一次函數易錯訓練與壓軸訓練（13易錯+8壓軸）

01思維導圖

目錄

易錯題型一正比例函數的相關概念..............................................................1

易錯題型二根據一次函數的定義求參數..........................................................3

易錯題型三求一次函數解析式..................................................................5

易錯題型四一次函數的圖象與性質..............................................................7

易錯題型五一次函數圖象與坐標軸交點問題.....................................................10

易錯題型六一次函數圖象平移問題.............................................................13

易錯題型七一次函數與方程...................................................................15

易錯題型八一次函數與不等式.................................................................18

易錯題型九一次函數與反比例函數.............................................................21

易錯題型十一次函數應用之分配方案問題.......................................................25

易錯題型十一一次函數應用之最大利潤問題....................................................29

易錯題型十二一次函數應用之行程問題.........................................................33

易錯題型十三一次函數應用之幾何問題.........................................................38

壓軸題型一一次函數圖象與性質壓軸........................................................42

壓軸題型二一次函數中的旋轉問題（45度）....................................................51

壓軸題型三一次函數的翻折問題...............................................................57

壓軸題型四一次函數的新定義問題.............................................................63

壓軸題型五一次函數中最值問題...............................................................69

壓軸題型六一次函數中動點問題...............................................................78

壓軸題型七一次函數的存在性問題.............................................................86

壓軸題型八一次函數中應用壓軸...............................................................94

02易錯題型

易錯題型一正比例函數的相關概念

例題：下列說法中正確的有（）

①了二船是正比例函數；

②如果夕=（。+3卜+/一9是正比例函數，那么。=±3；

③如果V與X+2成正比例，那么V是X的正比例函數；

④如果>=那么了與f成正比例.

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】D

【分析】本題考查正比例函數的定義，一般地，形如了=船（上是常數，k#0）的函數叫做正比例函數,

由此即可判斷.

【詳解】解：①當上*0時，>=船是正比例函數，原說法錯誤；

②如果V=（a+3）x+/-9是正比例函數，那么。=3,原說法錯誤；

③如果了與x+2成正比例，那么了=上卜+2）不是x的正比例函數，原說法錯誤；

④如果>=gx2,那么V與v成正比例，說法正確.

正確的只有1個，

故選：D.

鞏固訓練

1.如果/=丘+2左+x是關于x的正比例函數，貝同的值為（）

A.-1B.2C.0D.1

【答案】C

【分析】本題考查了正比例函數的定義.熟練掌握正比例函數的定義是解題的關鍵.

由>=履+24+x是關于x的正比例函數，可知>=（左+l）x+2左中左+1*0,2左=0,求解作答即可.

【詳解】解：?.?>=履+2后+%是關于x的正比例函數，

y=（左+1）x+2k中左+1w0,2k=0,

解得，k=0,

故選：c.

2.已知函數y=（加-l）x+/-i是正比例函數，則加=.

【答案】-1

【分析】該題主要考查了正比例函數的定義，正比例函數一般形式：歹=履（左W。），依據正比例函數的定義

求解即可.

根據正比例函數的定義列出方程求解即可；

【詳解】解：=+是正比例函數，

加2-1=0且機-1H0.

解得：m=—1.

故答案為：-1.

3.如果y=。-2卜+化2-2司是V關于x的正比例函數，求上的值.

【答案】k=Q

【分析】本題考查正比例函數的定義，根據形如了=履（左手。），這樣的函數叫做正比例函數，進行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：上一2/0且左,一？左=0,

???左=0.

易錯題型二根據一次函數的定義求參數

例題：若函數了=（加-2）靖~+3是一次函數，則私〃應滿足的條件是（）

A.〃？32且"=0B.："=2且〃=2C.7〃w2且〃=2D.機=2且〃=0

【答案】C

【分析】本題主要考查了一次函數的定義，一次函數>=履+6的定義條件是：k、6為常數，k手0,自變

量次數為1.根據一次函數的定義列出計算解答即可.

【詳解】解：由題意得"-1=1,m-2^0,

二7〃w2且力=2,

故選：C.

鞏固訓練

1.函數了=（"1）鏟+3是一次函數，則左的取值范圍是（）

A.k=1B.k=±\C.k=0D.k=—1

【答案】D

【分析】此題主要考查了一次函數的定義，一次函數〉=履+6的定義條件是:鼠6為常數，且后*0,自變

量次數為1.根據一次函數定義可得限=1且左-1*0,即可求解.

【詳解】解：由題意得：冏=1且"1W0,

解得:左=-1,

故選:D.

