重慶市第一中學校2024——2025學年九年級下學期第一次月考

數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列四個數中，無理數是（）

A.1B.1C.0D.一近

2.如圖是某幾何體的表面展開后得到的平面圖形，則該幾何體是（）

A.三棱錐B.圓錐C.三棱柱D.四棱錐

3.下列運算結果等于/的是（）

A.a2+aB.a-a2C./+/D.（-a）3

4.如圖，AB//CD,若/1=65。，Z2==120°,則N3的度數是（）

:點B

A.45°B.50°C.55°D.60°

<?（尤）在反比例函數'=的圖象上，則馬的大

5.若點A（%,-2）,5（^,1）,3,2-33,

X

小關系是（）

A.Xj<x2<x3B.9〈工3〈玉

C.x3<x2<xxD.x2<x1<x3

6.一個多邊形有14條對角線,那么這個多邊形的邊數是（）

A.5B.6C.7D.8

7.將一組數出，瓜，3,2。,，后，…，技，…，按以下方式進行排列，則第六行左

起第3個數是（）

第一行73

第二行763

第三行2否A/153A/2

A.3A/5B.4A/3C.5D.3娓

8.如圖，為矩形ABCD的對角線，AB=1,BC=拒,以點C為圓心，以BC長為半徑

畫弧鹿，交8。延長線于點E,則圖中陰影部分的面積為（）

8y----------1c

35/3小4兀3石n6

A.71-—B.兀一-----C.D.71

42----------------------32---------------------------2

9.如圖，在正方形ABC。中,點E是邊CD的中點，連接AE,將沿AE折疊至正方形

內部，得到線段AF,延長AF交3c于點G,延長砂交BC于點8,若AB=4,連接CP,

則團-CF的長為（）

AD

S

BHGC

A82百口846?102&104亞

35353535

10.定義兩個新運算4（%生，，見十耳也，，2)=(4+。2++an)(Z?1+Z?2++2)，

鞏qq,.,c“⑤4&，；：',且4+4++4,片0,下列說法正確的有（）

ciyI-0^2~I--I-a■葭

①若A,—3十〃,4)=0,則機=3或九=-4；

②若B(2a(8)/?,c)=_B(2Z?0a,c)=_B(2c(8)〃,/?)=左,貝!|左=1

若A]X十—x,—T,S1=M,,%2,x+1區2x,2x2)=N,

當時，貝!J5WM+2NW8；

④若A(l,2,,9十—1,—2,,一,—9)=〃，B(^013,23,.,93)=q,則|x+pl+|x-ql+|x+pgl的

最小值為2025.

試卷第2頁，共10頁

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

12.中國四大名著分別是《紅樓夢》、《西游記》、《水滸傳》和《三國演義》，現將背面完全

一樣，正面分別寫有四大名著名字的4張卡片洗勻后放在桌面上且背朝上，小明同時抽取兩

張，則恰好抽到《西游記》和《水滸傳》這兩張卡片的概率是.

13.如圖，在VA3C中，AB^AC,點。是線段8C上的一點，連接AD,將線段AD繞著

點A順時針旋轉得到線段AE,S.ZBAC=ZDAE,連接BE,DE.若黑=|■且。石=4,

AE2

則NBDE的周長為

有且只有兩個奇數解，且關于y的分式方程

2-言二矢的解為整數,則所有滿足條件的整數”的和是——

15.如圖，。是VABC的外接圓，AE是，:。的直徑，與，。相切，且與8C的延長線

交于點過點C作C/〃AD分別交AB,AE于凡G兩點，若AF?AB=25,則AC=

3

且tanZABC=-,則EG=.

16.規定：一個四位正整數M的各個數位上的數字均不為0且互不相同，并滿足千位數字

是百位數字的2倍，個位數字比十位數字大3,則稱這個四位數M為“貳叁數”.若將M的

千位數字與百位數字組成的兩位數記為叫，將M的十位數字與個位數字組成的兩位數記為

rn2,例如：當"=2169時，/為21,啊為69.記歹（M）=叫;％,若一個“貳叁數”M的

千位數字為。，百位數字為6,十位數字為。，個位數字為d,當下（加）為整數時，則

b+c=；且2尸（/）+4（。-1）-24為完全平方數，則所有滿足條件的正整數M之和

是.

