3.2等比數列的前n項和（第二課時）

等比數列求和公式

知三求二復習回顧證明：新知探究例1：思考1：不用分類討論的方式能否證明該結論？新知探究例1：思考2：新知探究例2：等比數列片段和性質類比思想

生成概念追問

你還能得到等比數列前n項和的哪些性質？追問

你還能得到等比數列前n項和的哪些性質？思考3：若{an}是公比為q的等比數列，S偶、S奇分別是數列的偶數項和與奇數項和，則S偶，S奇之間有什么關系？(1)若等比數列{an}的項數有2n項，則(2)若等比數列{an}的項數有2n＋1項，則S奇＝a1＋a3＋…

＋a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n?S偶＝qS奇?新知探究等比數列前n項和性質小結片段和性質奇偶項和間關系前n項和間的關系生成概念(一題多解)在等比數列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解：法一：因為S2n≠2Sn，所以q≠1，練習1課堂練習大本例1法二：因為{an}為等比數列，顯然公比不等于－1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數列，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，(一題多解)在等比數列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.練習1課堂練習大本例1

變式探究(變條件，變結論)設等比數列{an}的前n項和為Sn.若an>0，S3＝5，a7＋a8＋a9＝20，則S15＝_____.155課堂練習對點練1.

設等比數列{an}的前n項和為Sn，S2＝－1，S4＝－5，則S6等于A．－9 B．－21C．－25 D．－63解析：因為S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比數列前n項和的性質得S2，S4－S2，S6－S4成等比數列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21.故選B.√課堂練習練習2

若等比數列{an}共有奇數項，其首項為1，其偶數項和為170，奇數項和為341，則這個數列的公比為___，項數為___．解：由性質S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，S2n＋1＝

＝341＋170＝511，解得n＝4，即這個等比數列的項數為9.課堂練習大本對點練2練習3

一個項數為偶數的等比數列{an}，全部各項之和為偶數項之和的4倍，前3項之積為64，則數列的通項公式an＝__________________．課堂練習大本例2應用一利用錯位相減法求數列的前n項和

已知等比數列{an}中，a1＋a2＝8，a2＋a3＝24，Sn為數列{an}的前n項和．(1)求數列{an}的通項公式；例3解：設等比數列{an}的公比為q，故a1＋a2＝a1＋3a1＝8，解得a1＝2，所以an＝a1qn－1＝2×3n－1.(2)若bn＝an·log3(Sn＋1)，求數列{bn}的前n項和Tn.解：由(1)知an＝2×3n－1，Sn＝3n－1，所以bn＝an·log3(Sn＋1)＝2×3n－1×log33n＝2n·3n－1，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2×30＋4×31＋6×32＋…＋2(n－1)×3n－2＋2n·3n－1，①3Tn＝2×31＋4×32＋6×33＋…＋2(n－1)×3n－1＋2n·3n，②規律方法關于錯位相減法求和1．適用范圍：{an}是等差數列，{bn}是等比數列(q≠1)，形如cn＝anbn的數列適合利用錯位相減法求和．2．求和步驟：(1)對求和式Sn＝c1＋c2＋…＋cn－1＋cn(ⅰ)，要寫出倒數第二項cn－1；(2)式子的兩邊同乘以等比數列的公比q，寫成qSn＝c1q＋c2q＋…＋cn－1q＋cnq(ⅱ)的形式，要空一位書寫，(ⅰ)(ⅱ)式形成錯位；(3)(ⅰ)式－(ⅱ)式，左邊＝(1－q)Sn，右邊考查除了最后一項外的其他項，利用等比數列求和公式求和、整理；(4)兩邊同除以1－q，整理得Sn.對點練3.在各項均為正整數的等差數列{an}中，a10－a2＝16，且

為小于10的質數．(1)求{an}的通項公式；故an＝2＋(n－1)×2＝2n.課堂練習(2)若bn＝2n(an－1)，求數列{bn}的前n項和Sn.(2)若bn＝2n(an－1)，求數列{bn}的前n項和Sn.解：(2)由(1)知，an＝2n，所以bn＝2n·(2n－1)，則Sn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，2Sn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1，則Sn－2Sn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)×2n＋1，化簡得－Sn＝2n＋1(3－2n)－6，即Sn＝2n＋1(2n－3)＋6.對點練3.在各項均為正整數的等差數列{an}中，a10－a2＝16，且

為小于10的質數．(1)求{an}的通項公式；課堂練習應用二等差、等比數列的綜合運算

設{an}是等差數列，其前n項和為Sn(n∈N＋)；{bn}是等比數列，公比大于0，其前n項和為Tn(n∈N＋)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求Sn和Tn；z例4解：(1)設等比數列{bn}的公比為q(q>0)．由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因為q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整數n的值．設等差數列{an}的公差為d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.①由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，②聯立①，②得a1＝1，d＝1，故an＝n.(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整數n的值．由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得解：由(1)，有整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)，或n＝4.所以n的值為4.規律方法與等差、等比數列有關的綜合問題，其解題過