2.當加時，函數y=(%+2)x+l-加是正比例函數；當加時，函數y=(加+2)x+l-加是一

次函數.

【答案】=1#-2

【分析】本題考查正比例函數及一次函數的定義，根據正比例函數定義“形如V=h(左片0)的函數”及一次函

數的定義“形如y=kx+b(k^0)的函數”求解即可求得答案.熟練掌握其定義是解題的關鍵.

【詳解】解：已知函數丁=(%+2)x+l-加，

若該函數為正比例函數，則加+2片0,Ml-m=0,

解得mW-2,且m=1,

當優+2=1+2=3H0,則機=1符合題意；

若該函數為一次函數，則加+2w0,

即加大一2；

故答案為：=1,w-2.

3.已知函數了=(加+3)x+/w；

(1)當加取何值時，這個函數是正比例函數？

(2)當加在什么范圍內取值時，這個函數是一次函數？

【答案】(1)當機=0時，這個函數為正比例函數

(2)當加w-3時，這個函數是一次函數

【分析】(1)根據正比例函數的定義求解即可；

(2)根據一次函數的定義求解即可.

【詳解】(1)解：:函數y=(m+3)x+機是正比例函數，

J加+3w0

[m=0

.冽=0,

.當冽=0時，這個函數為正比例函數；

（2）解：,函數y=（w+3）x+m是一次函數，

.加+3w0,

?加w-3,

,當加。—3時，這個函數是一次函數.

【點睛】本題主要考查了一次函數與正比例函數的定義，熟知二者的定義是解題的關鍵.

易錯題型三求一次函數解析式

例題：直線y=2x+b向右平移2個單位長度，所得圖象恰好過點（-1,-3）,則6的值為（）

A.2B.4C.3D.5

【答案】C

【分析】本題主要考查一次函數與幾何變換的知識，將直線V=2x+6向右平移2個單位長度后直線的解析

式為：y=2（x-2）+6,又該直線經過點將點代入直線即可求出答案.

【詳解】解：將直線V=2x+6向右平移2個單位長度后直線的解析式為：y=2（x-2）+b,

將點（T-3）代入了=2（x-2）+6,得-3=2X（-1-2）+6,

解得：b=3.

故選：C.

鞏固訓練

1.在平面直角坐標系中有兩條直線4、4,直線4所對應的函數關系式為v=x+i,如果將坐標紙折疊，使4

與4重合，此時點（1⑼與點（。，1）也重合，則直線4所對應的函數關系式為（）

A.y=-x-1B.y=-x+\C.y=x-lD.y=x+l

【答案】C

【分析】本題考查了直線的平行，待定系數法，軸對稱的性質，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵.根據

坐標紙折疊，點（1,0）與點（0,1）重合，且點（L。）與點（0,1）關于直線對稱，得出折痕為直線^=盯根據

直線4〃直線y=x,得出直線4〃直線v=x，利用待定系數法求出解析式即可.

【詳解】解：?.?點(1,0)與點(0,1)重合，

又??,點(1,0)與點(0,1)關于直線了=x對稱,

???折痕為直線V=x,

???直線4與4關于直線y=X對稱，

???直線4所對應的函數關系式為y=x+i,

直線4〃直線了=》，

直線4〃直線了=》，

???設直線4的解析式為y=x+6，

???(0,1)是直線4上的點，

點(i,o)是直線4上的點，

.??0=1+6,

解得6=-1,

???直線4的解析式為y=x-i.

故選：c.

2.寫出一個一次函數，使該函數圖象經過第一、二、四象限和點僅,3),則這個一次函數可以是.

【答案】＞=r+3(答案不唯一)

【詳解】設一次函數解析式為＞=依+6,根據一次函數的性質得上＜0,6=3,據此寫出函數解析式即

可.本題考查了一次函的圖象和性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

【解答】解：?.?函數圖象經過第一、二、四象限和點（0,3）

???左v0,b=3,

不妨人=-1,則一次函數解析式為＞=-x+3

故答案為：V=-x+3（答案不唯一）.

3.已知：一次函數＞=履+6的圖象經過“（0,2）,N（l,3）兩點.

⑴求上,6的值；

（2）若4凡5）在一次函數y=h+b的圖象上，求線段/N的長.

【答案】（1））=1,b=2

（2）272

【分析】本題考查了待定系數法求一次函數解析式及一次函數圖象上點的坐標特征，平面上兩點間的距離

公式的應用.根據待定系數法求一次函數解析式是解題的關鍵.

