第14頁（共14頁）2024-2025學年下學期初中數學北師大版（2024）七年級期中必刷常考題之乘法公式一．選擇題（共5小題）1．（2025?長沙一模）下列計算正確的是（）A．a6÷a3＝a2 B．（a+2）2＝a2+4 C．（a5）2＝a10 D．a2+a3＝a52．（2024秋?山陽縣期末）如圖所示的圖形由一個大正方形ABEF、一個小正方形ADGH和一個長方形ABCD不重合無縫隙得拼接在一起，已知長方形ABCD的面積是6，正方形ABEF和正方形ADGH的面積之和為69，那么長方形ABCD的周長是（）A．12 B．18 C．16 D．143．（2024秋?衡東縣期末）下列運算正確的是（）A．a6÷a2＝a3 B．（a2b）2＝a4b2 C．m2+m5＝m7 D．（a﹣b）2＝a2﹣b24．（2024秋?北碚區期末）下列各式中，能運用完全平方公式進行計算的是（）A．（a+2b）（a﹣2b） B．（2a+5b）（2a﹣5b） C．（2a+b）（a+2b） D．（2a+1）（﹣2a﹣1）5．（2024秋?孝感期末）已知x2+y2＝13，xy＝﹣6，則x﹣y的值為（）A．5 B．±5 C．1 D．±1二．填空題（共5小題）6．（2024秋?開封期末）x2y+xy2＝8，x+y＝4，則x2+3xy+y2＝．7．（2024秋?綿陽期末）已知a+b＝5，ab＝3，則（a﹣b）2的值為．8．（2024秋?梁山縣期末）計算：1002﹣992＝．9．（2024秋?定州市期末）計算：11862﹣1185×1187＝．10．（2024秋?慶云縣期末）某同學在計算4（5+1）（52+1）時，把4寫成（5﹣1）后，發現可以連續運用平方差公式計算：4（5+1）（52+1）＝（5﹣1）（5+1）（52+1）＝（52﹣1）（52+1）＝252﹣1＝624．請借鑒該同學的經驗，計算：(1+12)(1+12三．解答題（共5小題）11．（2024秋?南漳縣期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy與x2+y2的值．12．（2024秋?咸安區期末）利用乘法公式計算：（1）（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2；（2）3.992﹣4.01×3.97．13．（2024秋?莊浪縣期末）閱讀理解：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝5，∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19．參考上述過程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2．①x2+y2＝；②求（x+y）2的值；（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值．14．（2024秋?襄城縣期末）已知ax?ay＝a4，（ax）2?（ax）y?（ay）2＝a9．（1）直接寫出結果：x+y＝；（2）求xy的值；（3）利用乘法公式計算：（x﹣y）2的值．15．（2024秋?南山區校級期末）閱讀材料：如果一個數的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數i叫做虛數單位，那么形如a+bi（a，b為實數）的數就叫做復數，a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部．它有如下特點：①它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似，例如計算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②若兩個復數，它們的實部和虛部分別相等，則稱這兩個復數相等；若它們的實部相等，虛部互為相反數，則稱這兩個復數共軛；如1+2i的共軛復數為1﹣2i．（1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝；②（2+i）2＝；（2）若a+bi是（1+2i）2的共軛復數，求（b﹣a）2的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）的值．

2024-2025學年下學期初中數學北師大版（2024）七年級期中必刷常考題之乘法公式參考答案與試題解析題號12345答案CBBDB一．選擇題（共5小題）1．（2025?長沙一模）下列計算正確的是（）A．a6÷a3＝a2 B．（a+2）2＝a2+4 C．（a5）2＝a10 D．a2+a3＝a5【考點】完全平方公式；合并同類項；冪的乘方與積的乘方；同底數冪的除法．【專題】整式；運算能力．【答案】C【分析】利用同底數冪除法法則，冪的乘方法則，合并同類項法則及完全平方公式將各式計算后進行判斷即可．【解答】解：a6÷a3＝a3，則A不符合題意；（a+2）2＝a2+4a+4，則B不符合題意；（a5）2＝a10，則C符合題意；a2，a3不是同類項，無法合并，則D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查整式的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．2．（2024秋?山陽縣期末）如圖所示的圖形由一個大正方形ABEF、一個小正方形ADGH和一個長方形ABCD不重合無縫隙得拼接在一起，已知長方形ABCD的面積是6，正方形ABEF和正方形ADGH的面積之和為69，那么長方形ABCD的周長是（）A．