第五章四邊形

第24講矩形的性質與判定

（思維導圖+1考點+1命題點21種題型）

01考情透視?目標導航??題型09添加一個條件使四邊形是矩形

02知識導圖?思維引航??題型10證明四邊形是矩形

03考點突破?考法探究＞題型11根據矩形的性質與判定求角度

考點矩形＞題型12根據矩形的性質與判定求線段長

04題型精研?考向洞悉＞題型13根據矩形的性質與判定求周長，面積

命題點矩形的性質與判定＞題型14根據矩形的性質與判定解決多結論問題

??題型oi矩形性質的理解＞題型15與矩形有關的新定義問題

??題型02根據矩形的性質求角度＞題型16與矩形有關的規律探究問題

＞題型03根據矩形的性質求線段長??題型17與矩形有關的動點問題

??題型04根據矩形的性質求周長，面積??題型18與矩形有關的最值問題

??題型05根據矩形的性質求點的坐標??題型19矩形與函數綜合

4題型06利用矩形的性質證明??題型20與矩形有關的存在性問題

??題型07矩形的折疊問題??題型21與矩形有關的材料閱讀類問題

??題型08矩形判定定理的理解

考情透視?目標導航

中考考點考查頻率新課標要求

矩形的有關證明與計理解矩形的概念；

★★★

算探索并證明矩形的性質定理與判定定理.

【考情分析】矩形是特殊的平行四邊形，其對角線相等、內角為直角，故矩形的考查經常與直角三角形的

勾股定理相結合，利用矩形的性質解折疊問題是中考中的常考題型，注意折疊前、后對應的線段與角大小

相等，試題形式多樣，難度中等.

【命題預測】矩形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個圖形之一，年

年都會考查，預計2025年各地中考還將出現.其中，矩形還經常成為綜合壓軸題的問題背景來考察，而矩

形其他出題類型還有選擇、填空題的壓軸題，難度都比較大，需要加以重視.解答題中考查特殊四邊形的性

質和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數、動態問題綜合應用的可能性比較大.

知識導圖?思維引航

定義有一個角是直角的平行1四邊形

具有平行四邊形所有性質

3個角都是直角

性質

對角線相等

既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

矩形的性質與判定有f角是直角的平行四邊形

角'

-----有三個角SB角的四邊形

判定對角線對角硼等的平行四邊形

運用勾股定理求邊或對角線的長

應用

-------運用對角線相等證明四個小三角形的面積相等

面積S=ab其中a,b為矩形的長與競

------------------------------------------

考點突破?考法探究I

考點一矩形

L矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

【易錯點】對于矩形的定義要注意兩點（缺一不可）：①是平行四邊形；②有一個角是直角.

2.矩形的性質定理:

性質符號語言圖示

邊兩組對邊平行且相等???四邊形ABCD是矩形

JAB=CD,AD=BC,AB〃CD,AD〃BCAD

角四個角都是直角四邊形ABCD是矩形

???ZBAD=ZBCD=ZABC=ZADC=90°

B

對角線兩條對角線互相平分???四邊形ABCD是矩形C

且相等.\AO=CO=BO=DO

【補充】

1）矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形具有平行四邊形的一切性質；

2）矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，經常會用到等腰三角形的性質解決問題.

3）利用矩形的性質可以推出：在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.

3.矩形的對稱軸

1）矩形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心.

2）矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸且對稱軸都是經過對邊中點的直線;

3）過對稱中心的任意直線可將矩形分成全等的兩部分.

4.矩形的判定

判定定理符號語言圖示

一個角是直角的平行在平行四邊形ABCD中，AD

四邊形是矩形?；/ABC=90°,...平行四邊形ABCD是矩o

BC

角形

二個角是直角的四邊在四邊形ABCD中，1D

形是矩形VZB=ZA=ZD=90°,

二?四邊形ABCD是矩形BC

對角線對角線相等的平行四在平行四邊形ABCD中，AD

邊形是矩形：AC=BD,.?.平行四邊形ABCD是矩形X

BC

矩形判定思路:

對角線相等矩形

平行四邊形

有一角是直角矩形

有三個角是直角矩形

■針對訓練.

1.（2024?遼寧?中考真題）如圖，在矩形4BCD中，點E在4D上，當△EBC是等邊三角形時，乙4EB為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

2.（2024?陜西?中考真題）如圖，四邊形ZBCD是矩形，點E和點尸在邊BC上，且BE=CF.求證：AF=DE.

