熱點03一次函數與反比例函數

明考情.知方向

中考數學中《一次函數與反比例函數》在廣東地區主要考向分為五類：

一、一次函數圖象與性質（每年1~2道，3~6分）

二、一次函數的應用（每年1~2道，3~6分）

三、反比例函數的性質（每年1~2題，3~76分）

四、反比例函數的應用（每年1~2題，3~6分）

五、一次函數與反比例函數的結合（每年1~2題，3~12分）

一次函數、反比例函數的綜合題是廣東中考命題熱點。選擇、填空題和解答題皆可出現。常見兩種題

型的考察方式：一是根據函數值的大小，求自變量的取值范圍，一般先找交點，再分區域，根據函數圖象

上方的值總比下方的值大，在各區域內找相應的尤的取值范圍；二是求幾何圖形面積，要充分利用“數形結

合”的思想，使“坐標”與“線段”互相轉化，從而解決問題。但是在最近幾年這部分考題常結合其他規則幾何

圖形的性質一起出題，多數題目的技巧性較強，復習中需要多加注意。

熱點題型解讀

題型01動點與函數圖象問題

考向一：函數的圖象題型02畫函數圖象及根據函數圖象得出結論

-題型03一次函數的圖象

次

題型04一次函數的性質

函

題型05一次函數解析式的求法

數考向二：一次函數的圖象和性質

題型06一次函數和方程組不等式的關系

與

反題型07一次函數的實際應用

比

題型08反比例函數圖象和性質

例

（題型09反比例函數系數k的幾何意義

函

考向三：反比例函數的圖象和性質

\題型10反比例函數實際應用

數

題型11反比例函數與一次函數綜合

考向四：一次函數與反比例函數的綜

合問題<題型12反比例函數與一次函數綜合解決問題

考向一：函數的圖象

【題型01動點與函數圖象問題】

函數圖象與動點問題，從函數圖象中看出增減性，找到關鍵點和關鍵的數據；

1.（2024?廣東江門?模擬預測）"漏壺"是一種古代計時器，在它內部盛一定量的水，水從壺下的小孔漏出.壺

內壁有刻度，人們根據壺中水面的位置計算時間.用x表示漏水時間，y表示壺底到水面的高度.下列哪個

圖象適合表示y與x的對應關系？（不考慮水量變化對壓力的影響）（）

2.（2025?廣東深圳?一模）如圖1,在RtZVIBC中，ZC=90°,一動點尸從點A出發，以每秒2個單位的速

度沿著AfB—C的路徑運動，過點尸作尸。，AC,垂足為。.設點尸運動的路程為x,PB與尸。的差為，，

y與x的函數圖象如圖2所示，點N是線段DE,與尤軸的交點，則圖2中點M對應的點尸位置到

點N對應的點尸位置所經歷的時長為（）

A.2秒艮4秒C.5秒D.瓦秒

3.（2024?廣東深圳?三模）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=8,。和E分別是48和AC的

中點，點M和點N分別從點A和點E出發，沿著AfCfB方向運動，運動速度都是每秒1個單位長度，

當點N到達點8時，兩點同時停止運動.設-ZWN的面積為S,運動時間為f,貝|S與/之間的函數圖像大

致為（）

4.（2024?廣東深圳?模擬預測）如圖，動點尸、。在平行四邊形ABCD的邊和對角線上運動，動點P的運動

軌跡為折線O-A-O-O,動點。的運動軌跡為折線O-C-3-0,兩動點同時開始運動，且運動速度均為

lcm/s.設動點運動時間為x秒，兩動點間距離為Am,無與y的函數關系式如圖所示.當點尸在平行四邊

A.BB.幣C.辿D.-

222

5.（2024?廣東深圳?二模）在RtAABC中，ZC=90°,。為AC上一點，C￡）=0,動點P以每秒1個單位

的速度從C點出發，在三角形邊上沿-A勻速運動，到達點A時停止，以DP為邊作正方形APEF.設

點尸的運動時間為7S,正方形DPEF的面積為S,當點尸由點B運動到點A時，經探究發現S是關于f的二

次函數，并繪制成如圖2所示的圖象.由圖象可知線段A3的長為（）

A.7B.6C.5D.4

6.（2024?廣東珠海?三模）如圖1,E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點尸，。同時從點B出發，點尸沿折

線鹿-ED-DC運動到點C時停止，點。沿2C運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/s,設尸，Q

同時出發，s時，V3PQ的面積為yen?.已知y與/的函數關系如圖2所示（曲線ON為拋物線的一部分），

則下列結論錯誤的是（）

圖2

B.當5＜，＜7時，V3QQ的面積是lOcm?

