河北省承德市第一中學2024—2025學年第二學期高一數學3月份月考試卷一?單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.對任意非零向量，是和它同向的一個單位向量 D.零向量沒有方向2.下列函數的最小正周期是的是（）A. B.C. D.3.當時，曲線與的交點個數為（）A.3 B.4 C.6 D.84.已知函數是奇函數,則的值可以是A.0 B. C. D.5.如圖所示，平行四邊形中，，點F為線段AE的中點，則（）A. B.C. D.6.已知，則（）A. B. C. D.7.把函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，圖象的對稱軸與圖象的對稱軸重合，則的值可能為（）A. B. C. D.8.筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，既經濟又環保.明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）.假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖2，將筒車抽象為一個半徑為的圓，設筒車按逆時針方向每旋轉一周用時秒，當時，盛水筒位于點，經過秒后運動到點，點的縱坐標滿足（，，），則下列敘述不正確的是（）A.筒車轉動的角速度B.當筒車旋轉秒時，盛水筒對應的點的縱坐標為C.當筒車旋轉秒時，盛水筒和初始點的水平距離為D.筒車在秒的旋轉過程中，盛水筒最高點到軸的距離的最大值為二?多選題（本大題共3小題，共18分.在每小題有多項符合題目要求）9.給出下列四個結論，其中正確結論是（）A.若線段，則向量B.若向量，則線段C.若向量與共線，則線段D.若向量與反向共線，則10.已知函數，則（）A.的最小正周期為 B.C.的圖象關于直線對稱 D.在區間上單調遞增11.已知（）A.最大值為B.的最小正周期為C.若在處取得最大值，且，則的取值范圍為D.若在處取得量大值，則關于的方程在無實數根三?填空題（本大題共3小題，共15分）12.設常數a使方程在閉區間[0,2]上恰有三個解，則__________13.已知角，為銳角，且，，則角______．14.已知函數滿足下列條件：①圖象是由的圖象經過變換得到的；②對于，均滿足；③的值域為.請寫出符合上述條件的一個函數解析式：__________.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知函數在一個周期內的圖象如圖所示．（1）求函數的解析式和最小正周期；（2）求函數在區間上的最值及對應的x的取值；（3）當時，寫出函數的單調遞增區間．16.已知函數（其中，）最小正周期為.（1）求的值；（2）設，，，，求的值.17.如圖所示，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，四邊形是扇形的內接矩形，，兩點在圓弧上，是的平分線，在上，連接，記，則角為何值時矩形的面積最大？并求最大面積．18已知函數.（1）已知，求的值；（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.19.已知函數.（1）當時，求的值域；（2）若，且，求的值；（3）若，求的值

河北省承德市第一中學2024—2025學年第二學期高一數學3月份月考試卷一?單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.對任意非零向量，是和它同向的一個單位向量 D.零向量沒有方向【答案】C【解析】【分析】結合共線向量、單位向量、零向量的定義逐項判斷即得.【詳解】對于A，當時，任意向量都與共線，則不一定共線，A錯誤；對于B，向量不能比較大小，B錯誤；對于C，對任意非零向量，是和它同向的一個單位向量，C正確；對于D，零向量有方向，其方向是任意的，D錯誤.故選：C2.下列函數的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數關系并結合三角函數的性質一一判斷即可.【詳解】對A，，周期，故A正確；對B，，周期，故B錯誤；對于選項C，，是常值函數，不存在最小正周期，故C錯誤；對于選項D，，周期，故D錯誤，故選：A．3.當時，曲線與的交點個數為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】畫出兩函數在上的圖象，根據圖象即可求解【詳解】因為函數的最小正周期為，函數的最小正周期為，所以在上函數有三個周期的圖象，在坐標系中結合五點法畫出兩函數圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數圖象有6個交點故選：C4.已知函數是奇函數,則的值可以是A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題得,,取k=0即得解.【詳解】為奇函數,則只需,,從而,,顯然當時,滿足題意.故選:B【點睛】本題主要考查三角函數的奇偶性的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.5.如圖所示，平行四邊形中，，點F為線段AE的中點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，，，化簡計算即可得出結果.【詳解】.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據二倍角的余弦公式即可得到方程，解出即可.【詳解】由題得，解得或，因為，所以.故選：A.7.把函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，圖象的對稱軸與圖象的對稱軸重合，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據平移得出函數解析式，再根據圖像的對稱性求出參數即可判斷.【詳解】由題意得，與函數對稱軸相同，則，得，所以的值可能為.故選：C.8.筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，既經濟又環保.明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）.假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖2，將筒車抽象為一個半徑為的圓，設筒車按逆時針方向每旋轉一周用時秒，當時，盛水筒位于點，經過秒后運動到點，點的縱坐標滿足（，，），則下列敘述不正確的是（）A.筒車轉動的角速度B.