三、解答題

17.計算：

(l)(2x-y)z+(x-y)(x+y)+(6xy2-3/)^(-3y)；

1m2+m(、mm2-4m+4

（2）先化簡，再求值:-----------------+1----------其中7M=A/3.

m+1m-2Im+2m2-4

18.春回大地，萬物復蘇，某中學開展了“趣味自然”知識競賽.現從該校八、九年級學生中

各隨機抽取10名學生的知識競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用尤表

示，共分成四組，A：80Vx<85；B：85Vx<90；C：90Vx<95；D：95<x<100）,下

而給出了部分信息：

八年級10名學生的知識競賽成績分別是：81,85,98,97,90,95,98,83,89,92；

九年級10名學生的競賽成績在C組中的數據是：90,94,91,93.

八、九年級抽取的學生知識競賽成績統計表

八年九年

年級

級級

試卷第4頁，共10頁

平均

90.890.8

數

中位

91b

數

眾數C97

九年級抽取的學生知識競賽成績扇形統計圖

根據以上信息，解答下列問題：

(1)上述圖表中。=,b=,c=.

(2)根據以上數據，你認為該校八、九年級中哪個年級學生在“趣味自然”知識競賽中的成線更

好？請說明理由(寫出一條理由即可)；

(3)該校八年級有55。名學生，九年級有600名學生參加了此次知識競賽，估計該校八、九

年級參加此次知識競賽成績優秀(xN95)的學生人數是多少？

19.在學習了特殊平行四邊形的性質了之后，小明發現：對于夾在兩條平行線之間的線段,

作其垂直平分線與兩條平行線分別交于兩點，則該線段的兩個端點和垂直平分線與兩條平行

線的兩個交點所構成的四邊形是菱形.小明證明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等

知識得到此結論，根據他的想法和思路，完成以下作圖和填空：

(1)如圖，AB//CD,連接A￡).用尺規作圖：作線段4)的垂直平分線EG,分別交48,AD

和于點E,尸和G,連接DE和AG(不寫做法，保留作圖痕跡)；

⑵已知：AB//CD,連接AD.線段的垂直平分線EG分別交AB,和C。于點E,

F和G,連接OE和AG.求證：四邊形AEDG是菱形.

證明：?①

:.ZEAF=ZGDF.

EG垂直平分A￡)

二屆工仞且②一，

在AAEF和△DG尸中，

ZEAF=ZGDF

<AF=DF

③

AEF咨DGF(ASA)

:.EF=GF,

則四邊形AEDG是④」

EGA.AD

.??四邊形血心是菱形.

進一步思考，如果ZADC=45。，請你模仿題中的表述，寫出你猜想的結論：四邊形A匹G是

⑤」

試卷第6頁，共10頁

20.2025年春節，隨著《哪吒2》電彩的爆火，某玩具公司生產了“哪吒”和“敖丙”兩款手辦.已

知每個“哪吒”手辦的售價比每個“敖丙”手辦的售價便宜20元，按售價購買3個“哪吒”手辦

和2個“敖丙”手辦共需540元.

⑴每個“哪吒”和“敖丙”手辦的售價分別是多少元？

(2)由于電影角色深受大家喜愛，所以玩具公司決定對兩款手辦進行降價促銷，若降價后每

個“敖丙”手辦的售價是每個“哪吒”手辦售價的1.3倍，且用800元購買“哪吒”手辦的數量比

用520元購買“敖丙”手辦的數量多5個，求降價后每個“哪吒”手辦的售價為多少元？

21.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,ZADC=90°,AB=3,A￡>=4,CD=8,連接

BD,動點尸從點A出發沿折線A-3-D方向運動，動點0從點C出發沿C-O方向運動，

動點P,。的運動速度均為每秒1個單位長度，當點P到達點。時，P,。兩點時同時停止

運動，連接。P,BQ.設運動的時間為x秒(。〈尤<8),記ZW3P的面積為外,△3CD的面

積與△BC。的面積之比為為.

(1)請直接寫出％,為分別關于》的函數表達式，并注明自變量x的取值范圍;

⑵在給定的平面直角坐標系中畫出函數%,%的圖象，并寫出X的一條性質；

（3）結合函數圖象，請直接寫出口〈%時x的取值范圍（結果保留小數點后一位，誤差不超過

0.2）.

