專題07一線三等角模型中檔大題與壓軸題真題分類（解析版）

基礎模型

已知:點P在線段AB上,N1=N2=N3,且AP=3D（或AC=3尸或

C

CP=PD）

結論1:AAPC^ABDP

APB

同側一?線三等角

已知:點尸在線段A3的延長線上,N1=N2=N3,且AP=3。（或

D

工AC=BP或CP=PD）

結論2/APCZABDP

異側一線三等角

專題簡介：本份資料包含一線三等角模型常考的中檔大題、一線三等角模型常規壓軸題、坐標系中的三垂

直模型類壓軸題，所選題目源自各名校期中、期末試題中的典型考題。適合于培訓機構的老師給學生作專

題復習培訓時使用或者沖刺壓軸題高分時刷題使用。

題型1:一線三等角模型中檔大題

1.如圖，ZB=NC=90。，ZBAE=ACED,且AB=CE.

（1）試說明：△"近是等腰直角三角形；（2）若NCDE=2NBAE,求NCDE的度數.

'NB=/C=90°

【解答】證明：(1)在△A2E與中，，AB=EC，.,.△ABE絲△ECD(ASA),

ZBAE=ZCED

：.AE=ED,VZBAE+ZAEB=90°,AZAEB+ZCED=90°,△AED是等腰直角三角形;

(2)?:AABE絲4ECD,：.ZAEB^ZCDE,VZAEB+ZBAE^90°,,:/CDE=2/BAE,

：.2ABAE+ZBAE=90°,AZBAE=30°,：.ZCDE=6Q°.

2.如圖，在△ABC中，AC^BC,D、E分別為AB、BC上一點，NCDE=NA.若BC=BD,求證：CD=DE.

【解答】證明："：AC=BC,：.ZA=ZB,：AC=BCBC=BD,J.AC^BD,VZCDB=ZA+ZACD=

ZCDE+ZBDE,ZCDE^ZA,；.NACD=NBDE,

'/A=NB

在△AC。與△BDE中，,AC=BD，

ZACD=ZBDE

AAACD^ABDE(ASA),：.CD=DE.

3.(雅禮)如圖，在△ABC中，NB=NC,點。是邊3c上一點，CD=AB,點E在邊AC上.

(1)若ZADE=ZB,求證：

?ZBAD=ZCDE-,

②BD=CE；

(2)若BD=CE,NB4c=70。，求Z4DE的度數.

【解答】(1)證明：①：在△ABC中，ZBAD+ZB+ZADB=180°,AZBAD=180°-ZB-ZADB,

又；/CDE=180°-ZADE-ZADB,且:.NBAD=NCDE；②由①得：/BAD=NCDE,

2B=NC

在△A8￡)與△￡>"中，<AB=DC，.,.AABD^ADCE(ASA),：.BD=CE；

ZBAD=ZCDE

fAB=DC

(2)解：在△AB。與△DCE中，<ZB=ZC>>,?△ABD^ADCE(SAS),：.ZBAD=ZCDE,

BD=CE

又：NAOE=180°-ZCDE-ZADB,：,ZADE=180°-ZBAD-ZADB=ZB,

在△ABC中，ZBAC=70°,NB=/C,：.ZB=ZC=1.(180°-ZBAC)=AxilO°=55°,

22

AZADE=55°.

4.如圖，ZACB=90°,AC^BC,AD±CE,BELCE,垂足分別為。，E,A￡>=2.5cm,求

BE=1cm,求。E的長.

【解答】解：-：AD±CE,BELCE,：.ZADC=ZE=90°,：,ZACD+ZCAD=9Q°,

VZACB=90°,；.ZACD+ZBCE=90°,：.ZBCE=ZCAD,

rZE=ZADC=90°

在△BCE和△CAO中，，NBCE=NCAD，(AA5),

CB=CA

：.CD=BE=\(cm),CE=AD=25(cm),：.DE=CE-CD=2.5-1=1.5(cm).