當筒車旋轉秒時，盛水筒對應的點的縱坐標為C.當筒車旋轉秒時，盛水筒和初始點的水平距離為D.筒車在秒的旋轉過程中，盛水筒最高點到軸的距離的最大值為【答案】B【解析】【分析】根據題意，結合正弦型函數的性質逐一判斷即可.【詳解】A：因筒車按逆時針方向每旋轉一周用時秒，所以，因此本選項敘述正確；B：因為當時，盛水筒位于點，所以，所以有，因，所以，即，所以，因此本選項敘述不正確；C：由B可知：盛水筒的縱坐標為，設它的橫坐標為，所以有，因為筒車旋轉秒時，所以此時盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始點水平距離為，因此本選項敘述正確；D：因為，所以筒車在秒的旋轉過程中，盛水筒最高點到軸的距離的最大值為，因此本選項敘述正確，故選：B二?多選題（本大題共3小題，共18分.在每小題有多項符合題目要求）9.給出下列四個結論，其中正確的結論是（）A.若線段，則向量B.若向量，則線段C.若向量與共線，則線段D.若向量與反向共線，則【答案】AD【解析】【分析】由線段AC=AB+BC，且點B在線段AC上，即可判斷A選項，根據已知條件，結合三角形的性質，即可判斷B選項，根據向量共線的性質，即可判斷C、D選項.【詳解】對于A項，∵線段AC=AB+BC，∴點B在線段AC上，，故選項A正確；對于B項，在△ABC中，，但由三角形的性質可知，AC≠AB+BC，故選項B不成立；對于C項，若向量與反向共線，則AC≠AB+BC，故選項C不成立；對于D項，∵向量與反向共線，故選項D正確.故選：AD.10.已知函數，則（）A.的最小正周期為 B.C.的圖象關于直線對稱 D.在區間上單調遞增【答案】BD【解析】【分析】利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡，再根據正弦函數的性質計算可得.【詳解】因為，所以的最小正周期，故A錯誤；因為，所以，故B正確；因為，所以的圖象不關于直線對稱，故C錯誤；當，則，又在上單調遞增，所以在區間上單調遞增，故D正確.故選：BD11.已知（）A.的最大值為B.的最小正周期為C.若在處取得最大值，且，則的取值范圍為D.若在處取得量大值，則關于的方程在無實數根【答案】BD【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數即可求解最值可判斷A；利用函數周期的性質判斷B；利用正弦函數最值時的結論得，然后利用正切函數的值域求解m范圍，判斷C；利用極值點及方程消去m得，然后了解正切函數方程即可判斷D.【詳解】，其中，所以函數的最大值為，故選項A錯誤；因為函數的最小正周期為，函數的最小正周期為，根據周期函數的性質知，的最小正周期為，故選項B正確；由函數在處取得最大值，所以，即，所以，因為，所以，所以，所以，故選項C錯誤；由及知，，所以，即，若，則，所以，即，無解，所以關于的方程在無實數根，故選項D正確.故選：BD三?填空題（本大題共3小題，共15分）12.設常數a使方程閉區間[0,2]上恰有三個解，則__________【答案】【解析】【詳解】試題分析：的根為函數與函數的交點橫坐標，根據函數圖像可知要滿足有三個交點，需，此時考點：1.函數與方程的轉化；2.三角函數圖像及性質13.已知角，為銳角，且，，則角______．【答案】【解析】【分析】由于，由兩角差的正切公式求解.【詳解】由為銳角，，且，則，，所以，又為銳角，所以.故答案為：14.已知函數滿足下列條件：①的圖象是由的圖象經過變換得到的；②對于，均滿足；③的值域為.請寫出符合上述條件的一個函數解析式：__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由①可設，根據③，設，求得，再根據②求出，和的一個值即可求解.【詳解】解：由①可設，又由③可知，不妨設，可得，所以由②可知，且，所以，所以，又因為，則所以的一個值為，因此函數的一個解析式為.故答案為：（答案不唯一）.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知函數在一個周期內的圖象如圖所示．（1）求函數的解析式和最小正周期；（2）求函數在區間上的最值及對應的x的取值；（3）當時，寫出函數的單調遞增區間．【答案】（1），最小正周期為（2）最大值為，取最大值時有；最小值為，取最小值時有（3）【解析】【分析】（1）根據函數圖象，先確定和周期，隨后確定的值，代入特殊點確定的值，可得函數的解析式；（2）利用換元的思想，結合的圖象和性質解決問題.（3）利用換元的思想，結合的圖象和性質解決問題.【小問1詳解】由函數圖象可知，，，即，將點代入，得，則，，則，，由于，故，即，最小正周期為.【小問2詳解】當時，，故當，即時，，當，，即時，.【小問3詳解】當時，，故當，即時，單調遞減：當，即時，單調遞增；故當時，函數的單調遞增區間為．16.已知函數（其中，）的最小正周期為.（1）求的值；（2）設，，，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用輔助角公式對函數解析式進行變形；再根據正弦型復合函數的周期公式即可求解.（2）先根據題目條件和同角三角函數基本關系得出，，，；再根據兩角和的余弦公式即可求解.【小問1詳解】，，.【小問2詳解】由（1）得.，，.又，.又，，，..17.如圖所示，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，四邊形是扇形的內接矩形，，兩點在圓弧上，是的平分線，在上，連接，記，則角為何值時矩形的面積最大？并求最大面積．【答案】當角時，矩形的面積最大，最大面積為.【解析】【分析】先把矩形的各個邊長用角的三角函數表示出來，進而表示出矩形的面積；再利用角的范圍結合三角函數的性質即可求出矩形面積的最大值．【詳解】如圖所示，設交于，交于，顯然矩形關于對稱，而分別為，的中點，在中，，，所以，即，而，故矩形的面積因為，所以，所以.故當，即時，取得最大值，此時，所以矩形面積的最大值為.18.已知函數.（1）已知，求的值；（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）結合三角恒等變化化簡得，得到，然后將利用誘導公式，余弦的倍角公式轉化計算；（2）根據（1）求出當時，進而，原不等式等價于，看成關于的一次函數，其端點函數值大于等于0，得，化簡即可.【詳解】解：（1），，.（2）當時，，可得，由，不等式可化為，有.令，，則，若不等式恒成立，則等價于，解得：.故實數的取值范圍為.【點睛】本題考查三角函數恒等變形和化簡求值，與三角函數相關的不等式恒成立問題求參數取值范圍問題，屬中檔題.（1）三角函數知值求值是，要將已知中的角進行整體處理，將所求式子轉化為已知角的三角函數的形式，然后綜合利用公式計算；（