專題3.7切線長定理、三角形的內切園【十大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【題型1利用切線長定理求解】...................................................................1

【題型2利用切線長定理證明】..................................................................2

【題型3由三角形的內切圓求長度】..............................................................3

【題型4由三角形的內切圓求角度】..............................................................4

【題型5由三角形的內切圓求面積】..............................................................5

【題型6由三角形的內切圓求最值】..............................................................6

【題型7直角三角形的周長、面枳與三角形內切圓的關系】.........................................7

【題型8圓外切四邊形的計算】..................................................................8

【題型9一般三角形的周長、面積與三角形內切圓的關系】........................................10

【題型10三角形內切圓與外接圓的綜合運用】....................................................11

，舉一反三

【知識點1切線長定理】

過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

【題型1利用切線長定理求解】

【例1】（2023春浙江杭州?九年級校聯考期中）如圖，點，是半徑為「的。。外一點，PA,分別切。。于

4B點,若△PAB是邊長為Q的等邊三角形，則（）

A

A.a=2rB.a=V3rC.a=V2r

【變式1-1］（2023春?江蘇南京?九年級統考期末）如圖，4B為0。的直徑，PB,PC分別與。0相切于點B,

C,過點C作A8的垂線，垂足為E,交。。于點D.若CD=PB=2?則BE長為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式1-2］（2023春?天津河西?九年級統考期末）如圖，PA,P8是。。的切線，A,8為切點，力。是。。的

直徑.

（I）若N84C=25。，求乙P的度數;

（2）若NP=60。,PA=2,求。。的半徑.

【變式1-3］（2023春?浙江?九年級期中）小明準備以“青山看口出”為元素為永嘉縣某名宿設計標志示意圖，

如圖所示，他利用兩個等邊三角形和一個圓分別表示青山和日出，已知點8,E,C,尸在同一條直線上，

且BE=EC=2CF,四邊形4BEG和四邊形GCFD的面積之差為7百，則。尸的長是；連結4D,若O。是

△4DG的內切圓，則圓心。到8尸的距離是.

【題型2利用切線長定理證明】

【例2】（2023春?天津河東?九年級天津市第四十五中學校考期末）如圖，RtAABC中，"=90。，以8C為宜

徑的。。交45于E,ODJ.BC交。0于D,DE交BC于F,點P為CB延長線上的一點，PE延長交4?于G,PE=

PF，下列4個結論：①G￡=GC；?AG=GE；③OG||8E；@LA=ZP.其中正確的結論是（填寫所

有正確結論的序號）

I）

【變式2-1］（2023春?全國.九年級統考期末）如圖，0O是梯形ABCD的內切圓，AB〃DC,E、M、F、N

分別是邊AB、BC、CD、DA上的切點.

(1)求證：AB+CD=AD+BC

（2）求NAOD的度數.

【變式2-21（2023春?江蘇南通?九年級校聯考期中）如圖,A6、C3、CQ分別與。。切于E,凡G,且A8〃CQ.連

接08、OC,延長CO交。。于點M,過點加作仞7〃04交CQ于N.

（I）當08=6。〃，OC=8c〃i時，求。。的半徑;

(2)求證：MN=NG.

【變式2-3］（2023春?廣東云浮.九年級統考期末）如圖I所示，0。為△CDE的外接圓，CD為直徑，AD.BC

分別與。。相切于點。、C（BOAD）.￡在線段45上，連接。E并延長與直線BC相交于點P,B為PC中點、.

（1）證明：AB是。0的切線.

(2)如圖2,連接04,0B,求證：0A_L03.

【知識點2三角形的內切圓】

內切圓的圓心是

與三角形各邊都三角形三個內角三角形的內心到

三角形內切圓相切的圓叫做三的角平分線的交三角形三邊的距

角形的內切圓點，叫做三角形的離相等

內心

【題型3由三角形的內切圓求解】

【例3】（2023春?天津西青?九年級統考期末）如圖，在△力BC中，々1=60。，BC=12,若。0與zMBC的

三邊分別相切于點。，E,F,且的周長為32,則。尸的長為（）

A.2B.3C.4D.6

【變式3-1］（2023春?山東淄博?九年級統考期末）如圖，△ABC中，ZC=90°,圓O是的內切圓，D,

E,尸是切點.若A8=5,AC=3,則。。=.

【變式3-2］（2023春?天津河西?九年級校考期末）如圖，。/是直角△力8C的內切圓，切點為。、E、F,若

AF=10,BE=3,則△力BC的面積為.

【變式3-3］（2023春?甘.肅金昌?九年級校考期末）如圖，在A/IBC中，4/1=90。，AB=AC=2,。0是的

內切圓，它與力B、BC、&4分別相切于點。、E、F.求。。的半徑.

