一元一次不等式易錯與壓軸訓(xùn)練（10易錯+5壓軸）

01思維導(dǎo)圖

目錄

易錯題型一一元一次不等式的相關(guān)概念........................................................1

易錯題型二不等式的基本性質(zhì)..................................................................3

易錯題型三一元一次不等式（組）的計(jì)算........................................................5

易錯題型四一元一次不等式的整數(shù)解............................................................5

易錯題型五一元一次不等式解的最值............................................................5

易錯題型六解特殊不等式組....................................................................5

易錯題型七由不等式組解集的情況求參數(shù)........................................................5

易錯題型八不等式組與方程組結(jié)合的問題........................................................5

易錯題型九一元一次不等式組的應(yīng)用............................................................5

易錯題型十一元一次不等式組的幾何應(yīng)用........................................................5

壓軸題型一一元一次不等式的含參問題........................................................8

壓軸題型二一元一次不等式有幾個整數(shù)解問題...................................................9

壓軸題型三一元一次不等式無解問題...........................................................14

壓軸題型四一元一次不等式的新定義問題.......................................................22

壓軸題型五一元一次不等式的應(yīng)用.............................................................28

02易錯題型

易錯題型一一元一次不等式的相關(guān)概念

1.下列式子：

①3>0；②4x+5>0；③x<3；④/+x<2；⑤x=-4；⑥2x+2>x+l,其中一元一次不等式有（）

個.

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】類似于一元一次方程，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,未知數(shù)的系數(shù)不為0,左右兩邊為整

式的不等式，叫做一元一次不等式.根據(jù)一元一次不等式的定義分析判斷即可.

【詳解】解：①3>0,屬于不等式，但不是一元一次不等式，不合題意；

②4x+5>0,屬于一元一次不等式，符合題意；

③x<3,屬于一元一次不等式，符合題意；

（4）x2+x<2,屬于一元二次不等式，不合題意；

⑤x=-4屬于方程，不合題意；

⑥2x+2>x+l,屬于一元一次不等式，符合題意.

綜上所述，一元一次不等式有3個.

故本題選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的判別，熟練掌握一元一次不等式的定義是解題關(guān)鍵.

2.若關(guān)于x的一元一次不等式2“一產(chǎn)+3司>2,貝匹的值（）

-1-P.11

A.-1B.1或——C.一1或——D.——

333

【答案】C

【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義解答即可.

【詳解】解：：2a-X眸4>2是關(guān)于x的一元一次不等式，

|2+3（?|=1,

15

:.a=——或一］.

3

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義，類似于一元一次方程，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,

未知數(shù)的系數(shù)不為0,左右兩邊為整式的不等式，叫做一元一次不等式.

3.若加-/—8>5是一元一次不等式，則m的值為（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義可得解.

【詳解】根據(jù)一元一次不等式的定義得：2m-l=l,W=l,

故選B.

4.已知4-（3-切）/7<0是關(guān)于光的一元一次不等式，則加=.

【答案】1

【分析】本題考查一元一次不等式的定義，根據(jù)定義得到3-機(jī)力0,帆-2|=1,解不等式即可得到答案，熟

記一元一次不等式的定義是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：.?.4-（3-加）？'/<0是關(guān)于X的一元一次不等式，

3—0,|w—2|=1,貝!j-2=1或7〃—2=—1,且叫*3,解得機(jī)=1,

故答案為：1.

5.若不等式3（x-1）Smx2+nx-3是關(guān)于x的一元一次不等式，求m、n的取值.

【答案】m=0,*3.

【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義知道二次項(xiàng)系數(shù)為零，一次項(xiàng)系數(shù)不為零，即可求出m、n的取值.

【詳解】解???不等式3（x-1）<mx2+nx-3是關(guān)于x的一元一次不等式，

???二次項(xiàng)系數(shù)為零，一次項(xiàng)系數(shù)不為零，

又「3（x-1）<mx2+nx-3化簡為：

mx2+（n-3）x>0

二解得：m=0,n-3^0.

故m=0,n#3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的定義（只有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1,系數(shù)為零，左右

兩邊為整式），熟記一元一次不等式的定義是解題的關(guān)鍵.

易錯題型二不等式的基本性質(zhì)

6.若m>n,則下列不等式一定成立的是（）

~.m+1n+\

A.—2nt+1>—2〃+1B.------->------

44

C.m+a>n+bD.-am<-an

【答案】B

【分析】本題考查不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊同時加上（或減去）同

一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不

等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.據(jù)此解答即可.

