上大附中高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷試卷滿分150分，答題時(shí)間:120分鐘2025.4.9一、填空題（本大題共12題，滿分54分，1~6題每題4分，7~12題每題5分）1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為__________.2.若正數(shù)數(shù)列是等比數(shù)列，則正數(shù)_____.3.已知為正整數(shù)．若，則______．4.計(jì)算_____.5.若二項(xiàng)式的展開式共有6項(xiàng)，則此展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是_____.6.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列命題中正確的有_____.①有2個(gè)駐點(diǎn)②在處取得極小值③有極大值，沒有極小值④在上嚴(yán)格增7.是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若且，則當(dāng)取得最大值時(shí)的_____.8.已知數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則_________.10.有名同學(xué)報(bào)名參加暑期區(qū)科技館志愿者活動(dòng)，共服務(wù)兩天，每天需要兩人參加活動(dòng)，則恰有人連續(xù)參加兩天志愿者活動(dòng)的概率為________．11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____.12.已知空間向量，，兩兩之間的夾角均為，且，，，若向量，分別滿足與，則的最小值為__________．二、單選題（本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分）13.如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（）A. B.1 C.2 D.14.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且與的等差中項(xiàng)為，則（）A. B. C. D.15.直線（不全為0）與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線有（）A60條 B.66條 C.72條 D.78條16.在數(shù)列中，，，.對(duì)于命題：①存在，對(duì)于任意正整數(shù)，都有.②對(duì)于任意和任意的正整數(shù)，都有.下列判斷正確的是（）A.①是真命題，②也是真命題 B.①是真命題，②是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①是假命題，②也是假命題三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與平行．（1）求的值：（2）求的單調(diào)增區(qū)間．18.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn).（1）求的值和拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求19.在數(shù)列中，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求以及.20.如圖，在平面中，，在四棱錐中，平面為的中點(diǎn)，在上，且.（1）求證:；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面與平面所成的二面角大小；21.已知雙曲線的漸近線上一點(diǎn)與右焦點(diǎn)的最短距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線右支交于、兩點(diǎn)，與漸近線交于、兩點(diǎn)，與在軸的上方，與在軸的下方．（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍．（ⅱ）設(shè)、分別為的面積和的面積，求的最大值．

上大附中高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷試卷滿分150分，答題時(shí)間:120分鐘2025.4.9一、填空題（本大題共12題，滿分54分，1~6題每題4分，7~12題每題5分）1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線方程可得斜率，從而利用可求傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的方程為，所以直線的斜率1，令直線的傾斜角為，則，因?yàn)椋?故答案為：.2.若正數(shù)數(shù)列是等比數(shù)列，則正數(shù)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)定義，可求得的值.詳解】由題，可得，又，.故答案為：4.3.已知為正整數(shù)．若，則______．【答案】【解析】【分析】利用排列數(shù)和組合數(shù)公式求解【詳解】由得,則,故答案為：4.計(jì)算_____.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)無窮等比數(shù)列的求和公式計(jì)算.【詳解】由無窮等比數(shù)列的求和公式可得.故答案為：.5.若二項(xiàng)式的展開式共有6項(xiàng)，則此展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是_____.【答案】10【解析】【分析】由題可得，然后由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】因二項(xiàng)式的展開式共有6項(xiàng)，則，則展開式第項(xiàng)滿足：，令，則系數(shù)為.故答案為：6.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列命題中正確的有_____.①有2個(gè)駐點(diǎn)②在處取得極小值③有極大值，沒有極小值④在上嚴(yán)格增【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)圖象，確定駐點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定極值情況即可得解.【詳解】觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，無極小值，因此①③④正確，②錯(cuò)誤.故答案為：①③④.7.是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若且，則當(dāng)取得最大值時(shí)的_____.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可得，又，可判斷數(shù)列為遞減數(shù)列，且，得解.【詳解】由，得，，又，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，且，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：10.8.已知數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，則實(shí)數(shù)取值范圍為_____【答案】【解析】【分析】利用數(shù)列單調(diào)性定義列式求解得答案.【詳解】根據(jù)題意，可得，即，，對(duì)，又?jǐn)?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則，.故答案為：.9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則_________.【答案】97【解析】【分析】由已知得出，然后由累加法求解．【詳解】∵，，∴，∴，∴.故答案為：9710.有名同學(xué)報(bào)名參加暑期區(qū)科技館志愿者活動(dòng)，共服務(wù)兩天，每天需要兩人參加活動(dòng)，則恰有人連續(xù)參加兩天志愿者活動(dòng)的概率為________．