八K15葉PQ_7

C.當0＜，45時，y=-t2D-當時，而一記

4

7.（2024?廣東廣州?二模）如圖1,在平面直角坐標系中，點A、C分別在y軸和x軸上，AB//XM，COSB=-.^

P從3點出發，以lcm/s的速度沿邊54勻速運動，點。從點A出發，沿線段AO-OC-CB勻速運動.點尸與

點。同時出發，其中一點到達終點，另一點也隨之停止運動.設點P運動的時間為f（s）,VBPQ的面積為

5（cm2）,已知S與/之間的函數關系如圖2中的曲線段OE、線段砂與曲線段FG.下列說法正確的是（）

①點。的運動速度為3cm/s；

②點8的坐標為（9,18）；

③線段所段的函數解析式為S=］；

Q

④曲線FG段的函數解析式為S=-臺2+%；

⑤若YBPQ的面積是四邊形OABC的面積的1,則時間，=2血.

A.①②③??B.①③④C.①③⑤D.①③④⑤

【題型02畫函數圖象及根據函數圖象得出結論】

-0

函數圖象、用描點法畫函數圖象、求自變量的值或函數值、求自變量的取值范圍

1.（2024?廣東惠州?三模）綜合探究

請根據學習函數的經驗，將下列探究函數＞=—1的圖象與性質的過程補充完整：

x-1

⑴函數y的自變量x的取值范圍是__________.

x-1

⑵下表列出了y與x的幾組對應值，請寫出其中孤〃的值加=，?=

XL-2-10n234L

j_1

yLm-1-221L

~323

⑶在如圖所示的平面直角坐標系中，描出以（2）表中各組對應值為坐標的點，并畫出該函數的圖象;

2.（2024?廣東深圳?模擬預測）初中階段研究新函數的性質往往需要先確定函數的解析式，再經歷列表、描

點、連線畫出函數圖象、觀察分析函數圖象特征等過程.下表是函數的部分信息:

請結合已有的學習經驗，探究上述函數的圖象與性質，并解決問題:

（1）求“=，b=,c=,并補全函數圖象;

⑵在平面直角坐標系中，結合已有學習經驗，用你喜歡的方法補全函數圖象，觀察函數圖象，并請寫出該

函數的一條性質：;

(3)已知關于x的方程心上=%+2無實數解，根據函數圖象，直接寫出左的取值范圍.

2X2+1

3.(2024?廣東深圳?三模)在初中階段的函數學習中，我們經歷了“確定函數的表達式玲利用函數圖象研究其

性質玲運用函數解決問題”的學習過程.結合學習函數的經驗，探究函數y=|x-的圖象與性質，探究過

程如下，請補充完整.

(1)列表：

X-101234

y-2-3-4b-2-1

(2)描點并連線.

(3)觀察圖象并填空：

①a=_,b=_

②寫出該函數的一條性質：_

③圖象與無軸圍成的三角形面積為_

④當>>1時，直接寫出x的取值范圍

考向二：一次函數的圖象和性質

【題型03一次函數的圖象】

00目雹

(1)一次函數的圖象的畫法：經過兩點(0,b)、(0)或(1,k+b)作直線尸區+6.

注意：①使用兩點法畫一次函數的圖象，不一定就選擇上面的兩點，而要根據具體情況，所選取的點的

橫、縱坐標盡量取整數，以便于描點準確.②一次函數的圖象是與坐標軸不平行的一條直線（正比例函

數是過原點的直線），但直線不一定是一次函數的圖象.如尤=a,y=6分別是與y軸，x軸平行的直線，

就不是一次函數的圖象.

（2）一次函數圖象之間的位置關系：直線>=丘+6,可以看做由直線>=近平移|例個單位而得到.

當6>0時，向上平移；6<0時，向下平移.