22.如圖，某景區平面地圖中景點。在出發點A的正北方向900米處，觀景臺8在出發點A

的西北方向且在景點D的西南方向，在出發點A的北偏東30。方向有一條棧道AC通往游客

中心C,游客中心C在是點。的北偏東75。方向上.（參考數據：73^1.73）

⑴請求出棧道AC的長度（結果保留根號）；

（2）小明計劃從出發點A前往景點。，可以選擇路線①沿A-3-。慢跑，也可以選擇路線②

沿A-C-O騎滑板車，小明慢跑的速度為每分鐘120米，騎滑板車的速度比慢跑的速度每分

鐘快60米，請問小明應該選擇哪條路線可以先到達景點。？（結果保留小數點后一位）

試卷第8頁，共10頁

23.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=辦2+版+2(。*0)交_￥軸于4(-1,0),8(3,0)兩

點，連接BC.

⑴求拋物線的表達式；

(2)點P是線段BC上方拋物線上的一動點，過點尸作垂足為點￡>,點M,N為

直線8C上的兩個動點(點M在N的左側)，且MN=叵,連接PN.當線段尸￡)的

2

長度取得最大值時，求OM+MN+NP的最小值；

(3)將該拋物線沿CB方向平移,使得新拋物線y'經過點8且與直線BC相交于另一點K,點Q

為新拋物線了上的一個動點，當N@Q-NO8C=45。時，請求出所有符合條件點。的坐標

(寫出必要的求解過程)

24.在等邊VABC中，點。，E分別在邊AB,AC上，連接CO,BE.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,CO交BE于點凡BD=CE,ZCBF.ZECF=1:3,若。/=若+1,求線段BC的

長；

(2汝口圖2,連接OE,過點A作AF1DE交BC于點R若NACD+/ABE+/ECF=120。，

用等式表示線段AF,OE的數量關系，并證明；

(3)如圖3,AB=6,若點D為AB中點，點E為線段AC的三等分點(AE>CE),在直線CO

上有一動點P,連接R4,將以繞點P順時針旋轉60。得到尸。，在平面內有一點F,滿足

CF=CE,連接防，若點N為9中點，當EQ+N。的值最小時，請直接寫出讖區的面

積.

試卷第10頁，共10頁

《重慶市第一中學校2024——2025學年九年級下學期第一次月考數學試題》參考答案

題號12345678910

答案DCBCBCDADA

1.D

【分析】此題主要考查了無理數的定義，無理數就是無限不循環小數.有理數是整數與分數

的統稱.即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數.由此即可判定

選擇項.

【詳解】解：A、1是整數，屬于有理數，故此選項不符合題意；

B、；是分數，屬于有理數，故此選項不符合題意；

C、0是整數，屬于有理數，故此選項不符合題意；

D、一0是無限不循環小數，是無理數，故此選項符合題意.

故選：D.

2.C

【分析】本題主要考查棱柱和棱錐，熟練掌握棱柱和棱錐的特點是解題的關鍵.根據有兩個

三角形作為頂面和底面，即可判斷幾何體的形狀.

【詳解】解：則該幾何體是三棱柱.

故選C.

3.B

【分析】本題主要考查同底數幕的計算，熟練掌握同底數幕的乘法和除法運算法則進行計算

是解題的關鍵.根據運算法則計算出答案進行判斷即可.

【詳解】解：/和。不是同類項，不能計算，故選項A不符合題意；

心/="3,故選項B符合題意；

a^a2=a2,故選項C不符合題意；

(-a)3=-a3,故選項D不符合題意；

故選B.

4.C

【分析】本題主要考查三角形的外角性質以及平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題

的關鍵.根據平行的性質得到NACD=65。，再由三角形外角的定義求出答案即可.

【詳解】解：AB//CD,Zl=65°,

答案第1頁，共30頁

.\ZACD=Z1=65°,

ZACD+N3=N2,

/.Z3=Z2-ZACD=120。—65°=55°.

故選C.

5.B

【分析】本題主要考查反比例函數的圖像和性質，熟練掌握反比例函數的圖像和性質是解題

的關鍵.根據反比例的函數圖像進行求解即可.

【詳解】解：左=~4<0,圖像在二、四象限，

故y隨兀的增大而增大，

-2<1<2

x2<x3<xlt

故選B.

6.C

【詳解】略

7.D

【分析】本題考查了探究規律一數字類型,二次根式;前五行的數的個數為1+2+3+4+5=15,

第六行左起第3個數是第18個數，即可求解；能找出規律是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意得

前五行的數的個數為1+2+3+4+5=15,

二第六行左起第3個數是第18個數，

當〃=18時，

島=J3xl8=3

故選：D.