12 B．18 C．16 D．14【考點】完全平方公式．【專題】整式；運算能力．【答案】B【分析】設AB＝a，AD＝b，則ab＝6，a2+b2＝69，然后利用完全平方公式求得a+b的值后再乘2即可．【解答】解：設AB＝a，AD＝b，則ab＝6，a2+b2＝69，那么（a+b）2＝a2+b2+2ab＝69+12＝81，∵a+b＞0，∴a+b＝9，∴長方形ABCD的周長是2×9＝18，故選：B．【點評】本題考查完全平方公式，設AB＝a，AD＝b，根據已知條件求得a+b的值是解題的關鍵．3．（2024秋?衡東縣期末）下列運算正確的是（）A．a6÷a2＝a3 B．（a2b）2＝a4b2 C．m2+m5＝m7 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【考點】完全平方公式；合并同類項；冪的乘方與積的乘方；同底數冪的除法．【專題】整式；運算能力．【答案】B【分析】根據同底數冪的除法、冪的乘方與積的乘方、合并同類項、完全平方公式進行計算，逐一判斷即可．【解答】解：A．a6÷a2＝a4，故本選項不符合題意；B．（a2b）2＝a4b2，故本選項符合題意；C．m2+m5不能合并同類項，故本選項不符合題意；D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本選項不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查同底數冪的除法、冪的乘方與積的乘方、合并同類項、完全平方公式，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．4．（2024秋?北碚區期末）下列各式中，能運用完全平方公式進行計算的是（）A．（a+2b）（a﹣2b） B．（2a+5b）（2a﹣5b） C．（2a+b）（a+2b） D．（2a+1）（﹣2a﹣1）【考點】平方差公式；完全平方公式．【專題】整式；運算能力．【答案】D【分析】根據完全平方公式、平方差公式分別計算判斷即可．【解答】解：A、（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，故此選項不符合題意；B、（2a+5b）（2a﹣5b）＝4a2﹣25b2，故此選項不符合題意；C、（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，故此選項不符合題意；D、（2a+1）（﹣2a﹣1）＝﹣（2a+1）（2a+1）＝﹣（2a+1）2＝﹣4a2﹣4a﹣1，故此選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了完全平方公式、平方差公式，熟練掌握這兩個乘法公式是解題的關鍵．5．（2024秋?孝感期末）已知x2+y2＝13，xy＝﹣6，則x﹣y的值為（）A．5 B．±5 C．1 D．±1【考點】完全平方公式．【專題】整式；運算能力．【答案】B【分析】根據完全平方公式得到（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，然后把x2+y2＝13，xy＝﹣6整體代入計算即可．【解答】解：（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，當x2+y2＝13，xy＝﹣6時，原式＝13﹣2×（﹣6）＝25，∴x﹣y＝±5，故選：B．【點評】本題考查了完全平方公式：（x±y）2＝x2±2xy+y2，熟練掌握該知識點是關鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?開封期末）x2y+xy2＝8，x+y＝4，則x2+3xy+y2＝18．【考點】完全平方公式．【專題】整式；運算能力．【答案】18．【分析】先求出x+y＝4，再求出xy＝2，然后對原式進行變形，最后整體代入即可．【解答】解：∵x2y+xy2＝8，∴xy（x+y）＝8，∵x+y＝4，∴xy＝2，∴x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝42+2＝18．故答案為：18．【點評】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．7．（2024秋?綿陽期末）已知a+b＝5，ab＝3，則（a﹣b）2的值為13．【考點】完全平方公式．【答案】見試題解答內容【分析】先根據完全平方公式進行變形，再整體代入，即可求出答案．【解答】解：∵a+b＝5，ab＝3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×3＝13．故答案為：13．【點評】本題考查了完全平方公式的應用，注意：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．8．（2024秋?梁山縣期末）計算：1002﹣992＝199．【考點】平方差公式．【專題】整式；運算能力．【答案】199．【分析】利用平方差公式進行計算即可．【解答】解：原式＝（100+99）×（100﹣99）＝199×1＝199．故答案為：199．【點評】本題考查平方差公式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是正確解答的關鍵．9．（2024秋?定州市期末）計算：11862﹣1185×1187＝1．【考點】平方差公式．【專題】整式；運算能力．【答案】1．