注意：①如果兩條直線平行，則其比例系數相等；反之亦然；

②將直線平移，其規律是：上加下減，左加右減；

③兩條直線相交，其交點都適合這兩條直線.

1.（2024?廣東廣州?一模）關于函數y=-2x+l,下列結論成立的是（）.

A.函數圖象經過點（U）B.y隨x的增大而增大

C.當x<0時，y>oD.函數圖象不經過第一象限

2.（2024?廣東廣州?模擬預測）關于一次函數>=-3尤+2,下列說法正確的是（）

A.圖象過點（U）

B.其圖象可由y=-3x的圖象向下平移2個單位長度得到

C.y隨著X的增大而增大

D.圖象經過第一、二、四象限

3.（2025,廣東廣州?一模）若直線y=經過一，二，四象限，則直線y=41左的圖象只能是圖中的（）

4.（2024?廣東汕頭?模擬預測）如圖，兩直線％=履+〃和%=云+左（左#0且8力0）在同一平面直角坐標系內的

圖象位置可能是（）

6.（2024?廣東深圳?二模）如圖，在平面直角坐標系中，將直線4：y=3x+2向右平移5個單位長度得到直線

'2?

⑴直接畫出直線，2；

（2）4的解析式為

⑶直線4與k之間的距離為個單位長度.

【題型04一次函數的性質】

一次函數的性質：

k>Q,y隨x的增大而增大，函數從左到右上升；k<0,y隨x的增大而減小，函數從左到右下降.

由于y=fcr+b與y軸交于（0,b）,當b>0時，（0,b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當

6<0時，（0,b）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸.

2.一次函數圖象上點的坐標特征

一次函數丫=h+從（際0,且左，b為常數）的圖象是一條直線.它與無軸的交點坐標是（-塵，0）；與y

k

軸的交點坐標是（0,b）.

直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式y=fci+瓦

1.（2024?廣東河源?模擬預測）下列各函數中，,隨1的增大而增大的是（）

11

A,y=-B.y=-3xC.y=-x29D.y=-x

%2

2.（2024?廣東廣州?三模）下列函數中：@y=kx-2（k<0）.（2）j=-（Z：<0）；③y=>0）；④

y=a（x-l）2-3（a>0）,當x>0時，,隨x的增大而增大的有（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

3.（2023?廣東廣州?模擬預測）若4（2,乂），B（-l,必）是一次函數丫+1卜+2圖象上的兩點，則（）

A.%<當B.%<%C.%>%D.%>%

4.（2024?廣東廣州?二模）如圖，拋物線G:%=〃（尤+1P+2與拋物線=-（尤-2>-1交于點項,-2）,

且分別與，軸交于點D,E.過點8作x軸的平行線，交拋物線于點A,C.則以下結論：

①拋物線H可由拋物線G向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；

②無論無取何值，力總是負數；

③當-3Vx<1時，隨著x的增大，X-%的值先增大后減小；

④四邊形AE8為正方形.其中正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2024,廣東東莞?三模）已知點A（2,yJ,點3（-1,%）在直線>=-3X+5上，則％y2.（填

或"="）

6.（2024?廣東惠州?一模）已知一次函數y=-3x+2,當-!Wx45時，一次函數的最大值是.

7.（2024?廣東惠州?模擬預測）如圖在函數y="v圖象上，4的橫坐標為1,A4垂直x軸于4，垂直

函數圖象，交x軸與層，過作x軸的垂線與函數圖象于點4，4與垂直于函數圖象交x軸與鳥.以此類

【題型05一次函數解析式的求法】

待定系數法求一次函數解析式一般步驟是：

（1）先設出函數的一般形式，如求一次函數的解析式時，先設>=丘+6；

（2）將自變量尤的值及與它對應的函數值y的值代入所設的解析式，得到關于待定系數的方程或方程組;

（3）解方程或方程組，求出待定系數的值，進而寫出函數解析式.

注意：求正比例函數，只要一對無，y的值就可以，因為它只有一個待定系數；而求一次函數y=fcc+b,

則需要兩組x,y的值.

1.（2024?廣東?模擬預測）已知y是關于x的一次函數，點（0,-4）在該一次函數的圖象上，且y隨x的增大

而減小，請寫出一個滿足上述條件的函數表達式：.

