專題14全等三角形

目錄一覽

知識目標（新課程標準提煉）

中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）

重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一三角形的面積

A考向二三角形的內角和

A考向三全等三角形的判定與性質

A考向四全等三角形的應用

A考向五角平分線的性質與判定

A考向六線段的垂直平分線的性質

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優化解題技巧）

知識目標

1.理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應邊、對應角；

2.掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等；

3.掌握基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；

4.掌握基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等；

5.證明定理：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等；

6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.

4F考解密

該板塊內容重在掌握基本知識的基礎上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，分值為10~15分，預計

各地中考還將出現，并且在選擇、填空題中考查三角形中位線、內外角性質、三角形三邊關系等知識點，

這部分知識需要學生扎實地掌握基礎，并且會靈活運用。在解答題中會出現三角形全等的判定和性質，這

部分知識主要考查基礎。

..

士重點考向

A考向一三角形的面積

1.（2022?桂林）如圖，在AABC中，NB=22.5°,NC=45。，若AC=2,則AABC的面積是（）

3啦

A.2B.1+V2C.2V2D.2+72

2.（2022?遂寧）如圖，D、E、產分別是AABC三邊上的點，其中8C=8,BC邊上的高為6,且

DE//BC,則△。所面積的最大值為（）

3.（2023?臺州）如圖，點C,。在線段上（點C在點A,。之間），分別以AQ,BC為邊向同側作

等邊三角形ADE與等邊三角形CBF,邊長分別為a,b,CF與DE交于點H,延長AE,BF交于點

G,AG長為c.

（1）若四邊形EHFG的周長與4CDH的周長相等，則a,b,c之間的等量關系

為;

（2）若四邊形EHEG的面積與的面積相等，則a,b,c之間的等量關系為.

A考向二三角形的內角和

4.（2023?聊城）如圖，分別過AABC的頂點A,8作若/CAO=25。，Z￡BC=80°,貝UNACB

5.（2023?徐州）如圖，在AABC中，若DE//BC,FG//AC,NBDE=120°,NDFG=115°,則/C

A

A考向三全等三角形的判定與性質

解題技巧/易錯易混

1.從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素

（其中至少有一個元素是邊）對應相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準確地確定要補充的邊

（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路.

2.若題中沒有全等的三角形，則可根據題中條件合理地添加輔助線，如運用作高法、倍長中線法、截長

補短法、分解圖形法等來解決運動、拼接、旋轉等探究性題目.

6.（2023?涼山州）如圖，點E、點.F在BC±,BE=CF,/B=/C,添加一個條件，不能證明

△ABFg/XOCE的是（）

A.ZA^ZDB./AFB=/DECC.AB=DCD.AF=DE

7.（2023?呼和浩特）如圖，在R3ABC中，ZABC=90°,AB=BC,AC=4\歷，點P為AC邊上的中

點，交的延長線于點PN交3c的延長線于點N,且若BM=1,則△PMN的面積

為（）

A.13B.\413C.8D.2

8.（2022?泰安）如圖，平行四邊形A8CD的對角線AC,8。相交于點。，點E為的中點，連接E。

并延長交AD于點F,ZABC=60°,BC=2AB.下列結論：?AB±AC；?AD=4OE；③四邊形AECF

_1

是菱形；④SABOE=NSAABC，其中正確結論的個數是（）

A.4B.3C.2D.1

7.（2022?大慶）如圖，正方形ABC。中，點E,尸分別是邊AB,8C上的兩個動點，且正方形A8C。的

周長是周長的2倍.連接。E,。尸分別與對角線AC交于點M,N,給出如下幾個結論：①若AE

MN

=2,CF=3,貝UEF=4；②NEFN+NEMN=180。；③若AM=2,CN=3,貝UMN=4；④若AM=2,

BE=3,則EF=4.其中正確結論的序號為.

A考向四全等三角形的應用

解題技巧/易錯易混

一般方法是把實際問題先轉化為數學問題，再轉化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉化

為三角形中的邊角關系是關鍵.