3.（2024?甘肅.中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線4C,8。相交于點O,LABD=60°,AB=2,則北

的長為（）

B---------------C

A.6B.5C.4D.3

4.（2024?吉林長春?中考真題）如圖，在四邊形ZBCD中，〃=NB=90。，。是邊4B的中點，N40D=ABOC.求

證：四邊形力BCD是矩形.

5.（2024.四川瀘州.中考真題）已知四邊形力BCD是平行四邊形，下列條件中，不熊判定團ABCD為矩形的是

（）

A.〃=90B.AB=ZCC.AC=BDD.AC1BD

題型精研?考向洞悉?

命題點一矩形的性質與判定

A題型01矩形性質的理解

1.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在矩形4BCD中，對角線/C與BD相交于點0,則下列結論一定正確的

是（）

A.AB=ADB.AC1BDC.AC=BDD.乙ACB=^LACD

2.（2023?湖北襄陽?中考真題）如圖，矩形2BCD的對角線相交于點。，下列結論一定正確的是（）

A.4C平分NB4DB.AB=BCC.AC=BDD.AC1BD

3.（2023?湖南?中考真題）如圖所示，在矩形2BCD中，AB>AD,4C與BD相交于點O,下列說法正確的是

)

A.點O為矩形4BCD的對稱中心B.點O為線段AB的對稱中心

C.直線BD為矩形ABCD的對稱軸D.直線力C為線段BD的對稱軸

4.（2023?湖北十堰?中考真題）如圖，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架4BCD,然后向左扭動框架，觀

察所得四邊形的變化.下面判斷錯誤的是（）

B

A.四邊形力BCD由矩形變為平行四邊形B.對角線BD的長度減小

C.四邊形ABCD的面積不變D.四邊形4BCD的周長不變

>題型02根據矩形的性質求角度

1.（2024?江蘇南通?中考真題）如圖，直線a||6,矩形28CD的頂點A在直線》上，若42=41。，貝吐1的度

數為（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

2.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）矩形4BCD的對角線AC,BD相交于點。，點尸在矩形4BCD邊上，連接。F.若

^ADB=38°,乙BOF=30°,則乙4。尸=

3.（2022?湖北十堰?中考真題）“美麗鄉村”建設使我市農村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農村民居側面截

圖，屋坡AF,4G分別架在墻體的點B,C處，且48=AC,側面四邊形BDEC為矩形，若測得"8。=55。,

貝!U力=°.

4.（2020?貴州黔南?中考真題）如圖，將矩形紙條2BCD折疊，折痕為EF,折疊后點C,D分別落在點D'

處，。任與8尸交于點G.已知N8GD=30。，則Na的度數是（）

A.30°B.45°C.74°D.75°

＞題型03根據矩形的性質求線段長

1.（2024?江蘇南京?中考真題）如圖，在矩形力BCD中，按以下步驟作圖：①分別以點8和。為圓心，以大于

[BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點E和F,②作直線E6分別與DC,DB,4B交于點M,0,N,若DM=5,

2.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，矩形力BCD的對角線力C與BD交于點0,DE14C于點E,延長DE與BC

交于點F.若4B=3,BC=4,則點F到BD的距離為.

3.（2023?四川綿陽?中考真題）如圖，矩形4BCD的對角線4C與BD交于點。，過點。作BD的垂線分別交2D,

BC于E,F兩點.若AC=2B，AAEO=120°,貝!JFC的長度為（）

2C.V2D.V3

4.（2023?青海西寧?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點尸在BC邊上，連接P4將P力繞點P順時針旋轉

90。得到P4,連接CA.若4D=9,AB=5,CA'=2&,貝!JBP=.

5.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）矩形力BCD的面積是90,對角線力C,BD交于點。，點E是BC邊的三等

分點，連接DE,點尸是DE的中點，OP=3,連接CP,貝UPC+PE的值為

＞題型04根據矩形的性質求周長，面積

1.（2023?遼寧丹東?中考真題）如圖，在矩形2BCD中，對角線4C與BD相交于點O,乙ABD=60°,AE1BD,

垂足為點E,尸是。。的中點，連接EF,若EF=26,則矩形ABCD的周長是（）

A.16V3B.8V3+4C.4V3+8D.8V3+8

2.（2022?湖北恩施?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，連接B。，分別以8、。為圓心，大于的長為半

徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點，作直線PQ,分別與AD.BC交于點M,N,連接BM、DN.若4。=4,AB=2.則

四邊形的周長為（）

B.5C.10D.20

3.（2022?湖南邵陽?中考真題）已知矩形的一邊長為6cm,一條對角線的長為10cm,則矩形的面積為

cm"2.

