1.1等腰三角形

第1課時三角形的全等和等腰三角形的性質

學習1.通過證明“AAS”掌握證明定理的基本步驟；

目標2.證明等腰三角形的性質定理并會定理解簡單的圖形問題。

重點

等腰三角形性質定理的推理，及定理的靈活運用

難點

學習過程

1、請你用自己的語言說一說證明的基本步驟。

4

2、列舉我們已知道的公理

(。公理：同位角__________,兩直線平行。

(②公理：兩直線_________,同位角___________O

(③公理：_______________________的兩個三角形全等。（簡稱__________,字

母表示________）

交

(④公理：_______________________的兩個三角形全等。（簡稱__________,

流

字母表示________）

預

⑥公理：_______________________的兩個三角形全等。（簡稱__________,字

習

1母表示________）

(⑥公理：全等三角形的對應邊____________,對應角___________O

莊：等式的有關性質和不等式的有關性質都可以看作公理。

4

3、預習檢測：已知如圖，AABC中AB=AC,點D、E在BC上且AD二AE,求證：

I3D=CE

A

Br-c

探究展示1:三角形全等的判定

1、判定一般的三角形全等還有一種方法是什么？

推論:（簡寫

為）

你能證明嗎？

已知：在NBC和&DEF中，zA=zD,zB=zE,BC=EF,求證：“B0DEF

合探究展示2：等腰三角形的性質定理

1、等腰三角形性質：等腰三角形的兩個相等（簡稱：等對

作等）

皿已知：如圖,在MBC中，AB=AC,求證：=/C

珠

證明一：取BC的中點D,連接AD

想一想：線段AD還具有怎樣的性質？為什么？

推論：_______________________________________________________________

簡稱為（）

1、在△ABC和△CEF中，以下四個命題中假命題是（）

A、由AB=DE,BC=EF,ZB=ZE,可判斷△ABCgZXDEF；

B、由NA=ND,NC=NF,AC=DF,可判斷△ABCgADEF；

C、由AB=DE,AODF,BC=EF,可判斷△ABC也Z\DEF；

I）、由NA=ND,ZB=ZE,AC=EF,可判斷△ABCg/M）EF。

2、下列各組幾何固形中，一定全等的是（）

A、各有一個角是55°的兩個等腰三角形；B、兩個等邊三A

角形；/\:

C、腰長相等的兩個等腰直角三角形；\/

D、各有一個角是50",腰長都為6cm的兩個等腰三角形.

任

3、如圖，已知：AB||CD,ABXD,若要使*ABE筑4CDF,仍需添加一個條件，下列

務

條件中，哪一個不能使"BE2CDF的是（）

清

A、NA=/B;B、BF=CE;C、AE||DF;D、AE=DF.

單

4、若等腰三角形中有一個角等于50°,則等腰三角形的頂角度數為

-O

5、某等腰三傭形的兩條邊長分別為3cm和6cm,則它的周長為。

6、等腰三角形的周長為13cm,其中一邊長為3cm,則該等腰三角形的腰長

為。

7、如圖3,A、B、F、D在同一直線上，AB=DF,AE=BC,且AE〃BC。

求證：⑴△AEF^^BCD,（2）EF〃CD

作

業

1.1等腰三角形

第2課時等邊三角形的性質

學習目標：

1、能夠證明等腰三角形的判定定理，并會運用其定理進行證明.

2、掌握特殊的等腰三角形一等邊三角形的性質定理并會證明.

學習過程：

一、前置準備：

1、等腰三角形的性質是什么？

2、等腰三角形的一個內角為70。，則頂角為o

3、等腰三角形的一個外角為1000,則其頂角為o

二、自主學習：

1、在等腰三角形中作出一些相等的線段（角平分線、中線、高），你能發現其

中一些相等的線段嗎？你能證明你的結論嗎？

2、等腰三角形的兩底角的平分線相等嗎？怎樣證明。

已知：

求證：

證明：

得出定理：O

問題：等腰三角形兩條腰上的中線相等嗎？高呢？還有其他的結論嗎？請你證明

它們，并與同伴交流。

三、合作交流；

請同學們“想一想”，等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三角形的內角

有什么特征？

定理：等邊三角形的三個內角都相等，并且每個角都等于60。.

求證：

證明：

四、歸納總結：

1、我的收獲？

2、我不明白的問題？

五、例題解析：

ttAABC中，AB=AC，點D在BC上，且BD=AD,DC=AC,求NB的度數.

D

n

溫馨提示：先利用等邊對等角找出各相等的角，再用方程思想解決，這樣可使幾

何的計算問題化繁為簡.