8.（2022?揚州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊.小明通過電話給

玻璃店老板提供相關數據，為了方便表述，將該三角形記為AABC,提供下列各組元素的數據，配出來

的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,ZBC.AB,AC,ZBD.ZA,ZB,BC

9.（2023?雄縣一模）為測量一池塘兩端A,8之間的距離，兩位同學分別設計了以下兩種不同的方案.

方案I：如圖，先在平地

上取一個可以直接到達點A,8的點。連接并延長到點C,連接8。并延長到點。，并使CO=AO,

DO=BO,連接DC,最后測出。C的長即可；

方案口：如圖，先確定直線A8,過點B作直線在直線3E上找可以直接到達點A的一點。，連

接D4,作。C=DA,交直線AB于點C,最后測量BC的長即可.

下列說法正確的是（）

A.I,II都不可行B.I,II都可行

c.I可行，n不可行D.I不可行，II可行

10.（2022?百色）校園內有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實地測量，并記錄數據，根據造型畫

如圖的四邊形ABCD,其中AB=CD=2米，AD=8C=3米，ZB=30°.

（1）求證：△ABgXCDA；

（2）求草坪造型的面積.

A考向五角平分線的性質與判定

11.（2022?鄂爾多斯）如圖，/AOE=15。，OE平分NA08,DE〃OB交OA于點、D,EC1OB,垂足為

C.若EC=2,則OD的長為（）

A.2B.273C.4D.4+2近

12.（2022?北京）如圖，在AABC中，4。平分NA4C,DE±AB.若AC=2,DE=1,則SAAC?=1

A

13.(2023?綿陽)如圖，在。。中，點A,B,C,。為圓周的四等分點，AE為切線，連接ED并延長

交。。于點P,連接BF交AC于點G.

(1)求證：A。平分/CAE；

(2)求證：AADE咨AABG；

(3)若AE=3,AG=3GC,求cos/CBF的值.

A考向六線段的垂直平分線的性質

2

14.(2022?湖北)如圖，在矩形中，AB<BC,連接AC,分別以點A,C為圓心，大于2AC的長

為半徑畫弧，兩弧交于點M,N,直線分別交AD,BC于點、E,F.下列結論：

①四邊形AECE是菱形；

?ZAFB=2ZACB；

③AC-EF=CF-CD；

④若AE平分/BAC,貝UCF=2BF.

其中正確結論的個數是（）

M

A_______E/D

15.（2022?青海）如圖，在R3A8C中，NA3C=90。，即是AC的垂直平分線，交AC于點。，交BC

于點E,ZBA￡=10°,則NC的度數是.

BEc

最新真題套萃

1.（2023?北京）如圖，點A,B,C在同一條直線上，點B在點A,C之間，點。，E在直線AC同側，

AB<BC,/A=NC=90。，4EAB0ABCD,連接DE.設AB^a,BC=b,DE=c,給出下面三個結

論：

①a+b<c；

③（a+b）>c.

上述結論中，所有正確結論的序號是（）

AaBbC

A.①②B.①③C.②③D.①②③

2.（2022?西寧）如圖，ZMON=60°,以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，交。〃于點A,交ON于點

B-,分別以點A,8為圓心，大于2AB的長為半徑畫弧，兩弧在/MON的內部相交于點P,畫射線

OP-,連接AB,AP,BP,過點尸作PELOM于點E,PF工ON于點、F.則以下結論錯誤的是（）

N

F

B

O\AEM

A.△AOB是等邊三角形B.PE=PF

C.APAE^APBFD.四邊形。1PB是菱形

3.（2021?陜西）如圖，AB,BC、CD、是四根長度均為51?根的火柴棒，點A、C、￡共線.若AC=

6cm,CD±BC,則線段CE的長度是（）

A.6cmB.7cmC.6v2cmD.8cm

4.（2023?青龍縣三模）要得知某一池塘兩端A,B的距離，發現其無法直接測量，兩同學提供了如下間

接測量方案.

方案I：如圖1,先過點8作再在8尸上取C,。兩點，使8C=C￡）,接著過點。作8。的

垂線DE,交AC的延長線于點E,則測量DE的長即可；

方案口：如圖2,過點8作再由點。觀測，用測角儀在AB的延長線上取一點C,使NBDC

=NBDA,則測量BC的長即可.