4.（2023?廣西?中考真題）如圖，過y=久久＞0）的圖象上點A,分別作x軸，y軸的平行線交y=-5的圖象

于B,。兩點，以4B,4D為鄰邊的矩形4BCD被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為S2,S3,S4,

若S2+S3+54=|,則k的值為（）

A.4B.3C.2D.1

5.（2023?重慶?中考真題）如圖，。。是矩形2BCD的外接圓，若4B=4,4D=3,則圖中陰影部分的面積

6.（2022?湖南湘潭?中考真題）為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在

校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成I、II兩塊矩形勞動實踐基地.某數學興趣小組設計

了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據設計方案回答下列問題:

4RH

H

F1區U區

I區口區

DGC0GC

圖a圖（2

（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度,但要在I區中留一個寬度力E=1m的水池且需保證總種植面積

為32m2,試分別確定CG、DG的長;

（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應設計為多長？此時最大面積為多少？

＞題型05根據矩形的性質求點的坐標

1.（2024?吉根中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-4,0）,點C的坐標為（。,2）.以。4,OC

為邊作矩形。ABC,若將矩形04BC繞點。順時針旋轉90。，得到矩形04夕L,則點夕的坐標為()

A'B'

A.(-4,-2)B.(-4,2)C.(2,4)D.(4,2)

2.(2023?遼寧鞍山?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，矩形20BC的邊0B,。4分別在x軸、y軸正半軸

上，點。在8c邊上，將矩形408C沿4。折疊，點C恰好落在邊。B上的點E處.若02=8,0B=10,則點。的

坐標是______

3.(2023?黑龍江?中考真題)如圖，在平面直角坐標中，矩形力BCD的邊力D=5,OA-.OD=1:4,將矩形4BCD

沿直線0E折疊到如圖所示的位置，線段。2恰好經過點B,點C落在y軸的點G位置，點E的坐標是()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(V5-1,2)D.(1-V5,2)

4.(2023?江蘇蘇州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，點4的坐標為(9,0),點C的坐標為(0,3),以。4。。

為邊作矩形。4BC.動點&F分別從點。,B同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿04BC向終點4c移動.當

移動時間為4秒時，的值為()

A.V10B.9V10C.15D.30

5.(2024.貴州安順.模擬預測)如圖，已知矩形4BCD的兩點C、D在反比例函數y的圖象上，點A和點

B都在坐標軸上，且2的坐標為(1,0),AB=2BC,貝必=.

＞題型06利用矩形的性質證明

1.（2024?山東東營.中考真題）如圖，四邊形A8CD是矩形，直線EF分別交AD,BC,BD于點、E,F,O,下

列條件中，不能證明ABOFNADOE的是（）

A.。為矩形2BCD兩條對角線的交點B.EO=FO

C.AE=CFD.EF1BD

2.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知矩形4BCD.

（1）尺規作圖：作對角線4C的垂直平分線，交CD于點E,交AB于點尸；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）連接ZE、CF.求證：四邊形4FCE是菱形.

3.（2024.江蘇揚州?中考真題）如圖1,將兩個寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形4BCD.

圖2

⑴試判斷四邊形A8CD的形狀，并說明理由;

（2）已知矩形紙條寬度為2cm,將矩形紙條旋轉至如圖2位置時，四邊形4BCD的面積為8cm2,求此時直線

AD,CD所夾銳角N1的度數.

4.（2024.上海.中考真題）如圖所示，在矩形4BCD中，E為邊CD上一點，且力E1BD.

F

（1）求證：AD2=DE-DC；

（2）F為線段AE延長線上一點，且滿足EF=CF=池,求證：CE=AD.