8.A

【分析】本題主要考查了扇形面積的計算，本題中能夠將不規則圖形的面積進行轉換成規則

圖形的面積差是解題的關鍵.

連接CE,過點C作CF1.BE,垂足為尸，結合解直角三角形求得=30。，然后根據

等腰三角形的性質和扇形面積公式分析計算.

【詳解】解：連接CE,過點C作CF1.3E,垂足為F，

答案第2頁，共30頁

E

H

由題意可得N3CD=90。，AB=CD=1,

DC1_V3

在RtA5CD中,tanZ.DBC=

???ZDBC=30°,

在RtVBCV中，sinZFBC=—=-,cosZFBC=-,

."W*BC2BF2

BC=EC,

：.ZDBC=ZBEC=30°fBE=2BF=3

：.ZBCE=120°,

120%x(@

圖中陰影部分的面積=S_s工3速*空，

u扇形uBCE

360224

故選：A.

9.D

【分析】過/作FMLCD交于M,連接EG,由相似三角形的判定方法得EFMsEHC,

由相似三角形的性質得FM黑=§FM《=若EF，由正方形的性質及折疊的性質，同理可證

HCECEH

要==警，設3G=x，可得AG2=f+i6，由HL可判定RtEFG^RtECG,由全

HGFGHF

等三角形的性質得尸G=CG=4-x,由勾股定理得CF=J~02+Q02,即可求解.

【詳解】解：過尸作7^，8交于連接EG,

EFMsEHC,

答案第3頁，共30頁

.FMEM_EF

,法一正一而‘

四邊形ABC。是正方形，

:.AB=BC=AD=CD=4,

ZB=ZD=ZBCD=90°f

￡是CD的中點，

:.DE=CE=2,

由折疊得：

ZAFE=ZD=90°,

EF=DE=CE=2,

AE=AD=4，

ZGFH=ZEFG=90°,

:./B=/GFH,

ZABG=ZHFGf

ABG^HFG,

.AG_BG_AB

'HG~FG~HF"

設BG=x,

:.CG=4-x,

/.AG2=BG2-^-AB2

=x2+16,

在RtZXEFG和RtECG中

jEF=EC

[EG=EG9

RtEFG烏RtECG(HL),

,\FG=CG=4-x,

:.AG=AF+FG

—8—xj

(8-x)2=x2+16,

解得：x=3,

「.5G=3,

答案第4頁，共30頁

FG=CG=\,

AG=5,

.5_3_4

..詬―1一庫,

解得：HG=",

HF=~,

3

:.CH=CG+HG

_8

-3,

EH=EF+HF

」+2

3

_10

=,

3

.FMEM_2

3~3

Q

解得：FM=-,

EM=|,

：.CF=-JFM2+CM2

5

EH-CF

10A亞

~~3一-5-

故選：D.

【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定及性質，相似三角形的

判定及性質，勾股定理等；正方形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定及性質，相似三

角形的判定及性質，能熟練利用勾股定理進行求解是解題的關鍵.

10.A

答案第5頁，共30頁

【分析】本題主要考查新定義運算，熟練掌握新定義是解題的關鍵.根據題中的新定義得出

(m-3)(n+4)=0,然后求出根、〃的值即可判斷①；根據題中的新定義得出

2(a+/?+c)=Z:(2a+2Z?+2c),然后分a+Z?+cwO,a+/?+c=O討論求出女，即可判斷②；

根據新定義可求出M+2N=-f+6x,然后根據二次函數的性質即可判斷③；先根據新定義

求出p=—2025,q=-l,然后分當％<—2025,-2025<x<l,x=l,l<x<2025,%之2025討

論，利用不等式的性質和絕對值的意義求出|x-2025|+|%-l|+|x+2025|的取值范圍，即可

判斷④.

【詳解】解：A(肛—3十〃,4)=0,

即(加一3乂〃+4)=0,則機=3或〃=-4,故①正確;

B(2a?b,c)=B(2b?a,c)=B{2c?a,b)=k,

la2b2c.

