第25頁（共25頁）2024-2025學年下學期初中數學北師大新版八年級期中必刷常考題之圖形的旋轉一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?大興區期末）如圖，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面內，將△ABC繞點A逆時針旋轉α得到△AB'C'，且C'C∥AB，則α的度數為（）A．20° B．35° C．40° D．55°2．（2024秋?臨淄區期末）如圖4×4的正方形網格中，其中一個三角形①繞某點旋轉一定的角度，得到三角形②，則其旋轉中心是（）A．點A B．點B C．點C D．點D3．（2024秋?曲阜市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝35°，將△ABC繞點C順時針旋轉至△A'B'C，使點A'恰好落在AB上，則旋轉角度為（）A．35° B．55° C．70° D．90°4．（2024秋?沂源縣期末）下列說法正確的是（）A．平移和旋轉都不改變圖形的大小和位置，只是形狀發生了變化 B．平移和旋轉都不改變圖形的位置和形狀，只是大小發生了變化 C．平移和旋轉都不改變圖形的大小和形狀，只是位置發生了變化 D．平移和旋轉都不改變圖形的大小、形狀和位置5．（2024秋?沙坪壩區校級期末）如圖，∠CAB＝25°，∠ABC＝40°，將△ABC繞點A逆時針旋轉到△AED，連接CD，若點D，C，B在同一條直線上，則∠BDE的度數為（）A．65° B．60° C．55° D．50°二．填空題（共5小題）6．（2024秋?張店區期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，點P是邊BC上一動點，連接AP，將AP繞點A順時針旋轉60°得到AQ，連接CQ，則CQ長的最小值為．7．（2024秋?招遠市期末）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內一點，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°后得到CE，連接BE，若∠ABE的度數為80°，則∠BAD的度數為．8．（2024秋?沂源縣期末）如圖，在正方形網格中，線段A′B′是線段AB繞某點逆時針旋轉α得到的，點A′與點A對應，則α的大小為．9．（2024秋?邗江區期末）如圖，已知△ABC是直角三角形，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，現在將CA繞著點A逆時針旋轉90°到DA，將BA繞著點A順時針旋轉90°到EA，連接DE，則點A到直線DE的距離為cm．10．（2024秋?桃城區校級期末）一副三角板按圖1方式拼接在一起，其中邊OA，OC與直線EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，保持三角板COD不動，將三角板AOB繞著點O順時針旋轉一個角度α，（如圖2），在轉動過程中兩塊三角板都在直線EF的上方，當OB平分由OA，OC，OD其中任意兩邊組成的角時，α的值為．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?廣饒縣期末）如圖，平面直角坐標系內，小正方形網格的邊長為1個單位長度，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）畫出將△ABC向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度后得到的△A1B1C1；（2）畫出將△ABC繞原點O順時針方向旋轉90°得到△A2B2O；（3）在x軸上存在一點P，滿足點P到A1與點A2距離之和最小，請直接寫出P點的坐標．12．（2024秋?三河市期末）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）將△ABC以點C為旋轉中心旋轉180°，畫出旋轉后對應的△A1B1C；（2）平移△ABC，若點A的對應點A2的坐標為（0，﹣4），畫出平移后對應的△A2B2C2；（3）若將△A1B1C繞某一點旋轉可以得到△A2B2C2；請直接寫出旋轉中心的坐標；（4）在x軸上找一點P，使PA+PB最短，直接寫出P點坐標．13．（2024秋?高青縣期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，AD＝5，BE＝2，求線段DE的長．14．（2024秋?淄川區期末）如圖，方格紙上每個小方格的邊長都是1，△ABC與△A1B1C1成中心對稱．（1）畫出對稱中心O；（2）畫出將△A1B1C1向上平移6個單位長度得到的△A2B2C2；（3）△A2B2C2繞點C2按順時針方向至少旋轉多少度，才能與△CC1C2重合？15．（2024秋?東城區期末）如圖，在等邊△ABC中，D為AB上一點，連接CD，E為線段CD上一點（CE＞DE），將線段CE繞點C順時針旋轉60°得到線段CF，連接AF．（1）求證：BE＝AF；（2）點G為BC延長線上一點，連接AG交CF于點M．若M為AG的中點，用等式表示線段CE，MF，DE之間的數量關系，并證明．