＞題型07矩形的折疊問題

1.（2024.江蘇徐州.中考真題）如圖,將矩形紙片力BCD沿邊EF折疊，使點。在邊BC中點M處.若4B=4,BC=

6,貝！JCF=

2.（2024.山東淄博.中考真題）如圖所示，在矩形ABCD中，BC=2AB,點M,N分別在邊BC,AD±.連接

MN,將四邊形CMND沿MN翻折，點C,。分別落在點4E處.則tan/AMN的值是（）

A.2B.V2C.V3D.V5

3.（2024.黑龍江牡丹江.中考真題）小明同學手中有一張矩形紙片ABC。，AD=12cm,CD=10cm,他進

行了如下操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使4。與BC重合，得到折痕MN,將紙片展平.

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△4DN沿2N折疊得到△4Z/N,4）交折痕MN于點E,則線段EN的

長為（）

圖①圖②

169167c55

A.8cmB.——cmc.——cmD.—cm

24248

4.（2024?湖北?中考真題）如圖，矩形4BCD中，E,F分別在力上，將四邊形4BFE

沿EF翻折，使2的對稱點P落在CD上，B的對稱點為G,PG交BC于H.

（1）求證：4EDPS&PCH.

（2）若P為CD中點，且力B=2,BC=3,求GH長.

（3）連接BG,若P為CD中點，H為BC中點，探究BG與AB大小關系并說明理由.

5.（2023?青海西寧?中考真題）折疊問題是我們常見的數學問題，它是利用圖形變化的軸對稱性質解決的相

關問題.數學活動課上，同學們以“矩形的折疊”為主題開展了數學活動.

【操作】如圖1,在矩形4BCD中，點M在邊力D上，將矩形紙片力BCO沿MC所在的直線折疊，使點。落在

點少處，MD'馬BC交于點、N.

【猜想】JMN=CN

【驗證】請將下列證明過程補充完整：

?.,矩形紙片48CD沿MC所在的直線折疊=_

???四邊形4BCD是矩形以目出。（矩形的對邊平行）.=_（_）

（等量代換）；.MN=CN（_）

【應用】如圖2,繼續將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MZT上，點A落在點4處，點B落在點夕

處，折痕為ME.

Cl）猜想MN與EC的數量關系，并說明理由；

（2）若CD=2,MD=4,求EC的長.

＞題型08矩形判定定理的理解

1.（2022?山東聊城?中考真題）要檢驗一個四邊形的桌面是否為矩形，可行的測量方案是（）

A.測量兩條對角線是否相等B.度量兩個角是否是90。

C.測量兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等D.測量兩組對邊是否分別相等

2.（2024?廣西貴港?二模）請閱讀下列材料，完成相應的任務.

X年X月X日星期日

只用卷尺也能判斷矩形

今天，我在一本數學課外叢書上看到這樣一個有趣的問題，工人師傅在做門窗或矩形零件時，他是這樣做

的：首先利用卷尺（有刻度）測量兩組對邊的長度是否分別相等；其次利用卷尺測量該門窗的兩條對角線

是否相等，以確保圖形是矩形.我有如下思考：工人師傅的做法究竟是依據什么原理得到四邊形是矩形？

已知在四邊形2BCD中，AB=CD,AD=BC,AC=BD.

求證：四邊形力BCD是矩形.

任務：（1）上述做法是依據了矩形的一個判定定理：；

（2）補全材料中的證明過程；

（3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一種方法判定四邊形是矩形？（寫出簡要的測量方法）

＞題型09添加一個條件使四邊形是矩形

1.（2023?上海?中考真題）在四邊形4BCD中,4。||BC,AB=CD.下列說法能使四邊形2BCD為矩形的是（）

A.AB||CDB.AD=BCC.乙4=NBD.乙4=N。

2.（2022?甘肅武威?中考真題）如圖，在四邊形4BCD中，AB||DC,AD||BC,在不添加任何輔助線的前提

下，要想四邊形力BCD成為一個矩形，只需添加的一個條件是.

3.（2023?湖南岳陽?中考真題）如圖，點M在團4BCD的邊力D上，BM=CM,請從以下三個選項中①Nl=Z2；

②4M=DM；③N3=44,選擇一個合適的選項作為已知條件，使團4BCD為矩形.

（1）你添加的條件是（填序號）;

(2)添加條件后，請證明回4BCD為矩形.

4.(2024.江蘇南京.中考真題)如圖.線段。E與4尸分別為ATIBC的中位線與中線.

(1)求證：AF與DE互相平分；

(2)當線段4F與BC滿足怎樣的數量關系時，四邊形ADFE為矩形？請說明理由.

