人教版九年級上冊直線和圓的位置關系--切線長定理教學目標0102掌握切線長的定義及切線長定理.初步學會運用切線長定理進行計算與證明.

01重點：掌握切線長定理，初步學會運用切線長定理進行計算與證明.02難點：學會利用方程思想解決幾何問題，體驗數形結合思想.重難點引入新課同學們玩過空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球的旋轉的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數學圖形？新課導入POO.PBAAB問題1

上節課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線，如果點P是圓外一點，又怎么作該圓的切線呢？問題2

過圓外一點作圓的切線，可以作幾條？01切線長定理1、如何過⊙O外一點P畫出⊙O的切線？2、這樣的切線能畫出幾條？如下左圖，借助三角板，我們可以畫出PA是⊙O的切線.3、如果∠P=50°,求∠AOB的度數.50°130°BA

O.ABP思考：已畫出切線PA、PB，A、B為切點，則∠OAP=90°,連接OP，可知A、B除了在⊙O上，還在怎樣的圓上?如何用圓規和直尺作出這兩條切線呢？尺規作圖：過⊙O外一點作⊙O的切線O·PABOP1.切線長的定義：

切線上一點到切點之間的線段的長叫作這點到圓的切線長．AO①切線是直線，不能度量.②切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．2.切線長與切線的區別在哪里？在經過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.·OPAB切線與切線長是一回事嗎？它們有什么區別與聯系呢？切線長概念

切線和切線長是兩個不同的概念：

1、切線是一條與圓相切的直線，不能度量；

2、切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.OPAB比一比：切線與切線長

PA為⊙O的一條切線，沿著直線PO對折，設圓上與點A重合的點為B．OB是⊙O的一條半徑嗎？

PB是⊙O的切線嗎？（利用圖形軸對稱性解釋）

PA、PB有何關系？

∠APO和∠

BPO有何關系？PAOB觀察OPAB∟∟M⌒⌒12證明：∵PA、PB是⊙O的兩條切線.∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA=OB，OP=OP.∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2.作輔助線求證：PA=PB，∠APO=∠

BPO．定理證明知識要點

從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．PAOB切線長定理

連接圓心和切點是我們解決切線長定理相關問題時常用的輔助線．注意BPOA切線長定理

過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等.圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.PA、PB分別切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言:想一想：若連接兩切點A、B，AB交OP于點M.你又能得出什么新的結論?并給出證明.OP垂直平分AB.證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點A，B是切點。

∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB.

∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線。

∴OP垂直平分AB.O.PABM想一想：若延長PO交⊙O于點C，連接CA、CB，你又能得出什么新的結論?并給出證明.證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點A，B是切點。

∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB.

∴PC=PC.

∴△PCA≌△PCB。

∴AC=BC.CA=CBO.PABCBOPAHDC切線長定理的推論PO垂直平分ABPA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交⊙O于點D、E，交AB于點C.（1）寫出圖中所有的垂直關系；OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.（3）寫出圖中所有的全等三角形；△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.（4）寫出圖中所有的等腰三角形.△APB△AOB（2）寫出圖中與∠OAC相等的角；∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.BPOACED★切線長問題輔助線添加方法（3）連接圓心和圓外一點.（2）連接兩切點；（1）分別連接圓心和切點；拓展結論例已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切于點E、F、G、H.求證：AB+CD=AD+BC.·ABCDO證明：∵AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切于點E、F、G、H。EFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.切線長定理的應用考點BPOAPA、PB是☉O的兩條切線，A,B是切點，OA=3.（1）若AP=4,則OP=

;（2）若∠BPA=60°,則OP=

.56例為了測量一個圓形鐵環的半徑，某同學采用了如下辦法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到相關數據，進而可求得鐵環的半徑，若三角板與圓相切且測得PA=5cm，求鐵環的半徑．分析：欲求半徑OP，取圓的圓心為O，連OA、OP，由切線性質知△OPA為直角三角形，從而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半徑．O切線長定理在生活中的應用考點BC在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°。OQ解：過O作OQ⊥AB于Q，設鐵環的圓心為O，連接OP、OA.∵AP、AQ為⊙O的切線。∴AO為∠PAQ的平分線，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°。∴∠PAO＝∠QAO＝60°.即鐵環的半徑為BC02三角形的內切圓