【題型4由三角形的內心的有關應用】

【例4】（2023春?江蘇鹽城?九年級統考期中）如圖，點。是A/IBC的內心，也是ADBC的外心.若N4=84。,

貝吐。的度數（）

A.42°B.66°C.76°D.82°

【變式4-1】（2023春?江蘇蘇州?九年級蘇州市振華中學校校考期中）如圖，點/為△A8C的內切圓的圓心,

連接A/并延長交△4BC的外接圓于點0,連接8D.已知AZ)=5,BD=3,則A/的長為(

A.1C2D.|

【變式4-2](2023春?河北衡水,九年級校考期中)如圖,在中,ABAC=50°,點/是A2BC的內心,

(I)乙BIC=°；

(2)若8/的延長線與△ABC的外角乙4CD的平分線交于點巴當〃CB=。時，CEWAB.

【變式4-3](2023春?九年級課時練習)如圖，在平面直角坐標系中，點4(0,6),點8(8,0),/是△。力B的內

心，則

(2)點/關于x軸對稱的點的坐標是.

【題型5坐標系中的三角形內切圓】

【例5】(2023?山東日照?日照市田家炳實驗中學校考一模)如圖，把RQ048置于平面直角坐標系中，點A

的坐標為(0,4),點8的坐標為(3,0),點尸是RtA內切圓的圓心.將RtZiOAB沿y軸的正方向

作無滑動滾動.使它的三邊依次與工軸重合.第一次滾動后，圓心為匕，第二次滾動后圓心為。2…依次規

律，第2019次滾動后，RQ048內切圓的圓心P20/9的坐標是()

A.(673,1)B.(674,1)C.(8076,i)D.(8077,1)

【變式5-11(2023春?湖北鄂州?九年級校聯考期末)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，24CB=

90%乙48c=30。,直角邊BC在x軸上，其內切圓的圓心坐標為1(0,1),拋物線y=Q/+2”+1的頂點為

Af則Q=.

A

COBX

【變式5-2](2023春?全國?九年級統考期末)如圖，△ABC中，A、EhC三點的坐標分別為A(0,8),

B(-6,0),C(15,0).若△ABC內心為D,求點D的坐標.

八J

B0C'x

【變式5-3](2023春?江蘇?九年織專題練習)如圖，矩形OA8cB(43),點M為bABC的內心,

將矩形繞點C順時針旋轉9()。，則點M的對應點坐標為()

A.(-2,6)B.(-6,1)C.(-1,1)D.(-L6)

【題型6由三角形的內切圓求最值】

【例6】(2023春?揚州月考)如圖是一塊AABC余料，已知A8=20a〃，BC=lan,4c=15刖，現將余料

裁剪成一個圓形材料，則該圓的最大面積是」^

【變式6-1]（2023春?浙江?九年級專題練習）如圖，在矩形A8CO中，AB=8,BC=6,點E、廣分別是

AD.8c的中點，點。在線段七〃上，△P48內切圓半徑的最大值是（）

A.1B.-C.-D.-

543

【變式6-2]（2023春?江蘇南京?九年級南師附中樹人學校校考階段練習）如圖，矩形A8CQ,AD=6,AB

=8,點P為BC邊上的中點，點Q是△ACD的內切圓圓。上的一個動點，點M是CQ的中點，則尸M的最

大值是.

【變式6-3]（2023?陜西西安?西安市第六中學校考模擬預測）如圖，矩形為8C。的頂點A,C分別在無軸、y軸

上，點8的坐標為（-8,6）,0M是△4OC的內切圓，點N,點P分別是OM,”軸上的動點，則BP+PN的最

【題型7直角三角形的周長、面積與三角形內切圓的關系】

【例7】（2023?全國.九年級專題練習）Rt△43c兩直角邊的長分別為3cm和4cm,則其內心與外心的距離為

()

A.2B.1C—D?苧

【變式7-1］（2023春?全國?九年級專題練習）如圖，在ABC中，2c=90。，AC=6,BC=8,則△ABC的

內切圓的半徑/?是（）

A.2B.3C.4D.無法判斷

【變式7-2］（2023春?山東濟寧?九年級校考期末）如圖，△力"的內切圓。0與8。、。4、AB分別相切于點

。、E、F,且AB=8,BC=17,CA=15,則陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是（）

A.4B.6.25C.7.5D.9

【變式7-3］（2023春?江蘇南京?九年級南師附中樹人學校校考階段練習）如圖，矩形A8CQ,AD=6,AB

=8,點P為3c邊上的中點，點Q是△力CD的內切圓圓O上的一個動點，點M是CQ的中點，則PM的最

大值是.