＞題型10證明四邊形是矩形

1.(2024.廣東廣州?中考真題)如圖，RtaABC中，乙8=90。.

(1)尺規作圖：作AC邊上的中線B。(保留作圖痕跡，不寫作法);

⑵在(1)所作的圖中，將中線B。繞點。逆時針旋轉180。得到DO,連接AD,CD.求證：四邊形ABC。是矩

形.

2.(2024.新疆?中考真題)如圖，AABC的中線BD,CE交于點。，點RG分別是OB,。。的中點.

(1)求證：四邊形DEFG是平行四邊形；

(2)當BD=CE時，求證：團DEFG是矩形.

3.(2023?山東青島?中考真題)如圖，在回4BCD中，NB4D的平分線交BC于點E,ADCB的平分線交4D于點

F,點G,X分別是4E和CF的中點.

(1)求證：AABESACDF；

（2）連接EF.若EF=4F,請判斷四邊形GE”尸的形狀，并證明你的結論.

>題型11根據矩形的性質與判定求角度

1.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在正方形4BCD中，G是對角線BD上的一點（與點不重合），GE1

CD,GF1BC,E,F分別為垂足.連接EF,4G,并延長4G交EF于點H.

（1）求證：^DAG=Z-EGH.

（2）判斷4H與EF是否垂直，并說明理由.

2.（2023?江西?中考真題）如圖，在固4BCD中，4B=60°,BC=2AB,將力B繞點4逆時針旋轉角a（0°<a<

360°）得到力P,連接PC,PD.當△PCD為直角三角形時，旋轉角a的度數為.

3.（2024?重慶銅梁?一模）如圖，在正方形4BCD中，點P是對角線ZC上一點，PEVAB,PF1BC,垂足分

別為E,F,連接EF.若乙BEF=a,則NCDP一定等于（）

A.90°-aB.2aC.180。-3aD.45。+a

4.（2023?河南新鄉?一模）如圖，在RtzkZBC中，4c=90。，AC=2,Z.B=30°,點。、E分別在邊BC、AB

上，BD=2,DEWAC,將ABDE繞點8旋轉，點0、E旋轉后的對應點分別是。、E',當A、?、E'三點共

線時，0的度數為.

BDC

＞題型12根據矩形的性質與判定求線段長

1.（2024.山西.中考真題）黃金分割是漢字結構最基本的規律.借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“晉”端

莊穩重、舒展美觀.已知一條分割線的端點A,8分別在習字格的邊MN,PQ上，且力8IINP,“晉”字的筆畫

“、”的位置在2B的黃金分割點C處，且祭=等，若NP=2cm,則的長為cm（結果保留根號）.

2.（2024?江蘇連云港?中考真題）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=30°,AC=2.點尸在邊AC上，過

點尸作PD1AB,垂足為。，過點。作。垂足為尸.連接PF,取PF的中點E.在點P從點A到點

C的運動過程中，點E所經過的路徑長為.

3.（2024?四川南充?中考真題）如圖，在矩形4BCD中，E為力。邊上一點，^ABE=30°,將△ABE沿BE折疊

得AFBE,連接CF,DF,若CF平分NBCD,4B=2,貝的長為.

4.（2024.山東青島?中考真題）如圖，在四邊形48CD中，對角線AC與相交于點。，乙48。=LCDB,BE1AC

于點E,。尸14。于點尸，S.BE=DF.

（1）求證：四邊形48CD是平行四邊形；

（2）若4B=B。，當乙4BE等于多少度時，四邊形A8CD是矩形？請說明理由，并直接寫出此時半的值.

＞題型13根據矩形的性質與判定求周長，面積

1.（2021?黑龍江牡丹江?中考真題）RdABC中，ZC=9O°,AB=17,BC=8,矩形CDEF的另三個頂點。，

E,尸均在RfAABC的邊上，且鄰邊之比為1：2,畫出符合題意的圖形，并直接寫出矩形周長的值.

2.（2021?安徽?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,ZX=120°,過菱形ABCD的對稱中心。分別

作邊AB,的垂線，交各邊于點E,F,G,H,則四邊形所G8的周長為（）

A.3+V3B.2+2V3C.2+V3D.1+2V3

3.（2021?山東煙臺?中考真題）綜合實踐活動課上，小亮將一張面積為24cm2,其中一邊BC為8cm的銳角三

角形紙片（如圖1）,經過兩刀裁剪，拼成了一個無縫隙、無重疊的矩形BCDE（如圖2）,則矩形的周長為一

cm.