5.已知，如圖①，在AABC中，/BAC=90。，AB=AC,直線m經過點A,BDL直線m,CEL直線m,垂足分別為

點D.E,求證：DE=BD+CE.

(2)如圖②，將(1)中的條件改為：在AABC中，AB=AC,D.A.E三點都在直線m上，并且有

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a,其中a為任意鈍角，請問結論DE=BD+CE是否成立?若成立，請你給出證明：若

圖①圖②

【解答】解：(1)DE=BD+CE,理由如下：VZBAC=90Q,：.ZBAD+ZCAE=90°,'：BD±m,CEL

m,：.ZADB=ZCEA=90°,：.ZBAD+ZABD=9Q°,AZABD=ZCAE,

rZADB=ZCEA=90°

在△AO8和△CEA中，,NABD=NCAE，?'.△ADB^ACEA(AAS),：.BD=AE,AD=CE,

AB=AC

DE=AD+AE=BD+CE；

(2)結論。E=BD+CE成立，理由如下："：ZBAD+ZCAE=1800-ABAC,ZBAD+ZABD=180°-Z

ADB,ZADB=ZBAC,：.ZABD=ZCAE,

'NADB=NCEA

在△BA。和△ACE中，＜NABD=NCAE，.,.ABAD^AACE(AAS),：.BD=AE,AD=CE,

AB=AC

DE=DA+AE=BD+CE.

6.(1)如圖1,△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AE是過A點的一條直線，且8、C在AE的異側，BDA.AE

于。，CEJ_AE于E,求證：BD=DE+CE.

(2)若直線AE繞點A旋轉到圖2的位置時(BDVCE),其余條件不變，問8。與。E、CE的關系如何?

請予以證明.

ZAEC=90°,"：ZABD+ZBAE=90°,

ZCAE+ZBAE^90°：.ZABD^ZCAE,'JAB^AC,在AABD和八CAE中,

，ZBDA=ZAEC

<ZABD=ZCAE

VIAB=AC,.?.△ABD^ACAE(AAS),:.BD=AE,AD=CE,'：AE=AD+DE,

:.BD=DE+CE；

⑵BD=DE-CE；VZBAC=90°,BDLAE,CELAE,：.ZBDA=ZAEC=90°,：.ZABD+ZDAB=

ZDEB+ZCAE,：.ZABD=ZCAE,'JAB^AC,在△4BO和ACAE中，

，ZBDA=ZAEC

-ZABD=ZCAE

VAB=AC,.'.△ABD^ACAE(A4S),：.BD=AE,AD=CE,：.AD+AE=BD+CE,

;DE=BD+CE,：.BD=DE-CE.

題型2：一線三等角模型常規壓軸題

7.(1)如圖工，直線m經過等腰直角△ABC的直角頂點4過點B、C分別作CE±m,垂足分別

是。、E.求證：BD+CE=DE；

(2)如圖2,直線m經過△ABC的頂點A,AB=AC,在直線m上取兩點0、E,使NAOB=NAEC=a,補

充NBAC=(用a表示)，線段B。、CE與OE之間滿足BD+CE=DE,補充條件后并證明；

(3)在(2)的條件中，將直線m繞著點A逆時針方向旋轉一個角度到如圖3的位置，并改變條件NAD8

=NAEC=(用a表示).通過觀察或測量，猜想線段BD、CE與。E之間滿足的數量關系，

并予以證明.

