第21頁（共21頁）2024-2025學年下學期初中數學人教版九年級期中必刷常考題之相似三角形一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?界首市期末）如圖，小明在練習本上畫出直線a∥b∥c，直線m，n分別與直線a，b，c交于點A，B，C，D，E，F，則下列比例式錯誤的是（）A．ABAC=DEDF B．ABBC=DEEF2．（2024秋?阜陽期末）下列各條件中，能判斷△ABC∽△A′B′C′的是（）A．AB＝A′B′，∠A＝∠A′ B．ABA'B'=BCC．ABBC=A'B'B'C'，∠A+D．∠A＝40°，∠B＝80°，∠A′＝80°，∠B′＝70°3．（2024秋?曲阜市期末）如圖所示，某校數學興趣小組利用標桿BE測量建筑物的高度，已知標桿BE高1.5m，測得AB＝1m，BC＝9m，則建筑物CD的高是（）A．13.5m B．15m C．16.5m D．18m4．（2024秋?內鄉縣期末）如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC長12cm，BC邊上的高AD為10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊GH在BC上，其余兩個頂點E、F分別在AB、AC上，則這個正方形零件的邊長是（）A．6011cm B．5cm C．6cm D．75．（2024秋?未央區期末）如圖，在正方形ABCD中，M為BC上一點，ME⊥AM，ME交AD的延長線于點E．若AB＝12，BM＝5，則DE的長為（）A．965 B．1095 C．253 二．填空題（共5小題）6．（2025?南山區校級一模）如圖，D是△ABC的邊AB上的一點，BD=43，AB＝3，BC＝2．若CD=53，則AC7．（2024秋?江北區校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB上一點，連接CD，滿足∠A＝∠BCD，點E為AB中點，連接CE．若BD＝1，CD＝2，則CE的長為．8．（2024秋?哈爾濱期末）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝5，則AC的長為．9．（2024秋?石景山區期末）如圖，直線AB∥EF∥CD，EF分別交AD，BC于點E，F．若AE＝1，ED＝2，則BFFC的值為10．（2024秋?芝罘區期末）矩形ABCD中，點E是BC的中點，DF⊥AE于點F，若CE＝3，CF＝4，則DF的長度是．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?寧強縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，點G在AB的延長線上，聯結DG，分別交AC、BC于點E、F，且AE：CE＝3：2．（1）求BG的長；（2）如果S△BGF＝3，求四邊形ABFD的面積．12．（2024秋?碑林區校級期末）在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于E，∠CAB＝∠CBD，已知AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5，求DE的長．13．（2024秋?寧強縣期末）如圖，教學樓旁邊有一棵大樹，課外興趣小組的同學在陽光下測得一根長為1米的竹竿的影長為1.2米，同一時刻這棵樹落在地面上的影長為1.8米，落在墻上的影長為1.5米，求樹高．14．（2024秋?未央區期末）如圖，在△ABC中，∠C＝∠ADE，AB＝3，AD＝2，AC＝8，求AE的長．15．（2024秋?未央區期末）《黑神話：悟空》在全球上線迅速吸引了全球游戲愛好者的目光，游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蘊．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，某實踐小組欲測量飛紅塔的高度AB．如圖，塔前有一棵高4米的小樹CD，發現水平地面上點E，樹頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測得BD＝64.5米，D，E之間有一個花圃距離無法測量；在點E處放置一平面鏡（平面鏡的大小忽略不計），沿BE所在直線后退，退到點G處恰好在平面鏡中看到樹頂C的像（∠CED＝∠FEG），GE＝2.4米，測量者眼睛到地面的距離FG為1.6米．已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，且點B，D，E，G在同一水平線上．求飛虹塔的高度AB．

2024-2025學年下學期初中數學人教版九年級期中必刷常考題之相似三角形參考答案與試題解析題號12345答案CCBAB一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?界首市期末）如圖，小明在練習本上畫出直線a∥b∥c，直線m，n分別與直線a，b，c交于點A，B，C，D，E，F，則下列比例式錯誤的是（）A．ABAC=DEDF B．ABBC=DEEF【考點】平行線分線段成比例．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】C【分析】根據平行線分線段成比例定理解答．【解答】解：A．∵a∥b∥c，∴ABACB、∵a∥b∥c，∴ABBCC、∵線段不是直線m，n上的線段，∴ADBE與BED、∵a∥b∥c，∴BCEF故選：C．