【詳解】解：A.-：m>n,

/.-2m<-2n，

/.-2m+1<-2n+1,故此選項(xiàng)不符合題意；

B.?；m>n,

加+1〉〃+1,

加+177+1...工A-A-人口H士

一故此選項(xiàng)付合題思；

44

C.-?-m>n,

：.m+a>n+a,

???不能判斷加+。>"+8,故此選項(xiàng)不符合題意；

D.-：m>n,

.?.當(dāng)a>0時，-am<-an.當(dāng)°=。時，-am=-an；當(dāng)°<o時，-am>-an；

故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

7.下列變形正確的是（）

A.若。=6,那么q=1B.若a<b,那么7-a<7-6

b

C.若。=b,那么ac=6cD.若。>b,那么一a>6

【答案】C

【分析】此題考查了等式的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，等式兩邊同時加上或減去同一個整式，等式仍然成立；

等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的整式，等式仍然成立.不等式的性質(zhì)1：把不等式的兩邊都加（或減

去）同一個整式，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)2：不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向

不變；不等式的性質(zhì)3：不等式兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.根據(jù)等式的性質(zhì)和不等

式的性質(zhì)解答判斷即可.

【詳解】解：A、若a=b,6/0時，：=1,故該項(xiàng)錯誤，不符合題意；

b

B、若a〈b,那么則7-〃>7-6,故該項(xiàng)錯誤，不符合題意；

C、若a=b,那么ac=6c,故該項(xiàng)正確，符合題意；

D、若a=5,b=3,符合而-。=-5,-5<3,不符合-a〉b,故該項(xiàng)錯誤，不符合題意.

故選：C.

8.若不等式（加-3力-1>0（〃?為常數(shù)，且加73）的解集為則〃?的取值范圍是_________.

m-3

【答案】m<3/3>m

【分析】本題考查不等式的基本性質(zhì)，掌握不等式兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題可知，m-3<0,

解得：m<3,

故答案為：m<3.

9.我們定義［］表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù)，例如：［3.7］=4.現(xiàn)給出下列結(jié)論：

①卜3.14］=-3；②若國=3,則2Vx<3；③若1.24x42,則國=2；④若［司=2,［刃=4,則4<［x+力46.

以上選項(xiàng)中，所有正確的序號是.

【答案】①③④

【分析】本題考查了新定義，不等式的性質(zhì)，理解新定義得出不等式是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)k］表示不少于實(shí)數(shù)必的最小整數(shù)，即可解答.

【詳解】根據(jù)定義以］表示不少于實(shí)數(shù)的最小整數(shù)，可得①結(jié)論正確；

若［引=3,根據(jù)［x］的意義，得2<xW3,結(jié)論②錯誤；

若1.2X2,則國=2,結(jié)論③正確；

當(dāng)卜］=2,［引=4時，有3<y<4,.,.4<x+yW6,.?.［x+y］=5或6,，4<［x+、］46結(jié)論④

是正確.

綜上所述：①③④正確.

故答案為：①③④.

10.閱讀感悟：

代數(shù)證明題是數(shù)學(xué)中常見的一種題型，它要求運(yùn)用邏輯推理和代數(shù)知識來證明某個數(shù)學(xué)命題的正確性，如

下

例：己知實(shí)數(shù)x、y滿足x>>>0,證明：x2>y2.

證明：因?yàn)閤>了且x,y均為正，

所以/>,孫〉.（不等式的兩邊都乘以同一個正數(shù)，不等號的方向不變）

所以尤2>/.（不等式的傳遞性）

解決問題：

（1）請將上面的證明過程填寫完整.

(2)嘗試證明：若a<b,則一<6.

【答案】⑴",丁

(2)見解析

【分析】本題考查不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì).

(1)不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變，由此即可證明問題；

(2)不等式的兩邊同時加上同一個數(shù)6得。+6<人+6=23不等式的兩邊同時除以同一個正數(shù)2,由此即

可證明問題.

【詳解】(1)證明：因?yàn)榍襵,y均為正，

所以尤2>孫，孫>/.(不等式的兩邊都乘以同一個正數(shù)，不等號的方向不變)，

所以尤2>/(不等式的傳遞性)，

故答案為：刈，

(2)證明：

:.a+b<b+b,

a+b,

/.------<b.