2.（2023?廣東河源?三模）函數》=-3/+；的圖象關于x軸對稱的圖象的解析式為.

3.（2024?廣東云浮,一模）已知直線/經過點4（2,3）和點3（-1,6）,求直線/的解析式.

4.（2024?廣東韶關?模擬預測）在平面直角坐標系中，一次函數y=履+6的圖象過點。,3）,（2,2）.求這

個一次函數的解析式；

5.（2024?廣東廣州?模擬預測）如圖，平面直角坐標系中,直線y=f+12與直線Q4相交于點4（8,4）,與x

軸、y軸分別交于點3、C.

⑴求點3、點C的坐標；

⑵求直線。4的解析式；

⑶點M在射線AC上，是否存在點使—OMC的面積是，Q4c的面積的g?若存在，求出點M的坐標.

6.（2024?廣東廣州?模擬預測）已知直線/過點4（4,-6）,B（8,-3）.

⑴求直線/的函數解析式；

（2）設點（。力）在/上,拋物線G：y=M尤-與X軸交于點c,D（點C在點。右側），與y軸交于點

E.

①當左=1時，試用含。的代數式表示四邊形ABCD的面積；

②當C,D,E中有兩點與點A,B圍成的四邊形是平行四邊形時，求G的函數解析式.

【題型06一次函數和方程組不等式的關系】

（1）一次函數與一元一次不等式的關系

從函數的角度看，就是尋求使一次函數y=&+b的值大于（或小于）0的自變量尤的取值范圍；

從函數圖象的角度看，就是確定直線>=日+6在無軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合.

（2）用畫函數圖象的方法解不等式依+b>0（或<0）

對應一次函數y=fcc+b,它與x軸交點為（-2,0）.

k

當上>0時，不等式kx+b>0的解為：x>衛，不等式kx+b<0的解為：尤〈也；

kk

當上<0,不等式fcv+6>0的解為：x<衛，不等式依+6<0的解為：衛.

kk

1.（2024?廣東?模擬預測）若關于尤的方程3尤+6=0的解是x=l,則直線一定經過點（~—一

A.（3,0）B.（0,-1）C.（1,0）D.（0,1）

2.（2024?廣東深圳?模擬預測）在平面直角坐標系宜刀中，一次函數'=依和y=+〃的圖象如圖所示，則

關于x的一元一次不等式（左-加卜〈〃的解集是.

3.（21-22八年級上?四川巴中?期末）如圖，已知直線4：y=3x+l和直線/2：y=mx+〃交于點則關

fy=mx+n

于x,y的二元一次方程組廠,[的解是—.

[y=3x+l

【題型07一次函數的實際應用】

1、行程問題中，一次函數y=（左H0）中因通常對應行程問題中的速度

2、準確理解函數圖象中出現的起點、拐點、終點的意義

3、常用等量關系：總利潤=單件利潤x數量

4、利用函數的增減性得到最大利潤

1.(2024?廣東?模擬預測)漏刻是我國古代的一種計時工具.小軒依據漏刻的原理制作了一個簡單的漏刻計

時工具模型，研究中發現其水位"(cm)與時間t(min)之間成一次函數關系.小軒通過多次計時并測量水位

的高度，得到如下表數據：

(min)1235

Mem)2.42.83.24.0

⑴求〃關于/的函數關系式；

⑵若小軒開始測量的時間為早上9:30,當水位讀數為14cm時，求此時的時間.

2.(2024?廣東佛山?一模)某校口琴社團準備購買48兩種型號的口琴，通過市場調研發現：買2支A型

口琴和1支8型口琴共需100元；買1支A型口琴和2支2型口琴共需110元.

(1)每支A型口琴和B型口琴各多少元？

(2)若該校口琴社團需購買A,8兩種型號的口琴共30支，其中A型口琴不超過16支，購買口琴的總費用是

否有最小值？如果有，請求出這個最小值；如果沒有，請說明理由.

3.(2024?廣東深圳?模擬預測)寶安公明臘腸是深受當地民眾喜愛的一種美食，其制作技藝至今已有百余年

歷史，該項目2017年被列入寶安區區級非物質文化遺產保護名錄.某臘腸制作坊計劃購買A,B兩種香料

制作臘腸.已知購買1千克A種香料和1千克B種香料共需60元，購買3千克A種香料和4千克8種香料

共需220元.