六、當堂訓練：

1.求等邊三角形兩條中線相交所成銳角的度數.

2.如圖,SAABC中，D,E是BC的三等分點,SAADE是等邊三角形，求/BAC

的度數.

中考真題：如圖AABC中，AB=AC,NA=36°,AC的垂直平分線交AB于E,

D為垂足，連接CE.

(1)求NECD的度數；

(2)若CE=5,求BC的長.

1.1等腰三角形

第3課時等腰三角形的判定與反證法

一、學習準備：

1、等腰三角形的兩底角。

2、等腰三角形、及

__________互相重合。

3、等腰三角形兩底角的平分線o

4、等邊三角形的三個內角都,并且每個內角o

二、學習目標：

1、掌握等腰三角形的判別方法。

2、結合實例體會反證法的含義。

三、學習提示：

1、自主學習：看書P8完成填空：

等腰三角形的相等。反過來，有兩個角相等的三角形是

定理：是等腰三角形。

簡稱：O

2、合作探究：例2已知：如圖，AB=DC,BD=CAO

求證：^AED是等腰三角形。

討論：①證明一個三角形是等腰三角形，可以利用的方法是什么？

②怎樣證明AE=DE?

③怎樣證明ZADB=ZDAC?

3、自主學習P8的想一想。

小明在證明時，先假設,然后推導出

、基本事實、相矛盾

的結果，從而證明命題的結論一定成立。這種證明方法稱為反證法。

4、自主學習P9例3,并完成證明。

練習：P9隨堂練習

四、學習小結：這節課你有哪些收獲和體會？

五、夯實基礎：

1.在4ABC中，AB=AC,ZB=36°,D,E在BC邊上，且AD和AEIEZBAC、

三等分，則圖中等腰三角形的個數()