2

易錯題型三一元一次不等式(組)的計(jì)算

11.根據(jù)不等式的性質(zhì)，解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集：

(l)2x+5>5x-4；

(2)4-3x<4x-3；

八、2xi、xT

⑶一丁

【答案】(l)x<3,見解析

(2)x21,見解析

9

(3)X<y,見解析

【分析】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解此題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)解一元一次不等式的步驟求解，再將解集表示在數(shù)軸上即可；

(2)先根據(jù)解一元一次不等式的步驟求解，再將解集表示在數(shù)軸上即可；

(3)先根據(jù)解一元一次不等式的步驟求解，再將解集表示在數(shù)軸上即可.

【詳解】(1)解：不等式兩邊同時減5x,得-3x+52-4.

不等式兩邊同時減5,得-3x2-9.

不等式兩邊同時除以-3,得xV3.

在數(shù)軸上表示解集如答圖①.

03

圖①

(2)解：不等式兩邊同時加-4x-4,得-7x4-7.

不等式兩邊同時除以-7,得xWl.

在數(shù)軸上表示解集如答圖②.

-------1------------------?

0

圖②

(3)解：不等式兩邊同時乘6,得-4x+623x-3.

不等式兩邊同時加-3x-6,得-7x2-9.

9

不等式兩邊同時除以-7,得xV，.

在數(shù)軸上表示解集如答圖③.

-------1-------------——?

09

7

圖③

52

12.(1)解方程：~x——X+3.

7

(2)解不等式：-ry-<3(x-l)+4.

【答案】(1)X=3；(2)X>1

【分析】本題考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，掌握解題步驟是解題的關(guān)鍵.

(1)先去分母，再移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1即可；

(2)先去分母，再去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1即可.

52

【詳解】解：(1)-x=-x+3

5x=2x+9

3x=9

解得：x=3；

(2)^<3(x-l)+4

x+7<6（x-l）+8

x+7K6x—6+8

—5xK—5

解得：x>1,

所以原不等式的解集為：x>l.

13.解不等式

⑴4x+526x-3

【答案】⑴xW4

（2）x>5

【分析】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解題步驟是解題的關(guān)鍵.

（1）通過移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1進(jìn)行求解即可；

（2）先去分母，再移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1即可.

【詳解】（1）解：4x+526x—3

4x—6x2—3—5

-2x>-8

解得：x<4,

??.不等式的解集為：x<4；

ft-nx—3.x—5

（2）解：---1>丁

3（x-3）-6>2（x-5）

3x—9—6>2x—10

3x-2x>15-10

解得：x>5,

??.不等式的解集為：x>5.

14.解下列不等式，并把（1）的解表示在數(shù)軸上.

（l）2x>x-4

Y—1

（2）^—+l>x

【答案】（1）x2-4,見解析

⑵X<1

【分析】本題主要考查解一元一次不等式.

(1)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得；

(2)去分母、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得.

【詳解】(1)解：2x>x-4,

2x—x之一4,

x>-4,

將解集表示在數(shù)軸上如下：

_____11111Ali11.

-4-3-2-1012345

X—1

(2)解：—+l>x,

x—1+2>2x,

2x—x<2—1,

x<l.

15.解不等式”把解集在數(shù)軸上表示出來.

【答案】x<-3,在數(shù)軸上表示見解析

【分析】本題主要考查了解不等式，先去分母，再去括號，然后移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，最后將解集表示在數(shù)

軸上即可.解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式的一般步驟，準(zhǔn)確計(jì)算.

?、”力?ex+112%+3

【詳解】解：---l<x———，

去分母得，3(x+l)—6<6x—2(2x+3),

去括號得，3x+3-6<6x-4x-6,

移項(xiàng)得，3x—6x+4x<—6—3+6,

合并同類項(xiàng)得，x<-3,

在數(shù)軸上表示如下：

-5-4-3-2-I0I2345一

5x-3>2x-9

16.解不等式組：。0x+9,并把它的解集在如圖的數(shù)軸上表示出來.

2+3x>------

2

-3-2-10123456

【答案】x>4,見解析

【分析】本題考查解一元一次不等式組，數(shù)軸上畫解集等.根據(jù)題意先解出兩個一元一次不等式，繼而在

數(shù)軸上畫出解集即可得到本題答案.

【詳解】解：解不等式5x-322x+9,得工24.

解不等式2+3x>平，得x>l.

則不等式組的解集為4.