小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？三角形的內切圓及作法知識點問題1:如果最大圓存在，它與三角形三邊應有怎樣的位置關系？

OOOO最大的圓與三角形三邊都相切三角形角平分線的這個性質，你還記得嗎？問題2:如何求作一個圓，使它與已知三角形的三邊都相切？

(1)如果半徑為r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么圓心I應滿足什么條件？(2)在△ABC的內部，如何找到滿足條件的圓心I呢？

圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.三角形三條角平分線交于一點，這一點與三角形的三邊距離相等.圓心I應是三角形的三條角平分線的交點.為什么呢？問題：

如何作圓，使它和已知三角形的各邊都相切？已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓.MND作法：（1）作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點為O.（2）過點O作OD⊥BC,垂足為D.（3）以點O為圓心，OD為半徑作圓O.⊙O就是所求作的圓.ACB做一做1.與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內切圓.2.三角形內切圓的圓心叫做這個三角形的內心.3.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.BACI

☉I是△ABC的內切圓，點I是△ABC的內心，△ABC是☉I的外切三角形.例

已知:△ABC(如圖),(1)求作△ABC的內切圓☉I(要求:用尺規作圖,保留作圖痕跡,寫出作法,不要求證明).(2)在題(1)已經作好的圖中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度數.三角形的內切圓的作法考點解析：(1)①以A為圓心、任意長為半徑畫圓,分別交AC、AB于點H、G;②分別以H、G為圓心,以大于HG的長為半徑畫圓,兩圓相交于K點,連接AK,則AK即為∠BAC的平分線;③同理作出∠ABC的平分線BF,交AK于點I,則I即為△ABC內切圓的圓心;④過I作IM⊥BC于M,以I為圓心,IM為半徑畫圓,則☉I即為所求圓.(2)∵∠BAC=88°∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=×92°=46°∴∠BIC=180°-46°=134°.△ABC的內切圓半徑為r，△ABC的周長為l，求△ABC的面積.（提示：設內心為O，連接OA、OB、OC.）解：設AB=c，BC=a，AC=b.CAB·ODMNrrr則S△OBC=

ar,S△OBA=

cr,S△OAC=br。S△ABC=S△OBC+S△OBA+S△OAC=

ar+cr+br=

r（a+c+b）=lr.BACI問題1如圖，☉I是△ABC的內切圓，那么線段IA，IB,IC有什么特點？線段IA，IB,IC分別是∠A，∠B，∠C的平分線.三角形的內心的定義和性質知識點BACI問題2如圖，分別過點作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為E、F，G，那么線段IE、IF、IG之間有什么關系？EFGIE=IF=IG三角形內心的性質三角形的內心在三角形的角平分線上.三角形的內心到三角形的三邊距離相等.BACIEFG

IA，IB，IC是△ABC的角平分線，IE=IF=IG.例如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點I是△ABC的內心，求∠

BIC的度數.解：連接IB，IC.ABCI∵點I是△ABC的內心。∴IB，IC分別是∠

B，∠C的平分線。在△IBC中，利用三角形內心的性質求角度考點如圖,在△ABC中,點P是△ABC的內心,則∠PBC+∠PCA+∠PAB=

.解析：∵點P是△ABC的內心。∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB。∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.90°名稱確定方法圖形性質外心：三角形外接圓的圓心內心：三角形內切圓的圓心三角形三邊垂直平分線的交點1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內部．三角形三條角平分線的交點1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.內心在三角形內部．外心與內心的區別：ABOABCOC03鞏固總結A2.如圖，已知點O是△ABC

的內心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,則∠BOC=

.1.如圖，PA、PB是☉O的兩條切線，切點分別是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,則∠APO=

,PB=

.BPOA第1題BCO第2題20°4110°基礎鞏固題（3）若∠BIC=100°，則∠A=

度.（2）若∠A=80°，則∠BIC=

度.130203.如圖，在△ABC中，點I是內心.

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____.ABCI（4）試探索：∠A與∠BIC之間存在怎樣的數量關系？120°如圖所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于E，與AC相切于點D.求證：DE∥OC.證明：連接OD.∵AC切⊙O