2024-2025學年下學期初中數學北師大新版八年級期中必刷常考題之圖形的旋轉參考答案與試題解析題號12345答案CBCCD一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?大興區期末）如圖，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面內，將△ABC繞點A逆時針旋轉α得到△AB'C'，且C'C∥AB，則α的度數為（）A．20° B．35° C．40° D．55°【考點】旋轉的性質；平行線的性質．【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力．【答案】C【分析】由旋轉的性質可得AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'＝α，可得∠ACC'＝∠AC'C＝70°，即可求解．【解答】解：∵C'C∥AB，∴∠CAB＝∠ACC'＝70°，∵將△ABC繞點A逆時針旋轉α得到△AB'C'，∴AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'＝α，∴∠ACC'＝∠AC'C＝70°，∴∠CAC'＝40°＝α，故選：C．【點評】本題考查了旋轉的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．2．（2024秋?臨淄區期末）如圖4×4的正方形網格中，其中一個三角形①繞某點旋轉一定的角度，得到三角形②，則其旋轉中心是（）A．點A B．點B C．點C D．點D【考點】旋轉的性質．【專題】平移、旋轉與對稱．【答案】B【分析】根據旋轉的性質，找出兩組對應頂點的連線的垂直平分線，交點即為旋轉中心．【解答】解：如圖：作出三角形①和三角形②兩組對應點所連線段的垂直平分線的交點B為旋轉中心．故選：B．【點評】本題考查了旋轉的性質，主要利用了旋轉中心的確定，是基礎題，比較簡單．3．（2024秋?曲阜市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝35°，將△ABC繞點C順時針旋轉至△A'B'C，使點A'恰好落在AB上，則旋轉角度為（）A．35° B．55° C．70° D．90°【考點】旋轉的性質．【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力．【答案】C【分析】由∠ACB＝90°，∠ABC＝35°，得∠A＝55°，由旋轉得A′C＝AC，則∠CA′A＝∠A＝55°，所以∠ACA′＝180°﹣∠CA′A﹣∠A＝70°，于是得到問題的答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝35°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣35°＝55°，由旋轉得A′C＝AC，∴∠CA′A＝∠A＝55°，∴∠ACA′＝180°﹣∠CA′A﹣∠A＝180°﹣55°﹣55°＝70°，∴旋轉角度為70°，故選：C．【點評】此題重點考查旋轉的性質、三角形內角和定理、等腰三角形的性質等知識，證明A′C＝AC并且求得∠CA′A＝∠A＝55°是解題的關鍵．4．（2024秋?沂源縣期末）下列說法正確的是（）A．平移和旋轉都不改變圖形的大小和位置，只是形狀發生了變化 B．平移和旋轉都不改變圖形的位置和形狀，只是大小發生了變化 C．平移和旋轉都不改變圖形的大小和形狀，只是位置發生了變化 D．平移和旋轉都不改變圖形的大小、形狀和位置【考點】旋轉的性質；平移的性質．【答案】C【分析】本題考查平移、旋轉的共同性質：變換前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．【解答】解：平移和旋轉的共同特點是：圖形的形狀、大小不發生變化，位置發生變化，A、形狀發生了變化，錯誤；B、大小發生了變化，錯誤；D、平移和旋轉都不改變圖形的大小、形狀和位置，錯誤；正確說法為C．故選C．【點評】平移、旋轉、翻折是三種全等的圖形變換，是“等大”的變換，只有位置上的不同，變換的方式不同．5．（2024秋?沙坪壩區校級期末）如圖，∠CAB＝25°，∠ABC＝40°，將△ABC繞點A逆時針旋轉到△AED，連接CD，若點D，C，B在同一條直線上，則∠BDE的度數為（）A．65° B．60° C．55° D．50°【考點】旋轉的性質．【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀．【答案】D【分析】由題意得∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝115°，∠ACD＝∠CAB+∠ABC＝65°．由旋轉得，∠ADE＝∠ACB＝115°，AD＝AC，則∠ADC＝∠ACD＝65°，再根據∠BDE＝∠ADE﹣∠ADC可得答案．【解答】解：∵∠CAB＝25°，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝115°，∵點D，C，B在同一條直線上，∴∠ACD＝∠CAB+∠ABC＝65°．由旋轉得，∠ADE＝∠ACB＝115°，AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝65°，∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADC＝50°．故選：D．【點評】本題考查旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質是解答本題的關鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?張店區期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，點P是邊BC上一動點，連接AP，將AP繞點A順時針旋轉60°得到AQ，連接CQ，則CQ長的最小值為2．