將不等式組的解集表示在數(shù)軸上，

如圖：.................

-3-2-10123456

3x—4V5x—1

17.解不等式組：X,2，并求出它的非負(fù)整數(shù)解.

——<—x

I33

3

【答案】-j<x<l,0,1

【分析】本題考查解一元一次不等式組的解集，非負(fù)整數(shù)的定義.根據(jù)題意先解出一元一次不等式組，再

找出其中的非負(fù)整數(shù)即可.

3x-4<5x—1CD

【詳解】解：x26，

[33

解不等式①得，x>-1,

解不等式②得，x<l,

3

??.不等式組的解集為：--<x<l,

ox的非負(fù)整數(shù)解是：0,1.

4x-l>7x-4①

18.解不等式組：2x73x+le'并在數(shù)軸上表示出不等式組的解集.

-----<-----②

132

【答案】不等式組的解集為-IVx<l,數(shù)軸見解析

【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出這些解集的公共部分，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到'’的原則是解

答此題的關(guān)鍵.

首先解每個不等式，兩個不等式解集的公共部分就是不等式組的解集，將解集在數(shù)軸上表示出來即可.

【詳解】解：解不等式4x—l〉7x—4,得：x<l,

…一代入？1一13x+l/口t

解不等式一-一噌2，得：%2-1，

則不等式組的解集為-IVxvl,

將不等式組的解集在數(shù)軸上表示如下：

―?1i^―?~~>~~?

-2-I0I23

2x+3<3

19.解不等式組：4x-l,,并在數(shù)軸上把解集表示出來.

X---------<1

I3

【答案】解集表示在數(shù)軸上見詳解，-2<x<0

【分析】本題主要考查解不等式組，掌握不等式的性質(zhì)，不等式組的取值方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)不等式的性質(zhì)，分別求出解集，把解集表示在數(shù)軸上，再根據(jù)不等式組的取值方法“同大取大，同小取

小，大小小大中間找，大大小小無解”即可求解.

2x+3<3@

【詳解】解：4x-l內(nèi),

[3

解①得，x<0,

解②得，x>-2,

如圖所示，

-3-2-1012

.??不等式組的解集為：-2<x?0.

f2x<3x~]

20.求不等式組,+3"_]）<2（x+l）的解集.并把它的解集表示在數(shù)軸上.

【答案】l〈x<4；數(shù)軸見解析

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，掌握“同大取大；同小取小;

大小小大中間找；大大小小找不至！J”的原則是解題的關(guān)鍵.分別求出每一個不等式的解集，再求出其公共部

分即可.

【詳解】解：[I+3（X_1）<2（X+1）②

由①得：x>l,

由②得：x<4,

，不等式組的解集為：l〈x<4,

將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下:

-3-2-102345

易錯題型四一元一次不等式的整數(shù)解

21.不等式X-1V2的正整數(shù)解有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】D

【分析】本題考查不等式的解法及整數(shù)解的確定.解不等式要用到不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊加（或

減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不

變；（3）不等式的兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.先分別求出不等式的解集，然后求

其正整數(shù)解即可.

【詳解】解:?■-x-l<2,

???x<3

???正整數(shù)解為1,2,3,共3個，

故選：D.

22.已知關(guān)于x的不等式冽<0有5個自然數(shù)解，則加的取值范圍是（）

2

A.6<m<8B.6<m<8C.8<m<10D.8<m<10

【答案】c

【分析】本題考查了求一元一次不等式的整數(shù)解，先由x-工加<0得再結(jié)合“有5個自然數(shù)解”，

22

則x=0,l,2,3,4,gp4<|m<5,貝”8〈加V10,即可作答.

【詳解】解：加<o,

2

1

2

???關(guān)于X的不等式x-1切<0有5個自然數(shù)解,

2

x=0,1,2,3,4,

BP4<-m<5,

2

貝lj8<加V10,

故選：C.

23.不等式4。-1)《3》-2的正整數(shù)解的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查解不等式，根據(jù)不等式的解法算出解集，再由正整數(shù)解得出結(jié)果.

【詳解】解：4(x-l)<3x-2,解得x<2.

正整數(shù)解為：1,2.

故選B.

24.若不等式5(x-2)+8<6(x-l)+7的最小整數(shù)解是方程2x-ax=3的解，則“的值為.

71

【答案】-/3-/3.5

【分析】本題考查了解一元一次不等式和一元一次方程，解不等式得到%>-3,求出最小整數(shù)解是-2,然

后代入2x-or=3求解即可.