（1）直接把"N兩點的坐標代入一次函數＞=6+6,求出后,6的值即可；

（2）根據（1）中左力的值得出一次函數的解析式，再把4。,5）代入求出。的值即可；再利用平面上兩點間

的距離公式求線段/N長.

【詳解】（1）??一次函數歹=履+6的圖象經過M（0,2）,N（l,3）兩點

J2=6

[3=^+6

[b=2

解得：,1

[K=1

???左力的值分別是1和2

（2）由（1）得：一次函數解析式為V=x+2

?.?4（25）在一次函數y=x+2的圖象上，

:.5=a+2

a=3

「.4（3,5）

由平面上兩點間的距離公式得：AN=7（3-1）2+（5-3）2=272,

故線段ZN的長為2行.

易錯題型四一次函數的圖象與性質

例題：在同一平面直角坐標系中，P,0分別是＞=x-3與y=-3x+5的圖象上的點，且尸，。關于原點。

成中心對稱，則點P的坐標是（）

1_13

B.(-2,5)」_z

A.2'TC.-2，-2D.-5,-y

【答案】C

【分析】本題主要考查了關于原點對稱的點的特征，求一次函數的函數值,

設點P的坐標，再根據中心對稱表示點。的坐標，然后代入關系式求出答案即可.

【詳解】解：設點尸（生。一3）,

■:點P,0關于原點對稱,

???點0(-。,3-a).

?.?點0（-。,3-。）在直線＞=-3》+5上,

3—a——3x(—Q)+5,

解得

c1c7

：.a—3=------3=—

22

17

???點"一下一/

故選：C.

鞏固訓練

1.已知一次函數%二a%+b和%=6x+a（abwO且QWb）,這兩個函數的圖象可能是（）

【答案】D

【分析】本題考查了一次函數圖象的性質，掌握一次函數圖象與比例系數的關系是解題的關鍵.

根據一次函數y=h+b任W0)中，左>0,6>0圖象經過第一、二、三象限；左>0)<0圖形經過第一、三、

四象限；上〈0,6〉0圖形經過第一、二、四象限；后<0,6<0圖形經過第二、三、四象限；由此即可求解.

【詳解】解：當。>0,6>0時，入,％的圖象經過第一、二、三象限，D選項符合題意；

當a>()/<()時，必的圖象經過第一、三、四象限，%的圖象經過第一、二、四象限，A,B,C選項不符

合題意；

當。時，九%的圖象經過第二、三、四象限，A,B,C選項不符合題意；

當。(0,6)0時，%的圖象經過第一、二、四象限，%的圖象經過第一、三、四象限，A,B,C選項不符合

題意；

故選：D.

2.關于一次函數>=-3x+2,下列說法正確的有.(直接填序號)

①y隨x的增大而增大；②圖象與直線V=-3x-3平行；

③函數圖象與夕軸的交點為(0,2)；④函數圖象經過第一、二、三象限

【答案】②③/③②

【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質，以及一次函數與坐標軸的交點.根據一次函數的性質逐個判

斷即可.

【詳解】解:①,.%=-3<0,

.可隨x的增大而減小，故本項錯誤，不符合題意；

②?；y=-3x+2與直線y=-3x-3中左值相同，

???圖象與直線>=-3x-3平行，故本項正確，符合題意；

③當尤=0時，y=2,

???函數圖象與y軸的交點坐標是(0,2),故本項正確，符合題意；

④二左=-3<0,6=2>0,

二函數的圖象經過第一、二、四象限，故本項錯誤，不符合題意；

綜上分析可知：正確的有②③.

故答案為：②③.

3.如圖，一次函數y=；x+2與x軸、夕軸分別相交于點/和點8.

(1)求點A和點B的坐標；

(2)點C在V軸上，若△/BC的面積為6,求點C的坐標.

【答案】⑴4-4,0),8(0,2)

(2)當點C在點5上方時，C(0,5);當點C在點5下方時，C(0,-l)

【分析】本題考查一次函數的綜合應用.正確的求出直線與坐標軸的交點坐標，利用數形結合和分類討論

的思想，進行求解，是解題的關鍵.

(1)令P=0,求出x的值，得到點/的坐標，令x=0,求出了的值，得到點3的坐標；

(2)分點C在點8上方和點C在點8下方兩種情況討論.

【詳解】(1)解：當x=0時，y=1x0+2=2,

.?項0,2),

當y=0時，—x+2=0,x=-4,

2

/(-4,0)；

(2)點C在V軸上，若△NBC的面積為6,

:.-xOAxBC=6,

2

???CM=4,

BC=3,

???當點C在點8上方時，C(o,5).

當點C在點8下方時，C(0,-l).

