第23頁（共23頁）2024-2025學年下學期初中數學華東師大新版九年級期中必刷常考題之圓的對稱性質一．選擇題（共5小題）1．（2025?長沙一模）要測一個殘損輪子的半徑，小麗的方案如下：如圖，在輪子圓弧上任取兩點A，B，再作弦AB的垂直平分線交AB于點C，交圓弧于點D，測出AB和CD的長度，即可計算出輪子的半徑．若測得AB＝48cm，CD＝12cm，則輪子的半徑為（）A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm2．（2025?碑林區校級一模）如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB與弦CD位于圓心O的異側，AB∥CD，CD＝6，在AB上取點E，連結EO并延長交CD于點F．若OE：OF＝1：2，則AB的長為（）A．12 B．221 C．6 D．3．（2024秋?沂源縣期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），直線y＝kx﹣3k+4（k≠0）與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為（）A．10 B．12 C．18 D．244．（2024秋?桓臺縣期末）如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，弦CE∥AB，∠BOD＝112°，則CE的度數為（）A．38° B．44° C．48° D．54°5．（2024秋?蓬萊區期末）將一小球放在長方體盒子中，小球的一部分露在盒外，其截面如圖所示，已知EF＝8，CD＝8，則此小球的直徑是（）A．4 B．5 C．8 D．10二．填空題（共5小題）6．（2024秋?朝陽區期末）在半徑為5的圓中，有兩條弦的長分別為6和8，這兩條弦的中點的距離x的取值范圍是．7．（2024秋?海曙區期末）已知⊙M與x軸交于點A（2，0），B（﹣6，0），與y軸交于點C（0，4），D（0，﹣3），則圓心M的坐標是．8．（2024秋?萊州市期末）如圖，“筒車”盛水筒的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O在水面上方，且當圓被水面截得的弦AB為6米時，圓心到水面AB的距離為4米，則該圓在水面下的最深處到水面的距離為米．9．（2024秋?南關區校級期末）如圖，在⊙O中，弦AB=23，圓心O到AB的距離OC＝1，則⊙O的半徑為10．（2024秋?天門期末）如圖，是一個隧道的橫截面，它的形狀是以O為圓心的圓的一部分，CO⊥AB，垂足為M，路面AB寬為6m，若圓的半徑為5m，則隧道的最大高度CM＝m．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?合川區期末）如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點C，D，OE是半徑，且OE⊥AB于點F．（1）若CD＝5，EF=32，求（2）求證：AC＝BD．12．（2024秋?桓臺縣期末）如圖，AB，DE是⊙O的直徑，AC∥DE，AC與⊙O相交于點C．BE與EC的大小有什么關系？為什么？13．（2024秋?招遠市期末）如圖1，裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB＝50cm，MN為水面截線，MN＝48cm，GH為桌面截線，MN//GH．（1）作OC⊥MN于點C，求OC的長；（2）將圖1中的水倒出一部分得到圖2，發現水面高度下降了13cm，求此時水面截線減少了多少？14．（2024秋?陽谷縣期末）明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了“筒車”（見圖1，一種水利灌溉工具）的工作原理．如圖2，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為8米，⊙O半徑長為6米，若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是多少？15．（2024秋?信陽期末）如圖2是根據圖1中的石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，設AB所在圓的圓心為O，拱頂為點C，OC⊥AB交AB于點D，連接OB．當橋下水面寬AB＝8m時，CD＝2m．（1）求這座石拱橋主橋拱的半徑；（2）有一條寬為7m，高出水面1m的矩形漁船，請你判斷一下，此漁船能否順利通過這座拱橋？并說明理由．