即Rn----=----=----=k,

b+ca+ca+b

:.2a=k(b+c),2b=k(a+c),2c=k(a+b),

gp2(a+Z?+c)=左(2a+2Z?+2c),

當a+Z?+cwO時,

k=l9

當Q+Z?+C=0時，b+c=-a,

aar

/.kT=------=——=-1,

b+c—a

綜上，人的值為-1或2,故②錯誤；

十—x,—^-,5^=M.,+]區2%,2x?)=N,

:.M=x[-x-\+s\=-x1--+5x,N="+'+x+l

{x2Jx2x+2x2

:.M+2N

%3+%?+九+1

=-x2--+5x+2

X2x+2x2

/+尤2+%+1

=-x1--+5x+

Xx+x2

2TSAI?)"：】)

X尤(％+l)

答案第6頁，共30頁

=—X2---1--Fu5%H--八--十--工--

XX

21c1

XX

=—x2+6x

=_(尤_3)。9,

拋物線開口向下，

3一1>4—3,

???當x=3時，M+2N有最大值為9,當尤=1時M+2N有最小值為5,

:.5<M+2N<9,故③錯誤；

若4(1,2,,9十一1,—2,,-9)=p,B(p0l3,23,,93)=q,

z、/、/、2(1+9)x9

.”=(1+2+…+9)(—1一2—…-9)=一(1+2+…+9)=-$—=-2025,

p-2025-20251

a—..........................=--------------------=---------=—1,

13+23+...+9313+23+...+932025

Ix+p\-3t-\x-q\+\x+pq|=|x—20251+1x—l\+1x+20251,

當兀<-2025時，

|x-20251+1x-11+1x+20251=2025-x+l-x-x-2025=-3x+l,

A-3x4-1>6076；

當-2025vxvl時，

|x—20251+1%—11+1x+20251=2025—x+1—%+尤+2025=4051—x,

???4050<4051-x<6076；

當x=1時，I%—20251+1龍一11+1%+20251=2024+0+2026=4050；

當lvxv2025時，

|x—20251+1x—11+1x+20251—2025—x+龍-1+龍+2025=%+4049,

工4050<A:+4049<6074,

當無22025時，

|x-20251+1x-11+1x+20251=2025+%-1+%+2025=3%-1,

3x-l>6074,

綜上，|%-20251+1x-11+1x+20251>4050,當x=l時，|%-2025|+|%-1|+|%+2025|有最

小值為4050,故④錯誤.

答案第7頁，共30頁

故選：A.

11.V3-2

【分析】本題主要考查特殊角的三角函數值以及負整數指數幕，熟練掌握運算法則是解題的

關鍵.根據運算法則進行計算即可.

【詳解】解：原式=2x走-2=若-2.

2

故答案為：依-2.

12.-

6

【分析】本題主要考查列表法與樹狀圖法求概率，熟練掌握概率公式是解題的關鍵.根據題

意列表，再由概率公式進行求解即可.

【詳解】解：設《紅樓夢》、《西游記》、《水滸傳》和《三國演義》的卡片分別為A、B、C、D,

ABcD

A(B,A)(C.A)(AA)

B(A3)(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)(D,C)

D(AD)(B,D)

共有12種等可能的情況，根據題意一共有2種情況滿足題意,

故答案為：—.

6

13.10

【分析】本題主要考查旋轉的性質、全等三角形的判定和性質和相似三角形的判定和性質,

結合旋轉的性質判定則進一步證明貝|

A5Be

—=—,即可求得2C,那么，VBDE的周長為￡B+Br>+ED=OC+3r)+￡E)=CB+￡D

AEED

即可.

【詳解】解：■■■ABAC=ZDAE,BPZBAD+ZDAC=ZDAB+ZEAB,

ZDAC=ZEAB,

答案第8頁，共30頁

由旋轉得/場=A￡>,

：AB=AC,

DAC^￡AB(SAS),

DC=EB,

ABAE

-ZBAC=ZDAE,

ACAD

??.ABAC^AEADf

ABBC

AEED

AB3

DE=4,

~AE2

BC—6,

則VBDE的周長為EB+5D+￡Z)=r)C+5r)+ED=CS+￡D=4+6=10,

故答案為：10.

14.13

【分析】本題考查了含有參數的一元一次不等式組及含參數的分式方程，解不等式組得

112

---<x<5,解分式方程得y=—,根據不等式組及分式方程解的情況，即可求解；

2fl25-a

能熟練解含有參數的一元一次不等式組及含參數的分式方程，能根據解的情況確定參數是解

題的關鍵.