圖1圖2

4.（2023?浙江寧波?中考真題）如圖，以鈍角三角形力BC的最長邊BC為邊向外作矩形BCDE,連結4E,4D,

設△力EO,AABE,△2C0的面積分別為S,Si，S2，若要求出S—S1—S2的值，只需知道（）

A.△ABE的面積B.△2CD的面積C.△ABC的面積D.矩形8CDE的面積

5.（2024?吉林長春?模擬預測）如圖，AB=AC,AE=AF,且NE4B=NF4C,EF=BC.

A

（1）求證：四邊形EBCF是矩形.

（2）設A/IBE的面積為Si，△4CE的面積為52，矩形EBCF的面積為S3,貝S2,S3的等量關系為

＞題型14根據矩形的性質與判定解決多結論問題

1.（2021.四川雅安?中考真題）如圖，在矩形A8CD中，4C和BD相交于點。，過點8作BF12C于點M,交

CD于點憶過點D作。EIIBF交AC于點N.交AB于點E,連接FN,EM.有下列結論：①四邊形NEMF為

平行四邊形，②DV=MC?NC；③△DNF為等邊三角形；④當4。=4。時，四邊形。防尸是菱形.正確

結論的序號.

2.（2023?山東日照?中考真題）如圖，矩形48CD中,4B=6,AD=8,點P在對角線8。上，過點P作MN1BD,

交邊AD,BC于點M,N,過點M作ME1AD交BD于點E,連接EN,BM,DN.下列結論：①EM=EN；

②四邊形MBND的面積不變；③當AM:MD=1:2時，S^MPE=||；④BM+MN+ND的最小值是20.其中

所有正確結論的序號是.

3.（2021?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，矩形48CD中，點E在8C邊上，S.AE=AD,DFVAE

于點F,連接。E,BF,8尸的延長線交OE于點。，交CD于點G.以下結論：?AF=DC,②。凡BF=CE：

CG,③SABCG=6ADFG,④圖形中相似三角形有6對，則正確結論的序號是—.

D

4.（2020?廣西柳州?中考真題）如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=6,BC=10,點E在CD上，將ABCE沿

BE折疊，點C恰好落在邊上的點P處，點G在A尸上，將AABG沿2G折疊，點A恰好落在線段8尸上

的H處，有下列結論：①NE8G=45。；②2S/BFG=5S〃FGH;③ADEFMABG；④4CE=5ED其中正確的

是—.（填寫所有正確結論的序號）

＞題型15與矩形有關的新定義問題

1.（2024?上海浦東新.一模）新定義1：將寬與長的比等于黃金分割比的矩形稱為黃金矩形

A

（圖5）

（1）根據以上折紙法，求證：矩形BCDE為黃金矩形

⑵如圖5,已知N4=36。，△ABC為黃金三角形，BC=1,求：4B的長

（3）在（2）的條件下，截取=BC交AC于￡>,截取CE=CD交線段2D于E,過E作任意直線與邊48,BC

交于尸，Q兩點，試判斷：白+白是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由

DrBQ

2.（2024.江蘇蘇州.二模）大家都知道黃金比的美，但是漫畫家創造一個可愛的漫畫形象時，通常會去選擇

運用白銀比而非黃金比.因為白銀比例創造出來的形象要比用形黃金比例創造出的形象更憨態可掬，溫和

可人.

ACbifC

黃金比例白銀比例圖1圖2

通過上網查閱資料，小希同學發現白銀比的定義：如圖1,點C把線段2B分成兩部分，如果*=那么

點C為線段AB的“白銀分割點”，如圖2,矩形2BCD中，%那么矩形4BCD叫做“白銀矩形”.

AB

應用：

（1）如圖3,矩形ABC。是一張A4紙，AD>AB,將矩形邊力B翻折，使得點A的對應點落在BC上，將矩

形邊CD翻折，使得點。的對應點落在BC上，折痕交于點。，再將N4B。對折，發現力B與BO恰好重合，求

證：矩形2BCD是“白銀矩形”.