【分析】利用平方差公式進行簡算即可．【解答】解：原式＝11862﹣（1186﹣1）×（1186+1）＝11862﹣（11862﹣1）＝1．故答案為：1．【點評】本題考查平方差公式，熟練掌握平方差公式是關鍵．10．（2024秋?慶云縣期末）某同學在計算4（5+1）（52+1）時，把4寫成（5﹣1）后，發現可以連續運用平方差公式計算：4（5+1）（52+1）＝（5﹣1）（5+1）（52+1）＝（52﹣1）（52+1）＝252﹣1＝624．請借鑒該同學的經驗，計算：(1+12)(1+12【考點】平方差公式．【專題】整式；運算能力．【答案】2．【分析】將要求的式子變形為2(1(1+1【解答】解：(1+＝2(1=2(1-=2(1-=2(1-=2(1-=2(1-=2-＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了平方差公式，理解題意正確變形是解題的關鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?南漳縣期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy與x2+y2的值．【考點】完全平方公式．【專題】整式．【答案】見試題解答內容【分析】根據完全平方公式間的關系，可得答案．【解答】解：∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，∴xy=14[（x+y）2﹣（x﹣y）2]=14×[25x2+y2=12[（x+y）2+（x﹣y）2]=12【點評】本題考查了完全平方公式，熟記法則并根據法則計算是解題關鍵．12．（2024秋?咸安區期末）利用乘法公式計算：（1）（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2；（2）3.992﹣4.01×3.97．【考點】平方差公式；完全平方公式．【專題】整式；運算能力．【答案】（1）2xy﹣2y2；（2）0.0004．【分析】（1）利用平方差公式與完全平方公式先計算乘法運算，再合并即可；（2）把原式化為：3.992﹣（3.99+0.02）×（3.99﹣0.02），再利用平方差公式進行簡便運算即可．【解答】解：（1）原式＝x2﹣y2﹣x2+2xy﹣y2＝2xy﹣2y2；（2）原式＝3.992﹣（3.99+0.02）×（3.99﹣0.02）＝3.992﹣（3.992﹣0.022）＝3.992﹣3.992+0.022＝0.0004．【點評】本題考查的是乘法公式的應用，熟記乘法公式是解本題的關鍵．13．（2024秋?莊浪縣期末）閱讀理解：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝5，∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19．參考上述過程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2．①x2+y2＝5；②求（x+y）2的值；（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值．【考點】完全平方公式．【專題】整式；運算能力．【答案】見試題解答內容【分析】（1）①將x﹣y＝﹣3兩邊平方，利用完全平方差公式展開求解即可；②利用完全平方和公式將（x+y）2展開求解即可；（2）將x+y＝7兩邊平方，利用完全平方和公式展開，求出xy的值，再將（x﹣y）2利用完全平方差公式展開求解即可．【解答】解：（1）①∵x﹣y＝﹣3，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9，∵xy＝﹣2，∴x2+y2＝5；故答案為：5．②∵x2+y2＝5，xy＝﹣2，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1．（2）∵x+y＝7，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝49，∵x2+y2＝25，∴xy＝12，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1．【點評】本題考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式并靈活運用是解題的關鍵．14．（2024秋?襄城縣期末）已知ax?ay＝a4，（ax）2?（ax）y?（ay）2＝a9．（1）直接寫出結果：x+y＝4；（2）求xy的值；（3）利用乘法公式計算：（x﹣y）2的值．【考點】完全平方公式；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【專題】整式；應用意識．【答案】（1）4；（2）1；（3）12．【分析】（1）根據同底數冪的乘法運算法則進行計算，再比較即可；（2）根據同底數冪的乘法及冪的乘方與積的乘方運算法則進行計算，再比較即可；（3）根據完全平方公式進行作答即可．【解答】解：（1）ax?ay＝ax+y＝a4，則x+y＝4．故答案為：4．（2）∵（ax）2?（ax）y?（ay）2＝a9，∴a2x+xy+2y＝a9，∴2x+xy+2y＝9，∴2（x+y）+xy＝9，∴xy＝9﹣8＝1．（3）原式＝（x+y）2﹣4xy＝42﹣4×1＝16﹣4＝12．【點評】本題主要考查完全平方公式、同底數冪的乘法及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．