⑴求A,8兩種香料的單價；

⑵該小吃店計劃購買兩種香料共20千克，其中購買A種香料的重量不超過8種香料重量的3倍，當A,8

兩種香料分別購買多少千克時，總費用最少？并求出最少總費用.

4.(2024?廣東汕頭?二模)2023年7月，第31屆世界大學生夏季運動會在成都舉辦，其中大運會吉祥物蓉

寶廣受歡迎，成為熱銷商品.某商家以每套40元的價格購進一批蓉寶.當該商品每套的售價是50元時，

每天可售出180套，若每套的售價每提高2元，則每天少賣4套.設蓉寶每套的售價定為x元，該商品銷

售景y套

⑴求y與龍之間的函數關系式；

(2)若每天銷售所獲的利潤為4800元，求尤的值.

5.(2024,廣東?模擬預測)綜合與實踐

生活中的數學：如何確定單肩包的最佳背帶長度？

素材1：如圖是一款單肩包，背帶由雙層部分、單層部分和調節扣構成.使用時可以通過調節扣加長或縮短

單層部分的長度，使背帶的總長度加長或縮短.總長度為單層部分與雙層部分的長度和，其中調節扣的長

度忽略不計.

雌層部分

調埼扣

素材2：對該款單肩包的背帶長度進行測量，設雙層部分的長度是xcm,單層部分的長度是Am,得到幾組

數據如下表所示.

雙層部分的長度

2610

x(cm)

單層部分的長度

116108100

y(cm)

素材3：單肩包的最佳背帶總長度與身高的比為2:3.

素材4：小明爸爸準備購買此款單肩包.爸爸自然站立，將該單肩包的背帶調節到最短提在手上(背帶的傾

斜忽略不計)，背帶的懸掛點離地面的高度為53.5cm；如圖，已知爸爸的臂展和身高一樣，且肩寬為38cm,

頭頂到肩膀的垂直高度為身高的:.

O

請根據以上素材，解答下列問題：

⑴如圖，在平面直角坐標系中，以所測得數據中的X為橫坐標，y為縱坐標，描出所表示的點，并用光滑曲

線連接；根據圖象思考與x之間的函數表達式，并直接寫出x的取值范圍；

⑵設人的身高為/?,當單肩包的背帶長度調整為最佳背帶總長度時，此時人的身高人與這款單肩包背帶的雙

層部分的長度x之間的函數表達式；

（3）當小明爸爸的單肩包的背帶長度調整為最佳背帶總長度時，求此時雙層部分的長度.

6.（2024?廣東廣州?中考真題）一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征.某數學興趣小組

收集了大量不同人群的身高和腳長數據，通過對數據的整理和分析，發現身高y和腳長x之間近似存在一個

圖I圖2

⑴在圖1中描出表中數據對應的點a，，）；

⑵根據表中數據，從〉=辦+仇“=0）和＞="（4片0）中選擇一個函數模型，使它能近似地反映身高和腳長的

函數關系，并求出這個函數的解析式（不要求寫出X的取值范圍）；

（3）如圖2,某場所發現了一個人的腳印，腳長約為25.8cm,請根據（2）中求出的函數解析式，估計這個人

的身高.

考向三：反比例函數的圖象和性質

【題型08反比例函數圖象和性質】

反比例函數圖象上點的坐標特征

反比例函數y=〃尤（左為常數，際0）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點（無，y）的橫縱坐標的積是定值比即盯=%

②雙曲線是關于原點對稱的，兩個分支上的點也是關于原點對稱；

③在＞=以圖象中任取一點,過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值因.

1.（2024?廣東?模擬預測）已知點A（-3,a）,8（1,b）,C（5,c）在反比例函數y=：（左＜0）的圖像上，下列結

論正確的是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.c<b<a

2.（2024?廣東?模擬預測）已知點A（T,a）,C（2,c）在反比例函數y==（左為常數）的圖象上,

則下列判斷正確的是（）

A,a<b<cB.b<a<cC,a<c<bD.c<b<a

k

3.（2023?廣東清遠?二模）在同一平面直角坐標系中，一次函數〉=-履+左與反比例函數y=左/0）的圖

x

5.（2024?廣東汕頭?一模）若點（孫兀），（N，/）都在反比例函數"平的圖象上，且王<。<3，則%

y2.（填"或"="）

6.（2025?廣東深圳?一模）已知反比例函數y=上出■在其圖象所在的各象限內，,隨x的增大而減小.