（2）如圖4,在（1）的條件下，矩形4BCD中，￡為CD上一點，將矩形ABCD沿BE折疊，使得點C落在邊

上的點F處，延長BF交CD的延長線于點G,說明點E為線段GC的“白銀分割點”.

（3）已知線段力B（如圖5）,作線段的一個“白銀分割點”.（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，寫出必要

做法）

圖3圖4圖5

3.(2024.廣東惠州.二模)新定義：如果一個矩形，它的周長和面積分別是另外一個矩形的周長和面積的一

半，則這個矩形是另一個矩形的“減半”矩形.

(1)驗證：矩形EFGH是矩形4BCD的“減半”矩形，其中矩形4BCD的長為12、寬為2,矩形EFG”長為4、

寬為3.

(2)探索：一矩形的長為2、寬為1時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并說明理由.

4.(2023?陜西咸陽?二模)【定義新知】

如圖1,將矩形紙片4BCD沿8E折疊，點A的對稱點尸落在邊上，再將紙片沿CE折疊，點。的對稱點

也與尸重合，折疊后的兩個三角形拼合成一個三角形(ABCE),這個三角形稱為疊合三角形.類似地，對多

邊形進行折疊，若折疊后的圖形恰好可以拼合成一個無縫隙、無重疊的矩形，則這樣的矩形稱為疊合矩形.

(1)圖1中疊合ABCE的底邊8C與高EF的長度之比為；

(2)將團48CD紙片按圖2中的方式折疊成一個疊合矩形MNPQ,若AD=13,MN=5,求疊合矩形MNPQ的面

積；

【問題解決】

(3)已知四邊形A8CO紙片是一個直角梯形，滿足AB||CD,AB1BC,AB點尸為BC的中點，EF1BC,小

明把該紙片折疊，得到疊合正方形.

①如圖3,若線段EF是其中的一條折痕，請你在圖中畫出疊合正方形的示意圖，并求出A8和的長；

②如圖4,若線段EF是疊合正方形的其中一條對角線，請你在圖中畫出疊合正方形的示意圖，并求出此時

45和CD的長.

圖1

＞題型16與矩形有關的規律探究問題

1.(2020?遼寧丹東?中考真題)如圖，在矩形中，。2=3,A4i=2,連接。4］，以。&為邊，作矩形

041481使&&=|。4，連接。4交于點C；以。4為邊，作矩形O&Ai%，^2^3=|0^2-連接。4

交4B1于點G；以。4為邊，作矩形。444B3，使444=|。43，連接。44交4%于點。2；…按照這個規律

進仃下去,則/。201把202（142022的面積為

2.（2022?廣東中山?三模）如圖，在矩形力BCD中，AB=1,BC=2,連接4C,以對角線4C為邊，按逆時

針方向作矩形4CC1B1，使矩形ACCrBr~矩形4DCB；再連接AC±,以對角線AC1為邊，按逆時針方向作

矩形4GC2B2，使矩形矩形ace/】?…，按照此規律作下去，則邊力C2022的長為（）

ACXC2B2~

_//E\2022/4、2021/江、2021

A.V5x(y)B.2x(y)C.V5x22022D.V5x(y)

3.（2023?黑龍江雞西?三模）如圖，A48C中，乙8=90。，BC=3,BC邊上的高力8=1,點心、Q八七分

別在邊AB、AC.BC上，且四邊形PiQi/B為矩形，P?i：P$=2:3,點、P2、Q2.為分別在邊Qi%、CQi>

CH1上，且四邊形P2Q2H2Hl為矩形，22<?2：22%=2:3,……按此規律操作下去，則線段CQ2023的長度為

A

Pi

BH\H2HiC

4.（2022?河北唐山?二模）如圖，平面直角坐標系中，邊長為1的正方形。力PiB的頂點A、8分別在x軸、y

軸上，點匕在反比例函數y=g（K>0）的圖象上，過P14的中點當作矩形444止2,使頂點P2落在反比例函

數的圖象上，再過P24的中點當作矩形B2422P3,使頂點P3落在反比例函數的圖象上，…，依此規律可得:

（1）點「2的坐標為

(2)作出矩形B1847418Pl9時，落在反比例函數圖象上的頂點P19的坐標為.