【考點】旋轉的性質；垂線段最短；全等三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形．【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力．【答案】2．【分析】在AB上截取AD＝AC，連接DP，過點D作DE⊥BC于點E，證明△CAQ≌△DAP（SAS），得出CQ＝DP，結合垂線段最短可知當點P與點E重合時，DP最短，即CQ最小，且為DE的長．最后根據含30度角的直角三角形的性質求解即可．【解答】解：在AB上截取AD＝AC＝4，連接DP，過點D作DE⊥BC于點E，如圖，由題意可得：∠CAB＝90°﹣30°＝60°．由旋轉的性質可得：AQ＝AP，∠PAQ＝60°，∴∠CAB﹣∠CAP＝∠PAQ﹣∠CAP，即∠CAQ＝∠PAD，又∵AD＝AC，AQ＝AP，∴△CAQ≌△DAP（SAS），∴CQ＝DP，∴當DP最短時，CQ最小．∴當點P與點E重合時，DP最短，即為DE的長．∵AC＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣4＝4．∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∵∠B＝30°，∴DE=故答案為：2．【點評】本題考查三角形全等的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，垂線段最短．正確作出輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．7．（2024秋?招遠市期末）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內一點，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°后得到CE，連接BE，若∠ABE的度數為80°，則∠BAD的度數為10°．【考點】旋轉的性質．【專題】平移、旋轉與對稱．【答案】10°．【分析】根據題意可得出∠EBC＝35°，再證明△BEC≌△ADC（SAS），利用全等轉化角即可求解．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝45°，∵∠ABE＝80°，∴∠EBC＝∠ABE﹣∠ABC＝80°﹣45°＝35°，∵∠BCE+∠BCD＝∠ECD＝90°，∠BCD+∠ACD＝∠BCA＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，由題意得，CE＝CD，在△BEC和△ADC中，BC=∴△BEC≌△ADC（SAS），∴∠DAC＝∠EBC＝35°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝45°﹣35°＝10°，故答案為：10°．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性質、旋轉的性質，解決問題的關鍵是利用旋轉性質得到全等判定的條件，利用全等轉化角解決問題．8．（2024秋?沂源縣期末）如圖，在正方形網格中，線段A′B′是線段AB繞某點逆時針旋轉α得到的，點A′與點A對應，則α的大小為90°．【考點】旋轉的性質．【專題】平移、旋轉與對稱．【答案】見試題解答內容【分析】如圖：連接AA′，BB′，作線段AA′，BB′的垂直平分線交點為O，點O即為旋轉中心．連接OA，OB′，∠AOA′即為旋轉角．【解答】解：如圖：連接AA′，BB′，作線段AA′，BB′的垂直平分線交點為O，點O即為旋轉中心．連接OA，OB′∠AOA′即為旋轉角，∴旋轉角為90°故答案為：90°【點評】本題考查了旋轉的性質，解題的關鍵是能夠根據題意確定旋轉中心的知識，難度不大．9．（2024秋?邗江區期末）如圖，已知△ABC是直角三角形，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，現在將CA繞著點A逆時針旋轉90°到DA，將BA繞著點A順時針旋轉90°到EA，連接DE，則點A到直線DE的距離為61313【考點】旋轉的性質；點到直線的距離；全等三角形的判定與性質．【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力．【答案】613【分析】如圖，過點A作AT⊥DE于點T，過點D作DH⊥EA交EA的延長線于點H，過點C作CJ⊥AB于點J．利用全等三角形的性質求出DH，AH，利用勾股定理求出DE，再利用面積法求解．【解答】解：如圖，過點A作AT⊥DE于點T，過點D作DH⊥EA交EA的延長線于點H，過點C作CJ⊥AB于點J．∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB=AC2+∵12?AC?BC=12?AB∴CJ=125（∴AJ=AC2-CJ2=32-(125)2=∵∠DAC＝∠HAJ＝90°，∴∠DAH＝∠CAJ，∵AD＝AC，∠DHA＝∠AJC＝90°，∴△DHA≌△CJA（AAS），∴DH＝CJ=125cm，AH＝AJ=∴EH＝AH+AE＝5+95=∴DE=DH2+E∵12?DE?AT=12?AE∴AT=5×125故答案為：613【點評】本題考查旋轉性質，點到直線的距離，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．10．（2024秋?