【題型8圓外切四邊形的計算】

【例8】（2011?浙江溫州?中考真題）如圖，。是正方形4BCQ的對角線8。上一點，。。與邊A3,8c都相

切，點、E,〃分別在A。，上，現將沿著EF對折，折痕E”與。。相切，此時點。恰好落在圓心

。處.若DE=2,則正方形48CD的邊長是（）

A.3B.4

C.2+V2D.2V2

【變式8-1］（2023春.九年級課時練習）如圖，圓。是四邊形4BCQ的內切圓，若/8。。=118。，則NA。。

【變式8-2］（2023春?浙江溫州?九年級校考期末）如圖，正方形￡W7,正方形MFCG和正方形HLGD都在正

方形ABCD內，且8F=HD.。0分別與4E,EhHL,力，相切，點M恰好落在。。上，若BF=4,則。。的

直徑為.

【變式8-3］（2023?江蘇蘇州?統考中考真題）如圖①，甲，乙都是高為6米的長方體容器，容器中的底面ABCD

是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形.如圖②，已知正方形力8CD與矩形EFG”滿足如下條件：正方形力88

外切于一個半徑為5米的圓。，矩形E尸GH內接于這個圓。，EF=2EH.

3）求容器甲，乙的容積分別為多少立方米？

（2）現在我們分別向容器甲，乙同時持續注水（注水前兩個容器是空的），一開始注水流量均為25立?方米

/小時，4小時后.把容器甲的注水流量增加。立方米/小時，同時保持容器乙的注水流最不變，繼續注水2

小時后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小時，同時容器乙的注水流量仍舊保持不變.直到兩個

容器的水位高度相同，停止注水.在整個注水過程中，當注水時間為￡時，我們把容器甲的水位高度記為九伊,

容器乙的水位高度記為力/,設八/一九尹=九，已知九（米）關于注水時間￡（小時）的函數圖像如圖③所示,

其中MN平行于橫軸.根據圖中所給信息，解決下列問題:

①求a的值：

②求圖③中線段PN所在直線的解析式.

圖①圖②

圖③

【題型9一般三角形的周長、面積與三角形內切圓的關系】

【例9】（2023春?廣東梅州?九年級校考開學考試）若四邊形48co的對角線AC,80相交于O,△，。乩△B0C,

△COD,a。。力的周長相等，且△力OB,△80C,△C0D的內切圓半徑分別為3,4,6,則△D04的內切圓

半徑是（）

A.gB.C.D.以上答案均不正確

【變式9-1]（2023?湖南長沙?長沙市湘郡培粹實驗中學校考三模）如圖，。。是^ABC的內切圓，若^ABC的

周長為18,面積為9,則O0的半徑是（）

A.1B.V2C.1.5D.2

【變式9-2]（2023春?內蒙占呼倫貝爾?九年級統考期末）如圖，在△力8C中，AB+AC=^BC,AO_LBC于

D,。。為△48C的內切圓，設。0的半徑為R,40的長為九，貝。的值為（

【變式9-3]（2023春?九年級課時練習）已知的周長為20,其內切圓半徑R=5,則△ABC的面積

為?

【題型10三角形內切圓與外接圓的綜合運用】

【例10】（2023?全國?九年級專題練習）如圖,點/為的內心，連接加并延長交△力BC的外接圓于點。,

若4=2CD,點E為弦4C的中點，連接￡7,1C,若/C=6,/D=5,則/E的長為（）

B.4.5D.3.5

【變式10-1】（2023?游仙區模擬）如圖，在△人BC中，/84C=60。，其周長為20,。/是△/WC的內切圓,

其半徑為V5,則△引。的外接圓直徑為_畔_.

?5

專題3.7切線長定理、三角形的內切圓【十大題型】

【北師大版】

，題型梳理

【題型1利用切線長定理求解】...................................................................1

【題型2利用切線長定理證明】..................................................................2

【題型3由三角形的內切圓求長度】..............................................................3

【題型4由三角形的內切圓求角度】..............................................................4

【題型5由三角形的內切圓求面枳】..............................................................5

【題型6由三角形的內切圓求最值】..............................................................6

【題型7直角三角形的周長、面積與三角形內切圓的關系】.........................................7

【題型8圓外切四邊形的計算】..................................................................8

【題型9一般三角形的周長、面積與三角形內切圓的關系】........................................10

【題型10三角形內切圓與外接圓的綜合運用】....................................................11

，舉一反三

【知識點1切線長定理】

過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

【題型1利用切線長定理求解】

【例1】（2023春?浙江杭州?九年級校聯考期中）如圖，點P是半徑為r的。。外一點，PA,P8分別切O。于

A,B點、,若△PAB是邊長為a的等邊三角形，則（）

A

A.a=2rB.a=V3rC.a=V2r

【答案】B

【分析】連結。P、OA,OB,根據切線的定理得H41OA,PB1OB,再根據直角三角形的性質可知OP=20A,

最后利用勾股定理即可解答.