【解答】解：(1)'：BD_Lm,CE±m,：.ZDAB+ZABD^90°,ZADB=ZAEC,VZBAC=90°,

AZDAB+ZEAC=90°,/.ZABD=ZEAC,

'NADB=NAEC

在△ADB和中，<ZABD=ZEAC'.'.AADB^ACEA(A4S),：.BD=AE,AD=CE,

AB=AC

BD+CE=AD+AE=DE；

(2)補充NBAC=a,理由如下：VZADB=ZBAC=a,：.ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=18Q0-a,

：.ZCAE=ZABD,

rZABD=ZCAE

在△AQB和△CEA中，，ZBDA=ZCEA'(AAS),：.AE=BD,AD=CE,

AB=AC

/.BD+CE^AE+AD=DE；

(3)補充/AOB=/AEC=180°-a,理由如下：VZADB=180°-a,ZABD+ZBAD=a,

,/ZBAD+ZCAE=a,；.ZABD=ZCAE,

rZABD=ZCAE

在△48。和中，，/ADB=NAEC，.*.AABD^AC4E(AAS),：.AE=BD,CE=AD,

AB=AC

BD+DE=AE+DE=AD=CE；

8.已知RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點E為AABC內一點，連接AE,CE,CE±AE,過點B作BD±AE,

交AE的延長線于D

(圖1)(圖2)（圖3）

(1)如圖1,求證8￡>=AE；

(2)如圖2,點以為BC中點，分別連接EH,DH,求的度數；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點M為C”上的一點，連接EM,點尸為的中點，連接PH,過點。

作。交口/的延長線于點G,若GH：FH=6；5,△fWM的面積為30,ZEHB=ZBHG,求線段

由的長.

【詳解】證明：(1)VCELAE,BD±AE,；./AEC=/A￡>2=90°,VZfiAC=90°,

AZ.ACE+CAE=ZCAE+ZBAD=90°,AZACE=ZBAD,

ZACE=ZBAD

在△CAE與△AB。中\ZAEC=ZADB,.,.△CAE^AABD(A4S),：.AE=BD；

AC=AB

(2)連接A",'：AB=AC,BH=CH,：.ZBAH=-ABAC=1x90°=45°,/AHB=90°,

22

/.ZABH=ZBAH=45°,：.AH=BH,'：ZEAH=ZBAH-ZBAD=45°-ABAD,

ZDBH=1SO°-ZADB-ZBAD-ZAB//=45°-ZBAD,：.ZEAH=ZDBH,

AE=BD

在AAEH與△BDH中1/EAH=NDBH.?.△AEH烏ABDli(SAS),：.EH=DH,ZAHE=ZBHD,

AH=BH

1800-90°

/.ZAHE+ZEHB=ZBHD+ZEHB=90°,即NEH￡>=90°,ZEDH=ZDEH=------------=45°；

2

(3)過點M作MSLEF/于點S,過點E作ERLBH,交族的延長線于點R,過點E作ET〃2C,交HR

的延長線于點■'：DG±FH,ERLFH,：.ZDGH=ZERH=90°,：.ZHDG+ZDHG=90°

；NDHE=90°,：./EHR+/DHG=90°,：.ZHDG^ZHER

ZHDG=/HER

在ADHG與LHER中,<ZDGH=ZERH,:.△DHG/△HER(.AAS),：.HG=ER,,：ET//BC,

DH=EH

:.NETF=/BHG,ZEHB=Z.HET,ZETF=Z.FHM,VZEHB=ZBHG,：.ZHET=ZETF,

ZETF=ZFHM

：.HE=HT,在LEFT與△MFH中,\ZEFT=ZMFH,:.LEFT咨/\MFH(AAS),

EF=FM

設.GH=6k,FH=5k,則8G=ER=MS=64,

HF.MS5kSk

=30,k=-^21FH=5-^2，

/.HE=HT=2HF=1072.

圖102圖3

9.如圖(1),己知AA5c中，ABAC=90°,AB=AC；AE是過A的一條直線，且8,。在AE的異

側，BQLAE于。，。￡，4￡于￡.

(1)求證：BD=DE+CE；

(2)若直線AE繞A點旋轉到圖(2)位置時(BD<CE),其余條件不變，問3D與DE,CE的數量

關系如何？請給予證明.

(3)若直線AE繞A點旋轉到圖(3)位置時(BD>CE),其余條件不變，問5。與。E,CE的數量

關系如何？請直接寫出結果，不需證明；.