(A)3(B)4(C)5(D)6

2.如圖，SAABC中，AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB,貝ijNA等于()BC

(A)30°(B)36°(C)45°(D)54°

3.等腰三角形的一個內角為70°,它的一腰上的高與底邊所夾的角的度數是

(A)35°(B)20°(C)35。或20。(D)無法確定

4.等腰三角形的頂角等于一個底角的3倍，則頂角的度數為,底角的

度數為________

5.等腰三角形三個內角與頂角的外角之和等于260。，則它的底角度數為

6.等腰AABC中，AB=AC,BC=6cm,貝i^ABC的周長的取值范圍是

7.已知如圖，在4ABC中，/B=90°,AB=BC,BD二CE,M是AC的中點，

A

求證：aDEM是等腰三角形\

△

BEC

六、能力提升：

1.如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,NA=90°,BD平分NABC,DE1BC

且BC=10,求4DCE的周長。

2.已知4ABC中，AB=AC,D、M分別為AC、BC的中點，E為BC延長線上

1

一點，且CE=-BC,求證：(1)ZDMC=ZDCM;(2)DB=DE

布置作業：

【評價反思】

1.1等腰三角形

第4課時等邊三角形的判定及含30。角的直角三角形的性質

學習目標：

1、掌握“等邊三角形物定”及“30。角的直角三角形的性質”的推論，會用上述結論

進行相關的計算和證明。

2、將探索、發現、猜想、證明有機結合起來，使數學思維的創造性和嚴謹性協

調發展。

學習過程：

一、前置準備：

4、已知4ABC中，AB=AC=5cm,請增加一個條件使它變為等邊三角形。

5、利用刻度尺兩測量一下含30。角的三角板的斜邊和較短的直角邊，與同伴比

較結果，交流其關系。

二、自主學習：

3、有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形嗎？試著證明你的結論。

自學習態度ABCD

我學習效果ABCD

評合作情況ABCD

價尚需改進

反

思

得出定理：有一個角是的三角形是等邊三角形。

三、合作交流；

做一做：用兩個含30。角的三角板，你能拼出一個怎樣的三角形？能拼出一個等

邊三角形嗎？說說你的理由。根據操作，思考：左直角三角形中，30。角所對直

角邊與斜邊有什么關系？并試著證明。

得出定理：在直角三角形中，30。角所對直角邊等于斜邊的o

四、歸納總結：1、我的收獲？

2、我不明白的問題？

五、例題解析：

等腰三角形的底邊為15。，腰長為2a,求腰上的高。

六、當堂訓練：

1、判斷：（1）在直角三角形中，直角邊是斜邊的一半。（）

（2）有一個角是60。的三角形是等邊三角形。（）

2、證明三個角都相等的三角形是等邊三角形。

學習筆記：

課下訓練：

1、等腰三角形的底邊等于15。，腰長為20,則這個三角形腰上的高是

2、如圖，在RtAABC中,ZACB=90°,NA=300,CD_LAB,BD=imAB=o

3、在aABC中，AB=AC,ZBAC=120°,D是BC的中點，DE_LAC,則

AE:EC=。

4、如圖，在RtAABC中，NC=90。,沿B點的一條直線BE折疊AABC,使點C

恰好落在AB的中點D處，則NA=

5、在RtAABC中，/C=300,ADJ_BC,你能看出BD與BC的大小關系嗎？

中考真題：已知：如圖，ZXABC中，BD_LAC,DE_LAC,點D是AB的中點，

ZA=30°,DE=1.8,求AB的長。

1.2直角三角形

第1課時直角三角形的性質與判定

學習目標：

1、進一步掌握推理證明的方法，發展演繹推理能力；

2、了解勾股定理及其逆定理的證明方法；

3、結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題

成立其逆命題不一定成立。

學習過程：

一、前置準備

＞角

1、直角三角形的兩個銳角；

2、有兩個角互余的三角形是.

＞邊

1、說出你知道的勾股數

2、勾股定理的內容是：；

它的條件是：；

結論是：O

二、自主學習：

將勾股定理的條件和結論分別變成結論和條件，其內容是:

已知在aABC中，AB2+AC2=BC2

求證：4ABC是直角三角形。

得出定理：如果三角形兩邊的等于,那么這個三角形

是直角三角形。

三、合作交流：

1、觀察勾股定理及上述定理，它們的條件和結論之間有怎樣的關系？然后觀察

下列每組命題，是否也在類似關系

(1)如果兩個角是對頂角，那么它們相等。

如果兩個角相等，那么它們是對頂角。

(2)如果小明患了肺炎，那么他一定會發燒。

如果小明發燒，那么他一定患了肺炎。

(3)三角形中相等的邊所對的角相等。

三角形中相等的角所對的邊相等。

像上述每組命題我們稱為互逆命題，即一個命的條件和結論分別是另一個

命題的和O

2、閱讀課本P16“想一想”，回答下列問題：

①一個命題是真命題，那么它的逆命題也一定是真命題嗎？

②什么是互逆定理？

③是否任何定理都有逆定理？

④思考我們學過哪些互逆定理？

四、歸納總結：1、勾股定理和逆定理的內容分別是什么？

2、什么是互逆定理，什么是互逆命題？

五、當堂訓練：

1、判斷

A:每個命題都有逆命題，每個定理也都有逆定理。（）

B:命題正確時其逆命題也正確。（）

C：直角三角形兩邊分別是3,4,則第三邊為50（）

2、下列長度的三條線段能構成直角三角形的是（）

①8、15、17②4、5、6、③7.5、4、8.5

④24、25、7⑤5、8、10

A:①②④B:②④⑤C:①③⑤D:①@@

課下訓練：

1、以下命題的逆命題屬于假命題的是（）

A:兩底角相等的兩個三角形是等腰三角形。

B:全等三角形的對應角相等。

C:兩直線平行，內對角相等。

D:直角三角形兩銳角互等。

2、命題：等腰三角形兩腰上的高相等的逆命題是o

3、若一個直角兩直角邊之比為3:4,斜邊長20CM,則兩直角邊為（—,_）

4、已知直角三角形兩直角邊長分別為6和8,則斜邊長為斜邊上的

IWJ為o

5、寫出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：

A:五邊形是多邊形。

B:兩直線平行，同位角相等。：

C:如果兩個角是對頂角，那么它們相等。

D:如果AB=0,那么A=0,B=0o

6、公園中景點A、B間相距50m,景點A、C間相距40m,景點B、C間相距

30m,由這三個景點構成的三角形一定是直角三角形嗎？為什么？

7、臺風過后，某小學旗桿在B處斷裂，旗桿頂A落在離旗桿底部C點8m處，

已知旗桿原長16m,則旗桿在距底部幾米處斷裂。

8、小明將長2.5m的梯子斜靠在豎直的墻上，這時梯子底端B到墻根C的距離

是0.7m,如果梯子的頂端垂直下滑0.4m,那么梯子的底端B將向外移動多少

米。

BB

中考真題：用四個全等的直角三角形拼成了一個如圖所示的圖形，其中a表示較

短，直角三角形，b表示較長的直角邊，c表示斜邊,你能用這個圖形證明勾股

AD

定理嗎？

1.2直角三角BC

第2課時直角三角形全等的判定

學習目標：

1、了解直角三角形全等的判定定理（HL）,發展演繹推理能力；

2、采用動手動腦相結合的方式，進一步學習嚴密科學的證明方法；

3、通過推理、論證的訓練，養成嚴謹的科學態度，不懈的探究精神和良好的說

理方法。

學習過程：

一、前置準備

1、直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理；

2、命題與逆命題，定理與逆定理的關系。

二、自主學習

問題1:兩邊分別相等且其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等嗎？如

果其中一邊所對的角是直角呢？請證明你認為正確的結論。

問題2:（做一做）已知一條直角邊和斜邊，求作一個直角三角形。

作直角三角形：

寫出已知、求作、作法。

與教材第19頁小明作的直角三角形進行比較，你們倆個作直角三角形的是全

等的嗎？

得出定理：______________________________________________________

證明這個定理。

已知：

求證：

證明：

三、例題講解

例如圖，有兩個長度相等的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的

長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角NB和NF的大小有什么關系？

四、歸納總結

1、直角三角形全等的判定定理及運用。

2、如何作一個直角三角形？

五、知識應用

D是4ABC的BC邊上的中點,DE_LAC,DF_LAB亞足分別為E、F,且DE=DF,

求證BF=CE.

［解桐本題解決的關犍是利用“HL”證明△BFD&ZXCED

當堂訓練：

1、下列各選項中的兩個直角三角形不一定全等的是（）

A.兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形。

B.兩條銳角邊對應相等的兩個直角三角形。

C.斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形。

D.有一個銳角及這個銳角的對邊對應相等的兩個直角三角形全等。

2、下列長度的三條線段能構成直角三角形的是（）

①8、15、17②4、5、6、③7.5、4、8.5④24、25、7⑤5、8、10

A.①②④B.②④⑤C.①③⑤D.①③④

3、下列命題中，假命題是（）

A.三個角的度數之比為1:3:4的三角形是直角三角形。

B.三個角的度數之比為1:3:2的三角形是直角三角形。

C.三邊長之比為1:后:2的三角形是直角三角形。

D.三邊長之比為2的三角形是直角三角形。

課下訓練：

1、下列說法正確的有（）

(1)一個銳角及斜邊對應相等的兩個直角三角形全等。

(2)一個銳角及一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。

(3)兩個銳角對應等的兩個直角三角形全等。

(4)有兩條邊相等的兩個直角三角形全等。

(5)有斜邊和條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。

A.2個B.3個C.4個D.5個

2、下列說法中錯誤的是()

A.直角三角形中，任意直角邊上的中線小于斜邊。

B.等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半。

C.直角三角形中每條直角邊都小于斜邊。

D.等腰直角三角形一邊長為1,則它的周長為1+拉

3、以下列各組為邊長，能組成直角三角形的是()

A.8、15、17B.4、5、6

C.5、8、10D.8、39、40

4、命題：若A>B,則A2>B2的逆命題是o

5、AD是4ABC的中線，ZADC=45°,把4ADC沿AD對折，點C落在C'

的位置，則BC'與BC之間的數量關系是o

6、四邊形ABCD中，若AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,且AB±BC,求四

邊形ABCD的面積o

1.3線段的垂直平分線

第1課時線段的垂直平分線

學習目標：1.證明線段垂直平分線的性質定理和判定定理.（重難點）

2.經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理證明能力,

豐富對幾何圖形的認識.

3.通過小組活動，學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果.

合作探究

探究一：線段的垂直平分線的性質定理

性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.

已知：如右圖，直線MN1AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的點.

求證：PA=PB.

證明：VMN1AB,

.?.ZPCA=ZPCB=90°

VAC=BC,PC=PC,

.,.△PCA^APCB(SAS);

???PA=PB（全等三角形的對應邊相等）.

定理運用時的數學語言：???______________________________

探究二：線段的垂直平分線的判定定理

你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？

當我們寫出逆命題時，就想到判斷它的真假.如果真，則需證明

它；如果假，則需用反例說明。

例題：

已知：如圖，在SBC中，AB=AC,0是3BC內一點，且0B=0C.

求證：直線A0垂直平分線段BCo.

證明：:AB=AC,

.?.點A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段兩個端點距離相等的點,

在這條線段的垂直平分線上）.

同理，點0在線段BC的垂直平分線上.

直線A0是線段BC的垂直平分線（兩點確定一條直線）.