易錯題型五一次函數圖象與坐標軸交點問題

例題：一次函數y=；x-l圖象與y軸交點是（）

A.（-1,0）B.（2,0）C.（o,l）D.（0,-1）

【答案】D

【分析】本題考查了一次函數與v軸的交點.熟練掌握一次函數與了軸的交點是解題的關鍵.

當x=0時，y=—1,進而可求交點坐標.

【詳解】解：當x=0時，y=—1,

京一次函數y=gx-l圖象與y軸交點是（0,T）,

故選：D.

鞏固訓練

1、在平面直角坐標系中，若將直線y=-2x+機向下平移3個單位長度后，恰好經過原點，則直線y=-2x+加

與X軸的交點坐標（）

A.（1.5,0）B.（-1,0）C.（-1.5,0）D.（2,0）

【答案】A

【分析】本題主要考查了一次函數的圖象和性質.根據一次函數了=-2x+機的圖象向下平移左不變，可得

平移后的函數解析式為：y=-2x+m-3,把點（0,0）代入可求得加，進一步計算即可求解.

【詳解】解：???若將一次函數＞=-2x+加的圖象向下平移3個單位長度，

二平移后的函數解析式為：y=-2x+加-3,

???函數解y=-2x+m-3的圖象經過點（0,0）,

???加-3=0,

解得：m=3,

???一次函數的解析式為＞=-2X+3,

3

當y=o時，x=|,

???直線y=-2龍+機與x軸的交點坐標為（1.5,0）,

故選：A.

2.直線〉=如+6過（0,2）點，且與坐標軸圍成的圖形是等腰直角三角形，則。的值為.

【答案】±1

【分析】本題考查了一次函數＞=依+方（左w0，k、b為常數）與兩坐標軸交點的坐標的求法、等腰直角三

22

角形的性質.令y=o可以求出％=—-,所以一次函數與X軸的交點坐標的橫坐標為-一，直線＞過

aa

(0,2)點，所以直線與y軸交點的縱坐標為(0,2),根據圖象與坐標軸圍成的圖形是等腰直角三角形，可得

2

方程——=2,解方程即可求出。的值.

a

【詳解】解：把點(0,2)代入一次函數了=辦+6,

得到：6=2,

2

當V=0,可得:％=—，

a

直線＞=履+6與x軸的交點坐標為，

?-?圖象與坐標軸圍成的圖形是等腰直角三角形，

--=2,

a

整理得：同=1,

Q=±1.

故答案為：±1.

3.如圖，直線歹=-2x+4與x軸相交于點A,與V軸相交于點5.

(1)求45兩點的坐標；

(2/軸上有一點且。尸二2。4,求△/呂尸的面積.

(提示：尸可能在。的左邊，也可能在。的右邊)

【答案】(1)/(2,0),5(0,4)

(2)A4BP的面積為4或12

【分析】本題主要考查了求一次函數與坐標軸的交點坐標，坐標與圖形：

(1)利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點/、8的坐標.

(2)由點/、2的坐標得出。4的長，結合。夕=20/可得出尸點坐標，進而求出心的長，再利用三角形

的面積公式求出尸面積.

【詳解】(1)解：在y=-2x+4中，當》=0時，y=4,當y=-2x+4=0時，x=2,

4(2,0),5(0,4)；

(2)解：?；OP=2OA,OA=2,

OP=4,

???尸點坐標為(4,0)或(-4,0),

.?./P=2或6,

?應9=2x4+2=4或工陋＞=6*4+2=12,

的面積為4或12.

易錯題型六一次函數圖象平移問題

例題：若要把直線V=；x-4的圖象變為直線y=；(x+4)的圖象，則下列平移方法正確的是()

A.向下平移10個單位B.向上平移10個單位

C.向上平移8個單位D.向下平移8個單位

【答案】B

【分析】本題考查了一次函數的平移，根據一次函數的平移法則：左加右減，上加下減，求解即可，熟練

掌握一次函數的平移是解此題的關鍵.

【詳解】解：???y=/x+4)=；x+6,

?,.要把直線y=；x-4的圖象變為直線y=；(x+4)的圖象，原圖象向上平移了6-(-4)=6+4=10個單位，

故選：B.

鞏固訓練

1.將一次函數＞=；x+3的圖象沿x軸向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度后，得到的新圖

象對應的函數解析式為()

1

A.尸—x+8B.y=—x+

22

1，113

y=—x+

C.y二—x+6D.

22T

【答案】B

【分析】此題考查了一次函數圖象的平移.根據左加右減，上加下減的平移規律進行解答即可.