【詳解】解：連結OP、OA.0B,則。4=丁,

??NPA3是邊長為a的等邊三角形，

：,PA=a,Z.APB=60°,

〈PA,PB分別切。。于A,8點，

???PA1OA,PB1OB,

：.LOAP=90°,OP平分N；4P8,

：

.WPA=Z-OPB=-2^APB=30°,

：.LOAP=90°,

：.0P=20A,

???在Rt△04P中，PA=\/OP2-OA2=yJ(2OA)2-OA2=y130A,

.*.a=V3r,

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，切線的性質定理，切線長定理，直角三角形中30。角所對的直角邊

等于斜邊的?半，勾股定理，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

【變式1-1】（2023春?江蘇南京?九年級統考期末）如圖，AB為。。的直徑，PB,PC分別與。0相切于點8,

C,過點C作的垂線，垂足為凡交。0于點D.若CD=PB=2?則BE長為（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】A

【分析】作CH_LPB于〃，由垂徑定理得到CE的長，從而求出P"的長，由勾股定理求出CH的長，即可求出BE

的長.

【詳解】解：作CH1P5于"，

:?CE=DE=3CD=?

?:PC,PB分別切0。于C,B,

:?PB=PC=CD=2V3,直徑AB1PR,

???四邊形EG/8是矩形,

：.BH=CE=痘,BE=CH,

:,PH=PB-BH=2/一用=冷,

：22J(2V3)2-(V3)2

.CH=y/PC-PH==3,

：,BE=CH=3.

【點睛】本題考查切線的性質，切線長定理，勾股定理，關鍵是通過輔助線構造直角三角形，應用勾股定理

求出CH的長.

【變式1-2](2023春.天津河西.九年級統考期末)加圖，PA.P8是。O的切線，A.R為切點,,{?是OO的

直徑.

(1)若484。=25。，求NP的度數；

(2)若4P=60。，PA=2,求。。的半徑.

【答案】(1)50。

⑵誓

【分析】（1）先利用切線的性質得到a/IP=90。，則利用互余計算出NP/18的度數，再根據切線長定理得到

PA=PB,然后根據等腰三角形的性質和三角形內角和計算乙P的度數：

（2）連接BC,根據切線的性質得到PA=P3,4CAP=90。，推出AP45是等邊三角形，根據直角三角形的性

質即可得到結論.

【詳解】（1）,.,PA是。。的切線，

：,OA1PA,即皿P=90。.

：.LPAB=90°-Z-BAC=90°-25°=65°.

,：PA,PB是。。的切線，

：.PA=PB,

：.LPBA=Z.PAB=65°,

：,LP=50°.

（2）連接CB,

*：PA=PB,且，P=60。，

???Z.P/18是等邊三角形，

：.AB=24=2,乙CAB=30°.

??NC為直徑,

：.LCBA=90°,

在Rt△4BC中，

由勾股定理：AC2=BC2+AB2,可得4C二竺紇

3

???0。的半徑為手.

【點睛】本題考查了切線的性質，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，熟練掌握切線的性質是解題的

關鍵.

【變式1-3]（2023春?浙江?九年級期中）小明準備以“青山看川1廠為元素為永嘉縣某名宿設計標志示意圖，

如圖所示，他利用兩個等邊三角形和一個圓分別表示吉山和日出，已知點8,E,C,尸在同一條直線上，

且BE=EC=2CF,四邊形48EG和四邊形GCFD的面積之差為76，則CF的長是；連結力。，若O0是

△40G的內切圓，則圓心。到8尸的距離是

【答案】24V3-2

【分析】設CF=x，表示出相關線段的長，根據四邊形力BEG和四邊形GC尸。的面積之差，得到一S.DEF=

7V3,求出大值即可：連結A。，連接0G并延長交8/于點M,設圓。HAC的切點為H,連接0〃，連接AE,

作DN_L4E,垂足為N,證明△/WG為直角三角形，求出內切圓半徑，再根據切線長定理得到NHG。，從而

證明0/_L8F,求出GM,從而得到OM即可.

【詳解】解：.??BE=EC=2CF,

?,?設CF=x,則BE=EC=2%,

，BC=2x+2x=4x,FF=2x4-x=3x,

???△力。。與4OEF為等邊二角形，

?2222

:SAABC=^BC?=yx(4x)2=4V3x,ShDEF=yFF=yx(3x)=^V3x,

:S^ABC-S&DEF=7A/3,

A4V3X2--V3x2=7V3,

4

.*.x2=4,

.二%=2.