學生是第一次證明一條直線是已知線段的垂直平分線，因此老師要引導學生

理清證明的思路和方法并給出完整的證明過程。

三.當堂檢測

1.如圖，在4ABC中，ZC=90°,DE是AB的垂直平分線，貝I]

(1)BD=;

(2)若/B=40。，則/BAC=°,ZDAB=°,ZDAC=

(3潛AC=4,BC=5貝JDA+DC=,AACD的周長為________

B

線段的垂直平分線

第2課時三角形三邊的垂直平分

學習目標：D

AC

1、能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點。

2、能夠利用尺規作已知線段的垂直平分線和已知底邊及底邊上的高作出等腰三角形。

3、經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展自己的推理證明意識和能力。

學習重點：能夠證明二角形二邊垂直平分線交于點；能夠利用尺規作已知底邊及底邊上的

高作出等腰三角形。

學習難點：證明三線共點是難點。

學法指導：

1、先利用10分鐘閱讀并思考P24-P26教材內容，先通過折紙的辦法發現三角形三邊垂

直平分線交于一點這一結論，然后能理解這一結論的證明；思考課本24頁議一議。

2、將存在疑問的地方標出來，準備課堂上質疑。

3、A、B層同學掌握導案所有內容，并完成探究案；C層同學能基本掌握學習目標，合作

完成探究案。

一、自主探究：

1,翦一個三角形紙片，

通過折疊找出每條邊的圖片粘貼處

垂直平分線？你發現了什么？

2、用尺規作出下列三角形三邊的垂直平分線，你發現什么結論？

3、在銳角三角形ABC中，ZBAC=50°,AC.BC的垂直平分線交于點0,則Nl_/2,

Z3Z4,Z5N6,Z2+Z3=

Zl+Z4=°,Z5+Z6=

ZBOC=

二、合作探究

探究點一：三角形三條邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.

1、證明：三角形三條邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.

已知：

求證：

證明：

探究點二：已知三角形的一邊及這邊上的高做三角形

1、(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎？如果能，能作幾個?所作

出的三角形都全等嗎？

(2)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規作出等腰三角形嗎？能作幾個?

2、已知一個等腰三角形的底邊及底邊上的高，求作這個等腰三角形.

已知：線段a、h

求作:AABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h

作法：

探究點三：用尺規作線段的垂直平分線

已知：線段/

求作：線段AB的垂直平分線.

作法：

探究點三：應用

1、如圖，有A、B、C三個工廠，現要建一個供水站,

使它到這三個工廠的距離相等，求供水站的位置

（要求尺規作圖，只保留作圖痕跡，不寫作法）

2、如圖，在4ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于點E，已知4BCE的周長為8,

AC-BC=2，求AB與BC的長

3、已知：如圖，RtAABC中，ZACB=900,ZBAC=600,DE垂直平分BC,垂足為D,交

AB于點E,點F在DE的延長線上,且AF=CE,試探究圖中相等的線段。

三、隨堂練習

1、如圖，。為8c邊上一點，且BC=BAAD,則ADDC,點。在

的垂直平分線上。

2、如圖，在△45C中，DE、FG分別是邊AB.AC的垂直平分線，則/8Z1,

NC____Z2;若N84C126。，則N￡4G=_________度。

四、作業

談談自己的收獲:

1.4角平分線

第1課時三角形三條內角的平分線

一、學習目標：

1.證明與角的平分線的性質定理和判定定理相關的結論.

2.角平分線的性質定理和判定定理的靈活運用.

3.提高綜合運用數學知識和方法解決問題的能力.

二、學習過程

任務一：

1.自主學習：

(1x作三角形的三個內角的角平分線，你發現三條角

平分線位置有什么關系？你能證明證明這個結論嗎？

已知：____________________________________________

求證：____________________________________________

證明：

(本題基本思路提示”兩條直線相交只有一個交點.要想證明三條直線相交于一

點，只要能證明兩條直線的交點在第三條直線上即可.

(2).問題：在上面的證明過程中除了證明三角形的三條角平分線相交于一點外,

還發現這個點到三邊的距離關系怎樣？

歸納：定理:________________________________________________________

證明此定理.

已知:（自己動手作出圖形）

求證：

證明：

2、鞏圄徐句：

已知：如圖，P是/AOB平分線上的一點，PC±OA,PD±OB

垂足分別為C、D,

求證：（1）OC=OD;（2）OP是CD的垂直平分線

任務二：

1、合作探究

如圖，在SBC中，AC=BC,zC=90°,AD是SBC的角平分線，DE1AB,

垂足為E.

