6/25廣州市南沙區2024年八年級《數學》下學期期末試題與參考答案一、選擇題本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。1．（3分）下列二次根式中是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據最簡二次根式的定義：被開方數不含能開得盡方的因數或因式，被開方數中不含分母，即可解答．【解答】解：A、＝＝，故A不符合題意；B、是最簡二次根式，故B符合題意；C、＝2，故C不符合題意；D、＝2，故D不符合題意；故選：B．2．（3分）一組數據5，4，5，6，5，3，4的眾數是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據眾數的概念求得這組數據的眾數即可．【解答】解：眾數是一組數據中出現次數最多的數，這組數據出現次數最多的數是5，即眾數是5，故選：C．3．（3分）在平行四邊形ABCD中，∠B+∠D＝110°，則∠B的度數是（）A．35° B．55° C．70° D．90°【分析】由平行四邊形的性質得∠B＝∠D，即可解決問題．【解答】解：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以∠B＝∠D，因為∠B+∠D＝110°，所以∠B＝∠D＝55°，故選：B．4．（3分）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據二次根式的運算法則判斷即可．【解答】解：A．+≠，故本選項不符合題意；B．3﹣＝2，故本選項不符合題意；C．+≠3，故本選項不符合題意；D．×＝3，故本選項符合題意；故選：D．5．（3分）在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣1，y1），B（2，y2）在函數y＝2x﹣7的圖象上，則（）A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．無法判斷【分析】根據所給函數解析式，得出y隨x的變化情況，據此可解決問題．【解答】解：因為函數解析式為y＝2x﹣7，所以y隨x的增大而增大，又因為﹣1＜2，所以y1＜y2．故選：A．6．（3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC，BD是兩條對角線，添加下列條件后能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD【分析】由矩形的判定、菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、因為四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，所以平行四邊形ABCD是矩形，故選項A符合題意；B、因為四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，所以平行四邊形ABCD是菱形，故選項B不符合題意；C、因為四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，所以平行四邊形ABCD是菱形，故選項C不符合題意；D、因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC，所以∠DAC＝∠BCA，因為AC平分∠BAD，所以∠DAC＝∠BAC，所以∠BCA＝∠BAC，所以AB＝CB，所以平行四邊形ABCD是菱形，故選項D不符合題意；故選：A．7．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，下列選項中能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝1，b＝2，c＝3 C．a2＝（c+b）（c﹣b） D．∠A＝∠B【分析】根據勾股定理的逆定理，三角形內角和定理，進行計算即可解答．【解答】解：A、因為∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以∠C＝×180°＝75°，所以不能判定△ABC為直角三角形，故A不符合題意；B、因為a2+b2＝12+22＝5，c2＝32＝9，所以a2+b2≠c2，所以不能判定△ABC為直角三角形，故B不符合題意；C、因為a2＝（c+b）（c﹣b），所以a2+b2＝c2，所以能判定△ABC為直角三角形，故C符合題意；D、因為∠A＝∠B，所以a＝b，所以能判定△ABC為等腰三角形，不能判定△ABC為直角三角形，故D不符合題意；故選：C．8．（3分）已知小麗家、便利店、體育館在同一直線上，某天小麗從家步行到便利店買了一瓶水，再到體育館鍛煉，最后騎共享單車回家．小麗離家距離y與時間x之間的關系如圖所示．下列結論錯誤的是（）A．小麗家到便利店距離500米 B．小麗在便利店停留了5分鐘 C．小麗步行的速度是0.1km/min D．小麗騎自行車的速度是步行速度的1.5倍【分析】由函數圖象分別得出選項的結論，然后作出判斷即可．