2024-2025學年下學期初中數學華東師大新版九年級期中必刷常考題之圓的對稱性質參考答案與試題解析題號12345答案BBDBB一．選擇題（共5小題）1．（2025?長沙一模）要測一個殘損輪子的半徑，小麗的方案如下：如圖，在輪子圓弧上任取兩點A，B，再作弦AB的垂直平分線交AB于點C，交圓弧于點D，測出AB和CD的長度，即可計算出輪子的半徑．若測得AB＝48cm，CD＝12cm，則輪子的半徑為（）A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm【考點】垂徑定理的應用；線段垂直平分線的性質；勾股定理的應用．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力；推理能力．【答案】B【分析】由垂徑定理，可得出BC的長；連接OB，在Rt△OBC中，可用半徑OB表示出OC的長，進而可根據勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的直徑長．【解答】解：設圓心為O，連接OB．Rt△OBC中，BC=12AB＝24根據勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，即：（OB﹣12）2+242＝OB2，解得：OB＝30；故輪子的半徑為30cm．故選：B．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．2．（2025?碑林區校級一模）如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB與弦CD位于圓心O的異側，AB∥CD，CD＝6，在AB上取點E，連結EO并延長交CD于點F．若OE：OF＝1：2，則AB的長為（）A．12 B．221 C．6 D．【考點】垂徑定理；相似三角形的判定與性質；勾股定理．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．【答案】B【分析】連接OB，OD，根據AB∥CD，可得△MEO∽△NFO，即可得到OMON=OEOF=【解答】解：連接OB，OD，作MN⊥CD于點N，∵AB∥CD，∴△MEO∽△NFO，MN⊥AB，∴OMON∵MN⊥CD，∴ND=在Rt△OND中，ON=52∴OM=在Rt△MBO中，MB=5AB=2故選：B．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵．3．（2024秋?沂源縣期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），直線y＝kx﹣3k+4（k≠0）與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為（）A．10 B．12 C．18 D．24【考點】垂徑定理；一次函數的性質；一次函數圖象上點的坐標特征；勾股定理．【專題】一次函數及其應用；圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】D【分析】根據直線y＝kx﹣3k+4必過點D（3，4），求出最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦，再求出OD的長，再根據以原點O為圓心的圓過點A（13，0），求出OB的長，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．【解答】解：連接OB，當x＝3時，kx﹣3k+4＝4，∴直線y＝kx﹣3k+4必過點D（3，4），∴最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦，∵點D的坐標是（3，4），∴OD=32∵以原點O為圓心的圓過點A（13，0），∴圓的半徑為13，∴OB＝13，∴BD=OB∴BC＝2BD＝24，∴BC的長的最小值為24；故選：D．【點評】此題考查的是垂徑定理，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理、圓的有關性質，關鍵是求出BC最短時的位置．4．（2024秋?桓臺縣期末）如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，弦CE∥AB，∠BOD＝112°，則CE的度數為（）A．38° B．44° C．48° D．54°【考點】圓心角、弧、弦的關系；對頂角、鄰補角；平行線的性質；三角形內角和定理；等腰三角形的性質．【答案】B【分析】由對頂角相等得∠AOC＝∠BOD＝112°，由CE∥AB得到∠DCE＝180°﹣∠AOC＝68°，由OC＝OE得到∠OCE＝∠OEC＝68°，即可求出∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝44°，得到CE的度數．【解答】解：如圖，連接OE，∵∠BOD＝112°，∴∠AOC＝112°，∠AOD＝180°﹣112°＝68°，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠AOD＝68°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC＝68°，∴∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝44°，∴CE的度數為44°．故選：B．【點評】此題考查了平行線的性質、等腰三角形的判定和性質、三角形內角和定理、圓心角和弧的度數的關系等知識，熟練掌握圓心角和弧的度數的關系是解題的關鍵．5．（2024秋?蓬萊區期末）將一小球放在長方體盒子中，小球的一部分露在盒外，其截面如圖所示，已知EF＝8，CD＝8，則此小球的直徑是（）A．4 B．5 C．8 D．10【考點】垂徑定理的應用；勾股定理．