X

⑴求人的最小整數值.

（2）判斷直線y=2無與該反比例函數圖象是否有交點，并說明理由.

【題型09反比例函數系數人的幾何意義】

1.（2024,廣東深圳?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，△AOC的邊在丫軸上，點C在第二象限內,

k

BC=2AB,反比例函數y=—（%<0）的圖象經過5,。兩點.若△AOC的面積是6,則上的值為

x

k

2.（2023?廣東深圳?三模）如圖，點8在反比例函數y=7（Aw0,x>0）的圖象上，連接將30繞B點順

時針旋轉90。得到54,且=30,54交y軸于點C,若AC:BC=1:2,ABO的面積為三，則人的值為

3.（2024?廣東深圳?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，等邊VAOB和菱形03CD的邊AO、OD都在x

軸上，反比例函數y=&七0）的圖象經過點C.已知VABC的面積為4g,則k的值為.

35

4.（2024?廣東惠州?三模）如圖，點A在函數y=—（%〉0）的圖像上，點8在函數y=—（%>0）的圖像上，且

xx

k

5.（2024?廣東深圳?三模）如圖，A、B兩點在反比例函數y=—的圖象上，過點A作AC,無軸于點C,交OB

于點。，若BD=2DO,AAOD的面積為1,則上的值為

6.（2024?廣東深圳?二模）如圖，在直角坐標系中，3為第二象限內一點，連接03,在線段03上取點C,

使得BC=2OC,過點C所作x軸的平行線與過點B所作V軸的平行線交于點A.若反比例函數>=乙（AW0）

尤

的圖象經過點A,已知5△旗c=2,則上的值為.

7.（2024?廣東深圳?模擬預測）如圖，△OAB的邊。4在y軸上，反比例函數y=￡（x>0）的圖象經過點8,

X

與邊AB交于點C,若3C=3AC,5AAOB=1°，則左的值為.

【題型10反比例函數實際應用】

1.反比例函數綜合題

（1）應用類綜合題

能夠從實際的問題中抽象出反比例函數這一數學模型，是解決實際問題的關鍵一步，培養了學生的建模

能力和從實際問題向數學問題轉化的能力.在解決這些問題的時候我們還用到了反比例函數的圖象和性

質、待定系數法和其他學科中的知識.

（2）數形結合類綜合題

利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關鍵所在.已知點在圖象上，那么點一定滿足這

個函數解析式，反過來如果這點滿足函數的解析式，那么這個點也一定在函數圖象上.還能利用圖象直

接比較函數值或是自變量的大小.將數形結合在一起，是分析解決問題的一種好方法.

1.（2023?廣東陽江?一模）杠桿原理也稱為"杠桿平衡條件”，要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個力矩（力

與力臂的乘積）大小必須相等，即阻力x阻力臂=動力x動力臂.如圖，已知石頭的重力（阻力）為3200N,

阻力臂為0.25m.

⑴求動力E與動力臂/的函數關系式.

⑵小華想用一根撬棍撬起這塊石頭，但他最多能使出500N的力，問他用撬棍撬起這塊石頭時的動力臂長度

最短為多少？

2.（2024?廣東廣州?二模）一艘載滿貨物的輪船到達南沙港碼頭后開始卸貨.平均卸貨速度y（單位：噸/天）

與卸貨天數/是反比例函數關系，它的圖象如圖所示.

⑴求y與f之間的函數解析式；

⑵南沙港碼頭收到氣象部門的緊急通知，在某海域形成新的臺風，預計7天后影響碼頭卸貨，因此要求船

上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸？

3.（2024?廣東廣州?一模）越來越多的人選擇騎自行車這種低碳又健康的方式出行.某日，家住東涌的李老

師決定用騎行代替開車去天后宮.當路程一定時，李老師騎行的平均速度v（單位：千米/小時）是騎行時

間t（單位：小時）的反比例函數.根據以往的騎行兩地的經驗，v、f的一些對應值如下表：

r（小時）21.51.21

V（千米/小時）12162024

⑴根據表中的數據，求李老師騎行的平均速度v關于行駛時間f的函數解析式;

（2）安全起見，騎行速度一般不超過30千米/小時.李老師上午8:30從家出發，請判斷李老師能否在上午9:10

之前到達天后宮，并說明理由；

（3）據統計，汽車行駛1千米會產生約0.2千克的二氧化碳.請計算李老師從東涌騎行到天后宮的過程中二氧

化碳的減排量.