C.方案I和口都可行D.方案I和口都不可行

5.（2022?宜昌）如圖，在AA8C中，分別以點8和點C為圓心，大于2BC長為半徑畫弧，兩弧相交于

點M,N.作直線MN,交AC于點D,交BC于點E,連接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,則

△48。的周長為（）

C.19D.18

6.（2023?遼寧）如圖，線段AB=8,點C是線段A8上的動點，將線段8C繞點8順時針旋轉120。得到

線段BD,連接C。，在AB的上方作R3OCE,使/。CE=90。，NE=30。，點/為DE的中點，連接

AF,當最小時，△BCD的面積為

7.（2022?宜賓）《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊

°、6、c求面積的公式，其求法是：“以小斜幕并大斜塞減中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大

斜幕減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即為S=

J］「22谷2+@2—匕2J1

丫43a2.現有周長為18的三角形的三邊長滿足a：b：c=4：3：2,則用以

上給出的公式求得這個三角形的面積為.

8.（2023?成都）如圖，已知AABC絲△￡）跖,點B,E,C,尸依次在同一條直線上.若BC=8,CE=

9.（2023?重慶）如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,4B=AC,點。為8C上一點，連接AD過點8

作BE±AD于點E,過點C作CPLAO交AD的延長線于點F.若BE=4,CF^l,則EF的長度

為

A

10.（2022?深圳）已知AABC是直角三角形，ZABC=90°,AB=3,BC=5,AE=2通,連接CE,以

CE為底作直角三角形CDE,且尸是AE邊上的一點，連接8D和8R且//8。=45。，則

A尸長為.

11.（2023?衢州）已知：如圖，在AABC和AD￡F中，B,E,C,尸在同一條直線上.下面四個條件:

?AB=DE；?AC=DF；③BE=CF；?ZABC=ZDEF.

（1）請選擇其中的三個條件，使得△ABCg/XOEE（寫出一種情況即可）.

（2）在（1）的條件下，求證：AABC出ADEF.

12.（2023?陜西）如圖，在△48C中，ZB=90°,作CZ）_L4C,且使CD=AC,作。EJ_8C,交8C的延

長線于點E.求證：CE=AB.

13.（2023?聊城）如圖，在四邊形ABCQ中，點E是邊BC上一點，且3E=C。，/B=NAED=NC.

（1）求證：ZEAD=ZEDA；

（2）若NC=60。，Z）E=4時，求△AED的面積.

A

D

14.（2022?黃石）如圖，在AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=9O°,且點。在線

段8C上，連CE.

（1）求證：gZXACE；

（2）若NEAC=60。，求NCE。的度數.

15.（2022?柳州）如圖，點A,D,C,尸在同一條直線上，AB=DE,BC=EF.有下列三個條件：①AC

=DF,?ZABC=ZDEF,?ZACB=ZDFE.

（1）請在上述三個條件中選取一個條件，使得AABC注△DEF.

你選取的條件為（填寫序號）（只需選一個條件，多選不得分），你判定△ABCgAOEE

的依據是（填“SSS”或“SAS”或“ASA"或‘A4S'）；

（2）利用（1）的結論△ABCg/XDEF.求證：AB//DE.

16.（2022?資陽）如圖，在A48C中（ABCBC）,過點C作CD〃A8,在CD上截取CD=C8,CB上截

MZCE=AB,連接。E、DB.

（1）求證：AABC咨AECD；

（2）若NA=90。，AB=3,BD=2底,求△BCD的面積.

D

B

17.(2022?長沙)如圖，AC平分NBA。，CB±AB,CD±AD,垂足分別為B,D.

(1)求證：△ABC0△ADC；

(2)若AB=4,CD=3,求四邊形ABC。的面積.

18.(2022?北京)在A48C中，ZACB=9Q°,。為AABC內一點，連接8。，DC,延長。C到點E,使得

CE=DC.