【詳解】解：解不等式組得：|a-1<x<5,

不等式組有且只有兩個奇數解，

22

解得：3<tz<7,

??—2<5—a<2,

2

解分式方程得：y=--,

5-a

分式方程的解為整數，

「.5—ci—il—2，

解得：〃=4或6或7；

aw4,

答案第9頁，共30頁

，〃=6或7；

6+7=13；

故答案為：13.

15.5—

102

【分析】本題主要考查圓周角定理，切線的性質，勾股定理以及相似三角形的判定與性質，

連接CE,根據切線的性質和圓周角定理得出=由平行線的性質可得

ZDAC=ZACF,從而得出NB=/ACF,再證明ACF-ABC,根據相似三角形的性質得

3

出AC=5；由NB=NACF得tanNACF=《，設AG=3x,則CG=5x,在RtACG中，由勾

股定理得天=士叵，PT^AG=^^,CG=^^,連接OC,設OC=R,得

343434

OG=R-^-j34,由勾股定理得R=3庖，從而可求出EG.

346

【詳解】解：連接無，如圖，

：.ZAEC=ZABC,

是。的直徑，

???NACE=90。，

.?.ZAEC+ZCAE=90°,

TA。是。的切線，

NDAE=90。,

ZDAE+ZCAE=90°,

???ZAEC=ZDAC,

：.ZABC=ZDAC,

?.?CF//AD,

：.ZACF=ZDAC,

：.ZABC=ZACF,

答案第10頁，共30頁

又NCAF=NBAC,

：.CAF^BAC,

,AC_AF

"AS"AC'

AC2^AFAB=25,

，AC=5（負值舍去）；

VtanZABC=-=—,

5CG

.?.設AG=5x,貝UCG=5x,

在RtACG中，CG2+AG2=AC2,

：.（54+（3x）2=52,

解得國，

AG=—V34,CG=—,

3434

連接OC,設OC=R,

OG=R-—y/34,

34

在RtAOCG中，CG2+OG1=OC2，

解得，R=3扃,

o

/.AE=2R=）5,

3

EG=AE-AG=-A/34-—V34=—734,

334102

故答案為：5；J^-A/34.

16.712694

【分析】①根據千位數字是百位數字的2倍，個位數字比十位數字大3,可得。=%,

d=c+3,所以有lWb<5,l<c<7,且6、。均為整數，所以可得：

尸（出）=處產=絲詈9，根據能被5整除的數的個位是0或5,可知216+llc的個位

數為2或7,又因為四位正整數”的各個數位上的數字均不為0且互不相同，所以可知

216+11c的個位數為7；

答案第11頁，共30頁

②把2“加）+4（。-1）一2d整理可得：2尸（河）+4（0-1）-21=經上手上，根據能被5整

除的數的個位數是。或5,可知8乃+12c的個位數是4或9,又因為6的值為1、2、3、4,

c的值為1、2、3、4、5、6,可知826+12c的個位數不能是9,只能是4,又因為

2尸（/）+4（。-1）-2d為完全平方數，所以只有當6=2、c=5和當6=4,c=3時滿足條件，

求出此時的Af即可.

【詳解】①解：M的千位數字為。，百位數字為6,十位數字為。，個位數字為d,

..a—2b，d=c+3,

則有1VZ?<5,l<c<7,且6、c均為整數，

/.g=10a+b=10x2b+b=21b,m2=10c+d=10c+c+3=llc+3,

.網⑷=%+色=216+11C+3,

為整數，

r.2仍+11C+3的個位數為0或5,

21Z?+llc的個位數為2或7,

；.6+c=2或7,

四位正整數河的各個數位上的數字均不為0且互不相同，

.?.216+11c的個位數為7,

:.b+c=l；

②解：-2pM+4（"］）_24=2（2仍］1卜+3）+4（21）_2,+3）為完全平方數,

整理得：2網町+4（a—I）—2d=82「+1；44,

二826+12。-44的個位數是0或5,

82b+l2c的個位數是4或9,

b的值為1、2、3、4,。的值為1、2、3、4、5、6,

若82Hl2c的個位是4,

—44

當6=1,c=6時，2F（M）+4（a-l）-2d=—--------=22,

22不是完全平方數，

，不符合題意；

當6=2,c=5時，2網町+4伍_1）_2d=82義2+12><544=36,

答案第12頁，共30頁

,36是完全平方數，

符合題意，

此時。=26=4,d=c+3=8,

...M=1000。+1006+10c+4=4258；

當Z?=3,c=4時,

82x3+12x4-44“

2F（M）+4（＜7-l）-2t/=-----------------------=5（J,

5

,50不是完全平方數,

不符合題意;

當b=4,c=3時,

82x4+12x3-44-

2F（M）+4（＜z-l）-2rf=----------5----------=64,

64是完全平方數,

止匕時a=2b=8,d-c+3=6,

=1000。+1006+10c+d=8436；

82b+l2c是偶數，

.-.82&+12C的個位不可能是9,

符合條件的M有4258和8436,

所有滿足條件的正整數”之和是4258+8436=12694.