【解答】解：(1)"JBDLAE,CE±AE,：.ZADB=ZCEA=9Q°,/.ZABD+ZBAD=90°,

又：NBAC=90°,：.ZEAC+ZBAD=90°,ZABD=ZCAE,在△ABQ和中，

fZADB=ZCEA

<NABD=/CAE，?*-AABD^AACE(A45),:.BD=AE,AD=EC,:.BD=DE+CE.

AB=AC

(2)\'BD±AE,CE±AE,：.ZADB^ZCEA^90°,：.ZABD+ZBAD^90°,又?.?/BAC=90°,

AZEAC+ZBAD=90°,/.ZABD=ZCAE,

'/ADB=NCEA

在△AB。和△ACE中，,NABD=NCAE，.?.△ABD^AACE(A4S),：.BD=AE,AD=EC,

AB=AC

:.BD=DE-CE.

(3)同(2)的方法得出，BD=DE-CE.

10.如圖，Rt^ACfi中，ZACB=9Q°,AC^BC,E點為射線CB上一動點，連結AE,作A產，AE

且AF=AE.

(1)如圖1,過尸點作ED_LAC交AC于。點，求證：FD=BC；

(2)如圖2,連結Bb交AC于G點，若AG=3,CG=1，求證：E點為中點.

A(Z

(3)當七點在射線CB上，連結跳7與直線AC交于G點，若BC=4,BE=3,則一=.(直

CG

接寫出結果)

【解答】解：(1)證明：VFD±AC,.-.ZFDA=90°,/.ZDFA+ZDAF=90°,同理，ZCAE+ZDAF=90°,

NDFA=NCAE,

ZAFD=ZEAC

在AAFD和△EAC中，IZADF=ZECA,AAAFD^AEAC(AAS),.\DF=AC,VAC=BC,.\FD=BC；

AF=AE

(2)作FD_LAC于D,由(1)得，FD=AC=BC,AD=CE,

NFDG=ZBCG=90°

在4FDG和ABCG中，IZFGD=ZBGC,.-.△FDG^ABCG(AAS),.*.DG=CG=1,

FD=BC

；.AD=2,；.CE=2,：BC=AC=AG+CG=4,；.E點為BC中點;

E

4國25

(3)當點E在CB的延長線上時，過F作FDLAG的延長線交于點D,BC=AC=4,CE=CB+BE=7,

由（1）（2）知：AADF^AECA,AGDF^AGCB,；.CG=GD,AD=CE=7,；.CG=DG=L5,

AG4+1.511B、“上?心dc=AG4-1.55

--同1T理，當點E在線段BC上時，—=

CCJ1.53CG1.53

題型3：坐標系中的三垂直模型類壓軸題

11.(廣益)已知：如圖，在平面直角坐標系無Oy中，A(-2,0),B(0,4),點C在第四象限，AC±AB,

AC^AB.

(1)求點C的坐標及/COA的度數;

(2)若直線BC與無軸的交點為點尸在經過點C與x軸平行的直線上，求出的值.

【解答】解：（1）作CD_Lx軸于點D.,./CZM=90°.VZAOB=90°,：.ZAOB=ZCDA.：.ZDAC+

ZDCA=90°.'：AC±AB,：.ZBAC=ZBAD+ZCAD=90°,：.ZBAD=ZACD.

fZAOB=ZCDA

在△AOB和△CZM中</BAD=NACD，.".AAOB^ACDA(AAS),：.AO=CD,OB=DA.

BA=AC

VA(-2,0),B(0,4),：.OA=2,OB=4,：.CD=2,Z)A=4,：.OD=2,：.OD=CD.

:點C在第四象限，：.C(2,-2).VZCZ)O=90o,，NCO￡>=45°.：.ZCOA^180°-45°=135

（2）：「＜?〃尤軸，，點尸至!］了軸的距離相等，，54尸0"=54。。”.；.5/\?。"+5^8。"=54（70"+548。”=5k8。＜7.