【詳解】解:將一次函數＞=gx+3的圖象沿x軸向左平移2個單位長度得到y=g(x+2)+3=；x+4,

一次函數)，=!》+4再向上平移3個單位長度后，得到的新圖象對應的函數解析式為y=gx+7.

故選：By=—x+7.

2.若直線了=(2加+3)x+5與直線y=-x+1■互相平行，則加的值為.

【答案】-2

【分析】由平行可得2加+3=-1,解得即可.本題考查了一次函數的性質，兩條直線平行問題，兩條直線平

行一次項系數相等，常數項不等.

【詳解】解：.??直線：了=(2加+3)x+5與直線y=+；互相平行，

2m+3=—1,

解得〃?=-2,

故答案為：-2.

3.已知一次函數y=x-2.

▲y

41

3r

2L

1-

-4-3-2T0]I234x

-lb

-2L

-3卜

-4i

(1)在平面直角坐標系中，畫出該函數圖象；

(2)把該函數圖象向上平移3個單位，判斷點(-3,-2)是否在平移后的函數圖象上.

【答案】(1)見解析

⑵在

【分析】(1)根據函數圖象與無，V軸的坐標交點坐標，畫出圖象即可；

(2)根據平移的特點得出解析式，進而解答.

【詳解】⑴解:列表：

0□

0S

過點(2,0)和點(0,-2)畫出直線y=x-2,

(2)解：把函數＞=x-2圖象向上平移3個單位,

得函數的解析式為，=x+l,

當x=—3時，y=-3+1=-2,

.?.點(-3,-2)在平移后的直線上.

【點睛】本題考查一次函數與幾何變換，關鍵是根據函數圖象與x,V軸的坐標交點畫出圖象.

易錯題型七一次函數與方程

例題：若關于X的方程3x+6=0的解是x=l,則直線y=3x+6一定經過點()

A.(3,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)

【答案】C

【分析】本題主要考查的是一次函數與一元一次方程的關系，掌握一次函數與一元一次方程的關系是解題

的關鍵；根據方程可知當X=1時，y=o,從而可判斷直線y=3x+6經過點(1,0)即可.

【詳解】解：由方程的解可知：當X=1時，3x+6=0,即當x=l時，y=o,

??.直線y=3x+6一定經過點(1,0),

故選：C.

鞏固訓練

1.如圖是一次函數必=履+6與％=x+a的圖象，則下列結論：①人<0；②a>0；③6>0：④方程

Ax+b=x+a的解是x=3,正確的個數是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題主要考查了一次函數與一元一次方程，一次函數圖象與性質，根據一次函數的性質和一次函

數與一元一次方程的關系進行判斷即可；準確分析判斷是解題的關鍵.

【詳解】???一次函數%經過第一、二、四象限，

■.k<0,b>0,故①③正確；

???直線為=x+a的圖象與了軸的交點在x軸下方，

■?-a<0,故②錯誤；

,一'次函數%=履+分與%=x+a的圖象的交點橫坐標為3,

.,.當x=3時，kx+b=x+a,故④正確；

綜上所述，正確的有①③④，共3個.

故選：C.

2.如圖，直線y=與y=h+6相交于點尸(1,2),則關于X的方程6+6=蛆的解是.

【分析】本題主要考查一次函數圖象與一元一次方程的綜合，根據題圖示，兩條直線的交點即為方程的解,

由此即可求解，掌握一次函數的交點與一元一次方程的解的知識是解題的關鍵.

【詳解】解：根據題意，兩直線的交點坐標為尸(1,2),

???關于％的方程丘+6=加工的解為：x=1,

故答案為：x=1.

3.請根據函數相關知識，對函數了=2,-3|-1的圖象與性質進行探究，并解決相關問題.

①列表；②描點；③連線.

X01234567

y53m-1135n

(1)表格中：rn=,n=

(2)在直角坐標系中畫出該函數圖象.

-----

-3-2-10123456x

臺2

(3)觀察圖象:

①當X時，了隨X的增大而增大；

②若關于X的方程2歸-3|-1=。沒有實數根，則a的取值范圍是.

【答案】(1)1,7

(2)詳見解析

(3)①23；②"T

【分析】本題是函數以絕對值的綜合運用，掌握絕對值的性質，觀察列表中的數，并找出規律，用描點,

連線的方法畫函數圖象是解題的關鍵.

(1)將x=2,x=7代入了=2,-3|-1,即可求解；

(2)利用描點，連線的方法即可求解函數圖象；

(3)①從(2)中圖象可求解；②根據圖象的最值即可求解.