【解答】解：由圖象知，A、小麗家到便利店距離是0.5千米＝500米，故A選項不符合題意；B、小麗在便利店停留了10﹣5＝5（分鐘），故B選項不符合題意；C、小麗步行的速度是＝0.1（km/min），故C選項不符合題意；D、小麗騎自行車的速度是＝0.2（km/min），＝2，小麗騎自行車的速度是步行速度的2倍，故D選項符合題意；故選：D．9．（3分）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E是邊AD中點，連接OE．若AB的長為6，△DOE的周長為10，則△BCD的周長是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】由平行四邊形的性質得CD＝AB＝6，OA＝OC，OB＝OD＝BD，AD＝BC，再證明OE是△ABD的中位線，得OE＝AB＝3，然后求出DE+OD＝7，則BC+BD＝14，即可解決問題．【解答】解：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以CD＝AB＝6，OA＝OC，OB＝OD＝BD，AD＝BC，因為E是邊AD中點，所以OE是△ABD的中位線，所以DE＝ADOE＝AB＝3，因為△DOE的周長為10，所以OE+DE+OD＝10，所以DE+OD＝10﹣3＝7，即AD+BD＝2（DE+OD）＝2×7＝14，所以BC+BD＝14，所以△BCD的周長＝BC+BD+CD＝14+6＝20，故選：D．10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于點G，交CD于F，則CF的長是（）A． B． C．32 D．2【分析】由矩形的性質得BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，則BE＝＝8，求得CE＝BC﹣BE＝2，因為AF⊥DE，所以AF垂直平分DE，則EF＝DF＝6﹣CF，由勾股定理得22+CF2＝（6﹣CF）2，求得CF＝，于是得到問題的答案．【解答】解：因為四邊形ABCD是矩形，AE＝AD＝10，CD＝6，所以BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，所以BE＝＝＝8，所以CE＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，因為AF⊥DE于點G，交CD于F，所以AF垂直平分DE，所以EF＝DF＝6﹣CF，因為CE2+CF2＝EF2，所以22+CF2＝（6﹣CF）2，解得CF＝，故選：B．二、填空題本大題共6小題，每小題3分，滿分18分。11．（3分）若二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為x≥3．【分析】先根據二次根式有意義的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【解答】解：因為二次根式在實數范圍內有意義，所以x﹣3≥0，解得x≥3．故答案為：x≥3．12．（3分）技術員分別從甲、乙兩塊玉米試驗田中隨機抽取100株玉米苗，測得玉米苗高的平均數相同，方差分別為，，則玉米苗長得更整齊的試驗田是甲．【分析】根據方差越小，長勢越整齊進行求解即可．【解答】解：因為，，所以S2甲＜S2乙，所以玉米苗長得更整齊的是甲，故答案為：甲．13．（3分）若直線y＝﹣2x+b與x軸的交點為（2，0），則關于x的一元一次方程﹣2x+b＝0的解為x＝2．【分析】將（2，0）代入直線函數解析式，求出b，再解關于x的方程即可解決問題．【解答】解：將（2，0）代入y＝﹣2x+b得，b＝4，則解方程﹣2x+4＝0得，x＝2，所以關于x的一元一次方程﹣2x+b＝0的解為x＝2．故答案為：x＝2．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC，點E是BC的中點，∠EAB＝35°，則∠CAD的度數為35°．【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質，求出∠B＝55°，可得結論．【解答】解：因為∠∠BAC＝90°，E是BC的中點，所以AE＝EB＝EC，所以∠B＝∠EAB＝35°，所以∠C＝90°﹣∠B＝55°，因為AD⊥BC，所以∠ADC＝90°，所以∠CAD＝90°﹣55°＝35°．故答案為：35°15．（3分）如圖，某港口C在南北方向的海岸線上，快、慢兩艘船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢兩船每小時分別航行12海里和5海里，2小時后兩船分別位于點A，B處，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿南偏西40°方向航行．【分析】根據三角形的三邊長，可知AC2+BC2＝AB2，得∠ACB＝90°，從而得出答案．