【詳解】解：???5(x-2)+8<6(x-l)+7,

5x-2<6x+1,

x>-3,

二不等式5(x-2)+8<6(x-1)+7的最小整數(shù)解是-2,

,.?》=-2是方程2工一。工=3的解，

.,.2x(—2)—ax(—2)=3,

7

解得：?=--

.7

故答案為：—■

25.已知不等式2(x-l)+4<3(x+l)+2的最小整數(shù)解是關(guān)于x的方程2x-加x=4的解，則機(jī)的值為.

【答案】4

【分析】本題考查一元一次不等式的整數(shù)解、一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是明確一元一次不等式的解

法和一元一次方程的解法.

解不等式求得它的解集，從而可以求得它的最小整數(shù)解，然后代入方程方程2x-?u=4,從而可以得到他

的值.

【詳解】解：2（x-l）+4<3（x+l）+2,

去括號得：2x-2+4<3x+3+2,

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：-x<3,

x>-3,

最小整數(shù)解為-2,

把x=-2代入2x-fttr=4,得：2x（-2）-（-2）xm=4,

解得：m=4.

故答案為：4.

易錯題型五一元一次不等式解的最值

26.若不等式機(jī)的解都是不等式2-3x25的解，則加的取值范圍是（）.

A.m<-1B.m<—lC.///>—1D.m>—l

【答案】A

【分析】先求出不等式25的解集，然后根據(jù)的解都是不等式2-3x25的解進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：解不等式2-3x25得xW-l,

?.?不等式7〃的解都是不等式2-3x25的解，

■■■m<—1,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式，正確求出不等式2-3x25的解集是解題的關(guān)鍵.

[x=-2

27.已知<是不等式而+2yW4的一個解，則整數(shù)人的最小值為（）

口=5

A.3B.-3C.4D.-4

【答案】A

【分析】將不等式的解代入得出關(guān)于人的不等式，再求出解集，確定答案即可.

陞=-2

【詳解】匚是不等式依+2y<4的一個解，

b=5

-2k+10<4,

解得后23,

整數(shù)人的最小值是3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式確定最小值，掌握解一元一次不等式的

步驟是解題的關(guān)鍵.

28.關(guān)于x的不等式一+”<：的最小整數(shù)解為"，貝〃的值為.

22-------

【答案】-1

【分析】本題考查了解一元一次不等式；

先解不等式求出x的取值范圍，再根據(jù)題意得出關(guān)于〃的方程，求解即可.

1—X1

【詳解】解：解不等式<+"<彳得：x>2n,

22

1—X1

???關(guān)于尤的不等式一+n<4的最小整數(shù)解為n,

22

2/z+\=n,

n--\,

故答案為：-1.

29.已知關(guān)于x的方程%-5x=-9的解是非負(fù)數(shù)，則上的最小值為.

【答案】-3

【分析】把左當(dāng)作已知數(shù)表示出方程的解，根據(jù)方程的解為非負(fù)數(shù)列出不等式，確定出發(fā)的范圍即可.

【詳解】解：方程3%-5x=-9,

???關(guān)于x的方程3%-5x=-9的解是非負(fù)數(shù)，

”2

解得：k>-3,

.?"的最小值為-3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程和一元一次不等式.根據(jù)題意得出不等式是解題的關(guān)鍵.

30.已知關(guān)于x的方程3x-a=4.

⑴若該方程的解滿足x>-2,求a的取值范圍；

(2)若該方程的解是不等式x-2(3x7)Zx+4的最大整數(shù)解，求。的值.

【答案】⑴"10

(2)a=-7

【分析】(1)先求出方程的解，再根據(jù)方程的解滿足》>-2,得到關(guān)于x的不等式，即可求解；

(2)求出不等式的解集，根據(jù)該方程的解是不等式X-2(3X-1)NX+4的最大整數(shù)解，可得x=-l,即可求

解.

【詳解】(1)解方程3x-a=4,得彳=守，

,??該方程的解滿足x>-2,

二審>-2,解得a>-10.

(2)解不等式x-2(3x-l)2x+4,得xW-g，

則最大的整數(shù)解是x=-L

把x=-l代入3x-a=4,

解得a=-7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次

方程，解一元一次不等式的基本步驟是解題的關(guān)鍵.

