年的本利和.按照定期存款自動轉(zhuǎn)存的儲蓄業(yè)務(wù)，假定無利率變化調(diào)整因素，我們來討論以下問題：(1)如果儲戶存入定期為

1

年的

P

元存款，定期年利率為

r，連存

n

年后，再取出本利和.

試求岀儲戶

n年后所得本利和的公式；例題分析解：(1)記

n年后得到的本利和為

an.根據(jù)題意知：第

1

年存入的本金

P

元，1年后到期利息為

Pr

元，1年后本利和為a1＝

P＋Pr

＝P(1＋r)(元)；例2

定期自動轉(zhuǎn)存模型

(1)如果儲戶存入定期為

1

年的

P

元存款，定期年利率為

r，連存

n

年后，再取出本利和.

試求岀儲戶

n年后所得本利和的公式；例題分析2年后到期利息為

P(1+r)r

元，2

年后本利和為a2＝P(l＋r)＋P(l＋r)r

＝P(l＋r)2(元)；∴各年的本利和是一個首項

a1＝P(l＋r)、公比q＝l＋r的等比數(shù)列{an}，故

n年后到期的本利和為an＝a1qn－1＝P(l＋r)(l＋r)n－1

＝

P(l＋r)n(元).例2

定期自動轉(zhuǎn)存模型

(2)如果存入1萬元定期存款，存期1年，年利率為1.75%，那么

5

年后共得本利和多少元？(精確到0.01元)例題分析(2)由(1)可知，5年后本利和為a5＝10000×(1+0.0175)5≈10906.17（元）.因此，5年后得本利和約為10906.17元.例3

分期付款模型

小華準(zhǔn)備購買一臺售價為5000元的電腦，采用分期付款方式，并在一年內(nèi)將款全部付清.商場提出的付款方式為：購買后2個月的月末第1次付款，再過2個月第2次付款······購買后第12個月末第6次付款，每次付款金額相同，約定月利率為0.6%，每月利息按復(fù)利計算.求小華每次應(yīng)付的金額是多少？(精確到0.01元)例題分析

解得

抽象概括解數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟現(xiàn)實生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、工作效率、土地面積、堆積物品總數(shù)等實際問題，都需要數(shù)列的知識加以解決.解答數(shù)列應(yīng)用問題的核心是建立模型，其基本步驟如下：實際應(yīng)用題明確題意，找出題設(shè)與所求問題之間的邏輯關(guān)系利用數(shù)學(xué)語言將邏輯關(guān)系