【專題】圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】B【分析】設小球與BC切于點G，取小球所在視圖的圓的圓心為O，連接GO并延長交⊙O于點H，交EF于點K，連接OE，則GK⊥EF，根據垂徑定理得到EK=FK=12EF=4，OE＝OG＝CD﹣OK＝8﹣OK，在Rt△EOK中由勾股定理列式OE2【解答】解：設小球與BC切于點G，取小球所在視圖的圓的圓心為O，連接GO并延長交⊙O于點H，交EF于點K，連接OE，則GK⊥EF，∴EK=FK=12EF=4，OE＝OG＝CD在Rt△EOK中，（8﹣OK）2＝42+OK2，解得，OK＝3，∴OE＝OG＝5，故選：B．【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理的運用，掌握垂徑定理是解題的關鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?朝陽區期末）在半徑為5的圓中，有兩條弦的長分別為6和8，這兩條弦的中點的距離x的取值范圍是1≤x≤7．【考點】垂徑定理．【專題】圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】1≤x≤7．【分析】過點O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連結OB、OD，如圖，根據垂徑定理得到AE＝BE＝3，CF＝DF＝4，再利用勾股定理計算出OE＝4，OF＝3，所以點E在以O點為圓心，4為半徑的圓上；點E在以O點為圓心，3為半徑的圓上，然后求出兩圓上兩點之間的最小距離和最大距離即可．【解答】解：過點O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連結OB、OD，如圖，AB＝6，CD＝8，則AE＝BE=12AB＝3，CF＝DF=12在Rt△OBE中，OE=OB在Rt△ODF中，OF=OD∴點E在以O點為圓心，4為半徑的圓上；點E在以O點為圓心，3為半徑的圓上，∵兩圓上兩點之間的最小距離為4﹣3＝1；兩圓上兩點之間的最大距離為4+3＝7，∴x的取值范圍為1≤x≤7．故答案為：1≤x≤7．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．7．（2024秋?海曙區期末）已知⊙M與x軸交于點A（2，0），B（﹣6，0），與y軸交于點C（0，4），D（0，﹣3），則圓心M的坐標是M（﹣2，12）【考點】垂徑定理；坐標與圖形性質．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．【答案】見試題解答內容【分析】根據點的坐標，畫出圖形，利用垂徑定理及中點坐標公式求出點M的坐標即可．【解答】解：如圖，由垂徑定理可知點M的橫坐標為-6+22=-2∴M（﹣2，12故答案為：M（﹣2，12【點評】本題考查了垂徑定理、坐標與圖形性質，畫出圖形是解答本題的關鍵．8．（2024秋?萊州市期末）如圖，“筒車”盛水筒的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O在水面上方，且當圓被水面截得的弦AB為6米時，圓心到水面AB的距離為4米，則該圓在水面下的最深處到水面的距離為1米．【考點】垂徑定理的應用；勾股定理的應用．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．【答案】1．【分析】如圖，作OD⊥AB于點E，交⊙O于點D，設圓的半徑為r米，利用勾股定理構建求解即可．【解答】解：如圖，過點O作OD⊥AB交AB于點E，交⊙O于點D，如圖，∵OD⊥AB，∴AE=根據題意得：OE＝4米，設圓的半徑為r米，則r=∵圓心到水面AB的距離為4米，∴5﹣4＝1（米），∴該圓在水面下的最深處到水面的距離為1米，故答案為：1．【點評】本題考查垂徑定理和勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．9．（2024秋?南關區校級期末）如圖，在⊙O中，弦AB=23，圓心O到AB的距離OC＝1，則⊙O的半徑為2【考點】垂徑定理．【專題】圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】由圓心O到AB的距離OC＝1可得OC⊥AB，根據垂徑定理得到AC＝BC=3，然后根據勾股定理計算OB【解答】解：根據題意得OC⊥AB，∴∠BCO＝90°，AC＝BC=12AB在Rt△BOC中，OB=OC即⊙O的半徑長為2．故答案為：2．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．10．（2024秋?天門期末）如圖，是一個隧道的橫截面，它的形狀是以O為圓心的圓的一部分，CO⊥AB，垂足為M，路面AB寬為6m，若圓的半徑為5m，則隧道的最大高度CM＝9m．【考點】垂徑定理；勾股定理的應用．【專題】與圓有關的計算；運算能力．【答案】9．【分析】連接OA，由垂徑定理求出AM，在Rt△AMO中利用勾股定理求出OM，根據CM＝OC+OM計算即可．【解答】解：如圖，連接OA，則OA＝OC＝5m．