(1)已知CD=&cm,求AB的長；\\

(2)求證：AB=AC+CDo\〉

分析：本題需要運用前面所學的多個定理，而且將計算和L—\A_

證明融合在一起。目的是使同學們進一步理解、掌握這些一

知識和方法，并能綜合運用它們解決問題，第(2)問中，

求證AB=AC+CD,這是我們第一次遇到這種形式的證明，

需要利用轉化的思想，用相等的線段代換就可以轉化出結果。

2、思考：圖中還有哪些相等的線段和角呢？

3、鞏固練習

課本P31習題第1題

三、課堂小結

通過本節課的學習，你學會了什么？還有哪些不足？

四、課堂檢測

如圖：CO.BO分別平分NACN和NABC,求證：點0在/MAC的角平分線上。

2.1不等關系

學習目標:

1.理解不等式的意義.

2.能根據條件列出不等式.

3.通過列不等式，訓練學生的分析判斷能力和邏帽推理能力.

4.通過用不等式解決實際問題，使學生認識數學與人類生活的密切聯系以及對人類

歷史發展的作用.并以此激發學生學習數學的信心和興趣.

學習重點：用不等關系解決'實際問題.

學習難點：正確理解題意列出不等式.

預習作業：

請同學們預習作業教材P2-4的內容，在學習的過程中請弄清以下幾個問題：

1.不等式的概念：

一般地，用符號“V"（或W）,“>"（或2）連接的式子叫做

2.長度是L的繩子圍成一個面積不小于100的圓，繩長L應滿足的關系式為

例1、用不等式表示

(1)a是正數；(2)a是負數；

(3)a與6的和小于小(4)x與2的差小于一1；

(5)x的4倍大于7；(6)y的一半小于3.

變式訓練：

1、用適當的符號表示下列關系：

(1)a是非負數；

(2)直角三角形斜邊c比它的兩直角邊a、b都長；

(3)X與17的和比它的5倍小。

2.(1)當42時，不等式戶3>4成立嗎？

(2)當戶1.5時，成立嗎？

(3)當年一1呢？

活動與探究：

a,6兩個實數在數軸上的對應點如圖1—2所示：

~b6a

圖1一2

用“V”或號填空：

(1)a_________Z?;(2)|a\__________|b\;(3__________0;(4)a—b_________0;

(5)9ba—b;(6)ab_________a

拓展訓練：

1.某校兩名教師帶若干名學生去旅游,聯系了兩家標價相同的旅游公司，經洽談后，甲公司

優惠條件是1名教師全額收費，其余7.5折收費；乙公司的優惠條件是全部師生8折收費.

試問當學生人數超過多少人時，其余7.5折收費；甲旅游公司比乙旅游公司更優惠？(只列關

系式即可)

2.2不等式的基本性質

學習目標:

i.探索并掌握不等式的基本性質；

2.理解不等式與等式性質的聯系與區別.

3.通過對比不等式的性質和等式的性質，培養學生的求異思維，提高大家的辨別

能力.

學習重點：

探索不等式的基本性質，并能靈活地掌握和應用.

學習難點：

能根據不等式的基本性質進行化簡.

回顧等式的基本性質：

等式的基本性質1:在等式的兩邊都加上(或減去)同一個數或整式，所得的結果

仍是等式.

基本性質2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個數(除數不為0),所得的結

果仍是等式.

預習作業：學習教材P7-P8的內容，通過學習弄清以下問題：

1.不等式的基本性質有哪些？

不等式的基本性質1：

不等式的兩邊都加上(或減去〉同一個整式，不等號的方向

不等式的基本性質2：

不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數，不等號的方向

不等式的基本性質3：

不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數，不等號的方向

2.不等式的基本性質與等式的基本性質有什么異同？

例1、將下列不等式化成“>>a”或的形式：

(1)%—5>—1;

(2)-2x>3;

(3)3A<—9.

(4)x>1>2

(5)-x<—

6

(6)-x<3

2

說明：在不等式兩邊同時乘以或除以同一個數(除數不為0)時，要注意數的正、負,

從而決定不等號方向的改變與否.

2.已知x>y,下列不等式一定成立嗎？

(1)x-6<y-6(2)3x<3y(3)-2x<-2y(4)2x+1>2y+1

議一議：

1.討論下列式子的正確與錯誤.

(1)如果aVA,那么a+cV加c;(2)如果aV/?,那么a—eV。-c;

(3)如果aV力，那么&CV/JC;(4)如果aV九且cHO,那么

cc

2.設心”用“V”或號填空.

(1)Kl_(2)a—3__Z?-3;(3)3a___3包

bab

(4)-*(K5)——_a(6)—a—b.

447_/

變式訓練：

1.根據不等式的基本性質，把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式:

(1)x-2<3;(2)6XV5L1;

(3)-A->5;(4)-4A>3.