(1)如圖1,延長BC到點F,使得CE=BC,連接AREF.若AF_LEF,求證：BD±AF；

(2)連接AE,交BD的延長線于點H,連接CH,依題意補全圖2.若AB2=AE2+BD2,用等式表示

線段C。與的數量關系，并證明.

A

B

E

圖1

19.（2022?濰坊）【情境再現】

甲、乙兩個含45。角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足。處.將甲繞

點0順時針旋轉一個銳角到圖②位置.小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接AG,

BH,如圖③所示，AB交HO于E,AC交。G于尸，通過證明△OBE0/XOAF,可得0E=O尸.

請你證明：AG=BH.

【遷移應用】

延長GA分別交HO,所在直線于點P,D,如圖④，猜想并證明DG與8H的位置關系.

【拓展延伸】

小亮將圖②中的甲、乙換成含30。角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接AG,如圖

20.(2021?柳州)如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個點C,從點C不經

過池塘可以直接到達點A和8,連接AC并延長到點使CO=CA,連接BC并延長到點E,使CE=

CB,連接OE,那么量出OE的長就是A、B的距離，為什么？請結合解題過程，完成本題的證明.

證明：在△OEC和AABC中，

'CD=()

'()

,CE=(),

.'.△DEC名AABC(SAS),

21.(2023?銅仁市四模)王強同學用10塊高度都是2c相的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木

墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板(AC=BC,ZACB=90°)，點C在。E上，點A和8

分別與木墻的頂端重合.

(1)求證：AADCQACEB；

(2)求兩堵木墻之間的距離.

22.（2023?廣州）如圖，已知40是AABC的角平分線，DE,。尸分另U是AABO和AACQ的高，AEE2,

DF=5,則點E到直線A。的距離為.

專題14全等三角形

士:考點回歸

全等三角形的L全等三角形的對應邊相等，對應角相等；

性質2.全等三角形的周長相等，面積相等；

3.全等三角形對應的中線、高線、角平分線、中位線都相等.

三角形全等的L邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或

判定定理"SSS"）；

2.邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角

邊"或"SAS"）；

3.角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊

角”或“ASA”）；

4.角角邊定理：有兩角和它們所對的任意一邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成

“角角邊"或"AAS"）；

5.對于特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：

有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成"斜邊、直角邊”或

,,HL"）.

判定兩個三角'找夾角一SAS

形全等的思路找亶角一HL

找第三邊一SSS

1.已知兩邊

’一邊為角的對邊找另一角一AAS

'找夾角的另一邊一SAS

’一邊為角的鄰邊，找夾角的另一角一ASA

_仔找邊的對角一AAS

2.已知一邊、用L,

'找夾邊一ASA

找其中一角的對邊一

3.已知兩角AAS

常考全等模型平移模型V-

對稱模型

角平分線

如圖，已知a*平分/4。8,CD上。A,CELOB則CDuCS1.

2.判定：角的內部，與角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上.

如圖，已知CE*0BCE則。。平分.

全等三角形的用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質和判定往往是綜合在一起應用的，

性質與判定綜這需要認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角

合應用之間的聯系.

作輔助線構造常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中

全等三角形是解決中線問題的基本規律.②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”

或“補短法”，這些問題經常用到全等三角形來證明.

全等三角形在一般方法是把實際問題先轉化為數學問題，再轉化為三角形問題，其中，畫出示意

實際問題中的圖，把已知條件轉化為三角形中的邊角關系是關鍵.

應用

3

專題14全等三角形

目錄一覽

知識目標（新課程標準提煉）

中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）

重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一三角形的面積

A考向二三角形的內角和

A考向三全等三角形的判定與性質

A考向四全等三角形的應用

A考向五角平分線的性質與判定

A考向六線段的垂直平分線的性質

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優化解題技巧）

歲^知識目標

1.理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應邊、對應角；

2.掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等；

3.掌握基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；

4.掌握基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等；

5.證明定理：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等；

6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.