∵CO⊥AB，AB＝6m，∴AM=12AB＝3在Rt△AMO中利用勾股定理，得OM=OA2-∴CM＝OC+OM＝5+4＝9（m），∴隧道的最大高度CM＝9m．故答案為：9．【點評】本題考查垂徑定理、勾股定理的應用，掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?合川區期末）如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點C，D，OE是半徑，且OE⊥AB于點F．（1）若CD＝5，EF=32，求（2）求證：AC＝BD．【考點】垂徑定理；勾股定理．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】（1）176（2）見解析．【分析】（1）由垂徑定理得CF=DF=12CD=52，設CO＝r，由勾股定理得（2）由等腰三角形的性質得AF＝BF，即可得證．【解答】（1）解：由題意可得：CF=設CO＝r，則OF=∵CF2+OF2＝OC2，∴(r∴r=∴⊙O的半徑為176（2）證明：∵OA＝OB，OF⊥AB，∴AF＝BF，由（1）得CF＝DF，∴AF﹣CF＝BF﹣DF，∴AC＝BD．【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，能熟練利用勾股定理進行求解是解題的關鍵．12．（2024秋?桓臺縣期末）如圖，AB，DE是⊙O的直徑，AC∥DE，AC與⊙O相交于點C．BE與EC的大小有什么關系？為什么？【考點】圓心角、弧、弦的關系．【專題】圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】證明見解析．【分析】連接OC，由等腰三角形的性質推出∠A＝∠OCA，由平行線的性質推出∠BOE＝∠A，∠COE＝∠OCA，因此∠BOE＝∠COE，即可證明BE＝EC．【解答】解：BE＝EC，理由如下：連接OC，∵AO＝CO，∴∠A＝∠OCA，∵AC∥DE，∴∠BOE＝∠A，∠COE＝∠OCA，∴∠BOE＝∠COE，∴BE＝EC．【點評】本題考查圓心角、弧、弦的關系，關鍵是掌握在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．13．（2024秋?招遠市期末）如圖1，裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB＝50cm，MN為水面截線，MN＝48cm，GH為桌面截線，MN//GH．（1）作OC⊥MN于點C，求OC的長；（2）將圖1中的水倒出一部分得到圖2，發現水面高度下降了13cm，求此時水面截線減少了多少？【考點】垂徑定理的應用；勾股定理的應用．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．【答案】（1）OC的長7cm；（2）此時水面截線減少了18cm．【分析】（1）如圖1：連接OM，由圓的性質可得OM＝25cm，再利用垂徑定理得出MC＝24cm，再運用勾股定理計算即可解答；（2）如圖2：過點O作OD⊥EF，垂足為點D，連接OE，利用勾股定理求出ED＝15，再利用垂徑定理得出EF＝2ED＝2×15＝30，最后MN與EF相減即可解答．【解答】解：（1）如圖1：連接OM，∵AB＝50，∴OM＝25cm，∵OC⊥MN，∴∠OCM＝90°，MC＝NC=12MN=12在Rt△OMC中，根據勾股定理得：OC2+242＝252，解得：OC＝7，∴OC的長7cm．（2）如圖2：過點O作OD⊥EF，垂足為點D，連接OE，∴∠ODE＝90°，EF＝2ED由題意可知：OD＝7+13＝20cm在Rt△OED中，根據勾股定理得：202+ED2＝252，解得：ED＝15，∴EF＝2ED＝2×15＝30，∴48﹣30＝18，∴此時水面截線減少了18cm．【點評】本題主要考查了垂徑定理的實際應用、勾股定理的應用等知識點，理解垂徑定理是解題的關鍵．14．（2024秋?陽谷縣期末）明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了“筒車”（見圖1，一種水利灌溉工具）的工作原理．如圖2，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為8米，⊙O半徑長為6米，若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是多少？【考點】垂徑定理的應用；勾股定理．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．【答案】見試題解答內容【分析】連接OA，OC交AB于點D，再由勾股定理得OD2＝OA2﹣AD2，然后計算即可求解．【解答】解：如圖，連接OA，OC交AB于點D，即OC＝OA＝6m，∵AB＝8m，點C為運行軌道的最低點，∴AD=BD=12由勾股定理，得OD2＝OA2﹣AD2，即OD=∴CD=故點C到弦AB所在直線的距離是(6-2【點評】本題考查了垂徑定理的應用和勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．15．（2024秋?信陽期末）如圖2是根據圖1中的石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，設AB所在圓的圓心為O，拱頂為點C，OC⊥AB交AB于點D，連接OB．