.4XP

?.S&POM+S&BOM=SABOC=-----4.

2

12.（師大）已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB,A點在x負半軸上，直角頂點B在y軸上，點C

在x軸上方.

（1）如圖1所示，若A的坐標是（-3,0）,點B的坐標是（0,1）,求點C的坐標；

（2）如圖2,過點C作CO_Ly軸于D,請直接寫出線段。A,OD,CD之間等量關系；

（3）如圖3,若X軸恰好平分/BAC,BC與X軸交于點E,過點C作C尸J_x軸于F,問CF與AE有怎樣的

數量關系？并說明理由.

【解答】解：(1)作軸于”，如圖1,??,點A的坐標是(-3,0),點B的坐標是(0,1),

二。4=3,OB=1,,.'△ABC是等腰直角三角形，：.BA^BC,ZABC=90°,ZABO+ZCBH^9O0,

"：ZABO+ZBAO=90°,：.ZCBH=ZBAO,

，ZAOB=ZBHC

在△AB。和△BCW中，ZBAO=ZCBH':?AABO"ABCH,：.OB=CH=1,OA=BH=3,

AB=BC

.?.08=02+2//=1+3=4,：.C(-1,4)；

(2)OA=CD+OD.理由如下：如圖2,「△ABC是等腰直角三角形，：.BA=BC,ZABC=9Q°,

：.ZABO+ZCBD=90°,VZABO+ZBAO=9Q°,：.ZCBD=ZBAO,

'NAOB=/BDC

在△ABO和△BCD中，ZBAO=ZCBD>:.AABOqABCD,：.OB=CD,OA=BD,而BD=OB+OD=

AB=BC

CD+OD,：.OA=CD+OD；

(3)CF=1AE.理由如下：如圖3,CP和AB的延長線相交于點￡),...NCBD=90°,

2

VCF1.X,：,ZBCD+ZD=90°,而/ZMF+/r>=90°,：,ZBCD=ZDAF,

rZABE=ZCBD

在△ABE和△CB￡)中，<AB=CB，???△ABE0△CBD(ASA),：.AE=CD,

ZBAE=BCD

:x軸平分/2AC,CP_Lx軸，；.CF=DF,：.CF^^CD^IAE.

22

13.(青竹湖)如圖1,0A=2,08=4,以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰RtZ^ABC.

(1)求C點的坐標；

(2)如圖2,P為y軸負半軸上一個動點，當P點向y軸負半軸向下運動時，以P為頂點，力為腰作

等腰RtAAPD,過。作DE±x軸于E點，求OP-DE的值；

(3)如圖3,已知點F坐標為(-2,-2),當G在y軸的負半軸上沿負方向運動時，作RtAFGH,始

終保持/GFH=90°,FG與y軸負半軸交于點G(0,m),FH與x軸正半軸交于點H(n,0),當G點

OAB+ZOBA=90°,貝!)/MAC=NOBA,

，ZCMA=ZAOB=90°

在△MAC和△OBA中，，ZMAC=Z0BA,.".AMAC^AOBA(AAS)

AC=BA

：.CM=OA=2,MA=OB=4,二點C的坐標為(-6,-2)；

(2)過。作DQLOP于。點，如圖2,則OP-DE=PQ,ZAPO+ZQPD=90°ZAPO+ZOAP=90

，ZAOP=ZPQD=90°

°,則NQPD=/OAP,在△AOP和△PDQ中，.ZQPD=Z0AP

AP=PD

則△AOPgAPOQ(A45),：.OP-DE=PQ=OA=2；

(3)結論②是正確的，"2+〃=-4,如圖3,過點尸分別作尤軸于S點，FTJ_y軸于T點，

，ZFSH=ZFTG=90°

則/S=fT=2,NFHS=NHFT=NFGT,在△FS//和△PTG中，＜ZFHS=ZFGT

FS=FT

則絲△fTG(A4S),貝！IGT=8S,又：G(0,M,H(M,0),點尸坐標為(-2,-2),

：.OT=OS=2,OG=\m\=-m,OH=n,：.GT=OG-OT=-m-2,HS=OH+OS=n+2,

則-2-m=n+2,貝!Jm+n=-4.