故答案為：①7；②12694.

【點睛】本題考查了新定義計算、有理數的運算、列代數式、整式的加減運算、完全平方數，

解決本題的關鍵是根據千位數字是百位數字的2倍,個位數字比十位數字大3,得到：a=25,

d=c+3,列出關于6、。的代數式.

17.（l）5x2—6xy+y2

.771+2i—

⑵力，一

【分析】本題主要考查完全平方公式，平方差公式以及分式的化簡求值，熟練掌握運算法則

是解題的關鍵.

（1）根據完全平方公式，平方差公式進行計算即可;

（2）先根據分式的化簡運算法則進行化簡，再代數求值即可.

【詳解】（1）解：原式=4/一4孫+/+Y-/一2孫+/

答案第13頁，共30頁

=5x2—6xy+y2；

/、古力1m(m+l)m+2m)(m+2)(m-2)

⑵解：原式二=1.7丁+m+2m+2J(m-2)2

m2(m+2)(m-2)

m-2m+2(m-2)2

_m+2

m-2'

將根=6代入，

原式=熏=-7-4瓜

18.(1)30,92,98

(2)九年級，理由見詳解

(3)估計400人

【分析】本題考查了眾數和中位數的定義，并利用眾數和中位數進行決策，樣本估計總體等；

(1)九年級10名學生的競賽成在。組中的數據個數為10-10xl0%-10x20%-4,即可求

出。，由中位數的定義得中間兩個數為91,93,即可求出6,由眾數的定義可求。，即可求

解；

(2)比較中位數，即可求解；

(3)先求出八年級10名學生的知識競賽成績中優秀所占百分比，由樣本估計總體，即可求

解；

理解中位數、眾數的定義，能用中位數、眾數進行決策，會用樣本估計總體是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：九年級10名學生的競賽成在。組中的數據個數為：

10-10xl0%-10x20%-4=3,

3

<2%=—X100%=30%；

10

將九年級10名學生的競賽成績在c組中的數據從小到大排列為：

90,91,93,94.

九年級10名學生的競賽成績的中間兩個數為91,93,

.-.Z?=l(91+93)=92；

八年級10名學生的知識競賽成績最多的是98,

.,.<?=98,

故答案為：30,92,98；

答案第14頁，共30頁

(2)解：九年級；

理由：平均成績相同，而八年級成績的中位數為91分低于九年級成績的中位數92分;

(3)解：八年級10名學生的知識競賽成績中優秀所占百分比為：

4

—X100%=40%,

10

550x40%+600x30%=400(人),

答：估計該校八、九年級參加此次知識競賽成績優秀(xN95)的學生人數400人.

19.(1)圖形見解析

(2)AB//CD,AF=DF,ZAFE=/DFG,平行四邊形，正方形.

【分析】本題主要考查全等三角形的判定，垂直平分線的定義，菱形的判定，熟練掌握性質

定理是解題的關鍵.

(1)根據垂直平分線的作圖步驟畫圖即可；

(2)根據垂直平分線的定義以及全等三角形的判定和性質證明△AEF名△OGP(ASA),即

可得到結論.

【詳解】(1)

(2)解：AB//CD,

:.ZEAF=ZGDF.

.EG垂直平分AD

;.EG_LAD且=廠,

在aAEF和ADGF中，

ZEAF=ZGDF

<AF=DF

ZAFE=NDFG

:“.AEF咨ADGF(ASA)

：.EF=GF,

則四邊形AEDG是平行四邊形,

答案第15頁，共30頁

EGLAD

.??四邊形皿心是菱形.

進一步思考，如果2ADC=45。，請你模仿題中的表述，寫出你猜想的結論：四邊形AEDG是

正方形.