：.CF=2.

連結AO,連接OG并延長交8尸于點M,設圓。與AC的切點為“，連接O"，連接A￡,作。N1AE,垂足

為N,

???等邊4718。的邊長為4乂2=8,E為8c中點,

：,AE=V3CE=4^3,Z.AEC=90°,

■:乙DEC=60°,

，乙DEN=30°,

，：DE=3x2=6,

：.DN=-DE=3,NE=娼DN=373,

2

.\/l/V=4V3-3V3=V3,

：.AD=7ANZ+DNz=2V3,

*：AG=AC-GC=8-4=4,DG=DE-EG=6—4=2,

：,AG2=16=DG2+AD2,

：.LADG=90°,AnDG為直角三角形,

???內切圓半徑。H=也等竺=旦產=V3-1,

■:乙HGD=60°,

:?乙HGO=+乙HGD=30°,

2

JOG=2OH=2（V3-1）=2V3-2,

*：LHGO=30°,Z-AGE=180°-60°=120°,

：,LEGM=180°-30°-120°=30°,

：,LGME=180°-60°-30°=90°,

，OM1BF,

-：CM=^GE=^x4=2V3,

,OM=OG+GM=-2+2國=4百一2,

，圓心。至ljB/的距離為4g-2,

故答案為：2,473-2.

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了等邊三角形的性質，勾股定理，切線長定理，切線的性質，

【題型2利用切線長定理證明】

【例2】（2023春?天津河東?九年級天津市第四十五中學校考期末）如圖，RW18C中，"=90。，以8C為直

徑的。。交48于OD上BC交于D,DE交BC于F,點P為。8延長線上的一點，PE延長交RC于G,PE=

PF,下歹ij4個結論：①GE=GC：②AG=GE；③OG||BE；?LA=乙P.其中正確的結論是（填寫所

有正確結論的序號）

A

I)

［答案］?@?

【分析】①首先連接。E，CE,由。E=。。，PE=PF,易得4。￡＞。+4/55尸=乙。。￡+4尸產￡，又由。。1BC,

可得0E1PE,繼而證得PE為0。的切線;

②又由是直徑，可得CEJ.48,由切線長定理可得GC=GE,根據等角的余角相等，可得乙1=4/EG,

根據等腰三角形的判定，可得答案;

③易證得0G是A4BC的中位線，則可得0GIIBE.

④由于在RtAABC中，LA+/.ABC=90°,在RtAPOE中，LP+LPOE=90°,而/POE不一定等于4ABC,

則可得〃不一定等于

【詳解】解：如圖，連接。E,CE,

v0E=0D,PE=PF,

???iOED=CODE,LPEF=Z.PFE,

???0D1BC,

...Z.ODE十Z.OFD=90°,

vZ.OFD=Z.PFE,

Z.OED+/.PEF=90°,

即0E1PE,

???點E。。匕

???GE為O0的切線;

丁點。在。。上，OCLGC,

??.GC為。。的切線，

AGC=GE

故①正確；

???8C是直徑，

???ZBEC=90°,

Z.AEC=90°,

vZ.ACB=90°,

.?dC是。。的切線，

二EG=CG,

,Z.GCE=Z.GEC?

V乙GCE+Z./4=90°,乙GEC十乙AEG=90°,

???NA=/.AEG,

???AG=EG；故②正確；

v0C=OB,AG=CG

二OG是A48C的中位線，

AOG||AB；故③正確；

在RtA/lBC中，z/l+/.ABC=90°,

在RtAPOE中，ZP+/.POE=90°.

vOE=OB,

???々OBE=乙OEB,

但/POE不一定等于乙4BC,

不一定等于NP.故④錯誤.

故答案為：①②③.

【點睛】此題考查了切線的判定與性質、切線長定理、圓周角定理、三角形中位線的性質以及等腰三角形的

性質.此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.

【變式2-1］（2023春?全國?九年級統考期末）如圖，。。是梯形ABCD的內切圓，AB〃DC,E、M、F、N

分別是邊AB、BC、CD、DA上的切點.

(1)求證：AB+CD=AD+BC

(2)求NAOD的度數.

【答案】(1)證明見解析；(2)90。.

【分析】(1)根據切線長定理可證得AE=AN,BE=BM,DF=DN,CF=CM,進而證明AB+DC=AD+BC；

(2)連OE、ON、OM、OF,通過證明△OAE絲ZXOAN,得到NOAE=NOAN.同理：ZODN=ZODE,再

利用平行線的性質：同旁內角互補即可求出NAOD的度數.