AV

J'T)

M4Io0E:,

14.（青竹湖）如圖1,在平面直角坐標系中，點A（a,b）,連接OA,將OA繞點。逆時針方向旋轉90。到

OB.

（1）求點2的坐標；（用字母。，6表示）

（2）如圖2,延長A2交x軸于點C,過點B做交y軸于點。，求證：OC=OD；

（3）如圖3,在（2）的條件下，過點。做O暇〃應＞,若3c=4,求0M的長.

斗

OXC\OXc\O]MX

、D、D

【解答】（1）解：如圖1,

D0Cx

圖1

作AC_Lx軸于C,作Br>_L無軸于。，*.ZACO=ZBDO=90°,ZAOC+ZA=90°,VZAOB=90°,

ZAOC+ZBOD=9Q°,/.ZA=ZBOD,

rZAC0=ZBD0

在△AOC和△08。中，＜ZA=ZBOD，?,.△AOC^AOBD(A4S),：.OD=AC=\b\,BD=OC=\a\,

OA=OB

'.B(-b,a)；

(2)證明：如圖2,

設OC,BD交于點、E,:BD_LAC,：.ZBCD=ZCOD^9Q°,VZBEC=ZDEO,

ZACO=ZBDO,VZAOB=ZCOD=90°,?.ZAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC,

即：ZAOC=ZBOD,\'OA=OB,：./\AOC^/\BODCASA),：.OC=OD；

延長OM至N,使MN=OM,Af。的延長線交AB于。，連接￡W,'."OM//BD,BDLAB,

：.OQLAB,/AOQ=/=[NAOB=45。，4D0N=4BD0=4BCO,<OA=OB,：.AQ^BQ,

：.AM=DM,VZAMO=ZDMN,:.叢AMO”ADMN(SAS),：.ZN=ZAOM=1SO°-ZAOQ=135°,

VZABO=45°,；./OC2=135°,AZN^ZOCB,'JOD^OC,：.^\DON^/\OCB(AAS),

：.ON=BC=4,OA/=-i-Qfj=2.

15.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，點A(0,3)與點8關于無軸對稱，點C(〃，0)為x

軸的正半軸上一動點.以AC為邊作等腰直角三角形AC。，NACD=90°,點。在第一象限內.連接BD

交x軸于點尸.

(1)如果N。4c=38°,求/。CF的度數；

(2)用含〃的式子表示點。的坐標；

(3)在點C運動的過程中，判斷。尸的長是否發生變化？若不變求出其值，若變化請說明理由.

【解答】解：(1)VZAOC=90°,：.ZOAC+ZACO=90°,VZACD=9O°,AZDCF+ZACO=90°,

：.ZDCF=ZOAC,：NOAC=38°,：.ZDCF=38°；

(2)如圖，過點。作。HJ_x軸于H,?.ZAOC=ZCHD=9Qa，:等腰直角三角形ACD,

ZACD=90°J.AC^CD,由(1)知，NDCF=/OAC,A/\AOC^/\CHD(AAS),：.OC=DH=n,AO

=CH=3,.,.點。的坐標(w+3,M)；

(3)不會變化，理由：：點A(0,3)與點2關于x軸對稱，.?.49=20,又,WAB,軸是AB垂

直平分線，：.AC=BC,：,ZBAC=ZABC,又；AC=CD,：.BC=CD,：.ZCBD=ZCDB,VZACD=

90°,AZACB+ZDCB=270°,/.ZBAC+ZABC+ZCBD+ZCDB^90°,；.NABC+NCBD=45°,

VZBOF=90°,：.ZOFB=45°,：.NOBF=NOFB=45°,：.OB=OF=3,

OP的長不會變化.

