微專題：數(shù)列求和簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表：函數(shù)導(dǎo)數(shù)

常數(shù)函數(shù)冪函數(shù)

三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)知識回顧知識回顧---函數(shù)和差積商的求導(dǎo)法則兩函數(shù)之和差的求導(dǎo)法則：兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則：函數(shù)常數(shù)倍的求導(dǎo)法則：兩函數(shù)之商的求導(dǎo)法則：思考

如何求函數(shù)y=ln(2x－1)的導(dǎo)數(shù)？函數(shù)y=ln(2x－1)不是由基本初等函數(shù)通過加、減、乘、除運(yùn)算得到的,所以無法用現(xiàn)有的方法求它的導(dǎo)數(shù).若設(shè)

，則y=lnu，從而函數(shù)y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和

復(fù)合而成的一個復(fù)合函數(shù).把y與u的關(guān)系記作y=f(u)，u與x的關(guān)系記作u=g(x)，那么這個“復(fù)合”過程可表示為y=f(u)=f(g(x))=ln(2x－1).思考

函數(shù)y=ln(2x－1)有什么結(jié)構(gòu)特點(diǎn)？y通過中間變量u表示成x的函數(shù).問題導(dǎo)入復(fù)合函數(shù)的定義一般地，對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù).記作：y=f(g(x)).函數(shù)y=sin2x是由y=sinu和u=2x復(fù)合而成.例如，函數(shù)y=ln(2x－1)是由y=lnu和

復(fù)合而成.v【拆分復(fù)合函數(shù)】【分析】從外向內(nèi)分解成基本函數(shù)直到中間變量【總結(jié)】課堂練習(xí)

函數(shù)y＝sin(2x－1)如果看成復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))，下列式子正確的是A．φ(x)＝2x

B．φ(x)＝sinxC．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin(2x－1)例1y＝sin(2x－1)是由函數(shù)y＝sinu和u＝2x－1復(fù)合而成，可見φ(x)＝2x－1.故選C.√對點(diǎn)練1.

(多選題)下列哪些函數(shù)是復(fù)合函數(shù)√√√根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義可以選ACD.返回問題如何求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢?我們先來研究y=sin2x的導(dǎo)數(shù).復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地，對于由y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為

即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積，簡單的理解就是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于內(nèi)外函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之積.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t

)

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：例2(2)y＝log2(2x＋1)；解：設(shè)y＝log2u，u＝2x＋1，(3)y＝e3x＋2；解：設(shè)y＝eu，u＝3x＋2，則y′x＝y(tǒng)′uu′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2，即y′＝3e3x＋2.變式探究求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個步驟進(jìn)行：（1）分解：分解復(fù)合函數(shù)為基本初等函數(shù)，注意選擇合適的中間變量；（2）層層求導(dǎo)：求每一層基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)）；（3）作積還原：將各層基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相乘，并將中間變量還原為原來的變量.以上步驟可稱之為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)“三步曲”.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟對點(diǎn)練2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(4－3x)2；解：設(shè)y＝u2，u＝4－3x，則y′u＝2u，u′x＝－3，于是y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝－6(4－3x)＝18x－24，即y′＝18x－24.則y′u＝－sinu，u′x＝2，(3)y＝ln(4x－1)；解：設(shè)y＝lnu，u＝4x－1，(4)y＝102x＋3.解：設(shè)y＝10u，u＝2x＋3，則y′x＝y(tǒng)′uu′x＝(10u)′(2x＋3)′＝10uln10·2＝2·102x＋3·ln10＝102x＋3·ln100，即y′＝102x＋3·ln100.返回復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(1)曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋3＝0的最短距離是例3√復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(1)曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋3＝0的最短距離是將t＝18代入s′(t)，規(guī)律方法1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求解曲線與直線上點(diǎn)的最小距離問題．2．將復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義結(jié)合，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時變化率，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)揭示物體在某時刻的變化狀況．對點(diǎn)練3.(1)質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s(t)＝(2t＋1)2

做直線運(yùn)動(位移單位：m，時間單位：s)，則質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時的瞬時速度為___m/s.20因?yàn)閟(t)＝(2t＋1)2，所以s′(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4，則質(zhì)點(diǎn)在t＝2時的瞬時速度為s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s)．【例題講解】【思路分析】【解答】將中間變量u=1-

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