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，找出對應線段是解題的關鍵．2．（2024秋?阜陽期末）下列各條件中，能判斷△ABC∽△A′B′C′的是（）A．AB＝A′B′，∠A＝∠A′ B．ABA'B'=BCC．ABBC=A'B'B'C'，∠A+D．∠A＝40°，∠B＝80°，∠A′＝80°，∠B′＝70°【考點】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根據相似三角形的判定條件對各選項進行分析即可．【解答】解：A、∵AB＝A′B′，∠A＝∠A′，只有一角一邊，∴無法判斷兩個三角形相似，故本選項錯誤，不符合題意；B、∵ABA'B'=BCA'C'，∠B＝∠B′，∠∴無法判斷兩個三角形相似，故本選項錯誤，不符合題意；C、由∠A+∠C＝∠A′+∠C′，可得∠B＝∠B′，再由ABBC=A兩組對應邊成比例且其夾角相等的兩個三角形相似，可判斷△ABC∽△A′B′C′，故本選項正確，符合題意；D、由∠A＝40°，∠B＝80°，可得∠C＝60°，由∠A′＝80°，∠B′＝70°，可得∠C′＝30°，只有∠B＝∠A′＝80°，無法得△ABC∽△A′B′C′，故本選項錯誤，不符合題意．故選：C．【點評】本題主要考查相似三角形的判定，解答的關鍵是熟記相似三角形的判定條件．兩角對應相等的兩個三角形相似；兩組對應邊成比例且其夾角相等的兩個三角形相似．3．（2024秋?曲阜市期末）如圖所示，某校數學興趣小組利用標桿BE測量建筑物的高度，已知標桿BE高1.5m，測得AB＝1m，BC＝9m，則建筑物CD的高是（）A．13.5m B．15m C．16.5m D．18m【考點】相似三角形的應用．【專題】圖形的相似；運算能力．【答案】B【分析】根據題意可得：EB⊥AC，CD⊥AC，從而利用垂直定義可得：∠ABE＝∠ACD＝90°，然后證明A字模型△ABE∽△ACD，從而利用相似三角形的性質進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：EB⊥AC，CD⊥AC，∴∠ABE＝∠ACD＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC∴11+9解得：CD＝15，∴建筑物CD的高是15m，故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關鍵．4．（2024秋?內鄉縣期末）如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC長12cm，BC邊上的高AD為10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊GH在BC上，其余兩個頂點E、F分別在AB、AC上，則這個正方形零件的邊長是（）A．6011cm B．5cm C．6cm D．7【考點】相似三角形的應用．【專題】推理能力．【答案】A【分析】證明△AEF∽△ABC，則EFBC=AKAD，設正方形零件EFHG的邊長為x，則AK＝10﹣【解答】解：∵四邊形EFHG是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，又∵AD⊥BC，∴EFBC設正方形零件EFHG的邊長為xcm，則AK＝（10﹣x）cm，∴x12解得：x=即這個正方形零件的邊長為6011故選：A．【點評】本題主要考查相似三角形的應用，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．5．（2024秋?未央區期末）如圖，在正方形ABCD中，M為BC上一點，ME⊥AM，ME交AD的延長線于點E．若AB＝12，BM＝5，則DE的長為（）A．965 B．1095 C．253 【考點】相似三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質．【專題】三角形．【答案】B【分析】勾股定理求出AM的長，證明△ABM∽△EMA，列出比例式，求出AE的長，進而求出DE的長即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝12，∠B＝∠BAD＝90°，∴AM=∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°＝∠B，∴△ABM∽△EMA，∴AEAM∴AE=∴DE=故選：B．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．二．填空題（共5小題）6．（2025?南山區校級一模）如圖，D是△ABC的邊AB上的一點，BD=43，AB＝3，BC＝2．若CD=53，則AC【考點】相似三角形的判定與性質．【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】52【分析】由BD=43，AB＝3，BC＝2，得BDBC=BCAB=23，因為∠B＝∠B，所以△CBD∽△【解答】解：∵BD=43，AB＝3，BC＝∴BDBC=4∴BDBC∵∠B＝∠B，∴△CBD∽△ABC，∴CDAC∵CD=5∴AC=32CD故答案為：52【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質，適當選擇相似三角形的判定定理證明△CBD∽△ABC是解題的關鍵．7．（2024秋?江北區校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB上一點，連接CD，滿足∠A＝∠BCD，點E為AB中點，連接CE．