桃城區校級期末）一副三角板按圖1方式拼接在一起，其中邊OA，OC與直線EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，保持三角板COD不動，將三角板AOB繞著點O順時針旋轉一個角度α，（如圖2），在轉動過程中兩塊三角板都在直線EF的上方，當OB平分由OA，OC，OD其中任意兩邊組成的角時，α的值為30°或90°或105°．【考點】旋轉的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】根據旋轉的性質和已知條件以及角平分線的定義即可得到結論．【解答】解：當OB平分∠AOD時，∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α，∴∠AOB=12∠AOD＝60°-12∴α＝30°，當OB平分∠AOC時，∵∠AOC＝180°﹣α，∴∠AOB＝90°-12α＝∴α＝90°；當OB平分∠DOC時，∵∠DOC＝60°，∴∠BOC＝30°，∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，綜上所述，旋轉角度α的值為30°或90°或105°；故答案為：30°或90°或105°．【點評】本題考查了旋轉的性質，角的計算，角平分線的定義，正確的理解題意是解題的關鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?廣饒縣期末）如圖，平面直角坐標系內，小正方形網格的邊長為1個單位長度，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）畫出將△ABC向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度后得到的△A1B1C1；（2）畫出將△ABC繞原點O順時針方向旋轉90°得到△A2B2O；（3）在x軸上存在一點P，滿足點P到A1與點A2距離之和最小，請直接寫出P點的坐標．【考點】作圖﹣旋轉變換；軸對稱﹣最短路線問題；作圖﹣平移變換．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）（2）作圖見解析部分；（3）作圖見解析部分，P（165，0【分析】（1）利用平移變換的性質分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；（2）利用旋轉變換的性質分別作出A，B的對應點A2，B2即可；（3）作點A2關于x軸的對應點A′，連接A′A1交x軸于點P，點P即為所求．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2O即為所求；（3）如圖，點P即為所求，P點的坐標（165，0【點評】本題考查作圖﹣平移變換，旋轉變換，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質．12．（2024秋?三河市期末）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）將△ABC以點C為旋轉中心旋轉180°，畫出旋轉后對應的△A1B1C；（2）平移△ABC，若點A的對應點A2的坐標為（0，﹣4），畫出平移后對應的△A2B2C2；（3）若將△A1B1C繞某一點旋轉可以得到△A2B2C2；請直接寫出旋轉中心的坐標；（4）在x軸上找一點P，使PA+PB最短，直接寫出P點坐標．【考點】作圖﹣旋轉變換；軸對稱﹣最短路線問題；作圖﹣平移變換．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】見試題解答內容【分析】（1）利用旋轉變換的性質分別作出A，B的對應點A1，B1即可；（2）利用平移變換的性質分別作出A，B，C的對應點A2，B2，C2即可；（3）對應點連線的交點Q即為旋轉中心；（4）作點A關于x軸的對稱點A′，連接BA′交x軸于點P，點P即為所求．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求；（3）將△A1B1C繞某一點旋轉可以得到△A2B2C2，旋轉中心Q的坐標（1.5，﹣1）；（4）如圖，點P即為所求，P點坐標（﹣2，0）．【點評】本題考查作圖﹣旋轉變換，平移變換等知識，解題的關鍵是掌握旋轉變換，平移變換的性質，屬于中考常考題型．13．（2024秋?高青縣期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，AD＝5，BE＝2，求線段DE的長．【考點】旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理．【答案】見試題解答內容【分析】（1）①由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因為∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根據AAS即可得到答案；②由①得到AD＝CE，CD＝BE，即可求出答案；（2）與（1）證法類似可證出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，代入已知即可得到答案．【解答】（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA∴△ADC≌△CEB（AAS）；②證明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴AD+BE＝DE；（2）證明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ADC和△CEB中，∠ACD∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE＝5﹣2＝3．