易錯題型六解特殊不等式組

31.設(shè)“，6是正整數(shù)，且滿足56Wa+6W59,0.9<-^<0.91,則.

b

【答案】3

【分析】本題可先根據(jù)兩個不等式解出。，b的取值范圍，根據(jù)。，b是正整數(shù)得出。，6的可能取值，然

后將。，6的值代入6-a中計(jì)算即可.

【詳解】解：???0.9<：<0.91,a,6是正整數(shù)，

b

0.96<tz<0.91/?,

?'-0.9b+b<a+b<0.91b+b,

又???56Wa+bV59,

■.0.9b+b<59,b<3l—,

19

0.916+b>56,Z>>29—,

191

■.-a,6是正整數(shù),

.?2=30或b=31,

①當(dāng)6=30時，由0.%<。<0.9仍，得：27<a<27.3,這樣的正整數(shù)。不存在，

②當(dāng)6=31時，由0.96<a<0.916,得：27.9<a<28.21,

???Q=28,

?,?b-a=31—28=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的解法，根據(jù)。，b的取值范圍，得出。，b的整數(shù)解，然后代入計(jì)算.求

不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.

ac13

32.我們定義八/=ad-bc,例如.，=lx4-2x3=4-6=-2.若羽兒是整數(shù)，且滿足

ba24

2y

1<:<3,則工+歹的最小值是________.

x3

【答案】-5

【分析】首先把所求的式子轉(zhuǎn)化成一般的不等式的形式，然后根據(jù)x,y是整數(shù)即可確定x,y的值，從而

求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：l<6-xyV3,

貝I]3<xy<5,

又-:x、y均為整數(shù)，

y=4；此時,x+y=5；

x=2,y=2；此時，x+y=4；

x=-l,y=-4；此時，x+y=-5；

x=-2,y=-2；此時，x+y=-4；

故x+y的最小值是-5,

故答案為-5.

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的整數(shù)解，正確確定x,y的值是關(guān)鍵.

33.解不等式|2x+l|-3<0.

【答案】-2<x<l

【分析】本題主要考查了解不等式，解不等式組，絕對值等知識點(diǎn)，分2X+1A0和2x+l<0,兩種情況分

類討論即可得解，理解題目的含義，進(jìn)行分類討論是解決此題的關(guān)鍵.

J2尤+120

【詳解】①當(dāng)2x+120,即

[2x+l-3<0

解集為4x<1；

②當(dāng)2x+l<。,即："[-2xI+l-<30<。’

解集為-2<x<-1；

綜上可知，原不等式的解集為-2令<1.

34.閱讀以下解不等式：(x+4)(x-l)>0.

解：①當(dāng)x+4>0,則x-l>0,

[x+4〉0

即可以寫成：,八解不等式組得：龍>1.

[x-1>0,

②當(dāng)若x+4<0,則x-l<0,

fx+4<0

即可以寫成：,八，解不等式組得：x<-4.

[x-l<0

綜合以上兩種情況：原不等式的解集為：x>l或x<-4.

以上解法的依據(jù)為：當(dāng)成>0,則仍同號.

請你模仿例題的解法，解不等式：

+2)>0；

(2)(2X-1)(3X+2)<0.

【答案】(l)x>2或X<-1

21

⑵——〈尤〈一

、’32

【分析】本題考查了因式分解式不等式的求解，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握兩式之積大于0,則兩式為同號,

兩式之積小于0則兩式為異號.

(1)利用兩式之積大于0,推出兩式同號，分別列出兩個不等式組，按照不等式的大大取大，小小取小即

可求出原不等式的解集.

(2)利用兩式之積小于0,推出兩式異號，分別列出兩個不等式組，按照不等式的大小小大取中間，即可

求出原不等式的解集.

【詳解】(1)解：①當(dāng)尤+1>0,則x-2>0,

[x+1>0?

cc，解不等式組得X>2.

x—2>0

②當(dāng)若x+l<0,貝！|x-2<0,

fx+1<0

…,解不等式組得X<-1.

[x-2<0

原不等式的解集為：x>2或x<-l.

(2)解：①當(dāng)2x-l>0,則3x+2<0,

,(2x-l>0

■'[3x+2<0，

???不等式組無解.