若BD＝1，CD＝2，則CE的長為52【考點】相似三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】52【分析】由∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，證明△ABC∽△CBD，則∠ACB＝∠CDB＝90°，ABCB=CBBD，因為BD＝1，CD＝2，所以CB2＝BD2+CD2＝5，則AB=CB2BD=5，而點【解答】解：∵∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴∠ACB＝∠CDB，ABCB∵∠ACB＝90°，BD＝1，CD＝2，∴∠CDB＝90°，∴CB2＝BD2+CD2＝12+22＝5，∴AB=CB∵點E為AB中點，∴CE=12AB=1故答案為：52【點評】此題重點考查勾股定理、相似三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，證明△ABC∽△CBD是解題的關鍵．8．（2024秋?哈爾濱期末）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝5，則AC的長為26．【考點】相似三角形的判定與性質．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】根據相似三角形的判定方法證明△ACD∽△ABC，再根據相似三角形的性質得到AD：AC＝AC：AB，然后根據比例的性質可求出AC的長．【解答】解：∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴AD：AC＝AC：AB，即3：AC＝AC：（3+5），解得AC＝26或AC＝﹣26（舍去），即AC的長為26．故答案為：26．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用；利用相似三角形的性質解決角和線段之間的關系．9．（2024秋?石景山區期末）如圖，直線AB∥EF∥CD，EF分別交AD，BC于點E，F．若AE＝1，ED＝2，則BFFC的值為12【考點】平行線分線段成比例．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】根據三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例解答即可．【解答】解：∵AB∥EF∥CD，AE＝1，ED＝2，∴BFFC故答案為：12【點評】本題考查了平行線分線段成比例，解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例定理．10．（2024秋?芝罘區期末）矩形ABCD中，點E是BC的中點，DF⊥AE于點F，若CE＝3，CF＝4，則DF的長度是245【考點】相似三角形的判定與性質；矩形的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】245【分析】延長AE、DC交于點H，由點E是BC的中點，CE＝3，得BE＝CE＝3，由矩形的性質得AB∥DC，AB＝DC，AD＝BC＝2CE＝6，則∠BAE＝∠H，可證明△ABE≌△HCE，得AB＝HC，所以DC＝HC，由DF⊥AE于點F，得∠AFD＝∠DFH＝90°，所以HD＝2CF＝8，求得AH=AD2+HD2=10，再證明△AFD∽△ADH【解答】解：延長AE、DC交于點H，∵點E是BC的中點，CE＝3，CF＝4，∴BE＝CE＝3，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD＝BC＝2CE＝6，∠ADH＝90°，∴∠BAE＝∠H，在△ABE和△HCE中，∠BAE∴△ABE≌△HCE（AAS），∴AB＝HC，∴DC＝HC，∵DF⊥AE于點F，∴∠AFD＝∠DFH＝90°，∴HD＝2CF＝8，∴AH=AD∵∠AFD＝∠ADH，∠FAD＝∠DAH，∴△AFD∽△ADH，∴DFHD∴DF=35HD=3故答案為：245【點評】此題重點考查矩形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理、相似三角形的判定與性質等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?寧強縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，點G在AB的延長線上，聯結DG，分別交AC、BC于點E、F，且AE：CE＝3：2．（1）求BG的長；（2）如果S△BGF＝3，求四邊形ABFD的面積．【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的相似；運算能力．【答案】（1）3；（2）24．【分析】（1）首先根據平行四邊形的性質得到CD＝AB＝6，AB∥CD，然后證明出△AEG∽△CED，利用相似三角形的性質得到AG＝9，進而求解即可；（2）首先根據平行四邊形的性質得到AD∥BC，然后證明出△GBF∽△GAD，然后利用相似三角形的性質得到S△GAD＝27，進而求解即可．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD，∴△AEG∽△CED，∴AECE=AG解得AG＝9，∴BG＝AG﹣AB＝9﹣6＝3；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴△GBF∽△GAD，∴S△GBFS解得S△GAD＝27，∴四邊形ABFD的面積＝S△ADG﹣S△BGF＝27﹣3＝24．