【詳解】(1)證明：切梯形ABCD于E、M、F、N,由切線長定理：AE=AN,BE=BM,DF=DN,

CF=CM,

/.AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM,

；?AB+DC=AD+BC

(2)連OE、ON、OM、OF,

VOE=ON,AE二AN,OA=OA,

AAOAE^AOAN,

AZOAE=ZOAN.

同理，ZODN=ZODF.

???ZOAN+ZODN=ZOAE+ZODE.

又7AB〃DC,ZEAN+ZCDN=I8O0,

ZOAN+ZODN=ixI80°=90°,

2

.,.ZAOD=180°-90o=90°.

【點睛】本題考查了切線長定理和全等三角形的判定、全等三角形的性質以及平行線的性質：同旁內角互補,

解題的關鍵是構造全等三角形.

【變式2-2](2023春?江蘇南通?九年級校聯考期中)如圖,/W、CA、C。分別與。。切于E,尸,6,旦48〃。。.連

接。B、OC,延長CO交。O于點M,過點M作MN〃OB交C7)于M

(1)當OB=6cm,OC=8C〃I時，求OO的半徑;

（2）求證：MN=NG.

【答案】（1）的半徑為4.8；（2）見解析.

【分析】（1）根據切線的性質得到OB平分NEBF,OC平分NGCF,OF±BC,再根據平行線的性質得

ZGCF+ZEBF=180°,則有NOBC+NOCB=90。，即NB0090。；連接OF,則OF_LBC,根據勾股定理就可

以求出BC的長，然后根據2BOC的面積就可以求出。O的半徑；

（2）根據切線的判定和性質定理即可得到結論.

【詳解】（1）VAB.BC、CD分別與。O切于E、F、G,

，OB平分NEBF,OC平分/GCF,OF1BC,

/.ZGCF+ZEBF=I8O°,

AZOBC+ZOCB=90°,

AZBOC=90°；,

連接OF,則OF_LBC,

由(1)知，△BOC是直角三角形，

/.BC=VOB2+OC2=10,

,/SABOC=?OB?OC=1?BC?OF,

6x8=10xOF,

.\OF=4.8,

A<00的半徑為4.8；

(2)證明：TAB、BC、CD分別與0O切于點E、F、G,

AZOBC^ZABC,ZDCB=2ZDCM,

2

VABZ/CD,

/.ZABC+ZDCB=180°,

AZOBC+ZOCB=-2(2ZABC+ZDCB)=-xl80°=90°,

AZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-90°=90°,

VMN/7OB,

AZNMC=ZBOC=90o,

即MN1MC且MO是。O的半徑，

/.MN是0O的切線，

AMN=NG.

【點睛】此題考查切線的判定與性質定理，勾股定理，解題關鍵在于掌握過半徑的外端點與半徑垂直的直線

為圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑；過圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等，圓心與這點的連

線平分兩切線的夾角.

【變式2-3](2023春?廣東云浮?九年級統考期末)如圖1所示，00為△CDE的外接圓，8為直徑，AD.BC

分別與。。相切于點。、CCBOAD).E在線段48上，連接DE并延長與直線8c相交于點P,B為PC中點.

(1)證明：AB是。。的切線.

(2)如圖2,連接040B,求證：04_L0B.

【答案】(I)見解析

(2)見解析

【分析】(1)連接。￡,根據宜角三角形斜邊上的中線的性質以及等邊對■等角得出N0EC=40CE,進而根據

為切線，Z.OCB=90°,乙OEC+乙BEC=LOCE+乙BCE=9。。,得出乙。E8=90。，即可得證；

(2)根據AD、AB.分別與。。相切于點。、E、C,根據切線長定理得出4。_LCD，BC1CD,^\AD\\BC,

^OAE=^DAE,乙OBE=JBE,+/CBE=180。，即可得出4力08=90。，進而即可得證.

【詳解】(1)證明：連接0E,

B

〈CD為O。直徑，

工乙CEP=90°.

在RT/kCEP中,B為PC中點,

：.EB=BC=-CP,

2

：,LBCE=乙BEC,

TOE=OC,

：,LOEC=乙OCE,

乂???BC為切線，

：,L0CB=90。，

：.LOEC+乙BEC=LOCE+乙BCE=90°

工人OEB=90°.

即OE1A8,

??"/?是。。的切線.

（2）證明：???AD、AB.8C分別與。0相切于點。、E、C,

：.AD\\BC,

?"O4E+"BE=180。，

：.LOAE+乙OBE=1x(Z.DAE+zCBE)=1x180°=90°,

：.￡AOB=90°,

AOA1OB：

【點睛】本題考查了切線的性質與切線長定理，掌握切線的判定方法以及切線長定理是解題的關鍵.