②當(dāng)若2x-l<0,貝|3x+2>0,

021

??[?2kx「-i<、n’解不等式組得

[3x+2>032

21

原不等式的解集為：

35.閱讀下列關(guān)于不等式(》-1乂》+2)>0的解題思路：

由兩實(shí)數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”可得：

①_(fx+-12>>0。或②_[fxx+-l2<<0。，

解不等式組①得x>l,

解不等式組②得x<-2,

等式(xT(x+2)>0的解集為x>l或x<-2.

請利用上面的解題思路解答下列問題：

⑴求出(x-l)(x+2)<0的解集；

⑵求不等式—>0的解集.

【答案】⑴-2<x<l

(2)x>3或x<-2

【分析】(1)根據(jù)實(shí)數(shù)的乘法法則以及解一元一次不等式組解決此題.

(2)根據(jù)實(shí)數(shù)的除法法則以及解一元一次不等式組解決此題.

【詳解】(1)由兩數(shù)相乘，異號為負(fù)，得：

fx—1>0、fx-1<0

①[x+2<0或②;x+2>0，

解不等式組①，無解；解不等式組②，-2<x<l.

(x-l)(x+2)<0的解集為一2<x<l.

(2)由兩數(shù)相除，同號為正，得：

_fx-3>0_fx-3<0

①[x+2>0或②|x+2<0，

解不等式組①，x>3；解不等式組②，x<-2.

不等式=>0的解集為x>3或x<-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解決本題的關(guān)鍵.

易錯題型七由不等式組解集的情況求參數(shù)

16-3(x+l)<x-5

36.若關(guān)于x的一元一次不等式組,的解集是x>2,則加的取值范圍是()

A.m>3B.根>3C.m<3D.冽(3

【答案】D

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，求出第一個不等式的解集，根據(jù)口訣：“同大取大、同小取小、

大小小大中間找、大大小小無解”即可確定機(jī)的范圍.

【詳解】解：解不等式6-3(x+l)<x-5得%>2,

解不等式x-優(yōu)>一1得x>m-L

解集是x>2,

/.m-1<2,

解得m<3,

故選D.

[x<a

37.若關(guān)于1的不等式組的解集為x<3,則〃的取值范圍是()

x<3

A.a<3B.a<3C.a>3D.a>3

【答案】D

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，分別求出每一個不等式

的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集.

\x<a

【詳解】解：???關(guān)于X的不等式組X43的解集為XV3,

???Q>3.

故選：D

X—\

-----<n

38.已知關(guān)于1的不等式組2的解集為-6<工<3,貝！J(加+1)(〃-1)的值為.

2x+5>6m-1

【答案】0

【分析】考查一元一次不等式組和二元一次方程組的解法，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題的關(guān)

鍵.分別求出每個不等式的解集，根據(jù)該不等式組的解集為-6<x<3可得關(guān)于加、〃的方程，解得加、〃的

值，代入即可.

x<2n+l

【詳解】解：不等式組整理得

x〉3加一3’

即3加一3<冗<2〃+1.

x-l

-----<n

???不等式組2的解集為-6<x<3,

2x+5>6m-1

j3m-3=-6

?,12〃+1=3

[m=-1

解得,

.-.(m+l)(n-l)=(-l+l)(l-l)=O

故答案為：0

fx-a>0

39.若關(guān)于x的不等式組一,、V的所有整數(shù)解的和是9,則。的取值范圍是—.

[17-3x25

【答案】lVa<2或-2Wa<-l

【分析】本題主要考查一元一次不等式組的解集、整數(shù)解.解不等式組得出解集，根據(jù)整數(shù)解的和為12,

可以確定整數(shù)解為①4,3,2或②4,3,2,1,0,-1,再根據(jù)解集確定。的取值范圍即可.

fx—a>0

【詳解】解：解不等式組/2、（，

[17-3x>5

解得：<7<x<4,

???所有整數(shù)解的和是9,且9=4+3+2或9=4+3+2+1+0+（-1）,

??.不等式組的整數(shù)解為①4,3,2或②4,3,2,1,0,-1,

lVa<2或-2W”-1；

故答案為：l<a<2^-2<a<-l.

12x+y=5-4TZZ

40.已知關(guān)于x,y的方程組；的解滿足x+1>o.

[x+2y=1+m

（1）掰的取值范圍是;

（2加—3）x〉2m—3

⑵若不等式組IJ,的解集為X<1,求符合條件的正整數(shù)加的值.