四邊形AEDG是菱形，

AG=DG

/ADCM5°,

../GAD=45°

/AG。=90°,

故菱形AEOG是正方形.

故答案為：AB//CD,AF=DF,ZAFE=/DFG,平行四邊形，正方形.

20.(1)每個“哪吒”和“敖丙”手辦的售價分別是100元、120元

⑵降價后每個“哪吒”手辦的售價為80元

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，分式方程的應用；

(1)等量關系式：每個“敖丙”手辦的售價-每個“哪吒”手辦的售價按售價便宜=20元，購

買3個“哪吒”手辦的費用+2個“敖丙”手辦的費用=540元，列方程組，即可求解；

(2)等量關系式:用800元購買“哪吒”手辦的數量-用520元購買“敖丙”手辦的數量=5個，

列方程，即可求解；

找出等量關系式是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：設每個“哪吒”和“敖丙”手辦的售價分別是x元、y元，由題意得

(y-x=20

13無+2y=540'

答：每個“哪吒”和“敖丙”手辦的售價分別是100元、120元;

(2)解:降價后每個“哪吒”手辦的售價為。元，由題意得

8005200

=5,

a1.3。

解得：a=80,

經檢驗：〃=80是所列方程的根，且符合題意；

答案第16頁，共30頁

答：降價后每個“哪吒”手辦的售價為80元.

2x

8

21.(1)Ji=S648,%=一

—x~\x

[55

(2)見解析，當0<xV3時，y隨x的增大而增大

(3)0<x<2或7.1<x<8

【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合，勾股定理，掌握一次函數與反比例函

數綜合應用是解題的關鍵.

(1)由勾股定理得到8。=5,當點P在A5上時，S=尤x4=2元，

12

當點尸在8。上時，過點A作AELfiD于E,根據等面積法求出AE=f,則

S=1x(8-x)xy=-|x+y,再求出SBCD=；C￡>XA￡)=Jx8x4=I6,

SBCQ=CQxAD=-^-xx4=2x,由止匕可求出％;

(2)根據(1)所求畫出對應的函數圖象，再寫出對應函數的性質即可；

(3)求出兩函數的交點坐標，根據函數圖象找到函數％圖象在函數為圖象下方方時自變量

的取值范圍即可.

【詳解】(1)解：：AB〃CD,

/.ZADC+ZDAB=1?,O°,

'：ZADC=90°,

：.ZDAB=90°,

在RtZXABD中，AB=3,AD=4,

BD=\lAB2+ADr=A/32+42=5，

如圖1,當0<xV3時,AP=x，如圖1,

S=：AP-A￡)=；xx4=2尤,即％=2x(0<x<3)；

當3Vx<8時，如圖2,過點A作

答案第17頁，共30頁

B

-ADAB

AE=^~--------4x312

-BD5

2

而DP=3+5—x=8-x

：.SMP尸?4石=1(8_彳)乂乜=_9尤+竺，即y=_￡尤+里

如22V7555-155

2x(0<x<3)

綜上，％=<-|^+y(3<^<8)

CD=8,AD=4

SBCQ=gCQxAD=；xx4=2x,

,?OBCD=-CDxAD=-x8x4=16,

22

168

,,%二五

x

2x(0<x<3)

(2)解：①畫648/c°、的圖象:

——x+(3<x<8)

列表:

X1238

y2460

描點，連線，如圖:

答案第18頁，共30頁

Q

畫％=2的圖象，

X

列表得,

X1245

y8421.6

描點，連線，如圖:

性質：當Ov%K3時，y隨X的增大而增大;

y=2x

(3)解：聯立方程組8，

y=-

X

JCr.——2

解得,A（舍去）

.%=-4

648

y=——x+——

55

聯立方程組

8

y=一

X

70

整理得，x2-Sx+—=0,

解得，了=4+^^。7.1或x=4-^^

33

由函數圖象可知，當0<x<2或7.1V%<8時，必<%.

22.(1)450+450如米

(2)路線②

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性質；

(1)過。作。E2AC交于E,由直角三角形的特征得。E=^AD=450AE=AZ).cos/ZME,

2

由等腰三角形的性質求出CE,即可求解；

(2)①由等腰三角形的判定及性質及三角函數得AB=3r>=AZ>sin45。，求出此條路線是

CE

時間；②CD=.求出此條路線是時間，即可求解；

smZCDE

能熟練利用三角形函數解直角三角形是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：過。作DE1AC交于