2

2.設心力.用“V”或“>”號填空.

(1)a—38-3;(2)-(3)—4a—4";(4)5a5b;

一22

(5)當a>0"0時,劭>0;(6)當a>0"0時，ab<0;

(7)當aVO,6C時，cib>0;(8)當aVO,b0時，ab<0.

能力提高：

1.比較a與一4的大小.(說明：解決此類問題時，要對字母的所有取值進行討論.)

2.有一個兩位數，個位上的數字是a,十位上的數是b,如果把這個兩位數的個位與十

位上的數對調，得到的兩位數大于原來的兩位數，那么a與b哪個大哪個小？

2.3不等式的解集

學習目標：

1.能夠根據具體問題中的大小關系了解不等式的意義.

2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式這些概念的含義.

工會在數軸上表示不等式的解集.

4.培養學生從現實生活中發現并提出簡單的數學問題的能力.

5.經歷求不等式的解集的過程，發展學生的創新意識.

學習重點：

1.理解不等式中的有關概念.

2.探索不等式的解集并能在數軸上表示出來.

學習難點：

探索不等式的解集并能在數軸上表示出來.

預習作業：

請同學們預習作業教材P10-U的內容，在學習的過程中請弄清以下幾個問題：

1.什么叫不等式的解？

能使成立的未知數的值，叫做不等式的解

2.什么叫不等式的解集？

一個含有未知數的不等式的,組成這個不等式的解集

3.什么叫解不等式？

求的過程叫做解不等式

4.如何將不等式的解集在數軸上表示出來？

例1：根據不等式的基本性質求不等式的解集，并把解集在數軸上表示出來.

(1)十一22—4;(2)2A<8

(3)—24—2>—10

說明：不等式的解集數軸上表示注意空心圓和實心圓的用法。解集不包括這個數用空心

圓，

包括這個數用實心圓。

變式訓練：

1.判斷正誤：

2

(1)不等式￥—1>0有無數個解；(2)不等式2x-3W()的解集為才22.

3

2.將下列不等式的解集分別表示在數軸上：

(1)A>4;

(2)xW—l;

(3)*2—2;

(4)啟6.

3.不等式的解集x<3與xW3有什么不同？在數軸上表示它們時怎樣區別？分別在數軸上把

這兩個解集表示出來.

4.不等式x>-3的負整數解是不等式x-l<2的正整數解是

能力提高:

1.給出四個命題：①若a>b,c=d,則ac>bd;②若ac〉bc,則a〉b;③若a〉b,則ac5bc：④若

ac2〉bc?,則a>b。正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.在數軸上表示：

(1)大于3而不超過6的數；

(2)小于5且不小于-4的數.

3.如果不等式(aT)X>aT的解集為X<1,你能確定a的范圍嗎？不妨試試看.

4已知不等式3x-a<0的正整數解是1,2,3,求a的取值范圍。

2.4一元一次不等式

第1課時一元一次不等式的解法

§1.4一元一次不等式(1)

學習目標：

1.體會一元一次不等式的形成過程；

2.會解簡單的一元一次不等式，并能在數軸上表示出解集；初步認識一元一次不等式的

應用價值，發展學生分析問題、解決問題的能力：

3.初步感知實際問題對不等式解集的影響,積累利用一元一次不等式解決簡單實際問題

的經驗。

學習重點：明確什么是一元一次不等式，

學習難點：體會建立不等式模型解決實際問題的全過程，體會學習不等式的作用。

預習作業:

1、觀察卜.列不等式:

(1)2x-2.5>15；(2)x<8.75(3)xV4(4)5+3x>240

這些不等式有哪些共同特點？

2、(1).不等式的概念:

左右兩邊都是,只含有,并且未知數的最高次數是

的不等式，叫做一元一次不等式

(2)解一元一次不等式大致要分五個步驟進行:

(1)

(4)

例1：1、下列不等式中是一元一次不等式的有

f+l(x-l)>l

(l)3x>-9(2)3(x+2)-4x<x-3⑶32(4)

沁等

例2、解下列不等式，并把解集表示在數軸上。

x+1

(1)5x<200⑵-----<3

2

⑷u4x-5

(3)x-4>2(x+2)~T

變式訓練：解下列不等式，并把解集表示在數軸上。

(2)->3+^

52

(3)10-4(x-3)<2(x-l)

(4)

326

能力提高：

L7取何正整數時，代數式2(y-l)的值不大于10-4(y-3)的值。

x6〃？—15/77-I.._

2、m取何值時，關于x的方程----------=X--------的解大于1。

632

"乂丁3xx9.x-2+m皿丁生

3.是否存在整數in使關于x的不等式1+—->—+—與---------<x+1是同解不等

nrmin~3

式？如果存在，求出整數m和不等式的解集；如果不存在，請說明理由。

2.4一元一次不等式

第2課時一元一次不等式的應用

學習目標：

i.進一步熟練掌握解一元一次不等式

2.利用一元一次不等式解決簡單的實際問題

學習重點：一元一次不等式的應用

學習難點：將實際問題抽象成數學問題的思維過程。

預習作業:

1、解一元一次不等式應用題的步驟：

(1)(2)

(3)(4)(5).