5-x>-3

【答案】（1）%<2

（2）加的值為1

【分析】本題考查了解二元一次方程組，一元一次不等式組；

（1）根據(jù)①+②得，3x+3y=6-3m,得出x+y=2-加，根據(jù)x+y>0,即可求解；

（2）先解不等式5-X2-3得出xW8,根據(jù)不等式組的解集為x<l,可得不等式（2加-3）x>2加-3的解集為

X<1.進(jìn)而得出結(jié)合（1）得結(jié)論，且加為正整數(shù)，即可求解.

2x+y=5-4m?

【詳解】（1）解:

x+2y=l+m?

①+②得，3x+3y=6-3m

：.x+y=2-m

1+y>0

.,.2—m>0

解得：m<2

故答案為：m<2.

（2）解不等式5-12-3,得xW8.

???不等式組]（2機(jī);3卜>2m-3,的解集為x<],

?5-x>-3

，不等式（2加-3）x>2加-3的解集為不<1.

/.2m-3<0,解得m<-.

由（1）知加<2,

且根為正整數(shù)，故正整數(shù)機(jī)的值為1.

易錯題型八不等式組與方程組結(jié)合的問題

2x+y=5m+6

41.已知關(guān)于x,y的方程組的解滿足條件、<0/<0,則冽的取值范圍是（）

x—2y=-17

A.m<-6B.m<-7C.m<-8D.m<-9

【答案】C

【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式組，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.解方程組

2x+y=5加+6\x=2m-1

:一可得Q，再結(jié)合x<0/v0列出不等式組，求出不等式組的解集即可得出結(jié)論.

x-2y=-17[y=m+Q

2x+y=5/+6

【詳解】解：關(guān)于x,y的方程組為

x-2y=-17

x=2m-1

解得:

y=m+S

因?yàn)閤v0,y<0,

2m-1<0

所以

m+8<0

解得：m<-8.

故選：C.

x+y=2

42.如果關(guān)于％,V的方程組x-2尸〃+l的解是正數(shù),則”的取值范圍是（）

A.-l<a<5B.Q>—5

C.a<\D.—5<a<1

【答案】D

5+a

x=-----

3

【分析】本題主要考查了方程組與不等式組結(jié)合的問題，先利用加減消元法解方程組得到,，再根

l-a

y=-----

3

\—u門

------>0

據(jù)方程組的解為正數(shù)得到?,解不等式組即可得到答案.

2>0

[3

x+y=2①

【詳解】解:

x-2y=a+1②

1—Z7

①-②得：3y=\-a,解得尸冒

把>=一代入①得：工+一=2,解得x=

5+tz

x=------

3

方程組的解為

\—a

y=-----

3

???方程組的解為正數(shù),

1—a?

------>0

3

I3

-5<a<1,

故選：D.

x-\>Ak

43.如果關(guān)于x的不等式組x-左<4左+6有解,且關(guān)于"的方程h+6=、有正整數(shù)解,那么符合條件的所

有整數(shù)上的和為

【答案】-3

【分析】本題考查了不等式組的解，已知一元一次方程解的情況求參數(shù)，掌握不等式組的解集由所構(gòu)成的

幾個不等式解集的公共部分組成是解題關(guān)鍵.

先解方程，再根據(jù)不等式組有解求出后的取值范圍，然后根據(jù)方程6+6=》有正整數(shù)解得出-5〈人<1,將

1-左的取值代入，找出符合條件的左值，并相加即可得出答案.

【詳解】解：解不等式x-124左，得xN4左+1.

解不等式x—左<44+6,得x<5上+6.

???該不等式組有解,

5k+6〉4k+1,

解得后>-5.

整理方程6+6=x,得(1-左)x=6.

???方程h+6=x有正整數(shù)解，

：A-k>0,解得后<1,

二.-5〈左<1.

當(dāng)1-左=1時，解得左=0；

當(dāng)1-左=2時，解得a=-1；

當(dāng)1-左=3時，解得發(fā)=-2；

當(dāng)1-左=6時，解得上=-5,不符合題意，舍去；

符合條件的所有整數(shù)左的和為。+(-1)+(-2)=-3.

故答案為：-3.

2x-y=4m-2

44.已知關(guān)于x,y的二元一次方程組

x-2y=m

(1)若方程組的解滿足x+y=2,則加的值為；

(2)若方程組的解滿足x<y,則掰的取值范圍為.

42

【答案］2m<±

【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式，熟知加減消元法是解題的關(guān)鍵.

(1)用①-②得到x+y=3〃?一2,再根據(jù)條件x+y=2,得到3加-2