>題型17與矩形有關的動點問題

1.(2024?甘肅臨夏?中考真題)如圖1,矩形力BCD中，BD為其對角線，一動點P從D出發，沿著D-B->C的

路徑行進，過點P作PQ1CD,垂足為Q.設點P的運動路程為x,PQ-DQ為y,y與x的函數圖象如圖2,則

AD的長為()

2.(2023?吉林?中考真題)如圖，在正方形4BCD中，AB=4cm,點。是對角線AC的中點，動點P,Q分別從

點4,B同時出發，點P以lcm/s的速度沿邊力B向終點B勻速運動，點Q以2cm/s的速度沿折線BC-CD向終

點。勻速運動.連接P。并延長交邊CD于點M,連接Q。并延長交折線于點N,連接PQ,QM,MN,

NP,得到四邊形PQMN.設點P的運動時間為％(s)(0<%<4),四邊形PQMN的面積為y(cm2)

(1)BP的長為cm,CM的長為cm.(用含尤的代數式表示)

(2)求y關于x的函數解析式，并寫出自變量》的取值范圍.

(3)當四邊形PQMN是軸對稱圖形時，直接寫出x的值.

3.(2024?吉林長春?中考真題)【問題呈現】

小明在數學興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊AABC中，4B=3,點M、N分別在邊47、

BC上，且4M=CN,試探究線段MN長度的最小值.

【問題分析】

小明通過構造平行四邊形，將雙動點問題轉化為單動點問題，再通過定角發現這個動點的運動路徑，進而

解決上述幾何問題.

【問題解決】

如圖②，過點C、M分別作MN、BC的平行線，并交于點P,作射線AP.在【問題呈現】的條件下，完成下

列問題：

（1）證明：AM=MP；

（2）NC4P的大小為一度，線段MN長度的最小值為

【方法應用】

某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③.小明收集了該房屋的相關數據，并畫出了

示意圖，如圖④，ATIBC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，4B=4C=CD=2米，乙4c8=30。.MN是

一條兩端點位置和長度均可調節的鋼絲繩，點M在AC上，點N在DE上.在調整鋼絲繩端點位置時，其長度

也隨之改變，但需始終保持AM=DN.鋼絲繩MN長度的最小值為多少米.

4.（2023?遼寧大連?中考真題）綜合與實踐

問題情境：數學活動課上，王老師給同學們每人發了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質.

已知4B=4C,乙4>90。，點E為4C上一動點，將△4BE以BE為對稱軸翻折.同學們經過思考后進行如下探

究：

獨立思考：小明：“當點。落在BC上時，乙EDC=24ACB.?

小紅：“若點E為AC中點，給出AC與DC的長，就可求出BE的長.”

實踐探究：奮進小組的同學們經過探究后提出問題1,請你回答：

問題1：在等腰AABC中，48=4C,乙4>由△力BE翻折得至1J.

（1）如圖1,當點。落在BC上時，求證：乙EDC=2乙ACB；

（2）如圖2,若點E為4C中點，AC=4,C￡>=3,求BE的長.

問題解決：小明經過探究發現：若將問題1中的等腰三角形換成乙4<90。的等腰三角形，可以將問題進一

步拓展.

問題2：如圖3,在等腰△ABC中，/-A<90°,AB=AC=BD=4,2zD=/.ABD.若CD=1,則求BC的長.

>題型18與矩形有關的最值問題

1.（2024?海南?中考真題）如圖，矩形紙片4BCD中，AB=6,BC=8,點E、尸分別在邊AD、BC上，將紙

片4BCD沿EF折疊，使點。的對應點。'在邊BC上，點C的對應點為C',貝UDE的最小值為,C尸的最

大值為.

2.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，矩形4BCD中，AB=W,BC=1,動點E,尸分別從點A,C同時出

發，以每秒1個單位長度的速度沿力B,CD向終點B,。運動，過點E,尸作直線/,過點A作直線/的垂線,

A.V3B.—C.2D.1

2

3.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在矩形4BCD中，4B=4,BC=8,點E是邊4D上的動點，連結CE,

以CE為邊作矩形CEFG（點。，G在CE的同側），且CE=2EF,連結8F.

（1）如圖1,當點E為4D邊的中點時，點8,E,尸在同一直線上，求BF的長.

（2）如圖2,若乙BCE=30°,設CE與BF交于點K.求證：BK=FK.

（3）在點E的運動過程中，BF的長是否存在最大（小）值？若存在，求出BF的最值；若不存在，請說明理由.

4.（