2、小紅讀?本500頁的科普書，計劃10天內讀完，前5天因種種原因只讀了100頁，問從

第6天起平均每天至少讀頁，才能按計劃完成。

例1、解下列不等式，并把它們的解集分別表示在數軸上

2、一次環保知識競賽共有25道題，規定答對一道題得4分，答錯或不答一道題扣1分，在

這次競賽中，小明被評為優秀(85分或85分以上)，小明至少答對了幾道題？

3、小穎準備用21元錢買筆和筆記本.已知每支筆3元，每個筆記本2.2元，她買了2本筆

記本.請你幫她算一算，姬還可能買幾支筆？

拓展：

1、小王家里裝修他去商店買燈，商店柜臺里現有功率為100瓦的白熾燈和40瓦的節能燈，

它們的單價分別為2元和32元，經了解，這兩種燈的照明效果和使用壽命都一樣，已知小

王所在地的電價為每千瓦時0.5元，請問當這兩種燈的使用壽命超過多長時間時，小王選擇

節能燈才合算。

2、某種商品進價為800元，出售時標價為1200元，后來由于該商品積壓，商家準備打折出

售，但要保持利潤率不低于5%，你認為該商品至多可以打幾折？

3、某汽車租賃公司要購買轎車和面包車共10輛，其中轎車至少要購買3輛，轎車每輛7

萬元，面包車每輛4萬元，公司可投入的購車款不超過55萬元。

(1)符合公司要求的購買方案有哪幾種？請說明理由。

(2)如果每輛轎車的日租金為200元，每輛面包車的日租金為110元，假設新購買的這10

輛車每日都可租出，要使這10輛車的日租金收入不低于1500元，那么應選擇以上哪種購買

方案？

2.5一元一次不等式與一次函數

第1課時一元一次不等式與一次函數的關系

學習目標：

i.一元一次不等式與一次函數的關系.

2.會根據題意列出函數關系式，畫出函數圖象，并利用不等關系進行比較.

3.通過一元一次不等式與一次函數的圖象之間的結合，培養學生的數形結合意識.

4.訓練大家能利用數學知識去解決實際問題的能力.

學習重點：了解一元一次不等式與一次函數之間的關系.

學習難點：

自己根據題意列函數關系式，并能把函數關系式與一元一次不等式聯系起來作答.

預習作業：

請同學們預習作業教材也0-21的內容，弄清以下幾個問題：

1、形如_______形式，叫做一次函數；形如形式，叫做正比例函數；確定一次函

數圖像需要個點。

2、一次函數丫=1^+1)(1<=0)的圖像是_______.當kx+b0,表示直線在x軸上方的部

分,當kx+b______0,表示直線在x軸的交點，當kx+b0,表示直線在x軸下方的

部分。

例1、作出函數尸2*—5的圖象，觀察圖象E答下列問題.

(1)x取哪些值時,2彳-5=0?(3)x取哪些值時，2x-5V0?

(2)x取哪些值時,2x-5>0?(4)x取哪些值時，2L5>3?

變式訓練：

已知一次函數)*2戈-4與y2=-2x+8。當x取何值時，(1)

y>%；(2)y=%；(3)X〈%

例2、兄弟倆賽跑，哥哥先讓弟弟跑9m,然后自己才開始跑，已知弟弟每秒跑3m,哥哥

每秒跑4m,列出函數關系式，畫出函數圖象，觀察圖象回答下列問題：

(1)何時弟弟跑在哥哥前面？(2)何時哥哥跑在弟弟前面？

(3)誰先跑過20m?誰先跑過100m?(4)你是怎樣求解的？與同伴交流.

能力提高:

1.某醫院研究發現了一種新藥，在試驗藥效時發現，如果成人按規定劑屈服用，那么服

藥后2小時時血液中含藥量最高，達每亳升6微克（1微克=103毫克），接著逐步衰減，1（）

小時時血液中含藥量為每毫升3