【點評】本題主要考查了鄰補角的意義，全等三角形的性質和判定等知識點，能根據已知證出符合全等的條件是解此題的關鍵，題型較好，綜合性比較強．14．（2024秋?淄川區期末）如圖，方格紙上每個小方格的邊長都是1，△ABC與△A1B1C1成中心對稱．（1）畫出對稱中心O；（2）畫出將△A1B1C1向上平移6個單位長度得到的△A2B2C2；（3）△A2B2C2繞點C2按順時針方向至少旋轉多少度，才能與△CC1C2重合？【考點】作圖﹣旋轉變換；作圖﹣平移變換．【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀．【答案】見試題解答內容【分析】（1）連接AA1，BB1，CC1，交點即為對稱中心O．（2）根據平移的性質作圖即可．（3）根據旋轉的性質可得答案．【解答】解：（1）連接AA1，BB1，CC1，交于點O，則點O即為所求．（2）如圖，△A2B2C2即為所求．（3）連接CC2，C1C2，由圖可知，△A2B2C2繞點C2按順時針方向至少旋轉90°，才能與△CC1C2重合．【點評】本題考查作圖﹣旋轉變換、平移變換，熟練掌握旋轉的性質、平移的性質是解答本題的關鍵．15．（2024秋?東城區期末）如圖，在等邊△ABC中，D為AB上一點，連接CD，E為線段CD上一點（CE＞DE），將線段CE繞點C順時針旋轉60°得到線段CF，連接AF．（1）求證：BE＝AF；（2）點G為BC延長線上一點，連接AG交CF于點M．若M為AG的中點，用等式表示線段CE，MF，DE之間的數量關系，并證明．【考點】旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；推理能力．【答案】（1）證明見解答；（2）CE＝2MF+DE，證明見解答．【分析】（1）由等邊三角形的性質得BC＝AC，∠ACB＝60°，由旋轉得CE＝CF，∠FCE＝60°，則∠BCE＝∠ACF＝60°﹣∠ACE，即可根據“SAS”證明△BCE≌△ACF，則BE＝AF；（2）作AH∥BC交CF的延長線于點H，則∠H＝∠GCM，∠CAH＝∠ACB＝60°，而AM＝GM，∠AMH＝∠GMC，即可根據“AAS”證明△AMH≌△GMC，得HM＝CM，再根據“ASA”證明△BCD≌△ACH，得CD＝CH，所以DE＝HF，因為CF＝2MF+DE，所以CE＝2MF+DE．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∵將線段CE繞點C順時針旋轉60°得到線段CF，∴CE＝CF，∠FCE＝60°，∴∠BCE＝∠ACF＝60°﹣∠ACE，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴BE＝AF．（2）解：CE＝2MF+DE，證明方法一：作AH∥BC交CF的延長線于點H，則∠H＝∠GCM，∠CAH＝∠ACB＝60°，∵M為AG的中點，∴AM＝GM，∵∠AMH＝∠GMC，∴△AMH≌△GMC（AAS），∴HM＝CM，∵∠CBD＝60°，∴∠CBD＝∠CAH，由旋轉得∠BCD＝∠ACH，∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACH（ASA），∴CD＝CH，∵CE＝CF，∴CD﹣CE＝CH﹣CF，∴DE＝HF，∵CF＝MF+CM＝MF+HM＝MF+MF+HF＝2MF+DE，∴CE＝2MF+DE．證明方法二：在MC上取一點N，使MN＝MF，連接CN，∵M為AG的中點，∴AM＝MG，∵∠AMF＝∠GMN，MF＝MN，∴△AMF≌△GMN（SAS），∴AF＝GN，∠AFM＝∠GNM，由（1）得△BCE≌△ACF，∴∠BEC＝∠AFC，∵∠BED+∠BEC＝180°，∠GNC+∠MNG＝180°，∴∠BED＝∠GNC，∵∠BDE＝120°﹣∠BCD，∠NCG＝120°﹣∠BCD，∴∠BDE＝∠NCG，∵BE＝GN，∴△BDE≌△GNN（AAS），∴DE＝CN，∴CE＝CF＝FN+CN＝2MF+DE．【點評】此題重點考查等邊三角形的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質等知識，正確地作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．

考點卡片1．垂線段最短（1）垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段．（2）垂線段的性質：垂線段最短．正確理解此性質，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．（3）實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據應從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．2．點到直線的距離（1）點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．（2）點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形．3．平行線的性質1、平行線性質定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．4．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．5．等邊三角形的性質（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（