4F考解密

該板塊內容重在掌握基本知識的基礎上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，分值為10~15分，預

計2024年各地中考還將出現，并且在選擇、填空題中考查三角形中位線、內外角性質、三角形三邊關系

等知識點，這部分知識需要學生扎實地掌握基礎，并且會靈活運用。在解答題中會出現三角形全等的判定

和性質，這部分知識主要考查基礎。

■

重點考向

A考向一三角形的面積

1.（2022?桂林）如圖，在△/比1中，/6=22.5°,ZC=45°,若/C=2,則△/比■的面積是（）

3m

A.2B.1+V2C.2V2D.2+V2

【思路點撥】如圖，過點/作血小熊于4交BC于D,過點力作力于瓦先證明△4％是等腰直

角三角形，得47=47=2,N49C=45°,CA近AC=2近,再證明49=初，計算力￡和比'的長，根

據三角形的面積公式可解答.

【規范解答】解：如圖，過點/作4a然于4交用于〃過點力作/￡，用于瓦

.?.△血心是等腰直角三角形，

：.AD=AC=2,ZADC=45°,CD=?AC=2

VZADC=AB+ABAD,Z5=22.5°,

；./%8=22.5°,

NB=ADAB,

：.AD=BD=2,

'JAD^AC,AELCD,

：.DE=CE,

_1

；./￡=2CD^\[2,

；.△/比■的面積=2?BOAE=2xV2x（2+2V2）=2+V2.

故選：D.

【真題點撥】本題考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性質，三角形的面積，熟知掌握等腰三角形

的

性質是解本題的關鍵.

2.（2022?遂寧）如圖，D、E、尸分別是△/8C三邊上的點，其中比'=8,外邊上的高為6,豆DE〃BC,

則△頌面積的最大值為（)

A

【思路點撥】過點A作AMVBC于〃，交龐于點兒則ANLDE,設AN=a,根據DE//BC,證出

△4加2\4比；根據相似三角形對應高的比等于相似比得到龍=3a,列出△班F面積S的函數表達

式，根據配方法求最值即可.

【規范解答】解：如圖，過點力作加工員于〃，交應于點兒則加U如

設AN=a,

'：DE//BC,

：.ZADE=AB,AAED=AC,

:.△ADEs^ABC,

DEAN

.-.BC=AM,

DEa

Z.T=E,

DE—3a,

1

△頌面積S=2XDEXMN

=2X3a*(6-a)

2

=-3a+4a

2

=-3(a-3)2+6,

.?.當a=3時，S有最大值，最大值為6.

故選：A.

【真題點撥】本題考查了三角形的面積，平行線的性質，列出△瓦廠面積S的函數表達式，根據配方

法求最值是解題的關鍵.

3.(2023?臺州)如圖，點C,2在線段26上(點。在點4。之間)，分別以448c為邊向同側作等邊

三角形4瓦'與等邊三角形煙；邊長分別為a,b,CF與DE交干點、H,延長所交于點G,4G長為

(1)若四邊形必環的周長與△(W的周長相等，則a,b,c之間的等量關系為5a+56=7c

(2)若四邊形圖%的面積與△。放的面積相等，則a,b,c之間的等量關系為丁+上=02.

G

【思路點撥】(1)由厲和△呼是等邊三角形，可得陽和△4比是等邊三角形，DE//BG,

CF//AG,即知EG=AG-AE=c-a,GF=BG-BF=c-b,根據四邊形圖右的周長與的周長相等，

有2[(c-a)+(c-6)]=3Qa\b-c),故5a+56=7c；

=

(2)由SHii?BHFGSAABS-SABCF-SzAD計S^CDK,四邊形EHFG的面積與△CZ2，的面積相等，可得SAABG=

近近近

SAB/Sw即4c=4a+4況從而可得才+方2=/.