4.（2024?廣東佛山?三模）某二手車管理站，用一種一氧化碳（CO）檢測儀測量二手家用汽油小轎車尾氣

中一氧化碳的含量，這種檢測儀的電路圖如圖1所示，其工作原理為：當尾氣中一氧化碳的濃度增加，氣

敏電阻的阻值變小，電流隨之增大，即所顯示的一氧化碳含量就越高.已知氣敏電阻尺（。）的阻值隨著尾氣

中一氧化碳的含量以g/km）變化的關系圖象如圖2所示，&（。）為定值電阻，電源電壓恒定不變.

（1）請根據圖2,判斷氣敏電阻砥。）與尾氣中一氧化碳的含量之間成函數，并求出它的函數解析式；

（2）該管理站對家用汽油小轎車尾氣中一氧化碳檢測數據的標準要求為不高于LOg/km.若某輛小轎車的尾

氣檢測阻值為Q5O,則該小轎車尾氣中一氧化碳的含量是否達到標準？請說明理由.

5.（2024?廣東江門?三模）綜合與實踐

如圖，某校數學興趣小組取一根長為100a”的勻質木桿，把細繩綁在木桿的中點。處并將其吊起.在中點。

左側距離中點30cMi處掛一個重9.8N的物體，在中點。右側用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態.改

變彈簧秤與中點。的距離乙（單位：cm）,觀察彈簧秤的示數尸（單位：N）有什么變化，得到下表：

LIcm510152025303540

F/N58.829.419.614.7169.88.47.35

指導老師發現其中有一組數據明顯是錯誤的.

（1）當L=時，所對應的歹的值明顯是錯誤的；

（2）寫出尸與L之間的函數關系式，并求當彈簧秤的示數尸是12N時，彈簧秤與中點。之間的距離L.

考向四：一次函數與反比例函數的綜合問題

【題型11反比例函數與一次函數綜合】

1.反比例函數與一次函數的交點問題

反比例函數與一次函數的交點問題

(1)求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者

有交點，方程組無解，則兩者無交點.

k

(2)判斷正比例函數〉=依1和反比例函數y=-Z9在同一直角坐標系中的交點個數可總結為：

x

kn一

①當k\與k2同號時，正比例函數丁=匕%和反比例函數y=—2在同一直角坐標系中有2個交點；

x

kn_

②當k\與左2異號時，正比例函數和反比例函數y=—上在同一直角坐標系中有0個交點.

x

k

1.(2024?廣東?模擬預測)如圖，已知反比例函數％=—的圖象與正比例函數%=以(。。。)的圖象相交于點

A(2,2)和點b

⑴寫出點8的坐標，并求上。的值；

(2)根據圖象，比較％和%的大小.

k

2.(2024?廣東?模擬預測)如圖所示，一次函數y=x+3的圖象與反比例函數y=—的圖象交于A,B兩點,

尤

與x軸、y軸分別交于C,。兩點，連接02,S0=3.

⑴求美的值.

(2)無軸上是否存在一點E,使二ABE為等腰三角形?若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

3

3.(2024?廣東汕頭?模擬預測)如圖，一次函數>=丘+。的圖像與反比例函數>=-最的圖像相交于^(-3,1),

兩點，與x軸，y軸分別交于c,。兩點.

⑴求一次函數的解析式；

(2)若點尸是線段C。的中點，連接OP,求/尸OC的正切值.

4.(2024?廣東?模擬預測)已知一次函數>=6+6與反比例函數>=1的圖象交于A(-3,〃)，*2,-6)兩點.

⑴①求一次函數和反比例函數的表達式；

②求的面積.

⑵在無軸的負半軸上，是否存在點P,使得240為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在,

請說明理由.