當橋下水面寬AB＝8m時，CD＝2m．（1）求這座石拱橋主橋拱的半徑；（2）有一條寬為7m，高出水面1m的矩形漁船，請你判斷一下，此漁船能否順利通過這座拱橋？并說明理由．【考點】垂徑定理的應用；勾股定理的應用．【專題】圓的有關概念及性質；幾何直觀；運算能力．【答案】（1）5m；（2）此漁船不能順利通過這座橋，理由見解答過程．【分析】（1）根據垂徑定理可得，AD＝BD，∠ODB＝90°，設主橋拱半徑為R，則OD＝R﹣2，根據勾股定理即可求出半徑R；（2）設CD的中點為E，過點E作CD的垂線交AB于MN，連接CN，再求出MN＝6，然后比較MN與矩形船的寬度即可得出答案．【解答】（1）解：∵OC⊥AB，AB＝8m∴AD＝BD＝4m，∠ODB＝90°，設主橋拱半徑為R，則OB＝OC＝R，∴OD＝OC﹣CD＝R﹣2，在Rt△OBD中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣2）2+42＝R2，解得：R＝5，∴這座石拱橋主橋拱的半徑為5m．（2）解：此漁船不能順利通過這座拱橋，理由如下，設CD的中點為E，過點E作CD的垂線交AB于MN，連接CN，∵CD＝2m，∴CE＝DE＝1m，由（1）可知：OC＝5m，∴OE＝OC﹣CE＝4（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN=∴MN＝2EN＝6＜7，∴此漁船不能順利通過這座橋．【點評】本題主題考查了考查垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，靈活運用勾股定理進行計算是解決問題的關鍵．

考點卡片1．坐標與圖形性質1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區別的，表現在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標有關，到y軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數，而坐標可以是負數，在由距離求坐標時，需要加上恰當的符號．2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，是解決這類問題的基本方法和規律．3、若坐標系內的四邊形是非規則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．2．一次函數的性質一次函數的性質：k＞0，y隨x的增大而增大，函數從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數從左到右下降．由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當b＜0時，（0，b）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸．3．一次函數圖象上點的坐標特征一次函數y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數）的圖象是一條直線．它與x軸的交點坐標是（-bk，0）；與y軸的交點坐標是（0，直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式y＝kx+b．4．對頂角、鄰補角（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．（3）對頂角的性質：對頂角相等．（4）鄰補角的性質：鄰補角互補，即和為180°．（5）鄰補角、對頂角成對出現，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．5．平行線的性質1、平行線性質定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．6．三角形內角和定理（1）三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．（2）三角形內角和定理：三角形內角和是180°．（3）三角形內角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．（4）三角形內角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數．①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．7．線段垂直平分線的性質（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．8．等腰三角形的性質（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．9．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．10．勾股定理的應用（1）在不規則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．