【規范解答】解：(1)???△/〃￡和△呼是等邊三角形，

:?/A=/ADE=/B=/BCF=6G°,

???△67W和△/比是等邊三角形，DE//BG,CF//AG,

J四邊形圖%是平行四邊形，AB=AG=BG=c,CH=DH=CD=ADVBC-AB=a+b-c,

EG=AG-AE=c-a,GF=BG-BF=c-b,

???四邊形麗;的周長與△。力的周長相等，

.*.2[(c-a)+(c-Z?)]=3(a^b-c),

整理得：5a+5Z?=7c,

故答案為：5司+56=7°；

(2)S四邊形EHFG—S/XABG~S/\BCF~S3SAW,四邊形仍為。的面積與△02〃的面積相等,

??S^ABG~S^BCF~S〉AD聲Si\CDH=S^CDH，

??S〉ABG=SABCASAADE，

MABG,△/龍和△呼是等邊三角形，

返返近

22

c=~a+~R,

c=a+lj,

故答案為：界&=舌.

【真題點撥】本題考查等邊三角形的性質及應用，解題的關鍵是用含a,b,c的代數式表示相關線段

的長度.

A考向二三角形的內角和

4.(2023?聊城)如圖，分別過△/比1的頂點A,8作AD//BE.若/CAD=25°,/EBC=80°,貝!⑦

的度數為（）

【思路點撥】由平行線的性質可求N/加得度數，再利用三角形的內角和定理可求解.

【規范解答】解：龍，

:./ADC=/EBC=8Q°,

ZCAD^-ZADOZACB=18Q°,ZCAD=2.5°,

：.AACB=\^0-25°-80°=75°,

故選：B.

【真題點撥】本題主要考查平行線的性質，三角形的內角和定理，掌握平行線的性質及三角形內角和

定理是解題的關鍵.

5.（2023?徐州）如圖，在△/比'中，若DE//BC,FG//AC,/皿'=120°,/函=115°,則NC=

【思路點撥】根據平行線的性質，三角形內角和定理進行計算即可.

【規范解答】ft?：-：DE//BC,NBDE=12Q°,

；./8=180°-120°=60°,

'：FG//AC,/所6=115°,

：.ZA=180°-115°=65°,

.,./C=180°-AB-ZA^55°,

故答案為：55.

【真題點撥】本題考查平行線的性質，三角形內角和定理，掌握平行線的性質，三角形內角和定理是

正確解答的前提.

A考向三全等三角形的判定與性質

解題技巧/易錯易混

1.從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素

（其中至少有一個元素是邊）對應相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準確地確定要補充的邊

（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路.

2.若題中沒有全等的三角形，則可根據題中條件合理地添加輔助線，如運用作高法、倍長中線法、截長

補短法、分解圖形法等來解決運動、拼接、旋轉等探究性題目.

6.（2023?涼山州）如圖，點￡、點尸在BC上,BE=CF,AB=AC,添加一個條件，不能證明

△/母力△腔'的是（）

A.NA=NDB./AFB=/DECC.AB=DCD.AF=DE

【思路點撥】根據旗=CF求出冊=第再根據全等三角形的判定定理進行分析即可.

【規范解答】黑：,：BE=CF,

：.BE+EF=CF^EF,

即BF=CE,

.,.當時，利用A4s可得故/不符合題意；

當///%=/座C時，利用/必可得△幽咤△%?,故笈不符合題意；

當加=加時，利用夕1S可得△/物絲△旌，故C不符合題意；

當"'=應時，無法證明△/母經△腔；故〃符合題意；

故選：D.

【真題點撥】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，全

等三角形的判定定理有必S,ASA,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有班等.

7.（2023?呼和浩特）如圖，在中，/ABC=90°,AB=BC,AC=4j5,點戶為AC邊上的中點，

陽交的延長線于點弘7W交優1的延長線于點兒且放L朋若BM=1,則△加的面積為（）

13

A.13B.Vl3C.8D.2

【思路點撥】依據題意，連接BP,然后先證明△身值△,,從而CN=BP=\,又由等腰可

得8c=4,從而在Rt△奶V中可以求得仞又MP=NP,從而可得W的值，進而可以得解.

【規范解答】解：如圖連接小

M

,:AB=BC,點、P為〃'邊上的中點，

J.BPLAC,ACBP=ZABP^2ZABC=45°,ZBCA=45°,BP^CP=2AC=242.

：./NCP=\BO°-45°=135°.

'：BPAC,PMVPN,

:*NBPg/MPC=9G,N67MN仞°C=90°.