5.(2024?廣東惠州?模擬預測)如圖，直線％=8+4與雙曲線%=2在第二象限內交于A,B兩點，已知

X

B(—l,m).

⑴求k2的值及直線AB的解析式;

⑵點C是線段上的一個動點，過點C作CD，y軸于點。，交雙曲線于點憶石是入軸上一點，當△CED

的面積最大時，求點P的坐標.

6.(2024?廣東廣州?模擬預測)已知一次函數、=丘+匕的圖象直線與反比例函數＞=—的圖象雙曲線相交于

點A(-2,-3)和點3(1,〃)，且直線與X軸、y軸相交于點C、點。.

⑴求一次函數和反比例函數的解析式;

(2)點為直線4B上的動點，過尸作x軸垂線，交雙曲線于點E,交x軸于點尸，請選擇下面其中一題

完成解答：

①連接。E,若S2DE=6SADC。，求痣的值;

②點尸在點E上方時，判斷關于x的方程(0+1)Y+(p_l)x--=0的解的個數.

【題型12反比例函數與一次函數綜合解決問題】

1.反比例函數綜合題

(1)應用類綜合題

能夠從實際的問題中抽象出反比例函數這一數學模型，是解決實際問題的關鍵一步，培養了學生的建模

能力和從實際問題向數學問題轉化的能力.在解決這些問題的時候我們還用到了反比例函數的圖象和性

質、待定系數法和其他學科中的知識.

(2)數形結合類綜合題

利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關鍵所在.已知點在圖象上，那么點一定滿足這

個函數解析式，反過來如果這點滿足函數的解析式，那么這個點也一定在函數圖象上.還能利用圖象直

接比較函數值或是自變量的大小.將數形結合在一起，是分析解決問題的一種好方法.

1.(2023?廣東佛山?三模)為防止病菌滋生，某校定期對教室進行噴霧消毒，某次消毒作業時，噴霧階段教

室內每立方米空氣中含藥量y(mg)是時間x(min)的正比例函數，噴霧完成后,是尤的反比例函數(如圖).

>1mg)

K

O5jXmin）

（1）當x>5時，求y關于*的函數解析式；

⑵已知每立方米空氣中含藥量不低于4mg時，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空氣中含藥量不低于4mg

的時長.

2.（2024?廣東廣州?三模）某校根據《學校衛生工作條例》，為預防"蚊蟲叮咬"，對教室進行"薰藥消毒已

知藥物在燃燒釋放過程中，室內空氣中每立方米含藥量y（mg）與燃燒時間x（min）之間的關系如圖所示.根

⑴求一次函數和反比例函數的解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）據測定，當室內空氣中每立方米的含藥量低于3mg時，對人體無毒害作用.從消毒開始，至少在多少分

鐘內，師生不能待在教室？

限時提升練

一、單選題

1.（2024?廣東?模擬預測）在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1,2）,把點A先向右平移1個單位，再向下

平移2個單位得到點B,則直線AB的表達式為（）

A.y=2x+4B.y--2x+4C.y=2尤—4D.y=-2x-4

2.（2024?廣東廣州?二模）下列說法不正確的是（）

A.函數y=-3x的圖象必過原點

B.函數y=3x-l的圖象不經過第二象限

C.函數y=’的圖象位于第一、三象限

X

D.函數>=（尤-以+2的圖象中，當x<l時，y隨X增大而增大

3.（2024?廣東河源?一模）在同一平面直角坐標系中，一次函數%=依+伏。H。）與%="吠+〃（〃件0）的圖象

如圖所示，則下列結論正確的是（）

此=ar+b

y^mxx^n/

A.bn<0

B.%隨x的增大而增大

C.當xv2時，yx<y2

D關于X'y的方程[ax組—y的=-b解為「[x—3

4.（2025?廣東?模擬預測）一次函數、=依+。與反比例函數>（〃w0,Z?w0）在同一坐標系中的圖象

X

可能是（）

十千

1K

—*

5.（2024,廣東深圳?模擬預測）如圖，O的直徑48為4,AC=，BC,點。為AC的中點，點P沿路線

AfC運動，連接CP,DP,設點尸運動的路程為x,則△CPD的面積，隨x變化的函數圖象大致為（）

c

a

二、填空題

k

6.（