【答案】【解析】【分析】由分布乘法計(jì)數(shù)原理的知識(shí)結(jié)合古典概型的概率公式可解.【詳解】每天從5名同學(xué)中抽取2名參加志愿者活動(dòng)，一共有種方式，恰有一人連續(xù)參加兩天志愿者活動(dòng)有種方式，由古典概型的概率公式可得恰有1人連續(xù)參加兩天志愿者活動(dòng)的概率為，故答案為：.11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____.【答案】【解析】【分析】利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用裂項(xiàng)相消法求得，再根據(jù)不等式的恒成立問題以及函數(shù)的單調(diào)性與最值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，，，，則，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取最小值的取值范圍是.故答案為：.12.已知空間向量，，兩兩之間的夾角均為，且，，，若向量，分別滿足與，則的最小值為__________．【答案】##【解析】【分析】由題意可得，令，可得且，利用數(shù)量積的性質(zhì)得出，最后由模的三角不等式可得結(jié)論．詳解】依題意，，，因?yàn)椋裕裕裕睿瑒t，且，由，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，共線同向且，共線時(shí)等號(hào)成立.故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是把已知條件由結(jié)合已知變形得出，引入向量，可得，從而得到的最小值，從而由向量模的三角不等式得出結(jié)論．二、單選題（本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分）13.如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（）A B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)椋裕裕蔬x：A．14.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且與的等差中項(xiàng)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得出的值，結(jié)合已知條件求出的值，可求出、的值，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)其公比為，由已知，故，所以，，則，故，所以，，故.故選：D.15.直線（不全為0）與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線有（）A.60條 B.66條 C.72條 D.78條【答案】D【解析】【分析】由題確定圓上的整點(diǎn)，然后由兩點(diǎn)確定一條直線及過圓整點(diǎn)的切線條數(shù)可得答案.【詳解】因，，則公共點(diǎn)為：，共12個(gè).若這樣的直線為圓的切線，則滿足題意的切線有12條；若這樣的直線不為圓的切線，則由兩點(diǎn)確定一條直線，滿足的直線有條.則這樣的直線有78條.故選：D16.在數(shù)列中，，，.對(duì)于命題：①存在，對(duì)于任意的正整數(shù)，都有.②對(duì)于任意和任意的正整數(shù)，都有.下列判斷正確的是（）A.①是真命題，②也是真命題 B.①是真命題，②是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①是假命題，②也是假命題【答案】A【解析】【分析】對(duì)①，直接令判斷即可；對(duì)②，利用反證法，先設(shè)數(shù)列中第一項(xiàng)滿足的項(xiàng)為，再推導(dǎo)的大小推出矛盾即可；【詳解】對(duì)①，當(dāng)時(shí)，易得，，，，，…故數(shù)列為2，2，1循環(huán).所以對(duì)于任意的正整數(shù)，都有成立，故①正確；對(duì)②，對(duì)于任意，有，，，，設(shè)數(shù)列中第一項(xiàng)滿足的項(xiàng)為，則，此時(shí)易得，又，且由題意，恒成立，故，即數(shù)列中所有項(xiàng)都滿足，故，因?yàn)椋c矛盾，故對(duì)于任意和任意的正整數(shù)，都有.故選：A三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與平行．（1）求的值：（2）求的單調(diào)增區(qū)間．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得的值.（2）由（1）求出導(dǎo)函數(shù)大于0不等式的解集即可得解.【小問1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由曲線在點(diǎn)處的切線與平行，得即，解得，此時(shí)，點(diǎn)不在直線上，所以.【小問2詳解】由（1）知，其定義域?yàn)椋桑矗獾茫缘膯握{(diào)增區(qū)間是.18.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn).（1）求的值和拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）代入，求解即可；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式求解即可.【小問1詳解】解：代入，得解得，所以準(zhǔn)線方程是；【小問2詳解】解：由，可得，設(shè)方程的兩根為，則，，所以.19.在數(shù)列中，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求以及.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）利用給定的遞推公式變形，結(jié)合等差數(shù)列定義判斷得證.（2）利用分組求和法，結(jié)合等差等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即得.【小問1詳解】由對(duì)正整數(shù)恒成立，是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，.【小問2詳解】由（1），..20.如圖，在平面中，，在四棱錐中，平面為的中點(diǎn)，在上，且.（1）求證:；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面與平面所成的二面角大小；【答案】（1）證明見解析（2）（3）或.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由直線方向向量的共線即可證明；（2）由點(diǎn)到平面距離的向量公式即可求解.（3）先求得平面法向量，利用向量夾角的向量公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由于平面，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，得，則，，，，，設(shè)點(diǎn)，由，得，解得，即，所以，，所以，又，所以.【小問2詳解】由（1）得，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，，，又，所以點(diǎn)到平面的距離為.【小問3詳解】由（2）得平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成的二面角大小為或.21.已知雙曲線的漸近線上一點(diǎn)與右焦點(diǎn)的最短距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)，與漸近線交于、兩點(diǎn)，與在軸的上方，與在軸的下方．（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍．（ⅱ）設(shè)、分別為的面積和的面積，求的最大值．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線距離