15．（2024秋?南山區校級期末）閱讀材料：如果一個數的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數i叫做虛數單位，那么形如a+bi（a，b為實數）的數就叫做復數，a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部．它有如下特點：①它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似，例如計算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②若兩個復數，它們的實部和虛部分別相等，則稱這兩個復數相等；若它們的實部相等，虛部互為相反數，則稱這兩個復數共軛；如1+2i的共軛復數為1﹣2i．（1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝5；②（2+i）2＝3+4i；（2）若a+bi是（1+2i）2的共軛復數，求（b﹣a）2的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）的值．【考點】完全平方公式；規律型：數字的變化類．【專題】整式；運算能力．【答案】（1）①5；②3+4i（2）（b﹣a）2＝1；（3）（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）＝5i．【分析】（1）按照定義及積的乘方計算即可；（2）先按照完全平方式及定義展開運算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可；（3）按照定義計算ab及a+b的值，再利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，4個一組，從而可得答案．【解答】解：（1）①原式＝4﹣i2＝4+1＝5，②原式＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i．故答案為：①5；②3+4i；（2）∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，a+bi是（1+2i）2的共軛復數，∴a＝﹣3，b＝﹣4，∴（b﹣a）2＝（﹣4+3）2＝（﹣1）2＝1；（3）由條件可知：ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i，即ab﹣1+（a+b）i＝1﹣3i，∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3，解得：ab＝2，a+b＝﹣3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣2×2＝5，∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，i2+i3+i4+…+i2025有2024個加數，2024÷4＝506，∴i2+i3+i4+…+i2025＝0，則i+i2+i3+i4+…+i2025＝i，∴（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）＝5×i＝5i．【點評】本題主要考查了完全平方公式，數字的變化，掌握完全平方公式的定義是關鍵．

考點卡片1．合并同類項（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項．（2）合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變．（3）合并同類項時要注意以下三點：①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同系數的代數項；字母和字母指數；②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經過合并同類項，式的項數會減少，達到化簡多項式的目的；③“合并”是指同類項的系數的相加，并把得到的結果作為新的系數，要保持同類項的字母和字母的指數不變．2．規律型：數字的變化類探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數列有關的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識的基礎上去探究，觀察思考發現規律．（1）探尋數列規律：認真觀察、仔細思考，善用聯想是解決這類問題的方法，通常將數字與序號建立數量關系或者與前后數字進行簡單運算，從而得出通項公式．（2）利用方程解決問題．當問題中有多個未知數時，可先設出其中一個為x，再利用它們之間的關系，設出其他未知數，然后列方程．3．同底數冪的乘法（1）同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．am?an＝am+n（m，n是正整數）（2）推廣：am?an?ap＝am+n+p（m，n，p都是正整數）在應用同底數冪的乘法法則時，應注意：①底數必須相同，如23與25，（a2b2）3與（a2b2）4，（x﹣y）2與（x﹣y）3等；②a可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質，只有相乘時才是底數不變，指數相加．（3）概括整合：同底數冪的乘法，是學習整式乘除運算的基礎，是學好整式運算的關鍵．在運用時要