【詳解】(1)解：當x=2時，m=j；=2x|2-3|-l=l；

當x=7時，H=J?=2X|7-3|-1=7；

故答案為：1,7；

(2)解：根據表中數據，描點，連線如圖所示：

(3)解：①根據函數圖象可得，當X23時，函數值隨自變量的增大而增大;

故答案為：＞3;

②根據函數圖象可得，若關于x的方程2卜-3卜1=“沒有實數根，

則了=2,-3|-1與尸。沒有交點,

?.?y=2忖一3卜1的最小值為_1,

，。＜-1時，方程21-3卜1=。沒有實數根,

故答案為：a<—\.

易錯題型八一次函數與不等式

例題：如圖，直線了=h+6交坐標軸于，(-3,0)、8(0,1)兩點，則不等式-履-6>0的解集為()

A.x>-3B.x>3C.x<-3D.x<3

【答案】C

【分析】本題主要考查了一次函數的性質，求-h-6>0的解集，即為履+分<,就是求函數值小于0時，x

的取值范圍，解題時應結合函數和不等式的關系找出正確的答案.

【詳解】???要求-質-6>0的解集，即為求履+6<0的解集，

.??從圖象上可以看出等了<0時，x<-3,

故選：C.

鞏固訓練

1.如圖，已知一次函數了=履+6的圖象經過點48,0)和點2(0,-6),那么關于x的不等式依+方>0的解集

是()

A.x>8B.x<8C.x>-6D.x<-6

【答案】A

【分析】此題主要考查了一次函數與一元一次不等式，首先利用圖象可找到圖象在x軸上方時x>8,進而

得到關于x的不等式就+6>0的解集是x>8.

【詳解】由題意可得：一次函數了=h+6中，了>0時，圖象在x軸上方，x>8,

則關于x的不等式kx+b>0的解集是x>8,

故選：A.

2.一次函數的圖象如圖所示，觀察圖象回答問題：當x=0時，y=,當X時，了>0,當

X時，y<3.

【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、一次函數的圖象和性質、函數圖象解不等式等知識,

根據一次函數的性質結合函數圖象，按要求逐步求解即可得到結論.正確地識別圖象是解題的關鍵.

【詳解】解：觀察圖象:

當x=o時，是圖中一次函數圖象與y軸交點的縱坐標，則y=3；

y>0,是指一次函數圖象在X軸上方圖象，則此情況x<2；

是指一次函數圖象在直線y=3下方圖象，也就是y軸右側的一次函數

圖象，則此情況X>O;

故答案為：3,<2,>0.

3.已知函數歹=船+6的圖象，利用圖象回答下列問題:

⑴直接寫出方程區+8=0的解；

(2)直接寫出不等式履+b>0的解集；

(3)若0Vy<4,直接寫出x的取值范圍.

【答案】⑴x=_2

(2)x>-2

(3)-2<x<0

【分析】本題主要考查一次函數圖象的性質，一次函數圖象解不等式，

(1)根據圖示，x=-2時，y=0,結合圖象可求解；

(2)根據圖示，當x>-2時，圖象在x軸上方，由此即可求解；

(3)根據圖示，結合(2)的結果，當-24尤<0時，滿足條件，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，當久=2時，了=0,

■■-kx+b-0的解為％=2；

(2)解：根據圖示，當x>-2時，圖象在x軸上方，即y>,

二不等式依+6>0的解集為尤>-2；

(3)解：由(2)可得，當x2-2時，了20,當x=0時，y=4,

—2?x<0時，0<y<4.

易錯題型九一次函數與反比例函數

例題：己知一次函數必=h+6與反比例函％=一在同一直角坐標系中的圖象如圖所示，當時，x的

X

取值范圍是()

A.x<—1B.一l<x<0或x>3

C.x<-l或0<x<3D.—1<x<3

【答案】C

【分析】本題考查了反比例函數與一次函數交點問題，掌握函數與不等式的關系是解答關鍵.

根據圖象確定出它們的交點，利用交點坐標來確定出不等式的解集.

【詳解】解：由圖象可知，一次函數與反比例函數的交點是（-1,3）和（3,-1）,

所以當x<-l或0<x<3時，%

故選：C.

鞏固訓練

1.某藥品研究所開發一種抗菌新藥，經多年動物實驗，首次用于臨床人體試驗，測得成人服藥后血液中藥

物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x小時之間函數關系如圖所示（當44xwio時，y與x成反比例）.血液

中藥物濃度不低于6微克毫升的持續時間為（）

AK微克室升）

7]6

A.—B.3C.4D.—

33

【答案】A

【分析】先分別利用正比例函數以及反比例函數解析式，再利用>=6分別得出x的值，進而得出答案.