【解答】解：由題意知，AC＝24海里，BC＝10海里，AB＝26海里，因為AC2+BC2＝400，AB2＝400，所以AC2+BC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，因為甲船沿北偏西50°方向航行，所以乙船以南偏東40°方向航行．故答案為：南偏西40°．16．（3分）如圖，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C的坐標為（3，0），點D，E分別是線段BO，BC上的動點，且BD＝CE，則BC的長為5；當AD+AE的值取最小值時，點D的坐標為（0，）．【分析】依據題意，由一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點A和點B，從而令x＝0，則y＝4；令y＝0，則x＝﹣3，故可得A（﹣3，0），B（0，4），又C為（3，0），從而可得BC＝＝5；又作CF⊥x軸于C，使得CF＝AB，連接EF，先證明△ABD≌△FCE，進而可得AD＝FE，故AD+AE＝AE+EF≥AF，則當E在AF上時，AD+AE最小，然后先求出直線AF為y＝x+，再求出BC，進而可得E的坐標，最后求出CE＝BD，結合D在y軸上可得坐標．【解答】解：由題意，因為一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點A和點B，所以令x＝0，則y＝4；令y＝0，則x＝﹣3．所以A（﹣3，0），B（0，4）．又C為（3，0），所以OB＝4，OC＝3．所以BC＝＝5．如圖，作CF⊥x軸于C，使得CF＝AB，連接EF，所以BO∥FC．所以∠FCE＝∠CBD．因為A（﹣3，0），C（3，0），所以OA＝OC．又OB⊥AC，所以AB＝BC＝CF＝5，∠ABD＝∠CBD＝∠FCE．在△ABD和△FCE中，，所以△ABD≌△FCE（SAS）．所以AD＝FE．所以AD+AE＝AE+EF≥AF．所以當E在AF上時，AD+AE最小．因為F（3，5），A（﹣3，0），所以直線AF為y＝x+．又因為直線BC為y＝﹣x+4，所以聯列方程組．所以E（，）．所以CE＝BD＝．所以D的縱坐標為：4﹣＝．所以D（0，）．故答案為：5；（0，）．三、解答題本大題共9小題，滿分72分。17．（4分）計算：．【分析】根據乘法的分配律以及合并同類二次根式進行計算即可．【解答】解：原式＝2+3﹣3＝3﹣．18．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧交AB于點D，求BD的長．【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的長，再由題意可得到AD＝AC，根據BD＝AB﹣AD即可算出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝＝＝10，因為以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D，所以AD＝AC＝6，所以BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．19．（6分）如圖，E、F為?ABCD的對角線AC上的兩點，請你添加一個條件，使得BE＝DF．（1）你添加的條件是AE＝CF（答案不唯一）．（2）根據你添加的條件和題目的已知條件，求證：BE＝DF．【分析】（1）由題意添加條件即可；（2）由平行四邊形的性質得AB＝CD，AB∥CD，則∠BAE＝∠DCF，再證明△ABE≌△CDF（SAS），即可得出結論．【解答】（1）解：添加條件：AE＝CF，故答案為：AE＝CF（答案不唯一）；（2）證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB＝CD，AB∥CD，所以∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，所以△ABE≌△CDF（SAS），所以BE＝DF．20．（6分）小明打算利用暑假閱讀名著《儒林外史》，該書有472頁，他計劃每天看15頁，設小明看書時間為x天，還剩下y頁書沒看．（1）求y與x的函數關系．（2）當小明閱讀20天后，還剩下多少頁書沒看．【分析】（1）根據題意列函數關系式；（2）代入數據求值．【解答】解：（1）y與x的函數關系式：y＝﹣15x+472；（2）x＝20時，y＝﹣15×20+472＝172（頁），所以當小明閱讀20天后，還剩下172頁書沒看．21．（8分）2024年4月25日，神舟十八號載人飛船發射取得成功，將我國航天事業推向了新的高峰．南沙區某中學為了豐富學生們航天知識，組織全校學生進行航天知識競賽，并隨機抽取50名學生的成績，整理成如統計表：分數60708090100頻數23151614（1）該50名同學這次競賽成績的中位數是90．（2）求該50名同學這次競賽成績的平均數．（3）若競賽成績90分以上（含90分）為優秀，該校有1500名學生，請估計競賽成績為優秀的人數．