：.ABPM=ACPN.

又BP^CP,ZMBP^ZNCP,

:.△BMP^XCNP（ASA）.

:.BMCN=\,MP^NP.

在Rtzwr中，^=VBP2<P2=4.

.,.在Rt△JW中，MN=VBM2+BN2=Vl2+52=V26.

又在RtZ\JW中，MP=NP,

.*.加+泗=血.

：.MP=NP=4vi.

113

:.S^=2MP*NP=2.

故選：D.

【真題點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質，解題時要熟練掌握

并靈活運用是關鍵.

8.（2022?泰安）如圖，平行四邊形/比》的對角線47,如相交于點。，點￡為8c的中點，連接￡。并延

長交加于點尸，ZABC^6Q°,BC=2AB.下列結論：?ABLAC-,②AD=4OE；③四邊形/￡（跖是菱形；

1

A.4B.3C.2D.1

【思路點撥】通過判定項為等邊三角形求得/胡方=60°,利用等腰三角形的性質求得/加。=

30°,從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結合菱形的性質和含30°

直角三角形的性質判斷②；根據三角形中線的性質判斷④.

【規范解答】解：?..點￡為8c的中點，

:.BC=2BE=2CE,

又,：BC=2AB,

:.AB=BE,

\'ZABC=QO°,

；.△/龍是等邊三角形，

：.ZBAE=ZBEA=60°,

.,./加（7=/￡竊=30°,

AZBAC=ZBAE+ZEAC=^Q°,

即ABLAC,故①正確；

在平行四邊形力中，AD//BC,AD^BC,AO=CO,

:./CAD=/ACB,

在△/必和△您'中，

,ZCAD=ZACB

<OA=OC

ZAOF=ZCOE,

：./\AOF^/\COE（ASA）,

：.AF=CE,

四邊形/叱是平行四邊形，

又「46,4c點E為8c的中點，

:.AE=CE,

.?.平行四邊形力比F是菱形，故③正確；

J.ACLEF,

在RtZiC施中，ZACE=30°,

XXX

：.0E=2CE=4BC=4AD,故②正確；

在平行四邊形力8（力中，OA=OC,

又：點￡為寬的中點，

1_1

S/\BOE=2S/SBOC=4SAABC,故④正確；

正確的結論由4個，

故選：A.

【真題點撥】本題考查平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，菱形的判定和性質，含30。的

直角三角形的性質，掌握菱形的判定是解題關鍵.

7.（2022?大慶）如圖，正方形/灰/中，點￡,尸分別是邊48,比■上的兩個動點，且正方形/及力的周長

是△頌周長的2倍.連接陽母1分別與對角線/C交于點必N,給出如下幾個結論：①若/￡=2,CF

MN

=3,貝UEF=4；②/EFN^NEMN=\8Q°；③若AM=2,CN=3,貝!JW=4；④若AH=2,BE=3,貝！|EF

=4.其中正確結論的序號為②.

【思路點撥】根據已知條件可得EF=AE+FC,即可判斷①，進而推出加=45°,判斷②正確，作

DGLEF干點、G,連接GM,GN,證明aCW是直角三角形，結合勾股定理驗證③，證明/頗=/■?=

30°,即可判斷④.

【規范解答】解：?..正方形/及力的周長是△顏周長的2倍，

：.BE+BF+EF=AB+BC,

：.EF=AE+FC,

若4￡=2,CF=3,則/=2+3=5,故①錯誤;