【詳解】解：當0g4時，設直線解析式為：y=kx,

將（4,8）代入得：8=4左，

解得：k=2,

故直線解析式為：y=2x,

當4<x<10時，設反比例函數解析式為：夕=-，

X

將(4,8)代入得：8=￡,

4

解得：。=32,

故反比例函數解析式為：》=絲32；

X

因此血液中藥物濃度上升階段的函數關系式為y=2x(0<x<4),

下降階段的函數關系式為y=J32(4<x<10).

當y=6,則6=2%,解得：x=3,

當尸6,貝！J6=%，解得：1=工

,?,"一3=二(小時)，

33

一7

???血液中藥物濃度不低于6微克/毫升的持續時間§小時

故選4.

【點睛】此題主要考查了反比例函數的應用，根據題意得出函數解析式是解題關鍵.

一3

2.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數必=1-2與反比例函數為=—的圖象交于A,B兩點,當

時，X的取值范圍為.

【答案】T<x<0或x>3

【分析】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題.根據一次函數的值小于反比例函數的值時,

一次函數圖象在反比例函數圖象的上方，可得自變量x的取值范圍.

【詳解】解：???一次函數必=》-2的圖象與反比例函數%=:的圖象交于/(-1,-3)、8(3,1)兩點，

根據圖象可得，當時，一次函數圖象在反比例函數圖象的上方，

■-?自變量x的取值范圍是-l<x<0或x>3.

故答案為：-l<x<0或x>3.

3.如圖，平面直角坐標系中，直線必=h+b分別與X,V軸交于點aB,與雙曲線場=—分別交于點C,

X

。(點C在第一象限，點。在第三象限)，作CELx軸于點E,。4=4,OE=OB=2.

(1)求反比例函數的解析式；

(2)當必〉％時，求x的取值范圍；

(3)在〉軸上是否存在一點J使邑政>=邑尊。？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)%=￡

X

(2)x>2或-6<x<0

⑶〔吟或陷

【分析】本題是反比例函數的綜合題，主要考查反比例函數與一次函數的交點問題，解題的關鍵是用絕對

值的方法確定版的長度，

(1)在RtANOB中，。/=4,OE=OB=2,再用待定系數法即可求解；

(2)求出點。坐標，觀察函數圖象即可求解；

(3)設點尸的坐標為(0J),則4cEP=；CExOE=gx2x3=3,

5搭防=：8尸'。4=：|2-力*4=2|2-力=3，即可求解.，

【詳解】(1)在RtA408中，。4=4,OE=OB=2,

故點48的坐標分別為(-4,0)、(0,2),

[6=2

將點42的坐標代入直線必=區+6的表達式得，八“八，

[0=-4左+/?

/口k=-

解得：，2

b=2

故直線AB的表達式為夕=；X+2；

當x=2時，y=gx+2=3,

.??點C的坐標為(2,3),

將點C的坐標代入反比例函數表達式得3=5，

解得：m=6,

故反比例函數的解析式%=9;

X

(2)?.?直線6分別與x,?軸交于點4B,與雙曲線%=—分別交于點C,D,

X

'1c

y=—x+2

2

???聯立(，

6

y=-

IX

???點。在第一象限，點。在第三象限，

?e?點。坐標為

觀察圖象知，當時，x的取值范圍是1>2或—6<x<0；

(3)設點尸的坐標為(0/),

則ScE°=gcExOE=；x2x3=3,

十PxO/=j2T|x4=2|2T|=3,

解得：「=彳1或:7，

22

點尸的坐標［。，￡|或

易錯題型十一次函數應用之分配方案問題

例題：甲、乙兩個批發店銷售同一種蘋果，在甲批發店，不論數量多少，價格均為6元/kg,在乙批發店,

一次購買數量不超過20kg時，價格為7元/kg；一次購買數量超過20kg時，超過部分的價格為5元/kg.設

小王在同一個批發店一次購買蘋果的數量為xkg(x>0).

(1)設在甲批發店花費必元，在乙批發店花費%元，分別求必，%關于x的函數解析式:

(2)若只在一個批發店購買，你認為在哪家更劃算？

7x(0<x<20)

【答案】(1)M=6尤,%=<

5x+40(x>20)

⑵當x<40時，到甲批發店購買更劃算；當x=40時，甲、乙兩個批發店購買一樣劃算；當x>40時，至IJ乙

批發店購買更劃算

【分析】本題主要考查了一次函數的應用，求一次函數的關系式，

對于(1),甲批發店根據數量乘以單價可得關系式，乙批發店分兩種情況：0<xW20,x>20,可得關系

式；

對于(2),分三種情況計算討論即可.