【解答】解：（1）把50名學生的成績從小到大排列，排在中間的數分別是90，90，故中位數90；故答案為：90；（2）該50名同學這次競賽成績的平均數為（2×60+3×70+15×80+16×90+14×100）÷50＝87.4；（3）1500×＝900（名），答：估計競賽成績為優秀的人數為900名．22．（10分）已知一次函數y＝（3﹣m）x+4的圖象不經過第四象限．（1）求m的取值范圍．（2）當m＝1時，在給定的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象．（3）在（2）的情況下，當﹣3＜x≤1時，根據圖象求出y的取值范圍．【分析】（1）根據一次函數圖象與系數的關系得到3﹣m＞0，即可得出答案；（2）根據兩點確定一條直線可以畫出該函數的圖象；（3）根據函數圖象即可得到結論．【解答】解：（1）因為一次函數y＝（3﹣m）x+4的圖象不經過第四象限，所以3﹣m＞0，解得m＜3；（2）當m＝1時，所以y＝（3﹣1）x+4＝2x+4，當x＝0時，y＝4，當y＝0時，x＝﹣2，該一次函數的圖象如圖所示：（3）由圖象可得，當﹣3＜x≤1時，y的取值范圍是﹣2＜x≤6．23．（10分）在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上形如的式子，這樣的式子我們可以將其進一步化簡，，，這種化簡的方法叫做分母有理化，請利用分母有理化解答下列問題：（1）化簡；＝．＝3﹣3．（2）矩形的面積為，一邊長為，求這個矩形的周長．（3）當a＞b＞0時，化簡：．【分析】（1）分別分子、分母同乘和﹣即可；（2）首先求另一邊長為6﹣2，再按矩形的周長公式計算即可；（3）把各加數分母有理化，再加減即可．【解答】解：（1）＝＝，＝＝3﹣3；故答案為：，3﹣3；（2）另一邊長為：＝＝6﹣2，所以2（+2+6﹣2）＝16﹣2，答：這個矩形的周長為16﹣2；（3）當a＞b＞0時，＝﹣＝＝．24．（12分）如圖1，矩形ABCD的一邊AD在x軸上，點C的坐標為（﹣2，4），點A的坐標為（4，0）．（1）求證：四邊形OABE為正方形；（2）如圖2，若點F為AB中點，連接OC，OF，直線AC交OF于點G，交y軸于點H．①求△OCG的面積．②點M在x軸的正半軸上，平面內是否存在點N，使以點A，HM，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由A（4，0）得OA＝4，根據四邊形ABCD是矩形，C（﹣2，4），可得OA＝OE＝4，∠OAB＝∠B＝∠EOA＝90°，故四邊形OABE為正方形；（2）①求出F（4，2），直線OF解析式為y＝x，直線AC解析式為y＝﹣x+，聯立，可得G（，），再求出H（0，），OH＝，故S△COH＝××2＝，S△GPH＝××＝，從而S△OCG＝+＝；②設M（t，0），N（m，n），當AH，MN為對角線時，AH，MN的中點重合，且AM＝HM，有，可解得N（，）；當AN，MH為對角線時，AN，MH的中點重合，且AM＝AH，同理得N（8，﹣）；當AN，MH為對角線時，AN，MH的中點重合，且AM＝AH，可得N（4，）．【解答】（1）證明：因為A（4，0），所以OA＝4，因為四邊形ABCD是矩形，所以∠C＝∠CDA＝∠DAB＝∠B＝90°，因為∠DOE＝90°，所以四邊形CDOE是矩形，因為C（﹣2，4），所以CD＝OE＝4，所以OA＝OE＝4，因為∠OAB＝∠B＝∠EOA＝90°，所以四邊形OABE為正方形；（2）解：①由（1）知，OA＝4，四邊形OABE為正方形，所以B（4，4），因為點F為AB中點，所以F（4，2），由O（0，0），F（4，2）的直線OF解析式為y＝x，由A（4，0），C（﹣2，4）得直線AC解析式為y＝﹣x+，聯立，解得，所以G（，），在y＝﹣x+中，令x＝0得y＝，所以H（0，），所以OH＝，所以S△COH＝××2＝，S△GPH＝××＝，所以S△OCG＝+＝，所以△OCG的面積為；②平面內存在點N，使以點A，HM，N為頂點的四邊形是菱形，理由如下：設M（t，0），N（m，n），而A（4，0），H（0，），當AH，MN為對角線時，AH，MN的中點重合，且AM＝HM，所以，解得，所以N（，）；當AM，HN為對角線時，AM，HN的中點重合，且AH＝HM，所以，解得或（此時M不在x軸正半軸，舍去），所以N（8，﹣）；當AN，MH為對角線時，AN，MH的中點重合，且AM＝AH，所以，解得或（舍去），所以N（4，）；綜上所述，N的坐標為（，）或（8，﹣）或（4，）．25．（12分）四邊形ABCD是正方形，點E是射線CB上一動點，過點A作AE⊥AF交直線CD于點F，作∠EAF的平分線AH交直線BC于點H，連接HF．（1）如圖1，若點E在線段CB延長線上，點H在線段CB上．①求證：∠1＝∠2；②如圖2，連接BD交AH于點K，交AF于點L，請探索BK，KL，DL之間的數量關系并證明．（2）請直接寫出BH，BE和HF之間的數量關系．【分析】（1）①由四邊形ABCD是正方形，得∠1+∠BAF＝90°，由AE⊥AF，得∠2+∠BAF＝90°，故∠1＝∠2；②在AE上取點G，使AG＝AL，連接BG，KG，證明△ABG≌△ADL（SAS），可得BG＝DL，∠ABG＝∠ADL，根據四邊形ABCD是正方形，可得∠GBK＝∠ABD+∠AB