【點評】此題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．12．（2024秋?碑林區校級期末）在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于E，∠CAB＝∠CBD，已知AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5，求DE的長．【考點】相似三角形的判定與性質．【答案】見試題解答內容【分析】證△CBA∽△CEB，得出ABBE=AC【解答】解：∵在△CBE與△CAB中，∠BCA＝∠BCA，∠CAB＝∠CBD，∴△CBA∽△CEB，∴ABBE∴4BEBE=10∴DE＝BD﹣BE＝5.5-10【點評】本題考查了相似三角形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是求出BE的長，題目比較好，難度適中．13．（2024秋?寧強縣期末）如圖，教學樓旁邊有一棵大樹，課外興趣小組的同學在陽光下測得一根長為1米的竹竿的影長為1.2米，同一時刻這棵樹落在地面上的影長為1.8米，落在墻上的影長為1.5米，求樹高．【考點】相似三角形的應用．【專題】圖形的相似；運算能力．【答案】樹高為3米．【分析】先求出墻上的影高CD落在地面上時的長度，再設樹高為h，根據同一時刻物高與影長成關系式求出h的值即可．【解答】解：設墻上的影高CD落在地面上時的長度為xm，樹高為hm，∵長為1米的竹竿的影長為1.2米，落在墻上的影長為1.5米，∴11.2解得x＝1.8，經檢驗x＝1.8是所列方程的根．∴樹的影長為：1.8+1.8＝3.6（m），∴11.2解得h＝3（m）．答：樹高為3米．【點評】本題主要利用相似三角形對應邊成比例的性質求解，明確把影長分為兩部分計算，然后再求和就是樹的高度是解題的關鍵．14．（2024秋?未央區期末）如圖，在△ABC中，∠C＝∠ADE，AB＝3，AD＝2，AC＝8，求AE的長．【考點】相似三角形的判定與性質．【專題】三角形．【答案】34【分析】先證明△ADE∽△ACB，再根據相似三角形的性質得出AEAB【解答】解：∵∠C＝∠ADE，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AEAB∵AB＝3，AD＝2，AC＝8，∴AE3∴AE=【點評】本題考查相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．15．（2024秋?未央區期末）《黑神話：悟空》在全球上線迅速吸引了全球游戲愛好者的目光，游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蘊．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，某實踐小組欲測量飛紅塔的高度AB．如圖，塔前有一棵高4米的小樹CD，發現水平地面上點E，樹頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測得BD＝64.5米，D，E之間有一個花圃距離無法測量；在點E處放置一平面鏡（平面鏡的大小忽略不計），沿BE所在直線后退，退到點G處恰好在平面鏡中看到樹頂C的像（∠CED＝∠FEG），GE＝2.4米，測量者眼睛到地面的距離FG為1.6米．已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，且點B，D，E，G在同一水平線上．求飛虹塔的高度AB．【考點】相似三角形的應用．【專題】圖形的相似；應用意識．【答案】47米．【分析】由△CDE∽△FGE得CDFG=DEGE，即得DE＝6米，進而得BE＝BD+DE＝70.5米，由△CDE∽△【解答】解：∵∠CED＝∠FEG，∠CDE＝∠FGE＝90°，∴△CDE∽△FGE，∴CDFG∴41.6∴DE＝6米，∴BE＝BD+DE＝64.5+6＝70.5米，∵∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE＝90°，∴△CDE∽△ABE，∴CDAB∴4AB∴AB＝47米，答：飛虹塔的高度AB為47米．【點評】本題考查了相似三角形的應用，掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．

考點卡片1．直角三角形斜邊上的中線（1）性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．3．平行四邊形的性質（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．4．矩形的性質（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質①平行四邊形的性質矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質，可以得到直角三角形的一個重要性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．5．正方形的性質（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．6．平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．（2）推論1：如