【詳解】(1)解：根據題意得：”=6x；

當0<xW20時，%=7x；

當x>20時，乂=7x20+5(x-20)=5x+40,

_(7x(0<x<20)

‘%一［5x+40(x>20)；

(2)解：設他在同一個批發店一次購買蘋果的數量為xkg,根據題意得，6尤=7x20+5(x-20),

解得x-40,

當尤<40時，到甲批發店購買更劃算；

當x=40時，甲、乙兩個批發店購買一樣劃算；

當x>40時，到乙批發店購買更劃算.

鞏固訓練

1.為健全高考考務工作制度，規范考試管理，保障高考的正常實施，維護高考的公平性、嚴肅性、權威性，

按照教育部高考考務工作規定：高考只能在縣級及以上設立考區.因而我縣高考全部安排在祥云一中進行,

執行統的考試操作流程和規則，確保考試公平和公正.據悉，今年祥云四中參加高考的學生及帶隊教師約

700人，經過研究，學校決定租用/、3兩種型號共30輛客車作為交通工具將師生載至目的地.下表是租

車公司提供給學校有關兩種型號客車的載客量和租金信息：(注：載客量指的是每輛客車最多可載該校師生

的人數)

型號載客量租金單價

A34人/輛850元/輛

B19人/輛500元/輛

（1）設租用A型號客車x輛，租車總費用為y元，求y與x的函數解析式及自變量》的取值范圍；

（2）請你幫忙設計出一種最省錢的租車方案，并求出最低費用.

2

【答案】（1）>=350X+15000（8J<X<30,且x為整數）

（2）當租用A型號客車9輛，8型號客車21輛時，租車費用最低，最低費用為18150元

【分析】本題考查一次函數的實際應用，一元一次一不等式組，根據題意列出函數關系式以及熟練掌握一

次函數增減性是解題的關鍵，

'x>0

（1）根據題意，可得函數關系式，根據30-x>0,即可求自變量取值范圍；

34x+19（30-x）>700

（2）在自變量取值范圍內根據一次函數增減性即可求出最低費用及其方案.

【詳解】（1）解：設租用A型號客車x輛，則租用3型號客車（30-x）輛，

由題意得：y=850x+500（30-x）=350x+15000,

即y與X的函數解析式為：y=350x+15000,

'x>0

2

由題意得：30-x>0,解得：8-<x<30,

34x+19（30-x）>700'

2

即自變量x的取值范圍為8§WxW30,且x為整數；

2

（2）解：由（1）得：費用為y=350x+15000（8-<x<30,且x為整數）

,.,左=350>0,

?,J隨x的增大而增大，

.?.當x=9時，費用了最小，

最低為^=350x9+15000=18150（元），

答：當租用A型號客車9輛，3型號客車21輛時，租車費用最低，最低費用18150元.

2.周末，張洋去某楊梅園摘楊梅，已知該楊梅園內的楊梅單價是每千克40元.為滿足客戶需求，該楊梅

園現推出兩種不同的銷售方案：

甲方案：游客進園需購買30元的門票，采摘的楊梅按原價的七折收費；

乙方案：游客進園不需購買門票，采摘的楊梅在10千克以內按原價收費、超過10千克后，10千克部分按

原價收費，超過部分按原價的五折收費.

設張洋的采摘量為x(x>0)千克，按甲方案所需總費用為乂元，按乙方案所需總費用為％元.

(1)當采摘量超過10千克時，分別求出M、%關于x的函數表達式；

(2)若張洋的采摘量為30千克，選擇哪種方案更劃算?請說明理由.

【答案】(1)弘=28x+30,y2=20x+200

(2)選擇乙方案更劃算，見解析

【分析】本題考查了一次函數在實際問題中的應用，正確求出一次函數的解析式是解題關鍵.

(1)根據甲、乙收費方案即可求解；

(2)令x=30,分別求出必，%,即可進行判斷.

【詳解】(1)解：由題意得：必=40X0,7X+30=28X+30,

y2=40xl0+40x0.5(x-10)=20x+200；

(2)選擇乙方案更劃算

理由：當x=30時，

必=28x30+30=870,

y2=20x30+200=800.

-,?870>800,

???選擇乙方案更劃算.

3.計劃將甲、乙兩廠的生產設備運往42兩地，甲廠設備有60臺，乙廠設備有40臺，/地需70臺，B

地需30臺，每臺設備的運輸費(單位：百元)如表格所示，設從甲廠運往/地的有x臺