【知識點2三角形的內切圓】

內切圓的圓心是

與三角形各邊都三角形三個內角三角形的內心到

三角形內切圓相切的圓叫做三的角平分線的交三角形三邊的距

角形的內切圓點，叫做三角形的離相等

內心

【題型3由三角形的內切圓求解】

【例3】（2023春?天津西青?九年級統考期末）如圖，在△力BC中，Z/1=60°,BC=12,若。。與△人"的

三邊分別相切于點7）,E,F,且△48。的周長為32,則OF的長為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【分析】根據切線長定理可得：AD=AF,BD=BE,CE=CF,再證明△AOF是等邊三角形即可作答,

【詳解】:。。內切于

：.AD=AF,BD=BE,CE=CF,

'：LA=60%

???A/WF是等邊三角形,

?\AD=AF=DF,

的周長為32,

??.4B+BC+4c=32,

：.AD+BD+BE+EC+CF+AF=32,

'：BC=12,

：.BE+EC=12,

：.BE+EC=BD+FC=12,

：.AD+4/=32—(BD+BE+EC+CF)=8,

*：AD=AF=DF,

：,AD=AF=DF=4,

【點睛】本題主要考查了切線長定理以及等邊三角形的判定與性質，掌握切線長定理是解答本題的關鍵.

【變式3?1】(2023春?山東淄博?九年級統考期末)如圖，△斐BC中,LC=90°,圓。是的內切圓,D,

E,b是切點.若｛8=5,AC=3,則。0=.

【答案】1

【分析】根據內切圓的性質先證明四邊形。ECO是矩形，可得OD=CE,再由切線長定理可得/尸==

BD.CD=CE,設X)D=CD=CE=r,可得4/=4E=3—r,BF=BD=4-r,可得到關于「的方程，即

可求解.

【詳解】解：???圓。是△48。的內切圓，

：,0E1AC,OD1BC,

，乙ODC=iOEC==90°,

???四邊形OECD是矩形，

：?0D=CE,

???圓。是△ABC的內切圓，

：.AF=AE,BF=BD,CD=CE,

設00=CD=CE=r,

*：AB=5,AC=3,

：.BC=>]AB2-AC2=4,AF=AE=3-r

：,BF=BD=4-r,

?：AF4-BF=5,

/.3-r+4—r=5,

解得：r=l,

即00=1.

故答案為：1

【點睛】本題主要考查了三角形的內切圓，切線長定理，勾股定理，熟練掌握三角形的內切圓的性質，切線

長定理是解題的關鍵.

【變式3-2]（2023春?天津河西?九年級校考期末）如圖，是直角△48C的內切圓，切點為D、E、F,若

AF=10,BE=3,則的面積為.

【答案】30

【分析】根據切線長定理得出8。=BE,AF=ADfCE=CF,設CE=CF=%,根據勾股定理得出工的值，

再利用三角形的面枳公式求得△48C的面枳即可二

【詳解】解：???。/是直角4?1。。的內切圓，且AF=10,BE=3,

：?BD=BE=3,AF=AD=10,CE=CF,

???AB=10+3=13,

設CE=CF=x,則BC=3+x,AC=10+x,

在RS48C中,AC2+BC2=AB2,即（10+X）2+（3+X）2=132,

解得x=2或％=-15V0（不符題意，舍去），

:.CE=2,

???BC=5,AC=12,

??.△ABC的面積為工=1x12x5=30,

22

故答案為：30.

【點睛】本題考查了切線長定理、勾股定理、一元二次方程的應用，熟記切線長定理是解題的關鍵.

【變式3-3]（2023春?甘肅金昌?九年級校考期末）如圖，在AjBC中，乙4=90。，AB=AC=2,。0是的

內切圓，它與48、BC、&4分別相切于點。、E、F.求。。的半徑.

BE

【答案】2-V2

【分析】首先連接。。、OF、OE,進而利用切線的性質得出乙。04=LOFA=41=90°,進而得出四邊形ODAF

是正方形，再利用勾股定理求出0。的半徑.

【詳解】解：連接00、OE.OF,

???00是448。的內切圓，切點為。、E、F,

：.LODA=/.OFA=^A=90°,

又?：0D=OF,

工四邊形。D4尸是正方.形，

設00=AD=AF=r,

則BE=BD=CF=CE=2-r,

在AABC中，乙4二90。，

:.BC=y/AB2+AC2=2V2,

又?；BC=BE+CE,

A(2-r)+(2-r)=2V2,

得：r=2—V2,

???0。的半徑是2-四.