16.如圖，四邊形O48C的位置在平面直角坐標系中如圖所示，且A(0,a),B(b,a),C(b,0),又

a,ba-4-V4-a+-^-^2+4^+8=0,點尸在x軸上且橫坐標大于b,射線。。是第一象限的一條射

線，點。在射線。。上，BP=PQ.并連接8。交y軸于點

(1)求點A,B,C的坐標為A、B、C.

(2)當BP_LPQ時，求NA。。的度數.

(3)在(2)的條件下，若點尸在x軸的正半軸上，且。尸=34W,試求點〃的坐標.

【解答】解：(1)a-4*,\l~^-^+-^b~+4b+8=Q,yja-4-V4_3+-^-(8-4)2=0,

：.a=4,6=4,(0,4),8(-4,4),C(-4,0),

故答案為(0,4),(-4,4),(-4,0)；

(2)由(1)知，A(0,4),8(-4,4),C(-4,0),AB=BC=OC=OA=4,四邊形0ABe是菱

形，；/AOC=90°,...菱形。4BC是正方形，過點。作。N_Lx軸于N,，/處0=90°,AZQPN+Z

PQN=90°,,：BPLBQ,：.ZBPQ=90°,：.ZBPC+ZQPN=90°,ZPQN=ZBPC,由(1)知，B

(-4,4),C(-4,0),：,BC=4,BC±x,:./BCP=/PNQ=90°,

rZBCP=ZPNQ=90°

在△BCP和△PN。中，,NBPC=/PQN，

BP=PQ

：./\BCP^/\PNQ(AAS),:.CP=QN,BC=PN,：.OC=PN=4,

①當點尸在x軸負半軸時，如圖1、OC=CP+OP,PN=OP+ON,：.CP=ON,'：CP=QN,：.ON=QN,

VZPNQ=90°,：.ZQON=45°,：.ZAOQ=45°,

②當點尸在x軸正半軸時，如圖2、OC=CP-OP,PN=ON-OP,：.CP=ON,,:CP=QN,：.ON=QN,

■:NPNQ=90°,：.ZQON^45°,：.ZAOQ^45°,即：/AOQ=45°；

(3)如圖2,過點。作QVJ_x軸于N,設P(%,0)(m>0),'：OP=3AM,：.AM=^OP^l.m,

33

：.M(0,上加+4),?；點2(-4,4),；.直線的解析式為了=工〃a+工小+4,由(2)知，PN=OC=4,

3123

:.N(m+4,0),QCm+4,m+4),丁點。在直線BA/上，-^-m(m+4)+~m+4=m+4,

123

.*.m=0(舍)或m=4,.\M(0,工^).

圖1圖2

17.(雅禮)已知：△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC.

(1)若8(0,a),C(b,0)且。、b滿足反+/-9|=0.則a=,b=；

(2)如圖1,在(1)的條件下，過點A作直線/〃x軸交y軸于點E,過點(7作(7于點D.

①求證：△ABE0△CAD；

②直接寫出A點坐標；

(3)如圖2,過點A和點C分別作x軸和y軸的平行線相交于點。，若3C=B￡>,試問器的比值是否

不變，若不變，求出比值；若變化，請說明理由.

(2)①證明：如圖1,

?.?直線/〃x軸交y軸于點E,過點C作CZ)_U于點O,：.ZAEB=ZADC=90°,

「△ABC是等腰直角三角形，：.AB^AC,N2AC=90°,Z.ZABE+ZBAE^90°,ZBAE+ZCAD^9Q

rZAEB=ZCDA=90°

ZABE=ACAD,在△AEB和△CZM中，<ZABE=ZCAD，.".AAEB^ACDA(A4S).

AB=CA

②解：?；AAEB絲ACDA,:.BE=AD,AE=CD,設2E=A￡>=根，B