如圖，在掰的延長線上取點〃使得

在正方形/靦中，AD=CD,4HAD=NFCD=90

在△/初和△雨)中,

'AD=CD

?ZHAD=ZFCD

AH=CF,

:.MAH噲XCFD(SAS),

：.ACDF=Z.ADH,HD=DF,AH=ADFC,

又'：EF=AE+CF,

:.EF=AE+AH=EH,

在△渤和△龐F中,

'DH=DF

，DE=DE

EH=EF,

:.△DEH^XDEF〈SSS),

：.AHDE=AFDE,NH=/EFD,AHED=AFED,

,：4CDF+NADF=/ADm/ADF=NHDF=9Q°

:.NEDF=/HDE=45°,

VZT7=ADFC=ADFE,4EMN=/HE史4EAM=^>°+ZDEF,

：.2EFN^NEMN=4DFC+區。+/DEF=/DFE+/EDR/DEF=\8Q°,

則/跖計/砌V=180°,故②正確；

如圖，作。GL用于點G,連接圍GN,

在△/旗和△曲。中，

,ZDAE=ZDGE

<ZAED=ZGED

DE=DE,

：./\AED^/\GEDHAAS),

同理，△血&△々F(A4S),

：.AG=DG=CF,NADE=NGDE,/GDF=/CDF,

點4G關于應對稱軸，C,G關于所對稱，

；.GM=AM,GN=CN,/EGM=/EAM=45°,NNGF=2NCF=45°,

；./闌V=90°,即△6W是直角三角形，

若加=2,CN=3,

:.GM=2,GN=3,

在RtzX6W中，W=VGM2-H}N2=V13,故③錯誤；

MN

"：MG=AM,且AM=2,BE=3,

MGAM1

在Rtz\6W中，sin/W=MN=MN=2,

:?/MNG=3S,

■:/EFN^/EMN=\KN,/EMN^/AME=\8b°,

旦/CFN=/EFN,

:?/AME=/CFN,

：,2/AME=2/CFN,

即NZ欣=N55,

:?/GMN=/BFE,

:./BEF=/MNG=3G,

BE近

：.cos/BEF=cos/MNG=^=2,

：.EF=243,故④錯誤，

綜上，正確結論的序號為②，

故答案為：②.

【真題點撥】本題考查了正方形的性質，軸對稱的性質，解直角三角形，全等三角形的性質與判定，

題目有一定綜合性，通過添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵.

A考向四全等三角形的應用

解題技巧/易錯易混

一般方法是把實際問題先轉化為數學問題，再轉化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉化

為三角形中的邊角關系是關鍵.

8.（2022?揚州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊.小明通過電話給

玻璃店老板提供相關數據，為了方便表述，將該三角形記為△/比；提供下列各組元素的數據，配出來

的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,Z.BC.AB,AC,/BD.N4ZB,BC

【思路點撥】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案.

【規范解答】解：A.利用三角形三邊對應相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項不合題

思；

B.利用三角形兩邊、且夾角對應相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項不合題意；

C.AB,AC,ZB,無法確定三角形的形狀，故此選項符合題意；

D.根據N4ZB,BC,三角形形狀確定，故此選項不合題意；

故選：C.

【真題點撥】此題主要考查了全等三角形的應用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵.

9.（2023?雄縣一模）為測量一池塘兩端46之間的距離，兩位同學分別設計了以下兩種不同的方案.

方案I:如圖，先在平地

上取一個可以直接到達點46的點。，連接力。并延長到點乙連接6。并延長到點〃，并使8=/。，DO-

BO,連接〃C,最后測出小的長即可；

方案H：如圖，先確定直線過點8作直線跳士在直線座上找可以直接到達點力的一點〃連接

DA,作加=的，交直線也于點G最后測量8c的長即可.

下列說法正確的是()

A.I,II都不可行B.I,II都可行

C.I可行，II不可行D.I不可行，II可行

【思路點撥】根據全等三角形的判定方法和等腰三角形三線合一性質求解即可.

【規范解答】解：方案I：：8=/。，DO=BO,NAOB=/COD,

:.△AOB^XCODqSAS),

：.AB=CD,

/.I可行；

方案H：'：DC=DA,

繆是等腰三角形，

BELAB,

:.AB=BC,

;.n可行，

綜上所述，I,II都可行.

故選：B.

【真題點撥】此題考查了全等三角形的判定方法和等腰三角形三線合一性質，熟練掌握以上知識點是

解題的關鍵.

10.(2022?百色)校園內有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實地測量，并記錄數據，根據造型畫

如圖的四邊形力瓦力，其中相=3=2米，AgBC=3米,N8=30°.

(1)求證：ZX/6修△如；

(2)求草坪造型