【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質，切線長定理，正方形的性質和判定，解題的關鍵是掌握“圓的切

線垂直于經過切點的半徑”，“從圓外一點引圓的兩條切線，它父的切線長相等”.

【題型4由三角形的內心的有關應用】

【例4】(2023春?江蘇鹽城?九年級統考期中)如圖，點。是的內心,也是aOBC的外心.若41=84。,

則，D的度數()

D

A.42°B.66°C.76°D,82°

【答案】B

【分析】利用三角形內心的性質得。氏。。分別是角平分線，進而求出N80C的大小，再利用三角形外心的性

質得出Z8DC等于乙80。的一半，即可得出答案.

【詳解】解：連接。氏0C,如圖，

?.?點。是AABC的內心，Z/1=84°,

Z.0BC=-2/-ABC,Z2-OCB=-Z-ACB,

11

Z.0BC+Z.0CB——Z.ABC十—乙ACB

22

1

=-(Z.ABC+Z.ACB)

=j(1800-Z/l)=48°,

Z.B0C=180°-SOBC+NOCB)=132°,

?.?點O是AOBC的夕卜心，

ZD="0C=66°,

2

【點睛】本題主要考查了三角形的內心和三角形外心的性質，牢記以上知識點得出各角之間的關系是做出本

題的關鍵.

【變式4-1】（2023春?江蘇蘇州?九年級蘇州市振華中學校校考期中）如圖，點/為△ABC的內切圓的圓心，

連接4/并延長交△4BC的外接圓于點D,連接BD.已知40=5,BD=3,則4/的長為（）

【答案】A

【分析】由三角形內切圓的圓心為三條角平分線的交點，可知4=UBA=4BC,利用三角形外

角的性質可得43/0=LlAB+Z.IBA,利用同弧所對的圓周角相等可得乙IMC=乙DBC,進而可證乙/B0=

人BID,推出/D=8D=3,^\AI=AD-ID=5-3=2.

【詳解】解：???點/為△4BC的內切圓的圓心，

???伍平分Z84C,/8平分〃8C,

:.L1AB=Z.IAC,/-IBA=乙IBC,

vLIBD=/.IBC+Z-DBC,乙BID=ZJAB+ZJBA,Z.DAC=Z.DBC,

:.LlBD=乙BID,

:.ID=BD=3,

???AI=AD-ID=5-3=2,

故選C.

【點睛】本題考查三角形的內切圓、三角形外角的性質、圓周角定理、等腰三角形的性質等，難度一般，解

題的關鍵是通過導角證明N/8D=

【變式4-2](2023春?河北衡水?九年級校考期中)如圖,在△ABC中,^BAC=50°,點/是△ABC的內心，

(1)乙B1C=

(2)若B/的延長線與△力3C的外角乙4CD的平分線交于點E,當44C3=。時，CEIIAB.

【答案】11580

【分析】（1）根據三角形內角和求上UA8C+乙力C8=180°-LA=130°,根據B/、G分另U平分乙48C、匕4CB,

得出乙C8/乙BCI巖乙ACB,根據48%=180。一（4。8/+43。）求出結果即可；

（2）根據角平分線的性質求出NE=\Z-A=25。，根據當"BE=zF=25。時，CEWAB,得出此時乙ABC=

2Z-ABE=50°,求出〃CB=180）-/.ABC-=80°.

【詳解】解：（1）???在△4BC中，ABAC=50°,

：.Z.ABC+Z.ACB=180°-Z.A=130°,

???點/是△R8C的內心，

???B/、C7分別平分/ABC、乙ACB,

/.乙CBI=-/.ABC,Z.BCI=-Z-ACB,

22

:“BIC=180°-（乙CB1+乙BCI）

1

=180°--^ABC+^ACB）

乙

1

=180°--X130°

乙

=115。；

故答案為：115：

（2）TN/CO是△力的夕卜角，

Z.ACD=乙ABC4-乙A,

?1￡平分乙40），

/DCE=-22LACD="24ABC+-LA,

■:乙DCE=乙E+乙CBE,

:.zF+Z-CBE=-2Z-ABC+-2/-A,

：

'LCBE=-2Z-ABC,

:?/E=-2^A=25°,

???當乙4BE==250時，CEWAB,

???此時乙4BC=2LABE=50°,

：.LACB=180°-Z-ABC-/-A=80°.

故答案為：80.

【點睛】本題主要考查了內心的定義，角平分線的定義，三角形內角和定理，平行線的判定，解題的關鍵是

熟練掌握三角形的內心為三角形三個內角平分線的交點.

【變式4-3］（2023春,九年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，點4（0,6）,點B（8,0）,/是△。88的內

心，則

AB=；

(2)點/關于x軸對稱的點的坐標是.

【答案